intTypePromotion=1
zunia.vn Tuyển sinh 2024 dành cho Gen-Z zunia.vn zunia.vn
ADSENSE
 » 
 » 

Sáng kiến kinh nghiệm THCS: Một số giải pháp về giải phương trình vô tỉ dành cho học sinh giỏi lớp 9 trường THCS Lê Đình Chinh

Chia sẻ: Dung Hoang | Ngày: | Loại File: DOC | Số trang:30

Thêm vào BST
Báo xấu
40
lượt xem 3
download
 
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Thông qua đề tài này nhằm cung cấp những kiến thức cần thiết về phương pháp giải toán, những kinh nghiệm cụ thể trong quá trình tìm tòi lời giải giúp học sinh rèn luyện các thao tác tư duy lô-gic, phương pháp suy luận và khả năng sáng tạo cho học sinh. Trong đề tài lời giải được chọn lọc với cách giải hợp lí, chặt chẽ, dễ hiểu đảm bảo tính chính xác, tính sư phạm. Học sinh tự đọc có thể giải được nhiều dạng Toán, giúp học sinh có những kiến thức toán học phong phú để học tốt môn Toán và qua đó hỗ trợ học sinh học tốt các môn học khác.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Sáng kiến kinh nghiệm THCS: Một số giải pháp về giải phương trình vô tỉ dành cho học sinh giỏi lớp 9 trường THCS Lê Đình Chinh

