intTypePromotion=1
zunia.vn Tuyển sinh 2024 dành cho Gen-Z zunia.vn zunia.vn
ADSENSE
 » 
 » 

Sáng kiến kinh nghiệm: Sử dụng phương pháp véc tơ và tọa độ giải một số bài toán sơ cấp thường gặp

Chia sẻ: Ngô Minh Tuấn | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:19

Thêm vào BST
Báo xấu
182
lượt xem 30
download
 
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Dựa vào phương pháp tọa độ do chính phát minh Descartes đã sáng lập ra môn Hình học giải tích. Qua đó cho phép chúng ta nghiên cứu Hình học bằng ngôn ngữ đại số thay cho ngôn ngữ Hình học. Tham khảo sáng kiến kinh nghiệm "Sử dụng phương pháp véc tơ và tọa độ giải một số bài toán sơ cấp thường gặp" dưới đây để hiểu hơn về vấn đề này.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Sáng kiến kinh nghiệm: Sử dụng phương pháp véc tơ và tọa độ giải một số bài toán sơ cấp thường gặp

  1. Saùng kieán kinh nghieäm SAÙNG KIEÁN KINH NGHIEÄM SÖÛ DUÏNG PHÖÔNG PHAÙP VEÙCTÔ VAØ TOÏA ÑOÄ GIAÛI MOÄT SOÁ BAØI TOAÙN SÔ CAÁP THÖÔØNG GAËP  Giaùo Vieân: Ngoâ Minh Tuaán BÌNH XUYEÂN, THAÙNG 11 NAÊM 2010. A. ÑAËT VAÁN ÑEÀ: Döïa vaøo phöông phaùp toaï ñoä do chính mình phaùt minh Descartes ñaõ saùng laäp ra moân hình hoïc giaûi tích .Qua ñoù cho pheùp chuùng ta nghieân cöùu hình hoïc baèng ngoân ngöõ ñaïi soá thay cho ngoân ngöõ hình hoïc.Vieäc naøy giuùp ta boû ñi thoùi quen tö duy cuï theå, tröïc quan, nhaèm ñaït tôùi ñænh cao cuûa söï khaùi quaùt hoaù vaø tröøu töôïng cuûa toaùn hoïc vaø nhieàu lónh vöïc khaùc. Trong daïy vaø hoïc toaùn vieäc löïa choïn coâng cuï phuø hôïp ñeå giaûi caùc baøi toaùn laø vieäc laøm raát caàn thieát, choïn ñöôïc coâng cuï thích hôïp taát nhieân lôøi giaûi seõ toát nhaát. Sau ñaây toâi xin trình baøy vieäc söû duïng“phöông phaùp vectô vaø toaï ñoä” ñeå giaûi moät soá baøi toaùn sô caáp ô’ phoå thoâng. Trang 1
  2. Saùng kieán kinh nghieäm B. GIAÛI QUYEÁT VAÁN ÑEÀ PHAÀN I: LYÙ THUYEÁT I. HEÄ TRUÏC TOAÏ ÑOÄ DESCARTES VUOÂNG GOÙC TRONG MAËT PHAÚNG. 1. Ñònh nghóa: Trong maët phaúng cho hai ñöôøng thaúng x’ox, y’oy vuoâng goùc vôùi nhau.Treân Ox, Oy laàn löôït choïn caùc veùc tô ñôn vò e1 , e2 .Nhö vaäy ta coù moät heä truïc toaï ñoä Descartes vuoâng goùc Oxy. 2. Toaï ñoä cuûa moät ñieåm vaø cuûa moät veùc tô: Cho ñieåm M trong mp Oxy. Haï MH vuoâng goùc x’Ox vaø MK vuoâng goùc y’Oy. Theo qui taéc hình bình haønh, ta coù: OM  OH  OK  xe1  ye2 Boä hai (x, y) ñöôïc hoaøn toaøn xaùc ñònh bôûi ñieåm M vaø ñöôïc goïi laø toaï ñoä cuûa ñieåm M, kyù hieäu M(x, y). Cho a treân heä truïc. Khi ñoù toàn taïi duy nhaát moät ñieåm M sao cho OM  a . Goïi (x,y) laø toaï ñoä cuûa ñieåm M . Khi ñoù boä hai (x,y) goïi laø toaï ñoä cuûa veùc tô a treân heä truïc Oxy vaø kyù hieäu laø a = (x,y). 