intTypePromotion=1
zunia.vn Tuyển sinh 2024 dành cho Gen-Z zunia.vn zunia.vn
ADSENSE
 » 
 » 

Sáng kiến kinh nghiệm THCS: Một số kỹ năng cơ bản khi sử dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz vào chứng minh bất đẳng thức

Chia sẻ: Khánh Thành | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:26

Thêm vào BST
Báo xấu
25
lượt xem 8
download
 
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Sáng kiến kinh nghiệm được hoàn thành với mục tiêu nhằm hệ thống một số bài tập áp dụng được BĐT Cauchy - Schwarz vào chứng minh để học sinh làm quen từ đó dần định hình được phương pháp tư duy vào chứng minh bất đẳng thức.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Sáng kiến kinh nghiệm THCS: Một số kỹ năng cơ bản khi sử dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz vào chứng minh bất đẳng thức

  1. Một số kỹ năng cơ bản khi sử dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz vào chứng minh bất đẳng thức PHẦN I. I. LÍ DO CHỌN SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 1. TÍNH PHỔ BIẾN AM - GM và Cauchy - Schwarz chính là cặp bất đẳng thức phổ biến nhất trong toán học sơ cấp. Với sự đa dạng vốn có, hai bất đẳng thức này thường xuyên được sử dụng để chứng minh các bất đẳng thức đại số khác, từ trung học cơ sở đến trung học phổ thông trong các kì thi. Ngoài mục đích chính là nâng cao kỹ năng cơ bản giải toán dựa trên những phương pháp phát triển từ bất đẳng thức Cauchy - Schwarz, sáng kiến kinh nghiệm này còn tổng hợp khá nhiều bất đẳng thức từ trước đến nay có thể chứng minh bằng công cụ này. Ta sẽ thấy ở đây một góc nhìn bao quát về bất đẳng thức Cauchy - Schwarz: các kỹ năng cơ bản khi đứng trước một bài toán bất đẳng thức. Bên cạnh việc sử dụng kỹ thuật Cauchy - Schwarz một cách phù hợp thì điều kiện đủ để có thể chứng minh được bất đẳng thức mong muốn chính là chỉ ra sự tồn tại của một bất đẳng thức đơn giản hơn. Sáng kiến kinh nghiệm này hệ thống một số kỹ năng cơ bản nhất liên quan đến bất đẳng thức Cauchy - Schwarz. 2. TÍNH CẤP THIẾT Đối với đối tượng học sinh THPT không chuyên Bất đẳng thức là một chuyên đề khó. Trong quá trình giảng dạy từ các nguồn tài liệu tham khảo tôi hệ thống một số dạng bài tập nhằm mục đích để giúp học sinh tiếp cận một số kỹ năng cơ bản để áp dụng BĐT Cauchy - Schwarz vào chứng minh BĐT với tiêu chí khuôn khổ là đưa BĐT cần chứng minh về dạng đơn giản hơn BĐT ban đầu. Bước đầu dạy cho đối tượng THPT không chuyên đã thu được một số hiệu quả nhất định giúp các em “Bớt sợ” và có thể giải quyết được một số bài toán về chứng minh BĐT. Từ đó tạo sự hứng khởi cho các em trong vấn đề khám phá loại toán này. 3. MỤC TIÊU 1
  2. Một số kỹ năng cơ bản khi sử dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz vào chứng minh bất đẳng thức Mục tiêu của SKKN này là hệ thống một số bài tập áp dụng được BĐT Cauchy - Schwarz vào chứng minh để học sinh làm quen từ đó dần định hình được phương pháp tư duy vào chứng minh BĐT . Với mục tiêu đấy và để tạo cho học sinh một “lối mòn” trên một số dạng bài nên trong khuôn khổ SKKN này tôi không trình bày thêm các cách chứng minh khác. Vì vậy tôi chọn SKKN Một số kỹ năng cơ bản khi sử dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz vào chứng minh bất đẳng thức II. GIỚI THIỆU VỀ BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY-SCHWARZ Trong toán học, bất đẳng thức