Sáng kiến kinh nghiệm: Sử dụng phương pháp tọa độ để tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HÀ NAM<br /> TRƯỜNG THPT NGUYỄN HỮU TIẾN<br /> <br /> s¸ng kiÕn kinh nghiÖm<br /> ĐỀ TÀI: SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, NHỎ NHẤT<br /> <br /> Người thực hiện: Trần Mạnh Hân Tổ chuyên môn : Toán - Tin<br /> <br /> NĂM HỌC 2013- 2014<br /> <br /> www.MATHVN.com - Toán học Việt Nam<br /> ThS. Trần Mạnh Hân (0974514498) FB: thayHanSP1<br /> <br /> PHẦN 1: MỞ ĐẦU<br /> 1. Lí do chọn đề tài Trong giảng dạy môn toán, ngoài việc giúp học sinh nắm chắc chắn kiến thức cơ bản thì việc phát huy tính tích cực của học sinh, biết lựa chọn các phương pháp đã học vào giải các bài toán là điều rất cần thiết. Bài toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số là các dạng toán phổ biến và quan trọng trong chương trình phổ thông, thường gặp trong các đề tuyển sinh đại học – cao đẳng và còn là một chuyên đề hay gặp trong các đề thi chọn học sinh giỏi ở phổ thông. Các bài giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số rất đa dạng và phong phú. Cả lý luận và thực tiễn dạy học đều chứng tỏ chúng rất có hiệu quả trong việc phát triển tư duy cho học sinh. Có nhiều phương pháp tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số, việc vận dụng nhìn chung phụ thuộc rất nhiều vào đặc thù bài toán. Đứng trước bài toán này, học sinh phổ thông thường lúng túng về phương pháp giải, nên sử dụng phương pháp hàm số, bất đẳng thức Côsi hay sử dụng Bunhiacopski…Vì vậy việc lựa chọn phương pháp giải toán với bài toán này rất quan trọng. Trong bài viết này tôi tập trung vào vấn đề: “SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, NHỎ NHẤT” Việc lựa chọn công cụ hình học vào giải quyết các bài toán về đại số là một cách nhìn khá mới mẻ. Nội dung chính của phương pháp là nhìn một bài toán đại số theo quan điểm hình học, khi giải quyết bài toán này đỏi hỏi chúng ta phải tọa độ hóa bài toán đại số. Như vậy, việc chọn hệ trục tọa độ như thế nào là rất quan trọng. Việc chọn hệ trục tọa độ hợp lý sẽ giúp cho việc giải quyết bài toán là nhanh gọn, trong sáng. 2. Mục đích nghiên cứu Xây dựng một hệ thống bài tập theo độ khó tăng dần nhằm cung cấp cho học sinh cách ứng dụng phương pháp tọa độ để tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất. 3. Phương pháp nghiên cứu - Nghiên cứu lí luận: Nghiên cứu sách giáo khoa, sách tham khảo, các tài liệu liên quan khác,… - Phương pháp quan sát: Quan sát quá trình dạy và học tại trường THPT Nguyễn Hữu Tiến. - Thực nghiệm sư phạm: Tổ chức một số tiết dạy thực nghiệm, cho kiểm tra thử với lớp đối chứng. 