3. Caùc pheùp tính veùc tô : Cho hai veùc tô a  (a1 , a2 ) ; b  (b1 , b2 ) vaø k laø moät soá thöïc. Caùc pheùp tính veùc tô nhö pheùp coäng, pheùp tröø, pheùp nhaân moät soá vôùi moät veùctô, tích voâ höôùng hai veùc tô ñöôïc xaùc ñònh nhö sau: a  b  (a1  b1 , a2  b2 ) a  b  (a1  b1 , a2  b2 ) k .a  (ka1 , ka1 ) a.b  a1b1  a2b2 4. Caùc coâng thöùc veà löôïng : Cho hai veùc tô a  (a1; a2 ) ; b  (b1; b2 ) vaø goïi  laø goùc taïo bôûi hai veùctô ñoù a.b  a . b khi vaø chæ khi a vaø b laø hai veùctô cuøng höôùng a.b a1.b1  a2 .b2 cos    ab a1  a2 2 . b12  b2 2 2 Khoaûng caùch töø ñieåm M(x0, y0) ñeán ñöôøng thaúng (D):Ax +By +C = 0 laø : Axo  Byo  C d (M , D)  A2  B2 Trang 2
  3. Saùng kieán kinh nghieäm 5. Phöông trình cuûa ñöôøng thaúng, ñöôøng troøn . * Phöông trình cuûa ñöôøng thaúng (D) ñi qua ñieåm M(x0, y0) vaø nhaän veùctô n  ( A, B) laøm veùc tô phaùp tuyeán laø: A(x – x0) + B(y – y0) = 0 * Phöông trình ñöôøng troøn taâm I (a, b) baùn kính R laø: (x – a)2 + (y – b)2 = R 2 II.HEÄ TRUÏC TOAÏ ÑOÄ DESCARTES VUOÂNG GOÙC TRONG KHOÂNG GIAN. 1. Ñònh nghóa : Trong khoâng gian cho ba ñöôøng thaúng x’ox, y’oy, z’Oz vuoâng goùc vôùi nhau ñoâi moät. Treân Ox, Oy, Oz laàn löôït choïn caùc veùc tô ñôn vò e1 , e2 , e3 . Nhö vaäy ta coù moät heä truïc toaï ñoä Descartes vuoâng goùc Oxyz. 2. Toaï ñoä cuûa moät ñieåm vaø cuûa moät veùc tô. Cho ñieåm M trong kh oâng gian Oxyz. Haï MH vuoâng goùc x’Ox, MK vuoâng goùc y’Oy vaø ML vuoâng goùc z’Oz. Theo qui taéc hình hoäp, ta coù : OM  OH  OK  OL  xe1  ye2  ze3 Boä ba (x,y,z) ñöôïc hoaøn toaøn xaùc ñònh bôûi ñieåm M vaø ñöôïc goïi laø toaï ñoä cuûa ñieåm M, kyù hieäu M(x,y,z). Cho a . Khi ñoù toàn taïi duy nhaát moät ñieåm M sao cho OM  a . Goïi (x, y. z) laø toaï ñoä cuûa ñieåm M. Khi ñoù boä ba (x, y, z) goïi laø toaï ñoä cuûa veùc tô a treân heä truïc Oxyz vaø kyù hieäu laø a = (x,y,z). 3. Caùc pheùp tính veùc tô : Cho hai veùc tô a  (a1 , a2 , a3 ) ; b  (b1 , b2 , b3 ) vaø k laø moät soá thöïc. Caùc pheùp tính vectô nhö pheùp coäng, pheùp tröø, pheùp nhaân moät soá vôùi moät vectô, tích voâ höôùng, tích coù höôùng hai vectô ñöôïc xaùc ñònh nhö sau: a  b  (a1  b2 , a2  b2 ) a  b  (a1  b1 , a2  b2 ) k.a  (ka1 , ka1 ) a.b  a1b1  a2b2 a a a a aa  a.b   ( 2 3 , 3 1 , 1 2 )   b2 b3 b3 b1 b1 b2 4. Caùc coâng thöùc veà löôïng : Cho hai vectô a  (a1 , a2 , a3 ) ; b  (b1 , b2 , b3 ) vaø goïi  laø goùc taïo bôûi hai vectô ñoù a.b  a . b khi vaø ch æ khi a vaø b laø hai vectô cuøng höôùng Trang 3