Cauchy - Schwarz còn được gọi là bất đẳng thức Schwarz hoặc bằng cái tên khá dài là Cauchy - Bunyakovxki - Schwarz. Tài liệu giáo khoa Việt Nam gọi bất đẳng thức này là Bunyakovxki hoặc bằng tên dài nói trên nhưng đảo thứ tự là bất đẳng thức Bunyakovxki - Cauchy - Schwarz nên thường viết tắt là bất đẳng thức BCAUCHY - SCHWARZ. Tuy nhiên trong toàn bộ sáng kiến kinh nghiệm này ta sẽ thống nhất với một cách gọi duy nhất là bất đẳng thức Cauchy - Schwarz. Ở mức độ phổ thông và trong khuôn khổ sáng kiến kinh nghiệm chúng ta quan tâm đến dạng phát biểu sơ cấp của biểu thức này. Nó được phát biểu như sau: Nếu a1, a2, …, an , b1, b2, …, bn là các số thực tùy ý thì (a1b1 + a2b2 + … + anbn)2  (a12 + a22 + … + an2)(b12 + b22 + … + bn2). (*). a1 a2 a Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi = =…= n b1 b2 bn (ở đây, ta sử dụng quy ước nếu mẫu bằng 0 thì tử cũng bằng 0). xi Trong (*), chọn ai = , bi = yi với xi, yi  R, yi > 0, ta thu được bất đẳng yi thức Cauchy - Schwarz dạng phân thức Nếu x1, x2, …, xn là các số thực và y1, y2, …, yn là các số thực dương thì x12 x22 xn2 (x1 + x2 + … + xn)2 + +…+  (**). y1 y2 yn y1 + y2 + … + yn 2
  3. Một số kỹ năng cơ bản khi sử dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz vào chứng minh bất đẳng thức x1 x2 x Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi = = … = n. y1 y2 yn Trong khuôn khổ của sáng kiến kinh nghiệm này, chúng ra sẽ cùng xem xét vấn đề làm sao để có thể sử dụng hợp lý và hiệu quả các bất đẳng thức (*) và (**) trong việc chứng minh các bất đẳng thức khác bằng những kĩ thật cơ bản nhất. III. MỘT SỐ CÁCH CHỨNG MINH Trong mục này, chúng ta sẽ cùng đến với một số chứng minh thú vị cho bất đẳng thức Cauchy - Schwarz (*). 1. SỬ DỤNG TAM THỨC BẬC HAI Nếu a12 + a22 + … + an2 = 0 thì ta có a1 = a2 = … = an = 0 và bất đẳng thức hiển nhiên đúng. Do vậy, ta chỉ cần xét a12 + a22 + … + an2 > 0 là đủ. Xét tam thức bậc hai f(x) = (a12 + a22 + … + an2)x2 - 2(a1b1 + a2b2 + … + anbn)x + (b12 + b22 + … + bn2). Ta dễ dàng thấy được f(x) = (a1x - b1)2 + (a2x - b2)2 + … + (anx - bn)2. từ đó suy ra f(x)  0 với mọi x. Điều này có nghĩa là biểu thức ’f phải là một số không dương, mà ’f = (a1b1 + a2b2 + … + anbn)2 - (a12 + a22 + … + an2)(b12 + b22 + … + bn2), nên ta có (a1b1 + a2b2 + … + anbn)2  (a12 + a22 + … + an2)(b12 + b22 + … + bn2), Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a1 a2 a a1x - b1 = a2x - b2 = … = anx - b, tức = = … = n. b1 b2 bn 2. SỬ DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC AM - GM i=n i=n Rõ ràng ta chỉ cần xét bất đẳng thức trong trường hợp  ai > 0,  bi2 > 0 là 2 i=1 i=1 đủ. Lấy căn bậc hai hai vế của bất đẳng thức đã cho, sau đó chia cả hai vế cho i=n i=n      ai2  bi2 , ta được i = 1 i = 1  3
  4. Một số kỹ năng cơ bản khi sử dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz vào chứng minh bất đẳng thức i=n aibi   i=1 i=n      1. i=n    a   b 2 2   i i  i=1   i=1 Sử dụng tính chất về dấu giá trị tuyệt đối kết hợp với bất đẳng thức AM - GM, ta có: i=n aibi   i=1  i=n     i=n i=n  |ai||bi|    a   b  2 2 i=1 i=n i=n      i i i=1   i=1   ai2  bi2 i = 1 i = 1  1  ai2 bi2  1 i=n i=n i=n ai2 1 bi2 1 1   +  =  +  = + = 1.  