  1. Một số giải pháp về giải phương trình vô tỉ dành  cho học sinh giỏi lớp 9 trường THCS Lê Đình  Chinh  PHẦN I. MỞ ĐẦU I. Đặt vấn đề 1. Lí do lí luận Albert Einstein đã nói: “Toán học thuần túy, theo cách riêng của nó, là thi ca   của tư duy logic”. Do vậy, có rất nhiều những thắc mắc xoay quanh việc học nhiều   toán liệu có phi thực tế trong khi đời sống không cần suy nghĩ quá nhiều đến những   con số? Tuy nhiên, thực tế chứng minh rằng, mọi kiến thức liên quan đến toán học,  đều có tác dụng chung là làm cho bộ não của con người tư duy logic hơn, khoa học   hơn và sáng tạo hơn, nó giúp cho người học có khả  năng suy nghĩ trừu tượng và   trong một chừng mực nhất định nào đó nó làm cho chúng ta mạnh mẽ hơn trong mọi   quyết định.  Chính vì điều này, bản thân tôi là một giáo viên vốn luôn tâm đắc trong việc   định hướng các em học tốt môn Toán, luôn tìm tòi đổi mới để  giúp các em ngày   càng hoàn thiện hơn các kiến thức toán học. Mặc dù chương trình sách giáo khoa  hiện hành đã được chọn lọc những kiến thức rất cơ  bản, phù hợp cho mọi đối   tượng. Tuy nhiên, không phải bất cứ  dạng toán nào các em cũng có thể  nắm bắt   được, trong số  đó có dạng toán phương trình vô tỉ, một dạng toán phổ  biến trong   các đề thi học sinh giỏi văn hóa các cấp, đề thi vào lớp 10 và thi giải toán trên máy  tính cầm tay Casio.  2. Lí do thực tiễn Để làm tốt việc bồi dưỡng học sinh học Toán, tôi nhận thấy chỉ cung cấp cho  các em một số kiến thức cơ bản thông qua việc làm bài tập hoặc làm nhiều bài tập  khó mà giáo viên phân loại cấp độ từ dễ đến khó là chưa đủ, mà chúng ta phải biết  phân chia theo từng kiểu loại bài tập và định hướng phương pháp giải cho từng  dạng, đồng thời rèn luyện cho học sinh có thói quen suy nghĩ tìm tòi lời giải của   một bài toán trên cơ sở các kiến thức đã học.  Qua nhiều năm thực tế giảng dạy và bồi dưỡng học sinh giỏi khối 9, tôi nhận  thấy học sinh còn lúng túng rất nhiều khi gặp  dạng phương trình vô tỉ và thường có  những sai sót khi giải dạng bài tập này, học sinh còn vướng mắc về  phương pháp  giải, quá trình giải thiếu logic và chưa chặt chẽ, chưa đủ  điều kiện, chưa xét hết  các trường hợp xảy ra. Lí do là học sinh chưa nắm vững các kiến thức về phương   trình có chứa biến dưới dấu căn hay gọi là phương trình vô tỉ. Nên khi gặp bài toán  giải phương trình vô tỉ,  đa  số  học sinh chưa  phân biệt và chưa  nắm  được các  phương pháp giải đối với từng dạng bài tập, có nhiều bài toán đòi hỏi học sinh phải   biết  vận  dụng  kết hợp nhiều  kiến  thức   và   kĩ năng  phân  tích  biến  đổi để   đưa   phương trình từ dạng phức tạp về dạng đơn giản.  Do đó người giáo viên cần phải biết sắp xếp các dạng toán từ  dễ  đến khó,   phân loại được các dạng bài tập và định hướng phương pháp giải cho từng dạng để  các em có thể vận dụng linh hoạt trong từng tình huống cụ thể, giúp học sinh hiểu   sâu sắc bản chất của từng dạng toán và giải được các dạng bài toán một cách thành  thạo. Từ đó rèn luyện cho học sinh kĩ năng giải toán và tư duy sáng tạo. Trang  1
  2. Một số giải pháp về giải phương trình vô tỉ dành  cho học sinh giỏi lớp 9 trường THCS Lê Đình  Chinh  Với những lý do trên, tôi chọn đề tài: “Một số giải pháp về giải phương trình   vô tỉ  dành cho học sinh giỏi lớp 9 trường THCS Lê Đình Chinh”  với mong muốn  được chia sẻ một vài kinh nghiệm của mình trong công tác giảng dạy cũng như  bồi  dưỡng học sinh giỏi để  các đồng nghiệp tham khảo, rất mong nhận được sự  góp ý   chân thành của các đồng chí để đề tài được phát huy hiệu quả, hoàn thiện hơn. II. Mục đích nghiên cứu  Đề  tài: “Một số  giải pháp về  giải phương trình vô tỉ dành cho học sinh giỏi   lớp 9 trường THCS Lê Đình Chinh” giúp học sinh hiểu sâu sắc hơn bản chất của  từng dạng bài toán  và nắm vững phương pháp giải của từng dạng, giúp cho học  sinh biết phân loại và vận dụng phương pháp giải một cách linh hoạt và có hiệu   quả. Qua đó giúp học sinh phát huy được tính tích cực và tinh thần sáng tạo trong  học tập, phát triển năng lực tư  duy toán học cho học sinh, tạo động lực thúc đẩy   giúp các em học sinh có được sự  tự  tin trong học tập, hình thành phẩm chất sáng  tạo khi giải toán và niềm đam mê, yêu thích bộ  môn. Thông qua đề  tài này nhằm  cung cấp những kiến thức cần thiết về phương pháp giải toán, những kinh nghiệm   cụ thể trong quá trình tìm tòi lời giải giúp học sinh rèn luyện các thao tác tư duy lô­ gic, phương pháp suy luận và khả năng sáng tạo cho học sinh. Trong đề tài lời giải  được chọn lọc với cách giải hợp lí, chặt chẽ, dễ hiểu đảm bảo tính chính xác, tính   sư  phạm. Học sinh tự  đọc có thể  giải được nhiều dạng Toán, giúp học sinh có  những kiến thức toán học phong phú để học tốt môn Toán và qua đó h ỗ trợ học sinh  học tốt các môn học khác. PHẦN II. GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ I. Cơ sở lí luận của vấn đề  Dạng toán phương trình vô tỉ là dạng toán rất quan trọng trong chương đại  số 9, đây là những bài toán khó, thường xuất hiện trong các đề thi học sinh giỏi, thi   vào lớp 10... Các bài toán này rất phong phú về thể loại và về cách giải, đòi hỏi học  sinh phải vận dụng nhiều kiến thức, linh hoạt trong biến đổi, sắc sảo trong lập   luận và phát huy tối đa khả  năng phán đoán. Với mục đích nhằm nâng cao chất  lượng dạy và học Toán, tôi thiết nghĩ cần phải trang bị cho học sinh phương pháp   giải cho từng kiểu loại bài tập. Để  thực hiện tốt điều này, đòi hỏi giáo viên cần   xây dựng cho học sinh những kĩ năng như  quan sát, phân tích, nhận dạng bài toán,  lựa chọn phương pháp giải phù hợp. Từ đó, hình thành cho học sinh tư duy tích cực,   độc lập, kích thích tò mò ham tìm hiểu và đem lại niềm vui cho các em, đồng thời   khơi dậy cho các em sự tự tin trong học tập và niềm đam mê bộ môn.  