  4. Saùng kieán kinh nghieäm a.b a1.b1  a2 .b2  a3.b3 cos    ab a12  a2 2  a32 . b12  b2 2  b32 Cho (D) laø ñöôøng thaúng ñi qua A vaø coù vectô chæ phöông a  (a1, a2 , a3 ) vaø ñieåm M. Giaû söû ta tính ñöôïc AM  (b1,b2 , b3 ) Khi ñoù khoaûng caùch töø ñieåm M ñeán ñöôøng thaúng (D) ñöôïc tính laø : 2 2 2 a2 a3 aa aa  3 1  1 2 b2 b3 b3 b1 b1 b2 d ( M , D)  a12  a22  a32 5. Phöông trình cuûa maët phaúng, ñöôøng thaúng vaø maët caàu. a. Phöông trình cuûa maët phaúng (P) ñi qua ñieåm M(x0,y0,z0) vaø coù caëp vectô chæ phöông a  (a1, a2 , a3 ) ; b  (b1 , b2 , b3 ) laø : a2 a3 a a aa ( x  x0 )  3 1 ( y  y0 )  1 2 ( z  z0 )  0 b2 b3 b3 b1 b1 b2 b. Phöông trình tham soá cuûa ñöôøng thaúng (D) ñi qua ñieåm M(x0,y0,z0) v aø nhaän vectô a  (a1 , a2 , a3 ) laøm vectô chæ phöông laø:  x  x0  a1t   y  y0  a2t (t laø tham soá) z  z  a t  0 3 c. Phöông trình maët caàu t aâm I (a, b,c) vaø coù baùn kính R laø : (x – a)2 + (y – b)2 + (z – c)2 = R 2 PHAÀN II : CAÙC BAØI TOAÙN I. CAÙC BAØI TOAÙN GIAÛI BAÈNG PPTÑ TRONG MAËT PHAÚNG: 1. CAÙC BAØI TOAÙN ÑAÏI SOÁ: Baøi 1: Cho 4 soá thöïc x1, x2, x3, x4. chöùng minh raèng (x12 +y12)(x22 +y22)  (x1 x2+ y1 y2)2 Giaûi: Treân maët phaúng toaï ñoä xeùt 2 vectô : a  ( x1, y1 ); b  ( x2 , y2 ) 2 2 a b  a.b  a b  (a.b)2 Ta coù vaäy (x12 +y12) (x22 +y22)  (x1 x2+ y1 y2)2 Trang 4
  5. Saùng kieán kinh nghieäm ñaúng thöùc xaõy ra  a // b  x1 y2  x2 y1 Baøi 2: Chöùng minh raèng neáu x, y, z > 0 thì x 2  xy  y 2  x 2  xz  z 2  y 2  yz  z 2 Giaûi Baát ñaúng thöùc caàn chöùng minh töông ñöông vôùi: y 3 2 z 3 2 y z 3 3 2 ( x  )2  ( y)  ( x  )2  ( z )  (  )2  ( y z ) (1) 2 2 2 2 2 2 2 2 y 3 3 3 y z Xeùt 3 ñieåm A( x  , z ) ; B(0, y  z ) ; C (  ,0) 2 2 2 2 2 2 (1)  AB + AC > BC Ta coù AB  AC  BC vôùi 3 ñieåm A, B, C baát kyø ôû ñaây  y 3  AB  ( x  , y)  2 2   AC  ( x  z ,  3 z )  2 2 Hai veùctô naøy khoâng theå ngöôïc höôùng (vì hoaønh ñoä cuøng aâm) do ñoù khoâng theå xaõy ra ñaúng thöùc AB + AC > BC. Vaäy baát ñaúng thöùc (1) ñöôïc chöùng minh. Baøi 3 Giaûi baát phöông trình: x  1  x  3  2( x  3) 2  2 x  2(1) Giaûi Ñieàu kieän x  1 Xeùt maët phaúng toaï ñoä Oxy caùc vectô: u  ( x  3, x  1)  v  (1,1)  u  ( x  3) 2  x  1    v  3  u.v  x  1  x  3  Suy ra baát phöông trình (1) töông ñöông u.v  u . v Trang 5