2 i = n 2  2i = 1 i = n 2 2 i = 1i = n 2 2 2 2 i=1 i=n  ai  bi  ai  bi i=1 i=1 i=1 i=1 3. SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP TOÁN HỌC Với n = 1, bất đẳng thức của ta trở thành đẳng thức. Xét khi n = 2, ta có (a12 + a22)(b12 + b22) - (a1b1 + a2b2)2 = (a2b1 - a1b2)  0. Giả sử bất đẳng thức đúng khi n = k (k  2). Xét khi n = k + 1. Áp dụng kết quả trường hợp n = 1 với hai bộ        a12 + a22 + … + ak2, a ,  b12 + b22 + … + bk2, b ,   k + 1   k + 1 Ta có:   2  2  2    a12 + a22 + … + ak2 + ak + 1   b12 + b22 + … + bk2 + bk + 12            2   (a12 + a22 + … + ak2)(b12 + b22 + … + bk2) + ak + 1bk + 1 .    Mặt khác, theo giả thiết quy nạp, ta lại có (a12 + a22 + … + ak2)(b12 + b22 + … + bk2)  (a1b1 + a2b2 + … + akbk)2; Suy ra (a12 + a22 + … + ak2)(b12 + b22 + … + bk2)  |a1b1 + a2b2 + … + akbk|. Kết hợp đánh giá này với đánh giá ở trên, ta được 4
  5. Một số kỹ năng cơ bản khi sử dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz vào chứng minh bất đẳng thức i=k+1 i=k+1      2   ai2    bi  1 1 2  | a b + a b 2 2 + … + a b |  k k + a b       k + 1 k + 1 i=1 i=1  (a1b1 + a2b2 + … + akbk + ak + 1bk + 1)2. Điều này chứng tỏ bất đẳng thức của ta cũng đúng cho n = k + 1. Theo nguyên lý quy nạp, ta có nó đúng với mọi n  1. 5
  6. Một số kỹ năng cơ bản khi sử dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz vào chứng minh bất đẳng thức PHẦN II. NỘI DUNG CHÍNH NHỮNG KỸ NĂNG CƠ BẢN KHI SỬ DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY - SCHWARZ VÀO CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC Nếu a1, a2, …, an , b1, b2, …, bn là các số thực tùy ý thì (a1b1 + a2b2 + … + anbn)2  (a12 + a22 + … + an2)(b12 + b22 + … + bn2). (*). a1 a2 a Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi = =…= n b1 b2 bn (ở đây, ta sử dụng quy ước nếu mẫu bằng 0 thì tử cũng bằng 0). xi Trong (*), chọn ai = , bi = yi với xi, yi  R, yi > 0, ta thu được bất đẳng yi thức Cauchy - Schwarz dạng phân thức Nếu x1, x2, …, xn là các số thực và y1, y2, …, yn là các số thực dương thì x12 x22 xn2 (x1 + x2 + … + xn)2 + +…+  (**). y1 y2 yn y1 + y2 + … + yn x1 x2 x Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi = = … = n. y1 y2 yn Để có thể sử dụng tốt bất đẳng thức Cauchy - Schwarz, Ta cần quan sát, đưa ra nhận xét (về điều kiện, về dạng phát biểu của bài toán, …) và nhận biết mình cần phải làm gì? Và tự đặt câu hỏi “Có cách nào giúp đơn giản hóa bài toán hay không?” và tìm cách trả lời câu hỏi đó. Để hiểu rõ hơn vấn đề, ta hãy xét những bài toán sau. Bài 1. Cho các số thực dương a, b, c. Chứng minh rằng a2 b2 c2 a+b+c + +  (1) b+c c+a a+b 2 Phân tích Nhận thấy rằng vế trái của bất đẳng thức có dạng phát biểu giống với dạng  x12 x22 x 2 phân thức của bất đẳng thức Cauchy - Schwarz  + + … + n . Yếu tố này đã  y1 y2 yn  6
  7. Một số kỹ năng cơ bản khi sử dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz vào chứng minh bất đẳng thức gợi cho ta ý nghĩ sử dụng Cauchy - Schwarz để giải bài toán. Và nhận xét này đã giúp ra giải quyết bài toán thành công, theo bất đẳng thức Cauchy - Schwarz ta có a2 (a + b + c)2 a+b+c ∑  = . (1.1) b + c (b + c) + (c + a) + (a + b) 2 a b c Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi = = , tức là a = b = c.  b+c c+a a+b Bài 2. Nếu a, b, c là các số thực dương thì a b c + +  1. (2) b + 2c c + 2a a + 2b Định hướng và tìm tòi lời giải Nhận thấy rằng vế trái của bất đẳng thức có dạng phân thức, điều này gợi cho ta nghĩ đến việc sử dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz dạng phân thức để