II. Thực trạng vấn đề:  Trong những năm qua, tôi đã trực tiếp tham gia giảng dạy c ũng như  bồi  dưỡng   đội   tuyển   học   sinh   giỏi   9   của   trường   THCS   Lê   Đình   Chinh   và   đã   trải   nghiệm rất nhiều chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi, trong đó có chuyên đề  “Một   số giải pháp giải phương trình vô tỉ” và tôi cũng đạt được các thành tích trong công  tác giảng dạy cũng như bồi dưỡng học sinh giỏi.  Tuy nhiên, khi áp dụng chuyên đề trên còn nặng về phương pháp liệt kê các   bài toán, chưa phát huy được hiệu quả  học tập và kết quả  được thống kê lại như  sau: Trang  2
  3. Một số giải pháp về giải phương trình vô tỉ dành  cho học sinh giỏi lớp 9 trường THCS Lê Đình  Chinh  Năm  Lớp Tổng  Số lượng học  Số lượng học sinh  Số lượng học  học số sinh làm được làm chưa chặt chẽ sinh không làm  được SL Tỷ lệ SL Tỷ lệ SL Tỷ lệ 2015  9A1 30 5 16% 11 37% 14 47% ­ 2016 9A2 31 4 12% 13 42% 15 46% Qua bảng thống kê trên tôi suy nghĩ tìm cách để  học sinh nắm vững và giải  thành thạo các bài toán về phương trình vô tỉ thì giáo viên nên phân loại theo dạng  bài tập  từ  dễ  đến khó, mỗi loại bài tập phân theo từng dạng khác nhau, qua mỗi   dạng cần có ví dụ minh chứng và xây dựng phương pháp giải chung cho từng dạng.  Với những ý tưởng đó tôi đã thể hiện trong đề tài nghiên cứu “Một số giải pháp về   giải phương trình vô tỉ giành cho học sinh giỏi lớp 9 trường THCS Lê Đình Chinh” .  Sau khi đưa ra tập thể tổ chuyên môn thảo luận và áp dụng vào thực tiễn tôi nhận  thấy học sinh hứng thú, chủ động hơn trong học tập và khi gặp dạng toán phương   trình vô tỉ  thì học sinh không chán nản mà  đam mê  phân tích nhận dạng tìm  cách  giải bài toán, từ đó ngày càng rèn luyện được cho học sinh kĩ năng giải toán có khoa   học, lập luận logic và chặt chẽ.  III. Các giải pháp đã tiến hành để giải quyết vấn đề Giải pháp 1: Phân tích cho học sinh hiểu về các kiến thức cơ  bản cần nắm   vững. Giải pháp 2: Hướng dẫn cho học sinh hiểu các dạng bài tập sử  dụng cách  giải phương trình vô tỉ bằng phương pháp nâng lên lũy thừa Giải pháp 3: Hướng dẫn cho học sinh hiểu các dạng bài tập giải phương  trình vô tỉ bằng phương pháp đặt ẩn phụ Vận dụng các giải pháp trên, tôi tiến hành cụ thể các bước như sau: 1. Giải pháp 1. Phân tích cho học sinh hiểu về các kiến thức cơ bản cần  nắm vững. Các kiến thức cơ  bản tổng hợp thành bảng sau, yêu cầu học sinh cần nắm  vững, cụ thể: A (A 0) A A B = (B > 0)   B B A2 = A AB = A B(A 0; B 0)     C = C A mB (A ( ) 0; A B2 ) A B A − B2 A A B = B (A ; B > 0) C = C ( Am B ) (A 0;B 0;A B) A B A−B A 2 B = A B = (B 0) Trang  3
  4. Một số giải pháp về giải phương trình vô tỉ dành  cho học sinh giỏi lớp 9 trường THCS Lê Đình  Chinh  A B = A 2 B(A 0; B 0) 3 A (∀A R) ( A) 3 A B = − A 2 B(A < 0; B 0) 3 =A A AB 3 AB = 3 A. 3 B = (AB 0; B 0) B B A 3A 3 = (B 0) B 3B Các kiến thức về  giá trị  tuyệt đối, hằng đẳng thức, phân tích đa thức thành  nhân tử, chia đa thức cho đa thức, giải phương trình, bất trương bậc nhất một  ẩn,   bất đẳng thức Cauchy... ̣ Bên canh nh ưng yêu câu trên, hoc sinh c ̃ ̀ ̣ ần nhân biêt đ ̣ ́ ược những dang c ̣ ơ ban ̉   ̉ cua ph ương trinh vô t ̀ ỉ, đông th ̀ ơi n ̀ ắm vững phương phap giai cu thê cho t ́ ̉ ̣ ̉ ưng dang ̀ ̣   ̀ ập, cụ thể như sau: bai t 2. Giải pháp 2. Giải phương trình vô tỉ  bằng phương pháp nâng lên lũy  thừa 2.1. Dạng 1: Phương trình vô tỉ có dạng:  f (x) = m  (1) Trong đó f(x) là biểu thức chứa x và m R . a) Phân tích:  Ở  dạng này yêu cầu học sinh cần nắm rõ vế  trái là một biểu   thức không âm. Nếu m 
  5. Một số giải pháp về giải phương trình vô tỉ dành  cho học sinh giỏi lớp 9 trường THCS Lê Đình  Chinh  ( x − 3) 2 Ví dụ 2. Giải phương trình:  = 9  Phân tích: Phương trình đã cho phải là phương trình dạng 1 chưa? Nêu cách  giải. Giải ( ) 2 ( x − 3) = 9   � ( x − 3) = 92 � ( x − 3) = 81 2 2 2 Ta có:  � x 2 − 6x + 9 = 81 � x 2 − 6x ­ 72 = 0 � x 2 − 12x + 6x − 72 = 0 � ( x 2 − 12x ) + ( 6x − 72 ) = 0 � x(x − 12) + 6(x − 12) = 0 x − 12 = 0 x = 12 � (x − 12)(x + 6) = 0 x+6 =0 x = −6 Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là: S =  { −6;12} Giáo viên? Ngoài cách giải trên còn cách giải nào khác không? (Bỏ  dấu căn   bậc hai theo kiến thức  A 2 = A  rồi giải phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối đa   học) x −3= 9 x = 12 ( x − 3) = 9 � x −3 = 9 2 Cách 2. Ta có:  x − 3 = −9 x = −6 Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là: S =  { −6;12} Nhận xét: Giáo viên cho học sinh nhận xét về hai cách giải trên? Khi nào thì  phương trình dạng  f (x) = m giải được theo cách 2? Từ đó chọn cách giải phù hợp   cho từng bài toán. (Cách 2 giải đơn giản hơn cách 1, để bài toán giải được theo cách   2 thì biểu thức dưới dấu căn viết được dưới dạng bình phương của một biểu thức   nếu không thì giải theo cách 1) Ví dụ 3: Giải phương trình  4x 2 − 4x + 1 − 6 = 0   Phân tích: Phương trình đã cho có thể đưa về dạng của phương trình ví dụ 2 trang  5   được   không?   (Học   sinh   nêu   cách   biến   đổi   phương   trình   đã   cho   về   dạng   ( 2x − 1) 2 = 6) Giải ( 2x − 1) = 6 � 2x − 1 = 6 2 Ta có:  4x 2 − 4x + 1 − 6 = 0 � 7 x= 2x − 1 = 6 2x = 7 2 2x − 1 = −6 2x = −5 −5 x= 2 �−5 7 � Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là: S =  � ; � �2 2 Trang  5
  6. Một số giải pháp về giải phương trình vô tỉ dành  cho học sinh giỏi lớp 9 trường THCS Lê Đình  Chinh  Ví dụ 4:  3 x 2 + 4x + 4 − 11 = 10   Phân tích: Đặt câu hỏi gợi mở như ví dụ 3 (Học sinh biến đổi phương trình đã cho   ( x + 2) 2 về dạng  =7) Giải  Ta có:  3 x 2 + 4x + 4 − 11 = 10   � 3 ( x + 2 ) 2 = 21 � ( x + 2) 2 =7 x+2=7 x =5 � x+2 =7 x + 2 = −7 x = −9 Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là: S = {­9; 5} d) Nhận xét: Khi học xong dạng này thì tất cả các bài dạng này học sinh đều  giải được, đây là dạng cơ bản để học sinh làm nền cho các dạng tiếp theo  e) Các bài tập tương tự: Câu 1.  2x − 5 = 7 Câu 3.  9x 2 − 12x + 4 = 4 ( x − 5) Câu 4.  25 − 3 x 2 − 12x + 36 = 19 2 Câu 2.  =4 2.2. Dạng 2. Phương trình vô tỉ có dạng:  f (x) = g(x)  (2) Trong đó f(x), g(x) là biểu thức chứa x. a) Phân tích:  Ở  dạng này yêu cầu học sinh  nhận thấy  vế  trái là một biểu  thức không âm. Nếu g(x) 
  7. Một số giải pháp về giải phương trình vô tỉ dành  cho học sinh giỏi lớp 9 trường THCS Lê Đình  Chinh  Điều kiện: 3 ­ x  0  x  3  ( ) 2 ( x − 3) ( x − 3) = ( 3 − x ) � ( x − 3) = ( 3 − x ) 2 2 2 2 2 Ta có:  = 3− x � x −3 = 3− x 2x = 6 x =3 x − 3 = −(3 − x) = x − 3 0x = 0 ∀x R Kết luận: So với điều kiện, tập nghiệm của phương trình: S = {x R/x 3} Giáo viên? Ngoài cách giải trên còn cách giải nào khác không? (Bỏ  dấu căn   theo kiến thức  A 2 = A ) Cách 2. Điều kiện: 3 ­ x  0  x  3  x −3 = 3− x 2x = 6 x =3 ( x − 3) = 3− x � x −3 = 3− x 2 Ta có:  x − 3 = −(3 − x) 0x = 0 ∀x R Kết luận: So với điều kiện, tập nghiệm của phương trình: S = {x R/x 3} Nhận xét: Giáo viên cho học sinh nhận xét về hai cách giải trên? Khi nào thì  giải được theo cách 2? Từ đó chọn cách giải phù hợp cho từng bài toán. (Cách 2 giải  đơn giản hơn cách 1, để bài toán giải được theo cách 2 thì biểu thức dưới dấu căn   viếc được dưới dạng bình phương của một biểu thức nếu không thì giải theo cách   1) Ví dụ 2. Giải phương trình sau:  4x 2 − 20x + 25 = 3 − 3x   Phân tích: Phân tích cách giải như ví dụ 1.  Giải Điều kiện: 3 ­ 3x   0  ­3x   ­3 x 1  ( 2x − 5) = 3 − 3x � 2x − 5 = 3 − 3x 2 Ta có: 4x 2 − 20x + 25 = 3 − 3x � 8 2x − 5 = 3 − 3x 5x = 8 x= 5 2x − 5 = − ( 3 − 3x ) −x = 2 x = −2 Kết luận: So với điều kiện, tập nghiệm của phương trình là: S = {­2} Ví dụ 3. Giải phương trình:  x 2 − 6x + 29 = 2x + 8 Phân tích: Phương trình đã cho có đưa về  phương trình giá trị  tuyệt đối  không? Vì sao (Phương trình đã cho không đưa về  phương trình giá trị  tuyệt đối   được vì biểu thức dưới dấu căn không đưa về  dạng bình phương của một biểu   thức). Nên giải theo cách bình phương hai vế. Giải  Điều kiện: 2x + 8   0 2x  ­ 8 x ­ 4 ( ) 2 = ( 2x + 8 ) 2 Ta có:  x 2 − 6x + 29 = 2x + 8 � x 2 − 6x + 29 Trang  7
  8. Một số giải pháp về giải phương trình vô tỉ dành  cho học sinh giỏi lớp 9 trường THCS Lê Đình  Chinh  � x 2 − 6x + 29 = 4x 2 + 32x + 64 � 3x 2 +38x + 35 = 0 � 3x 2 +3x + 35x + 35 = 0 � ( 3x 2 +3x )  +  ( 35x + 35 ) = 0 � 3x ( x + 1)  + 35 ( x + 1) = 0 � ( x + 1) ( 3x + 35 ) = 0 x = −1 x +1 = 0 35 3x + 35 = 0 x=− 3 Kết luận: So với điều kiện, nghiệm của phương trình là:  x = −1 Ví dụ 4. Giải phương trình sau:  10x 2 − 20x + 10 + x + 1 = 5x ­ 3 Phân   tích:   Phương   trình   đã   cho   biến   đổi   đưa   về   dạng   ví   dụ   3   không?   (Phương trình đã cho biến đổi đưa về dạng ví dụ 3 bằng cách chuyển x + 1 sang vế  phải thu gọn xong tìm điều kiện. Nên cách giải như sau: Giải Ta có:  10x 2 − 20x + 10 + x + 1 = 5x ­ 3 � 10x 2 − 20x + 10 = 4x ­ 4  (*) Điều kiện: 4x ­ 4  0 4x 4 x 1 ( ) 2 = ( 4x ­ 4 ) � 10x 2 − 20x + 10 = 16x 2 − 32x + 16 2 (*) � 10x 2 − 20x + 10 � 6x 2 − 12x + 6 = 0 � 6 ( x − 2x + 1) = 0 2 � 6 ( x − 1) = 0 � ( x − 1) = 0 � x − 1 = 0 � x = 1 2 2 Kết luận: So với điều kiện, nghiệm của phương trình là x = 1 d) Nhận xét: Khi học xong dạng này thì đa số học sinh đều làm được các bài  dạng này, đây là dạng cơ bản thứ 2 để học sinh làm nền cho các dạng tiếp theo  e) Các bài tập tương tự Câu 1.  ( 2x − 5) 2 = 2−x Câu 3.  2x 2 − 8x + 7 = 2x ­ 3  Câu 2.  x 2 − 8x + 16 = 2x +7 Câu 4. 3x 2 + 5x +1 + 2x − 4 = 3x ­ 2 2.3. Dạng 3. Phương trình vô tỉ dạng:  f (x) = g(x)  (3)    Trong đó f(x), g(x) là biểu thức chứa x. a) Phân tích: Cả hai về của phương trình đều chưa căn bậc hai vậy để mất  căn bậc thì ta bình phương hai vế. b) Cách giải: Phương trình dạng 3 như sau Trang  8