  6. Saùng kieán kinh nghieäm  u  v  x  3  x 1  x2  6 x  9  x 1  x  3  x 2  7 x  10  0  x  3  x  5     x  2 x  3   x5 Vaäy x=5 laø nghieäm duy nhaát. Baøi 4 Chöùng minh raèng: cos 4 x  1  sin 4 x  1  cos 2 x , x  R Giaûi Trong maët phaúng toaï ñoä Oxy, caùc vectô: a  (cos 2 x,1)   a  b  (cos 2 x,0) b  (sin 2 x ,1) Khi ñoù, töø a  b  a b  cos 4 x  1  sin 4 x  1  cos 2 x  (dpcm) Baøi 5 Tìm giaù trò nhoû nhaát cuûa haøm soá: y  f ( x)  cos 2 x  2cos x  5  cos 2 x  4cos x  8 Giaûi Trong maët phaúng toaï ñoä xeùt caùc veùctô: a  (1  cos x,2)  b  (2  cos x,2)  a  (1  cos x) 2  22  cos x 2  2cos x  5   Khi ñoù :  b  (2  cos x)  2  cos x  4cos x  8 2 2 2   a  b  32  42  5  Trang 6
  7. Saùng kieán kinh nghieäm töø a  b  ab y  5 2 Daáu “=” xaûy ra (chaúng haïn) taïi x  3 Vaäy miny=5 Baøi 6 : T ìm giaù trò nhoû nhaát cuûa bieåu thöùc y  x 2  2 px  2 p 2  x 2  2qx  2q 2 ( p  q) Gi aûi Ta c où y  ( x  p)2  p 2  ( x  q) 2  q 2 Treân mp toaï ñoä laáy hai ñieåm A(p, q) : B(q,q). Baøi toaùn trôû thaønh: Tìm M(x,0) thuoäc Ox sao cho (MA +MB) ñaït giaù trò nhoû nhaát. Xeùt hai tröôøng hôïp: - Neáu pq 0 thì A, B naèm cuøng phía ñoái vôùi O (ñoàng thôøi naèm cuøng phía ñoái vôùi Ox). Laáy A’ ñoái xöù ng vôùi A qua Ox ta coù A’(p, -p), ñoàng thôøi : MA  MB  MA ' MB  A ' B Ñaúng thöùc xaõy ra  A’, M, B thaúng haøng  x  p  k (q  p )  A' M  k A' B    p  k (q  p )  p k  p  q    x  2 pq  pq ymin  A ' B  ( p  q)2  ( p  q)2  2( p 2  q 2 ) ñaït ñöôïc khi x = 2pq/(p+q) Baøi 7 Giaûi phöông trình: x 2  2 x  2  4 x 2  12 x  25  9 x 2  12 x  29 Giaûi Trong maët phaúng toaï ñoä Oxy xeùt caùc vectô: u  ( x  1,1)   u  v  (3x  2,5) v  (2 x  3, 4) Trang 7
  8. Saùng kieán kinh nghieäm  u  x2  2 x  2     v  4 x 2  12 x  25   u  v  9 x 2  12 x  29  Suy ra phöông trình (1) töông ñöông: uv  u  v  u  kv(k  0)  x  1  k (2 x  3)  1  k .4  1 k  4   x  1  1 (2 x  3)  4  1 k   4 4 x  4  2 x  3  1 k  4  x  7  2 7 Vaäy phöông trình (1) coù nghieäm duy nhaát x  2 Baøi 8:Tìm m ñeå phöông trình sau coù nghieäm 3  x  6  x  (3  x)(6  x)  m Giaûi Ñaët u  3  x ; v  6  x Phöông trình ñaõ cho trôû thaønh u  v  uv  m u  v  1  10  2m (1)  2   2 u  v 2  9  u  v  9 2 (2) u  0, v  0 u  0, v  0 (3)    - Phöông trình (1) bieåu thò 1 ñöôøng thaúng thay ñoåi song song vôùi ñöôøng phaân giaùc thöù hai, phöông trình (2) bieåu dieãn 1 ñöôøng troøn coù taâm taïi goùc toaï ñoä vaø baùn kính = 3 Heä coù nghieäm khi vaø chæ khi ñöôøng thaúng (1) vaø ñöôøng troøn (2) coù ñieåm chung thoaû ñieàu kieän (3). Trang 8