4. Cấu trúc sáng kiến kinh nghiệm - Mục lục - Mở đầu - Nội dung - Thực nghiệm sư phạm - Tài liệu tham khảo<br /> Trường THPT Nguyễn Hữu Tiến - Duy Tiên - Hà Nam<br /> <br /> DeThiThuDaiHoc.com 1<br /> <br /> www.MATHVN.com - Toán học Việt Nam<br /> ThS. Trần Mạnh Hân (0974514498) FB: thayHanSP1<br /> <br /> PHẦN 2: NỘI DUNG<br /> I. CƠ Sở LÍ THUYếT<br /> 1. Hệ trục tọa độ Đề-các vuông góc trong mặt phẳng a) Định nghĩa: Trong mặt phẳng cho hai đường thẳng x ' Ox, y 'Oy vuông góc với nhau. Trên Ox,Oy lần lượt   chọn các véc tơ đơn vị i , j . Như vậy ta có một hệ trục toạ độ Đề-các vuông góc Oxy . b) Toạ độ của một điểm và của một véc tơ<br />   - Cho điểm M tùy ý trong mặt phẳng (Oxy ) . Vì hai véctơ i , j không đồng phẳng nên có một    bộ số (x ; y ) duy nhất sao cho: OM  xi  yj . Bộ hai số (x ; y ) được hoàn toàn xác định bởi điểm M và được gọi là toạ độ của điểm M , ký hiệu M (x ; y ) .    - Cho a trong mặt phẳng Oxy . Khi đó tồn tại duy nhất một điểm M sao cho OM  a . Gọi  (x ; y ) là toạ độ của điểm M . Khi đó bộ hai số (x ; y ) gọi là toạ độ của véc tơ a trên hệ trục Oxy  và ký hiệu là a  (x ; y ) .<br /> <br /> c) Các phép tính véc tơ   Cho hai véctơ a  (a1; a2 ),b  (b1;b2 ) và k là một số thực. Các phép tính véctơ như phép cộng, phép trừ, phép nhân véctơ với một số, tích vô hướng hai véctơ được xác định như sau:   a  b  (a1  b1; a2  b2 )  ka  (ka1; ka2 )  a .b  a1b1  a2b2 . d) Các công thức về độ dài, góc, khoảng cách:   Cho hai véctơ a  (a1; a2 ),b  (b1;b2 ) và gọi  là góc tạo bởi hai véctơ đó.<br />  2 2 i) Độ dài véctơ: a  a1  a 2<br /> <br />   ii) Khoảng cách giữa hai điểm A(x A ; yA ), B(x B ; yB ) : AB  AB  (x B  x A )2  (yB  yA )2 .<br />  a1a2  b1b2 a .b iii) Góc giữa hai véctơ: cos      . 2 2 a .b a1  a2 . b12  b22<br /> <br /> e) Phương trình đường thẳng<br /> <br />  - Phương trình của đường thẳng d đi qua điểm M (x 0 ; y 0 ) và nhận véctơ n  (a;b) làm véctơ<br /> pháp tuyến là: a(x  x 0 )  b(y  y 0 )  0 . - Khoảng cách từ điểm M (x 0 ; y 0 ) đến đường thẳng d : ax  by  c  0 là:<br /> d (M ;d )  ax 0  by 0  c a 2  b2<br /> <br /> Trường THPT Nguyễn Hữu Tiến - Duy Tiên - Hà Nam<br /> <br /> DeThiThuDaiHoc.com 2<br /> <br /> www.MATHVN.com - Toán học Việt Nam<br /> ThS. Trần Mạnh Hân (0974514498) f) Phương trình đường tròn Phương trình đường tròn tâm I (a;b) , bán kính R là: (x  a )2  (y  b)2  R 2 . FB: thayHanSP1<br /> <br /> 2. Một số bất đẳng trong hình học a) Bất đẳng thức véctơ i) a  b  a  b  a  b<br />      <br /> <br />       - Dấu “=” bên trái xảy ra khi a , b ngược hướng hoặc a  0 hoặc b  0 .       - Dấu “=” bên phải xảy ra khi a , b cùng hướng hoặc a  0 hoặc b  0 .<br /> <br /> ii)  a . b  a .b  a . b<br /> <br />  <br /> <br /> <br /> <br />  <br /> <br />       - Dấu “=” bên trái xảy ra khi a , b ngược hướng hoặc a  0 hoặc b  0 .       - Dấu “=” bên phải xảy ra khi a , b cùng hướng hoặc a  0 hoặc b  0 .