  9. Một số giải pháp về giải phương trình vô tỉ dành  cho học sinh giỏi lớp 9 trường THCS Lê Đình  Chinh  f (x) 0 (3)    g(x) 0 f (x) = g(x) Giải 2 bất phương trình f(x)   0 và g(x)   0 suy ra điều kiện chung của bai toán Giải phương trình f(x) = g(x) suy ra x đối chiếu điều kiện và kết luận. c) Các ví dụ minh họa Ví dụ 1. Giải phương trình sau:  2x − 1 = x − 1   Giải  1 Điều kiện:  * 2x ­ 1   0  2x   1 x   2 * x ­ 1  x   1 Vậy điều kiện: x   1 Ta có:  2x − 1 = x − 1 ( ) =( ) 2 2 � 2x − 1 x −1 � 2x − 1 = x − 1 � x = 0 Kết luận: So sánh với điều kiện, tập nghiệm của phương trình là S =  Ví dụ 2. Giải phương trình sau:  x 2  ­ x − 6 = x − 3   Giải Điều kiện: *  x 2 − x − 6 0 � x 2 − 3x + 2x − 6 �0 � ( x 2 − 3x ) + ( 2x − 6 ) �0 � x ( x − 3) + 2 ( x − 3) �0 � ( x − 3) ( x + 2 ) �0 �x − 3 �0 �x 3 x+2 0 x −2 x 3 x −3 0 x 3 x −2 x+2 0 x −2 *  x −�۳ 3 0 x 3 Vậy điều kiện bài toán là  x 3 ( ) =( ) 2 2 Ta có:  x 2  ­ x − 6 = x − 3 � x 2  ­ x − 6 x −3 � x2 − x − 6 = x − 3 � x 2 − 2x − 3 = 0 � x 2 − 3x + x − 3 = 0 � ( x − 3x ) + ( x − 3) = 0 2 x +1 = 0 x = −1 � x ( x − 3) + ( x − 3) = 0 � ( x + 1) ( x − 3) = 0 x −3= 0 x =3 Kết luận: So sánh với điều kiên bài toán, nghiệm của phương trình x = 3 Trang  9
  10. Một số giải pháp về giải phương trình vô tỉ dành  cho học sinh giỏi lớp 9 trường THCS Lê Đình  Chinh  Ví dụ 3. Giải phương trình sau:  x 2 − 4x + 4 = 4x 2 − 12x + 9 Giải  Điều kiện:  * x 2 − 4x + 4 = ( x − 2 ) 2 0(∀x R) * 4x 2 −12x + 9 = ( 2x − 3) 2 0(∀x R) Vậy điều kiện bài toán  ∀x R Cách 1: Giải như ví dụ 2 Giáo viên? ví dụ trên ngoài cách giải đó còn có cánh giải nào khác không? Cách 2 ( x − 2) ( 2x­3) 2 2 Ta có:  x 2 − 4x + 4 = 4x 2 − 12x + 9 � = x =1 x − 2 = 2x − 3 − x = −1 � x − 2 = 2x − 3 5 x − 2 = − ( 2x − 3) 3x = 5 x= 3 5 Kết luận: So với điều kiện, tập nghiệm của phương trình là: S = {1;  }  3 d) Nhận xét: Giáo viên cho học sinh nhận xét về hai cách giải trên? Khi nào   thì phương trình giải được theo cách 2? Từ đó chọn cách giải phù hợp cho từng bài  toán. (Cách 2 giải đơn giản hơn cách 1, để  bài toán giải được theo cách 2 thì biểu   thức dưới dấu căn viếc được dưới dạng bình phương của một biểu thức nếu không  thì giải theo cách 1) e) Các bài tập tương tự.  Câu 1.  5 x 2 + 6 x − 7  =  x + 3 Câu 3.  2 x 2 + 3 x − 4  =  7 x + 2   Câu 2.  −3 x + 2  =  2 x + 1 Câu 4.  2 x + 5 = x − 2   Câu 5.  7 − x 2 + x x + 5  =  3 − 2x − x 2 2.4. Dạng 4. Phương trình vô tỉ dạng:  f (x) + g(x) = h(x) Trong đó f(x), g(x), h(x) là các đa thức chứa cùng biến x. a) Cách giải  Ta có:  f (x) + g(x) = h(x) f (x) 0 f (x) 0 ۳ g(x) 0 ۳ g(x) 0 ( ) =( ) 2 2 f (x) + g(x) h(x) f (x) + g(x) + 2 f (x)g(x) = h(x) Trang  10
  11. Một số giải pháp về giải phương trình vô tỉ dành  cho học sinh giỏi lớp 9 trường THCS Lê Đình  Chinh  f (x) 0 f (x) 0 ۳ g(x) 0 ۳ g(x) 0 2 f (x)g(x) = h(x) − f (x) − g(x) h(x) − f (x) − g(x) f (x)g(x) = ∗ 2 Giải phương trình * như  dạng 2 phần 2.2 ( chú ý điều kiện bổ  sung cho phương   trình * là h(x) ­ f(x) ­ g(x) )   0). Khi suy ra nghiệm của * ta đối chiếu điều kiện ban  đâu và điều kiện bổ sung rồi kết luận. Nên cách giải như sau. b) Các ví dụ minh họa Ví dụ 1. Giải phương trình sau:  x + 4 − 1 − x = 1 − 2x Phân tích:  Ta thấy vế  phải là số  không âm, vế  trái chưa xác định được  dương hay âm. Khi giải bình phương để mất căn thì được phương trình mới không   tương đương với phương trình đã cho nên phương trình mới sẽ  có nghiệm ngoại   lai. Vì vậy thường sai lầm khi kết luận lấy cả nghiệm ngoại lai, Vậy giáo viên nên   hướng dẫn cho học sinh cách khắc phục sai sót này theo hai cách sau. Cách 1. Khi giải xong thay nghiệm vào thử  lại nghiệm nào không thõa mãn   thì loại, nghiệm nào thỏa mãn thì nhận. Như vậy cách này mất thời gian nhiều. Cách   2.   Biến   đổi   chuyển   vế   để   cả   hai   vế   đều   cùng   dương.  x + 4 − 1 − x = 1 − 2x   � x + 4 = 1 − 2x + 1 − x . Nên ta có cách giải như sau.  Giải Điều kiện:  1 ∗1 − 2x 0 x 2 ∗− 1�x 0 x 1 1 Vậy điều kiện xác định  x   2 Ta có:  x + 4 − 1 − x = 1 − 2x   � x + 4 = 1 − 2x + 1 − x ( ) =( ) 2 2 � x+4 1 − 2x + 1 − x � x + 4 = 1 − 2x + 1 − x + 2 ( 1 − 2x ) ( 1 − x ) � 2x+1 = ( 1 − 2x ) ( 1 − x ) (Điều   kiện  bổ   sung  của   phương  trình   cơ   bản   phần  2.2  −1 dạng 2 là:  2x + 1�۳0 x  ) 2 ( ( 1 − 2x ) ( 1 − x ) ) 2 � ( 2x+1) = � ( 2x+1) = ( 1 − 2x ) ( 1 − x ) 2 2 x=0 � 4x +4x + 1 = 2x − 3x + 1 � 2x + 7x = 0 � x(2x + 7) = 0 2 2 2 −7 x= 2 Kết luận: So sánh với điều kiện, nghiệm của phương trình là x = 0. Trang  11