  9. Saùng kieán kinh nghieäm 3  1  10  2m  3 2 Vaäy Pt coù nghieäm khi 6 2 9  m3 2 Baøi 9: Chöùng minh raèng: a 2  a  1  a 2  a  1  2, a  R (Höôùng daãn) Xeùt hai vectô   1 3  x   a  ,    2 2     1 3  y     a  ,    2 2  1  2cos2 x  1  2sin 2 x  m Baøi 10: Tìm giaù trò nhoû nhaát cuûa haøm soá : y  f ( x)  cos 2 x  6cos x  13  cos 2 x  2cos x  2 treân  2004 , 2006  (Höôùng daãn) Xeùt hai vectô a  (3  cos x, 2)  b  (1  cos x,1) 2. CAÙC BAØI TOAÙN HÌNH HOÏC : Baøi 1: Cho tam giaùc ABC vuoâng taïi A, caùc caïnh goùc vuoâng laø bvaø c, M laø moät ñieåm treân caïnh BC sao cho goùc BAM =  . Chöùng minh raèng: bc AM = c.cos  b sin  Giaûi Choïn heä truïc toaï ñoä nhö hình veõ Khi ñoù A(0,0) , B(b,0), C(0,c) , M9x,y) Töø ñònh nghóa: x = AM cos  , y = AM sin  . Neân M(AM cos  , AM sin  ) Do M thuoäc BC  CM cuøng phöông v ôùi CB AM cos  AM sin   0 b c  AM (c cos   b sin  )  bc bc  AM  c cos   b sin  Trang 9
  10. Saùng kieán kinh nghieäm Baøi 2: Cho tam giaùc ABC coù ñoä daøi caùc trung tuyeán va ñoä daøi baùn kính ñöôøng troøn ngoaïi tieáp laàn löôït laø ma, mb, mc, R 9R Chöùng minh: ma  mb  mc  2 (Ñaïi hoïc y döôïc TPHCM naêm2000) Giaûi Goïi O laø taâm ñöôøng troøn ngoaïi tieáp tam giac ABC.Ta coù: (OA  OB  OC ) 2  0  OA2  OB 2  OC 2  2(OA.OB  OB.OC  OC.OA)  0  3R 2  2 R 2 (cos 2 A  cos 2 B  cos 2C )  0  3  2(3  2sin 2 A  2sin 2 B  2sin 2 C )  0 9  sin 2 A  sin 2 B  sin 2 C  4 Do ñoù theo baát ñaúng thöùc Bunhiacopski: ma  mb  mc  3(ma2  mb2  mc2 ) 9 2  (a  b 2  c 2 ) 4  9(sin 2 A  sin 2 B  sin 2 C ).R 2 9 9  9. .R 2  .R 4 2 9  ma  mb  mc  R 2 Daáu”=” xaûy ra khi tam giaùc ABC ñeàu. Trang 10
  11. Saùng kieán kinh nghieäm Baøi 3: (SGK HH 10) Cho tam giaùc ABC caân taïi A. Goïi H laø trung ñieåm cuûa BC, D laø hình chieáu cuûa H treân AC , M laø trung ñieåm cuûa HD. Chöùng minh AM vuoâng goùc BD. Giaûi Choïn heä truïc toaï ñoä nhö hình veõ Khi ñoù: H(0,0), A(0,a), B(-c,0), D(x,y)  DH  AC ( x,  y )(c, a)  0   Ta coù :  AD cung phuong AC   x y  a  c a 0   a 2c  x  cx  ay  0 a2  c2     ax  cy  ac 2 y  c a   a2  c2 a 2c c2 a Vaäy D( 2 , ) , M laø trung ñieåm cuûa HD neân: a  c2 a2  c2 a 2c c2 a M( , ) 2(a 2  c 2 ) 2(a 2  c 2 ) 2a 2c  c3 c2 a a 2c -c2 a  2a3  BD. AM  ( 2 2 , 2 2 )( 2 2 , ) a  c a  c 2(a  c ) 2(a 2  c 2 ) 2a 4c 2  a 2c 4 -c4 a 2  2a 4c 2   0 2(a 2  c 2 ) 2(a 2  c 2 ) Vaäy BD Vuoâng goùc AM (ñpcm) Trang 11