chứng minh bài toán. Nhưng muốn vậy ta cần có sự xuất hiện của bình phương trên các tử số, tuy nhiên ở đây lại không có. Ta có thể thêm vào các tử và mẫu các lượng a, b, c tương ứng để bình phương xuất hiện, cụ thể là: a b c a2 b2 c2 + + = + + (2.1) b + 2c c + 2a a + 2b a(b + 2c) b(c + 2a) c(a + 2b) Đến đây ra có thể yên tâm sử dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz để thu được a2 (a + b + c)2 (a + b + c)2 ∑  = (2.2) a(b + 2c) a(b + 2c) + b(c + 2a) + c(a + 2b) 3(ab + bc + ca) Và như vậy bài toán sẽ được chứng minh xong nếu ta có (a + b + c)2  3(ab + bc + ca) (2.3) Đây lại là một kết quả cơ bản và khá quen thuộc. Lưu ý rằng (2.2) xảy ra đẳng thức khi và chỉ khi a b c = = a(b + 2c) b(c + 2a) c(a + 2b) Và (2.3) xảy ra đẳng thức khi và chỉ khi a = b = c. Giải hệ này, ta tìm được a = b = c. Vì vậy bất đẳng thức đã cho xảy ra đẳng thức khi và chỉ khi a = b = c.  Bài 3. Cho bốn số thực dương a, b, c, d. Chứng minh rằng: a b c d + + +  2. (3) b+c c+d d+a a+b 7
  8. Một số kỹ năng cơ bản khi sử dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz vào chứng minh bất đẳng thức Định hướng và tìm tòi lời giải Sử dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz, ta có: a2 b2 c2 d2 VT = + + + a(b + c) b(c + d) c(d + a) d(a + b) (a + b + c + d)2  (3.1) a(b + c) + b(c + d) + c(d + a) + d(a + b) (a + b + c + d)2 = (a + c)(b + d) + 2ac + 2bd Mặt khác, theo bất đẳng thức AM - GM, ta lại có (a + c)2 (b + d)2 (a + c)(b + d) + 2ac + 2bd  (a + c)(b + d) + + 2 2 (a + b + c + d)2 = (3.2) 2 Kết hợp hai bất đẳng thức này lại, ta suy ra kết quả cần chứng minh. Ta có (3.1) xảy ra đẳng thức khi và chỉ khi a b c d = = = a(b + c) b(c + d) c(d + a) d(a + b) Còn (3.2) xảy ra đẳng thức khi và chỉ khi a = c và b = d. Từ hai điều kiện này, ta suy ra bất đẳng thức đã cho xảy ra khi và chỉ khi a = c và b = d. Nhận xét. Ưu điểm của việc sử dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz trong các ví dụ vừa rồi là có thể được thấy rõ ở bậc của các bất đẳng thức trước và sau khi sử dụng Cauchy - Schwarz. Rõ ràng bậc của các bất đẳng thức giảm đi rõ rệt sau khi ta áp dụng Cauchy - Schwarz, điều đó có nghĩa việc chứng minh các bất đẳng thức sau đó sẽ dễ hơn rất nhiều. Có thể cho rằng “Ta vẫn có thể sử dụng phép biến đổi trực tiếp ở đây nên không cần thiết phải sử dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz làm gì”. a b c Khẳng định này đúng với (2), + +  1 bằng biến đổi trực tiếp ta b + 2c c + 2a a + 2b có: ∑a(a + 2b)(c + 2a)  (a + 2b)(b + 2c)(c + 2a), 8
  9. Một số kỹ năng cơ bản khi sử dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz vào chứng minh bất đẳng thức 2(a3 + b3 + c3) + 4(a2b + b2c + c2a) + (ab2 + bc2 + ca2) + 6abc  2(a2b + b2c + c2a) + 4(ab2 + bc2 + ca2) + 9abc, 2(a3 + b3 + c3) + 2(a2b + b2c + c2a)  3(ab2 + bc2 + ca2) + 3abc, Đúng do theo bất đẳng thức AM - GM, ta có: VT = 2(a3 + c2a) + 2(b3 + a2b) + 2(c3 + b2c)   4ca2 + 4ab2 + 4bc2  3(ab2 + bc2 + ca2) + 3abc. a b c d Nhưng với (3) + + +  2 thì sao? b+c c+d d+a a+b Việc thực hiện biến đổi trực tiếp để đánh giá với (3) là rất khó. Một bất đẳng thức bốn biến số và chỉ có tính chất hoán vị vòng quanh giữa các biến chứ không đối xứng. Mà để thực hiện biến đổi trực tiếp, ta cần phải sử dụng nhiều tính toán (ngay cả với ví dụ ba biến ở trên thì việc triển khai đã sử dụng không ít tính toán), rất dễ mắc sai lầm. Và nếu