  12. Một số giải pháp về giải phương trình vô tỉ dành  cho học sinh giỏi lớp 9 trường THCS Lê Đình  Chinh  c) Các bài tập tương tự Câu 1.  3x + 1 − 2 − x = 3 Câu 3.  x + 1 − x − 7 + 12 − x Câu 2.  3x + 4 − 2x + 1 = x + 3 Câu 4.  x − 1 − 5x − 1 + 3x − 2 2.5. Dạng 5. Phương trình vô tỉ dạng:  A + B = C + D (1)  a) Phân tích: Nếu phương trình (1) có A + B = C + D khi đó cả  hai vế đều  không âm, cách giải ta bình phương hai vế  thì vế  trái xuất hiện tổng A + B và vế  phải xuất hiện C + D mà A + B = C + D khử  được khi đó phương trình mới về  dạng cơ bản phần 2.3 dạng 3 và cách giải theo dạng này.  Nếu phương trình (1) có A + C = B + D khi đó ta chuyển vế phương trình (1)   về  dạng  A − C = B − D  sau đó bình phương hai vế thì được phương trình hệ  quả vì cả hai vế chưa xác định đượng dương hay âm khi đó phương trình mới củng  có dạng 3 phần 2.3. Chú ý khi giải phương trình mới này cần thử  lại nghiệm để  loại nghiệm ngoại lai.  Nếu phương trình (1) có AB = CD khi đó cả hai vế đều không âm, cách giải   ta bình phương hai vế thì vế trái xuất hiện  AB  vế trái và  CD  vế phải mà AB =  CD khử được khi đó phương trình không còn căn bậc hai và giải được. Nếu phương trình (1) có AC = BD khi đó ta chuyển vế phương trình (1) về  dạng  A − C = B − D  sau đó bình phương hai vế thì được phương trình hệ quả  vì cả hai vế chưa xác định đượng dương hay âm khi đó phương trình mới khử được  AC và  BD  và phương trình mới không còn căn. Chú ý khi giải phương trình mới  này cần thử lại nghiệm để loại nghiệm ngoại lai.  b) Cách giải  Bước 1. Điều kiện Bước2. Giải Ta có:  A + B = C + D (nếu A + B = C + D) � A + B + 2 AB = C + D + 2 CD � AB = CD � AB = CD   � x = ... So sánh điều kiện và kết luận. Chú ý: Các trường hợp còn lại giải tương tự. c) Các ví dụ minh họa  Ví dụ 1. Giải phương trình sau:  x + 3 + 3x + 1 = 2 x + 2x + 2 Giải Điều kiện:  * x + 3  0  x  ­ 3 −1 * 3x + 1  0  x 3 * x   0 Trang  12
  13. Một số giải pháp về giải phương trình vô tỉ dành  cho học sinh giỏi lớp 9 trường THCS Lê Đình  Chinh  * 2x + 2  0 x  ­ 2 Vậy điều kiện: x   0 Ta có:  x + 3 + 3x + 1 = 2 x + 2x + 2 � x + 3 + 3x + 1 = 4x + 2x + 2  Ta thấy: (x + 3) + 4x = (3x + 1) + (2x + 2) � x + 3 − 4x = 2x + 2 − 3x + 1 � x + 3 + 4x − 2 (x + 3)4x = 2x + 2 + 3x + 1 − 2 (2x + 2)(3x + 1)  (phương trình hệ quả) � (x + 3)4x = (2x + 2)(3x + 1) (Giải tương tự như dạng 3 phần 2.3) � 4x(x + 3) = (2x + 2)(3x + 1) � 4x 2 + 12x = 6x 2 + 2x + 6x + 2 � 2x 2 − 4x + 2 = 0 � 2 ( x − 1) = 0 � x − 1 = 0 2 � x =1 Vì cách biến đổi trên ta được phương trình hệ quả nên cần kiểm tra nghiệm ngoại   lai bằng cách thay x = 1 vào phương trình đã cho ta thấy thỏa mãn   Kết luận: Nghiệm của phương trình là x = 1 x3 + 1 Ví dụ 2. Giải phương trình sau:  + x +1 = x2 − x +1 + x + 3 x +3 Giải Điều kiện: x   ­ 1  x3 + 1 x3 + 1 Ta có:  + x + 1 = x 2 − x + 1 + x + 3 (Ta thấy  x + 3 = x + 1 x 2 − x + 1  ) x +3 x +3 2 ( ) � x3 + 1 � 2 �� − x + 3 �= x2 − x +1 − x +1 � x +3 � � � x3 + 1 x3 + 1 � + x +3− 2 x + 3 = x 2 + 2 − 2 x 2 − x + 1 x + 1 (phương trình hệ quả) x +3 x +3 x3 + 1 � + x + 3 = x2 + 2 x +3 � x 3 + 1 + ( x + 3) = ( x 2 + 2 ) ( x + 3) � x 3 + 1 + x 2 + 6x + 9 = x 3 + 3x 2 + 2x + 6 2 x = 1− 3 � 2x 2 − 4x − 4 = 0 � 2(x − 2x − 2) = 0 � x 2 − 2x − 2 = 0 2 x = 1+ 3 Đối chiếu điều kiện và thử lại thì nghiệm của phương trình là  x = 1 3 Nhận   xét:   Giáo   viên   cho   học   sinh   nhận   xét   phương   trình   dạng  A + B = C + D   khi nào giải theo ví dụ  1 khi nào giải theo ví dụ  2? Khi giải   xong cần chú ý những gì? (khi thấy A + C = B + D giải theo ví dụ 1 còn AC = BD   Trang  13
  14. Một số giải pháp về giải phương trình vô tỉ dành  cho học sinh giỏi lớp 9 trường THCS Lê Đình  Chinh  giải theo ví dụ 2, giải xong cần đối chiếu điều kiện và thử lại để tránh thu nghiệm   ngoại lai) d) Bài tập tương tự:  Câu 1.  10x + 1 + 3x − 5 = 9x + 4 + 2x − 2 Câu 3.  4x + 1 + x+7 = 2 2x − 3 + 5x − 6 x 3 − 3x 2 − x + 3 8x 3 − 1 Câu 2.  + x+1 = x+3 + x 2 ­ 4x +3   Câu 4.  − 2x ­ 1 = 4x 2  + 2x + 1 − 2x+3 x+ 3 2x + 3 2.6. Dạng 6. Phương trình vô tỉ dạng:  3 A + 3 B = 3 C   Trong đó A, B, C là các đa thức chứa biến x a) Phân tích: Phương trình dạng cơ bản  3 A + 3 B = 3 C , hướng xử lý để mất  căn   bậc   ba   là   lập   phương   hai   vế   và   thường   sử   dụng   hằng   đẳng   thức  ( a + b ) = a 3 + b3 + 3ab(a + b) , rồi sau đó thay thế   3 A + 3 B = 3 C  vào phương trình thu  3 được sau khi lập phương và giải phương trình hệ quả dạng  3 f (x) = g(x) � f (x) = [ g(x) ] .  3 Nên cách giải như sau. b) Cách giải  Điều kiện xác đinh:  ∀x R Ta   có:   3 A + 3 B = 3 C   � ( 3 A+3B ) = ( C) 3 3 3 � A + B + 3 3 AB ( 3 ) A + 3 B = C (Thay  3 A+3 B= 3C) 3 C−A−B �C − A − B � � x = ... � A + B + 3 AB C = C ( *)  � ABC = �    3 3 3 � ABC = � 3 � 3 � Vì cách biến đổi trên thì phương trình (*) là phương trình hệ  quả. Vây khi  tìm được x thay vào phương trình ban đầu để  kiểm tra nghiệm nào thỏa mãn thì   nhận. c) Các ví dụ minh họa Ví dụ 1:  3 x + 1 + 3 3x + 1 = 3 x − 1 Giải  Điều kiện:  ∀x R ( ) ( ) 3 3 Ta có:  3 x + 1 + 3 3x + 1 = 3 x − 1 � 3 x + 1 + 3 3x + 1 = 3 x −1 � x + 1 + 3x + 1 + 3 3 x + 1 3 3x + 1( 3 x + 1 + 3 3x + 1) = x − 1 � 4x + 2 + 3 3 x + 1 3 3x + 1( 3 x + 1 + 3 3x + 1) = x − 1 � 3 x + 1 3 3x + 1( 3 x + 1 + 3 3x + 1) = − ( x + 1) (Thay  3 x + 1 + 3 3x + 1 = 3 x − 1 ) � 3 x + 1 3 3x + 1 3 x − 1 = − ( x + 1) � 3 ( x + 1) ( 3x + 1) ( x − 1) = − ( x + 1) Trang  14