<br /> <br /> b) Bất đẳng thức tam giác: Với ba điểm A, B,C bất kì ta luôn có AB  BC  AC . Dấu “=” xảy ra khi A, B,C theo thứ tự đó thẳng hàng. Tổng quát: Trong tất cả các đường gấp khúc nối 2 điểm A, B cho trước thì đoạn thẳng AB có độ dài nhỏ nhất. c) Cho điểm M nằm ngoài đường thẳng d . Khi đó độ dài đoạn thẳng MH (với H  d ) ngắn nhất khi H là hình chiếu vuông góc của M trên đường thẳng d . II. BÀI TậP Phương pháp: + Biến đổi hàm số cần tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất về dạng tọa độ để xác định véctơ, các điểm, các đường có tọa độ từ điều kiện và biểu thức ban đầu. + Chuyển bài toán từ dạng đại số về dạng hình học tọa độ, giải bài toán bằng phương pháp hình học từ đó suy ra kết quả dạng đại số. Bài 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số:<br /> f (x )  x 2  x  1  x 2  3x  1 với x   .<br /> <br /> Giải: Viết lại hàm số dưới dạng:<br /> 2    2     x  1    3   x  3    1           f (x )               2  2  2  2     2 2<br /> <br /> Hàm số xác định trên  . Xét trên hệ trục tọa độ Oxy . Cách 1:<br /> Trường THPT Nguyễn Hữu Tiến - Duy Tiên - Hà Nam<br /> <br /> DeThiThuDaiHoc.com 3<br /> <br /> www.MATHVN.com - Toán học Việt Nam<br /> ThS. Trần Mạnh Hân (0974514498) FB: thayHanSP1<br /> 2 2  3 1 1 1 3    3 1      3         2 ;   u v   Chọn u  x  ; ; v  x                     2 2 2 2  2 2 2 2           <br /> <br /> Khi đó f (x )  u  v  u  v  2<br /> k  3       Dấu bằng xảy ra khi các véctơ u, v  u  kv (k  0)   <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br />  x  3  1  <br /> <br /> .<br /> <br /> Vậy min f (x )  2 khi x  3  1 . Cách 2: Gọi A  ;  B  ;  ,C (x, 0)        2 2   2 2   <br /> 2 2         x  1    3  và BC  x  3    1        AC        2       2  2  2           2 2<br /> <br /> 1 <br /> <br /> 3 <br /> <br />  3 <br /> <br /> 1 <br /> <br /> Nên ta có: f (x )  AC  BC . Theo bất đẳng thức tam giác ta có:<br />     3  3 1  1   2. AC  BC  AB              2   2 2  2      <br /> 2 2<br /> <br /> Nên f (x )  2, x   . Vậy min f (x )  2 khi C là giao điểm của AB và trục Ox , từ đó x  3  1 . Bình luận: - Nếu như áp dụng phương pháp hàm số thì việc xét sự biến thiên sẽ gặp khó khăn vì để tìm nghiệm của phương trình f '(x )  0 dẫn tới việc giải phương trình bậc 4. - Về cách chọn điểm hoặc chọn vectơ trong bài 1:     + Cách 1: Việc chọn vectơ u, v cần phải khéo léo để sao cho u  v là một hằng số đồng thời dấu “=” phải xảy ra.<br /> 1 3   3 1     A  ; , B  ;   mà không + Cách 2: Câu hỏi đặt ra là tại sao lại chọn cặp điểm    2 2   2 2       <br /> <br /> phải cặp điểm khác, mặc dù các biểu thức tính khoảng cách AB, BC không đổi, ta có thể chọn A ; , B  ;  thì vẫn thu được f (x )  AC  BC . Lúc này A và B nằm cùng       2 2   2 2     phía so với trục Ox . Khi đó để tìm giá trị nhỏ nhất của AC  BC bài toán sẽ dài hơn<br /> 1  3   3 1  <br /> <br /> Trường THPT Nguyễn Hữu Tiến - Duy Tiên - Hà Nam<br /> <br /> DeThiThuDaiHoc.com 4<br /> <br />