  12. Saùng kieán kinh nghieäm Baøi 4 (Ñeà thi HSG toaøn quoác – Naêm 1979) Ñieåm M naèm treân ñöôøng troøn ngoaïi tieáp tam giaùc ñeàu ABC. Chöùng minh giaù trò cuûa MA4 + MB4 + MC4 khoâng phuï thuoäc vaøo vò trí cuûa M. Giaûi Goïi I,R laø taâm vaø baùn kính cuûa ñöôøng troøn (c) ngoaïi tieáp tam giaùc ñeàu ABC. Döïng heä truïc 3R R 3 3R  R 3 nhö hình veõ, ta coù A(0,0); B( , ); C ( , ); I ( R,0) 2 2 2 2 M ( x, y)  (C )  MI  R  MI 2  R 2  x 2  y 2  2Rx 2  3R 2 R 3 2 MA  MB MC  ( x  y )  ( x  )  ( y  4 4 4 2 2 2 )   2 2  Ta coù 2  3R R 3 2  ( x  )2  ( y  )  2 2   (2 Rx)2  (3R 2  Rx  R 3 y) 2  (3R 2  Rx  R 3 y) 2  6 R 2 x  6 R 2 y 2  18R 4  12 R 3 x  6 R 2 ( x 2  y 2 )  18R 4  12 R 3 x  6 R 2 2 Rx  18R 4 12 R 3 x  18R 4 Vaäy giaù trò MA4 + MB4 + MC4 khoâng phuï thuoäc vaøo vò trí M B aøi 5 (Ñ eà thi v oâ ñ òch Anh - n aêm 1981) Cho tam giaùc ABC caân taïi A. D laø trung ñieåm caïnh AB, I laø taâm ñöôøng troøn ngoaïi tieáp tam giaùc ABC, E laø troïng taâm cuûa tam giaùc ACD. Chöùng minh IE vuoâng goùc CD. Gi aûi Choïn heä truïc nhö hình veõ (O laø trung ñieåm cuûa BC) Khi ñoù : O(0,0); A(0,a); B(-c,0); C(c,0); D(-c/2, a/2); E(c/6,a/2),(a,c>0) Goïi I(x, y) Giaû thieát suy ra  DI  BA  c a ( x  , y  ).(c, a)  0   2 2 OI  BC ( x, y ).(2c, o)  0 x  0   a2  c2  y   2a a2  c2 V aäy I (0, ) 2a Trang 12
  13. Saùng kieán kinh nghieäm c c 2 3c a c 2 c 2  IE.DC  ( , )( ,  )    0 6 2a 2 2 4 4  IE  DC (dpcm) II. CAÙC BAØI TOAÙN GIAÛI BAÈNG PP TOAÏ ÑOÄ TRONG KHOÂNG GIAN . 1. CAÙC BAØI ÑAÏI SOÁ: Baøi 1:Giaûi heä phöông trình x  y  z 1  2 x  y  z 1 2 2  3 x  y  z 1 3 3 Giaûi Xeùt hai veùc tô u  ( x0 , y0 , z0 ) ; v  ( x0 2 , y0 2 , z0 2 ) trong ñoù u  ( x0 , y0 , z0 ) Laø nghieäm tuyø yù (neáu coù) cuûa heä ñaõ cho. Ta coù u.v  x03  y03  z03  1 Ngoaøi ra tính ñöôïc u  1 ; v  1  2( x02 y02  y02 z02  z02 x02  1 Vaäy u . v  1  u.v Do ñoù u.v  u . v  x0 y0  1  y z 1 Daáu baèng xaõy ra   0 0  z0 x0  1 x  y  z 1  0 0 0  x0  1  x0  0  x0  0    Töø ñoù suy ra  y0  0 ;  y0  1 ;  y0  0 z  0 z  0 z 1  0  0  0 Thöû laïi ta ñöôïc heä ñaõ cho coù 3 nghieäm (1,0,0) ; (0,1,0) : (0,0 ,1) Baøi 2 : Giaûi baát phöông trình: x  1  2 x  3  50  3x  12 Giaûi   x  1   3 3 50 Ñieàu kieän: x   x  2 2 3  50  x  3 Trang 13
  14. Saùng kieán kinh nghieäm Trong maët phaúng Oxy xeùt caùc vectô: u  (1,1,1)  v  ( x  1, 2 x  3, 50  3 x ) u  3     u  x  1  2 x  3  50  3 x  48  4. 3  u.v  x  1  2 x  3  50  3 x  Suy ra(1)  u.v  u . v Ñaúng thöùc naøy luoân ñuùng 3 50 Vaäy nghieäm baát phöông trình ñaõ cho laø x a2 2 3 Baøi 3  x  y  z 3 Giaûi heä:   x2  y 2  z 2 3(1)    x3  y3  z3 3  Giaûi Xeùt trong Khoâng gian Oxyz caùc vectô: u  ( x, y , z )  v  (1,1,1)  u  x2  y 2  z 2  3    u  3  u.v  x  y  z  3   u.v  u . v  u  v x y z    0 1 1 1  x  y  z 1 (Thoaû (1) Vaäy: x=y=z=1 laø nghieäm duy nhaát cuûa heä (1). Baøi 4 : Cho a, b laø hai soá thöïc tuyø yù. Chöùng minh raèng Trang 14