  15. Một số giải pháp về giải phương trình vô tỉ dành  cho học sinh giỏi lớp 9 trường THCS Lê Đình  Chinh  � ( x + 1) ( 3x + 1) ( x − 1) = � − ( x + 1) � � � ( x + 1) ( 3x + 1) ( x − 1) = − ( x + 1) 3 3 � � ( x + 1) ( 3x + 1) ( x − 1) + ( x + 1) = 0 � ( x + 1) � ( 3x + 1) ( x − 1) + ( x + 1) � 3 2 =0 � � x = −1 � ( x + 1) 4x 2 = 0 x=0 Thay x = ­1 vào phương trình thỏa mãn nên x = ­1nghiệm của phương trình. Thay x = 0 vào phương trình thỏa mãn nên x = 0 là nghiệm của phương trình. Kết luận: Phương trình đã cho có nghiệm là x = ­1; x = 0 d) Bài tập tương tự:  Câu 1.  3 2x − 1 + 3 x − 1 = 3 3x − 2 Câu 2.  3 x+5 + 3 x+6 = 3 2x + 11 Câu 3.  3 x+1 + 3 x+1 + 3 x + 3 = 0 3. Giải pháp 3. Giải phương trình vô tỉ bằng phương pháp đặt ẩn phụ Phương pháp đặt ẩn phụ là một hình thức đưa bài toán từ  tình thế phức tạp  sang tình thế đơn giản hơn mà đã biết cách giải. Có rất nhiều cách đặt ẩn phụ khác   nhau tùy thuộc vào đặc điểm của từng phương trình mà có thể đặt một ẩn phụ, hai   ẩn phụ, ba ẩn phụ... để đưa về phương trình hoặc hệ phương trình. Sau khi đặt ẩn  phụ, ta cần tìm điều kiện cho  ẩn phụ. Tùy vào mục đích của  ẩn phụ  mà ta đi tìm   điều kiện cho hợp lý (dễ, không gây sai sót). Một số dạng đặt ẩn phụ cơ bản thường gặp và cách giải của từng dạng. 3.1. Dạng 1. Phương trình có dạng:  a.f (x) + b n f (x) + c = 0  (1) Trong đó f(x) là đa thức chứa biến x a) Nhận dạng: Biểu thức chứa biến trong căn và ngoài căn có mối liên hệ. b) Phương pháp giải:  Bước 1: Đặt điều kiện. Bước 2: Đặt  t = n f (x) (Điều kiện của t)  � t n = f (x)  thay vào (1) suy ra (1) � at n + bt + c = 0 � t = ... đối chiếu điều kiện  � x = ... đối chiếu điều kiện  Bước 3: Kết luận nghiệm của phương trình. c) Các ví dụ minh họa: Ví dụ 1. Giải phương trình sau:  3x 2 +9x+24 − 12 x 2 + 3x + 5 = 0 (2) Phân tích: Nhận thấy t =  x 2 + 3x + 5   0, thì biểu thức bên ngoại dấu căn  thức  3x 2 +9x+24  = 3( x 2 + 3x + 5 ) + 9 = 3t2 + 9 có mối liên hệ với nhau nên cách giải  như sau: Trang  15
  16. Một số giải pháp về giải phương trình vô tỉ dành  cho học sinh giỏi lớp 9 trường THCS Lê Đình  Chinh  Giải Điều kiện:  ∀x R 0 Đặt t =  x 2 + 3x + 5 (t 0) (*) � t 2 = x 2 + 3x + 5 � 3x 2 +9x+24 = 3t 2 + 9 t = 1 (nhận) Thay vào (2)  3t 2 − 12t + 9 = 0 � 3 ( t − 1) ( t − 3) = 0 t = 3 (nhận) 7 Với t = 1 thay vào (*) ta có: 12 = x 2 + 3x + 5 � x 2 + 3x + 4 = 0 (vô lý vì  x 2 + 3x + 4 > 0) 4 x =1 Với t = 3 thay vào (*) ta có:  32 = x 2 + 3x + 5 � x 2 + 3x ­ 4 = 0 � ( x − 1) ( x + 4 ) = 0 x = −4 Kết luận: So sánh điều kiện, tập nghiệp của phương trình là: S = {­ 4; 1} 3 1 Ví dụ 2. Giải phương trình sau:  3 x + = 2x + − 7  (3) 2 x 2x � 1 2 1 � Phân tích: Đối với bài toán có dạng thuận nghịch loại  f �x ; x + 2 �= 0  ta  � x x � 2 1 � 1� 1 đều có thể giải bằng cách đặt ẩn số phụ: t =  x � t 2 = �x � �= x 2 + 2 �2  nên  x � x� x cách giải bài toán trên như sau: Giải Điều kiện: x > 0  � 1 � � 1 � (3) � 3 � x + �= 2 �x + �− 7  (*) � 2 x � � 4x � 1 Cauchy 1 Đặt  t = x + 2 x = 2 2 x 2 x 1 1 � t2 = x +  + 1 � t 2 − 1 = x + 4x 4x (*) 3t = 2(t2 ­ 1) ­ 7 � 2t 2 − 3t − 9 = 0 � ( t − 3) ( 2t + 3) = 0 t = 3(nhận) −3 (loại) t= 2 1 Với t = 3, suy ra:  x + = 3 � 2x − 6 x + 1 = 0 � x = 8 3 7 2 x 2 Trang  16
  17. Một số giải pháp về giải phương trình vô tỉ dành  cho học sinh giỏi lớp 9 trường THCS Lê Đình  Chinh  8 3 7 Kết luận: So sánh với điều kiện, phương trình có 2 nghiệm là:  x = 2 Ví dụ 3. Giải phương trình sau:  x + 1 + x 2 − 4x + 1 = 3 x (4) Phân tích: Ta nhận thấy biểu thức ngoài căn là x + 1, biểu thức trong căn  thức có chứa x2 + 1 ta thấy hai biểu thức này không liên hệ  với nhau. Nhưng nếu   1 1 chia cả hai vế cho  x > 0  được  x + , x + − 4  từ đây ta thấy hai biểu thức có  x x 1 liên hệ với nhau. Đặt  t = x +   t 2 thì phương trình sẽ biểu diễn hết theo biến  x mới t và cách giải như sau: Giải  Điều kiện: x   0  Trường hợp 1. Với x = 0 ta thấy không là nghiệm (vì thay vào phương trình 4 không   thỏa mãn) Trường hợp 2. Nếu x > 0, chia cả hai vế cho  x > 0 1 1 (4)  � x + + x + − 4 = 3 (5) x x 1 Cauchy 1 Đặt:  t = x + 2 x =2 x x 1 � t2 = x + +2 x 1 1 � t2 − 6 = x + − 4 � t 2 − 6 = x + − 4 (thay vào phương trình 5)  x x (5)  � t + t 2 − 6 = 3 � t 2 − 6 = 3 − t  (Giải tương tự dạng cơ bản 2 phần 2.2 nâng lên   lũy thừa. Chú ý điều kiện phụ t   3)  5  (nhận) � t 2 − 6t + 9 = t 2 − 6 � t = 2 x=4 1 5 Suy ra:  x + = � 2x − 5 x + 2 = 0 1 x 2 x= 4 1 Kết luận: So với điều kiện, phương trình có 2 nghiệm là:  x = ; x = 4  4 Ví dụ 3. Giải phương trình sau:  2x 2 + 8x + 5 + 2x 2 − 4x + 5 = 6 x  (4) Phân tích: Nếu giải phương trình 4 theo phương pháp nâng lên lũy thừa thì ta  thấy lũy thừa bậc cao không triệt tiêu được và sẽ  gây khó khăn cho việc giải.   Nhưng phần biến có liên hệ  với khau không? Để  ý phần hệ  số  của a, c của biểu   thức ax2 + bx + c trong hai căn thức ở vế trái đều bằng nhau là (a = 2, c = 5), nên khi  Trang  17