  15. Saùng kieán kinh nghieäm 1 (a  b)(1  ab) 1    2 (1  a 2 )(1  b2 ) 2 Giaûi Trong khoâng gian vôùi heä truïc toaï ñoä Ñeà - caùc vuoâng goùc Oxyz, ñaët u  (1, a,0)  v  (1, b,0)  1  ab cos(u, v)  1  a 2 1  b2    ab sin(u , v )   1  a 2 1  b2 2(1  ab)(a  b) ta coù sin 2(u, v)  2sin(u, v).cos(u, v)  1 (1  a 2 )(1  b2 ) 1 (a  b)(1  ab) 1    2 (1  a 2 )(1  b2 ) 2 2 CAÙC BAØI TOAÙN HÌNH HOÏC KHOÂNG GIAN Baøi 1 Cho tam dieän oxyz. A, B, C laàn löôït laø caùc ñieåm di ñoäng treân ox, oy, oz sao cho: 1 1 1 1    OA OB OC 2005 Chöùng minh raèng: (ABC)luoân luoân ñi qua moät ñieåm coá ñònh. Giaûi Choïn heä truïc toaï ñoä vuoâng goùc oxyz (nhö hình veõ ) Sao cho: A(a,0,0),B(0,b,0),C(0,0,c)(vôùi OA=a,OB=b,OC=c) Khi ñoù phöông trình maët phaúng (ABC) laø: Trang 15
  16. Saùng kieán kinh nghieäm x y z   1 a b c 1 1 1 1 Hôn nöõa:    (Do giaû thieát) a b c 2005  M (2005,2005,2005)  mp( ABC ) =>mp(ABC)luoân ñi qua ñieåm coá ñònh M(2005,2005,2005). Baøi 2:Cho hình hoäp chöõ nhaät ABCD.A’B’C’D’ vôùi AB = a, BC = b, AA’ = c. a/ Tính dieän tích cuûa tam giaùc ACD’ theo a, b, c b/ Giaû söû M vaø N laàn löôït laø trung ñieåm cuûa AB vaø BC. Haõy tính theå tích cuûa töù dieän D’DMN theo a, b, c. Giaûi a/ Ta laäp heä truïc toaï ñoä vuoâng goùc coù goác truøng vôùi ñænh A, caùc truïc coù phöông truøng vôùi AB ; AD ; AA ' Khi ñoù : A(0,0,0) , C(a,b,0) , D’(0,b,c). AC  (a, b,0); AD '  (0, b, c);[ AC , AD]  (bc, ca, ab) 1 S  [ AC , AD] ACD ' 2 1  b 2 c 2  c 2 a 2  a 2b 2 2 b/ Deã daøng tính ñöôïc 3ab S  DMN 8 1 abc V  S DD '  3 DMN 8 Baøi 3:Cho hai nöûa mp (P) vaø (Q) vuoâng goùc vôùi nhau theo giao tuyeán (d). Treân (d) laáy AB = a (a laø ñoä daøi cho tröôùc). Treân nöûa ñöôøng thaúng Ax vuoâng goùc vôùi (d) vaø ôû trong (Q) laáy ñieåm N a2 sao cho BN = . b2 a/ Tính khoaûng caùch töø A ñeán maët phaúng (BMN) theo a, b. b/ Tính MN theo a , b. Vôùi giaù trò naøo cuûa b thì MN coù ñoä daøi cöïc tieåu. Tính ñoä daøi cöïc tieåu ñoù. Giaûi a/ Choïn heä truïc toaï ñoä Oxyz sao cho A truøng vôùi goác toaï ñoä (A(0,0,0)): B coù toaï ñoä (0,a,0); a2 N coù toaï ñoä ( , a, 0 ). Ta coù b Trang 16
  17. Saùng kieán kinh nghieäm BM  (0, a, b) a2 BN  ( ,0,0) b b 0 a b a b [ BM , BN ]  ( , a 2 , a 2 )  (0, a 2 , a 2 ) 0 0 0 0 b b  a 2 (0,1, 1) Do ñoù mp(BMN) qua B(0,a,0) vaø coù VTPT laø v  (0,1, 1) Phöông trình cuûa maët phaúng naøy laø: (y – a).1 – (z – 0) = 0 hay y–z -a=0 Khoaûng caùch töø A(0,0,0,) ñeán maët phaúng ñoù laø : a a  11 2 a2 a4 b/ Ta coù MN  ( , a, b)  MN   a 2  b2 b b4 MN  a2  2a2 (baát ñaúng thöùc Coâsi) a4 a 3  2  b2  b  a MN coù ñoä daøi cöïc tieåu b MinMN  a 3 khi b  a Baøi 4: Cho moät goùc tam dieän ba maët vuoâng goùc Oxyz. Laáy laàn löôït treân Ox, Oy,Oz caùc ñieåm P, Q, R khaùc ñieåm O. Goïi A, B, C laàn löôït laø trung ñieåm cuûa PQ, QR, RP. Chöùng minh raèng neáu goùc nhò dieän caïnh OA cuûa töù` dieän OABC laø goùc nhò dieän vuoâng thì hai goùc B vaø C cuûa tam giaùc ABC thoaû heä thöùc tgB.tgC = 2. Giaûi Choïn heä truïc toaï ñoä Ñeà-Caùc vuoâng goùc Oxyz sao cho P(2a,0,0) ; Q(0,2b,0) ;R(0,0,2c). Khi ñoù: A(a,b,0) ; B(0,b,c) ; C(a,0,c) Phaùp veùc tô cuûa maët phaúng (OAB) vaø (OAC) laàn löôït laø: n1  (bc, ac, ab) n2  (bc, ac, ab) Goùc nhò dieän caïnh OA vuoâng khi vaø chæ khi: n1.n2  0  b2c 2  a 2c 2  a 2b2 Trong tam giaùc ABC ta coù: Trang 17
  18. Saùng kieán kinh nghieäm b 2 c 2  a 2 c 2  a 2b 2 tgB  a2 b 2 c 2  a 2 c 2  a 2b 2 tgC  b2 b2c 2  a 2c 2  a 2b 2 2a 2b 2 Vaäy tgB.tgC   2 2  2(dpcm) a 2b 2 ab Baøi 5: Cho tam giaùc vuoâng goc ôû A.tìm quyõ tích caùc ñieåm M trong khoâng gian thoaû maõn : MB 2  MC 2  MA2 Giaûi Choïn heä truïc toaï ñoä Ñeà caùc Oxyz sao cho A truøng O, B(b,0,.0),C(0,c,0) ( Vôùi AB =b>0,AC=c>0) Khi ñoù M(x, y, z) thoaû : MB 2  MC 2  MA2  ( x  b) 2  y 2  z 2  ( y  c ) 2  z 2  x 2  y 2  z 2  ( x  b) 2  ( y  c ) 2  z 2  0 x  b   y  c z  0   M (b, c, 0) Vaäy quyõ tích caàn tìm chæ coù moät ñieåm duy nhaát M(b,c,0) Trang 18
  19. Saùng kieán kinh nghieäm C. KEÁT LUAÄN Treân ñaây laø moät soá baøi toaùn ñaïi soá vaø hình hoïc trong maët phaúng cuõng nhö trong khoâng gian. Neáu kheùo leùo choïn heä truïc toaï ñoä phuø hôïp, vaän duïng phöông phaùp vectô vaø toaï ñoä thì coù theå chuyeån thaønh baøi toaùn ñaïi soá hoaëc giaûi tích vaø tìm ra lôøi giaûi ngaén goïn, phaàn naøo laøm saùng toû vaán ñeà maø toâi ñöa ra. Trong quaù trình vieát, do thôøi gian vaø kinh nghieäm giaûng daïy coù haïn neân chaéc khoâng traùnh khoûi nhieàu thieáu soùt, mong caùc thaày coâ goùp yù. Toâi xin chaân thaønh caûm ôn. Bình Xuyeân, thaùng 11 naêm 2010 Ngöôøi vieát Ngô Minh Tuấn. Trang 19
ADSENSE

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

THÔNG TIN
TRỢ GIÚP
HỖ TRỢ KHÁCH HÀNG
Theo dõi chúng tôi

Chịu trách nhiệm nội dung:

Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA

LIÊN HỆ

Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM

Hotline: 093 303 0098

Email: support@tailieu.vn

Giấy phép Mạng Xã Hội số: 670/GP-BTTTT cấp ngày 30/11/2015 Copyright © 2022-2032 TaiLieu.VN. All rights reserved.

 

Đồng bộ tài khoản
2=>2