  18. Một số giải pháp về giải phương trình vô tỉ dành  cho học sinh giỏi lớp 9 trường THCS Lê Đình  Chinh  chia cả  hai vế cho  x > 0  thì khi đó hai biểu thức dưới dấu căn thức  ở  vế  trái có   liên hệ với nhau. Khi đó đặt ẩn phụ để đưa bài toán về dạng cơ bản như sau. Giải Điều kiện: x   0  Ta thấy x = 0 không là nghiệm của phương trình nên chia cả  hai vế  của  5 5 phương trình (4) cho  x , ta được:  (4) � 2x + 8 + + 2x ­ 4 + = 6   x x 5 5 � 2x + + 8 + 2x + − 4 = 6 (*) x x 5 Cauchy 5 Đặt  t = 2x + 2 2x = 2 10   x x (*)  � t + 8 + t − 4 = 6  (Đây là dạng cơ bản 4 của phần 2.4) � 2t + 4 + 2 t + 8 t − 4 = 36 � ( t + 8) ( t − 4) = 16 − t (Điều kiện bổ sung t  16) � ( t + 8 ) ( t − 4 ) = ( 16 − t ) 2 � 36t = 288 � t = 8 (TMĐK) 5 4 6 Với t = 8, suy ra:  2x + = 8   � 2x 2 − 8x + 5 = 0 � x = x 2 4 6 Kết luận: So với điều kiện, phương trình đã cho có 2 nghiệm là  x =   2 d) Nhận xét: Đôi khi bài toán ban đầu chưa xuất hiện mối liên hệ  giữa các  biểu thức trong căn và ngoài căn nhưng khi ta nhân hoặc chia cả  hai vế  cho cùng   một biểu thức khác không thì xuất hiện sự liên hệ  giữa các biểu thức đó. Nên khi   làm một bài toán chúng ta cần tìm hiểu và phân tích thật kỹ để tìm ra cách giải phù   hợp đơn giản nhất. e) Bài tập tương tự: Câu 1.  ( x + 4 ) ( x + 1) − 3 x 2 + 5x + 2 = 6 Câu 3.  6x 2 + 2x + 3 3x 2 + x + 4 − 10 = 0 3x 1 Câu 4.  10 x + 3 + − 13 x = 0 Câu 2.  x 2 + 2x x − = 3x + 1 x+3 x 3.2.   Dạng   2.   Phương   trình   vô   tỉ   dạng:  a f (x) + b g(x) + 2ab f (x)g(x) = h(x) Trong đó f(x), g(x), h(x) là các đa thức chứa biến x Trang  18
  19. Một số giải pháp về giải phương trình vô tỉ dành  cho học sinh giỏi lớp 9 trường THCS Lê Đình  Chinh  a) Nhận dạng: Phương trình có dạng tổng ­ tích hoặc hiệu ­ tích b) Cách giải  Điều kiện: f(x)  0, g(x)  0, h(x)  0  Bước 1. Đặt t = tổng hoặc hiệu  f (x) ,  g(x) , suy ra t2 =...  Bước 2. Giải phương trình với biến mới theo t, suy ra x. c) Các ví dụ minh họa Ví dụ 1. Giải phương trình sau:  3 + x + 6 − x = 3 + ( 3 + x ) ( 6 − x )  (1) Phân tích: Phương trình có dạng tổng ­ tích, khi đó ta đặt t =  3 + x + 6 − x   ( ) 2 0, suy ra  t 2 = 3+ x + 6− x =9+2 ( 3 + x ) ( 6 − x )  đã biểu diễn biết hết theo t nên  cách giải như sau:   Giải Điều kiện:  * 3 + x  0  ۳ x −3 *  6 −� x 0 x 6 Suy ra điều kiện:  −3 x 6 ( ) 2 Đặt  t = 3 + x + 6 − x 0 , suy ra:  t 2 = 3+ x + 6− x = 9+2 ( 3+ x) ( 6 − x) t2 − 9 � ( 3 + x) ( 6 − x) = . Khi đó:  2 t2 − 9 t = −1(loại) (1)  � t = 3 + � t 2 − 2t − 3 = 0 2 t = 3(nhận) Với t = 3, suy ra:  3 + x + 6 − x = 3 (giải tương tự dạng cơ bản 4 phần 2.4) x = −3 � 9 =9+2 ( 3+ x) ( 6 − x) � ( 3+ x) ( 6 − x) =0 x=6 Kết luận: So với điều kiện, phương trình đã cho có 2 nghiệm là x = ­ 3; x =  6. Ví dụ 2. Giải phương trình sau:  2x + 3 + x + 1 = 3x + 2 2x 2 + 5x + 3 − 16 (2) Phân tích: Sau khi phân tích  2x 2 + 5x + 3 = ( 2x + 1) ( x + 1) thì phương trình có  dạng   tổng   ­   tích,   nếu   đặt   t = 2x + 3 + x + 1 0,   suy   ra  ( ) 2 t2 = 2x + 3 + x + 1 = 3x + 2 2x 2 + 5x + 3 + 4   thì phần biến còn lại biểu diễn được hết  theo t và có lời giải như sau: Giải Điều kiện: x   ­1 Trang  19
  20. Một số giải pháp về giải phương trình vô tỉ dành  cho học sinh giỏi lớp 9 trường THCS Lê Đình  Chinh  ( ) 2 Đặt   t = 2x + 3 + x + 1 0,   suy   ra   t 2 = 2x + 3 + x + 1 = 3x + 2 2x 2 + 5x + 3 + 4 .  t = −4 (loại) Khi đó: (2)  � t = t 2 − 20 � t 2 − t − 20 = 0 t = 5 (nhận) Với t = 5, suy ra:  2x + 3 + x + 1 = 5 � 3x + 4 + 2 ( 2x + 3) ( x + 1) = 25 �2 ( 2x + 3) ( x + 1) = 21 − 3x (điều kiện bổ sung x   7) x =3 (nhận) � x 2 − 146x + 429 = 0 x = 143 (loại) Kết luận: Phương trình đã cho có nghiệm duy nhất x = 3 d) Nhận xét:  Đôi khi phương trình chưa có dạng tổng tích hoặc hiệu tích  như  ví dụ  2 trên ta cần phân tích biểu thức dưới dấu căn thành tích để  xuất hiện  dạng tổng tích hoặc hiệu tích như ví dụ 2.  e) Các bài tập tương tự Câu 1.  x + 2 + 5 − x + ( x + 2 ) ( 5 − x ) = 4 Câu 3.  2x + 3 + 4 − x = 3x + 6 5x − 2x 2 + 12 − 23 Câu 2.  x − 2 − x + 2 = 2 x 2 − 4 − 2x + 2 Câu 4.  3x − 2 + x − 1 = 4x ­ 9 + 2 3x 2 − 5x + 2 3.3. Dạng 3. Phương trình vô tỉ dạng:  α. n a − f (x) + β.m b + f (x) = c a) Cách giải:  Điều kiện: a ­ f(x) 0, b + f(x)  0( khi m,n là các số chẳn) u = n a − f (x) u n = a − f (x) u n + vm = a + b Đặt  � u, v � x v = m b + f (x) v m = b + f (x) αu + β v = c b) Các ví dụ minh họa Ví dụ 1. Giải phương trình sau:  5 x + 1 − 2 3 7x + 6 = 4  (1) Phân tích: Bài toán có hai căn thức như dạng 3, nên ta giải bằng cách đặt hai  �u = x + 1 �u 2 = x + 1(1) ẩn phụ là 2 căn thức, tức đặt  � 3 �3 . Khi đó, ta cần cân bằng  v = 7x + 6 v = 7x + 6(2) hệ số trước x, tức phương trình (1) sẽ nhân 2 vế với 7 sau đó trừ (một số bài cộng)   nhằm triệt tiêu x sẽ thu được 1 phương trình mới với ẩn là u và v là 7u 2 ­v3 = 1. Còn  phương trình thứ  2 thay u, v vào đề  bài được phương trình là: 5u ­ 2v = 4. Khi đó  giải hệ này tìm được u, v. Suy ra x. Giải Điều kiện:  x + 1�۳0− x 1 u = x +1 0 u2 = x +1 7u 2 = 7x + 7 Đặt  � 7u 2 − v3 = 1 (2) v = 7x + 6 3 v = 7x + 6 3 v = 7x + 6 3 Trang  20
ADSENSE

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

THÔNG TIN
TRỢ GIÚP
HỖ TRỢ KHÁCH HÀNG
Theo dõi chúng tôi

Chịu trách nhiệm nội dung:

Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA

LIÊN HỆ

Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM

Hotline: 093 303 0098

Email: support@tailieu.vn

Giấy phép Mạng Xã Hội số: 670/GP-BTTTT cấp ngày 30/11/2015 Copyright © 2022-2032 TaiLieu.VN. All rights reserved.

 

Đồng bộ tài khoản
17=>2