biến đổi thì sau khi biến đổi xong, ta sẽ được một bất đẳng thức hoán vị bậc bốn với bốn biến số. Việc đánh giá các bất đẳng thức này thật không dễ. Như vậy, việc sử dụng biến đổi trực tiếp ở đây là không khả thi và ta nên loại trừ. Bất đẳng thức Cauchy - Schwarz đã thể hiện ưu thế tuyệt đối của mình ở những ví dụ này. Và ta có thể kết lại được tác dụng chính của bất đẳng thức Cauchy - Schwarz là giúp đơn giản hóa bài toán, đưa những cái phức tạp, cồng kềnh về những cái đơn giản. Tiếp theo là một số ví dụ khác. Bài 4. Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn a + b + c = 3. Chứng minh rằng a b c + +  1. (4) a + 2bc b + 2ca c + 2ab Lời giải Sử dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz, ta có a a2 b2 c2 ∑ = + + a + 2bc a2 + 2abc b2 + 2abc c2 + 2abc (a + b + c)2  2 (4.1) (a + 2abc) + (b2 + 2abc) + (c2 + 2abc) Do đó ta chỉ cần chứng minh được (a + b + c)2  a2 + b2 + c2 + 6abc, (4.2) Hay ab + bc + ca  3abc. 9
  10. Một số kỹ năng cơ bản khi sử dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz vào chứng minh bất đẳng thức Do a + b + c = 3 nên bất đẳng thức trên tương đương với (a + b + c)(ab + bc + ca)  9abc, (4.4) Hiển nhiên đúng theo bất đẳng thức AM - GM. a b c Ta có (4.1) xảy ra đẳng thức khi 2 = 2 = 2 , còn (4.4) xảy ra a + 2abc b + 2abc c + 2abc đẳng thức khi a = b = c. Kết hợp hai điều kiện này lại cho ta điều kiện đẳng thức của cả bài toán là a = b = c. Bài 5. Chứng minh rằng với mọi a, b, c > 0, ta có a3 b3 c3 a2 + b2 + c2 + +  (5) a + 2b b + 2c c + 2a 3 Lời giải Sử dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz, ta có a3 b3 c3 a4 b4 c4 + + = 2 + 2 + 2 a + 2b b + 2c c + 2a a + 2ab b + 2bc c + 2ca (a2 + b2 + c2)2  2 (a + 2ab) + (b2 + 2bc) + (c2 + 2ca) (a2 + b2 + c2)2 = 2 (5.1) a + b2 + c2 + 2(ab + bc + ca) (a2 + b2 + c2)2 a2 + b2 + c2 Ta phải chứng minh  a2 + b2 + c2 + 2(ab + bc + ca) 3  3(a2 + b2 + c2)  a2 + b2 + c2 + 2(ab + bc + ca), (5.2) Hay a2 + b2 + c2  ab + bc + ca (5.3) Đây là một kết quả cơ bản. a2 b2 c2 Do (5.1) xảy ra đẳng thức khi 2 = = a + 2ab b2 + 2bc c2 + 2ca và (5.3) xảy ra đẳng thức khi a = b = c nên bất đẳng thức đã cho đạt được dấu bằng khi và chỉ khi a = b = c.  Sau đây là một kỹ năng khác. 10
  11. Một số kỹ năng cơ bản khi sử dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz vào chứng minh bất đẳng thức Bài 6. Cho các số thực dương a, b, c. Chứng minh rằng (a2 + 2)(b2 + 2)(c2 + 2)  3(a + b + c)2 . (6) Định hướng và tìm tòi lời giải Vì ba biến a, b, c độc lập với nhau nên một cách tự nhiên, ta muốn tìm cách đánh giá để làm giảm đi số biến. Sự xuất hiện của a2 + 2 gợi cho ta nghĩ đến việc sử dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz cho đại lượng (a + b + c)2 như sau  (b + c)2  (b + c)2 (a + b + c) = a.1 + 2 2   (a + 2)1 + 2 . (6.1)  2   2  Và như thế ta có thể đưa bài toán về chứng minh bất đẳng thức sau - một bất đẳng thức hai biến  (b + c)2 (b + 2)(c + 2)  3 1 + 2 2 . (6.2)  2  Hơn nữa ta có thể chắc chắn rằng (6.2) luôn đúng. Thật vậy. Do tính chất độc lập của ba biến a, b, c nên (6.1) chắc chắn có thể 2 xảy ra đẳng thức (đạt được khi a = ). b+c Và vì bất đẳng thức đã cho đúng với mọi a, b, c bất kỳ nên nó cũng phải đúng 2 2 với a = , tức là (6.2) phải đúng (vì khi a = thì bất đẳng thức đã cho trở b+c b+c thành (6.2)). Bây giờ thực hiện phép khai triển, ta viết được (6.2) dưới dạng b2 + c2 + b2c2 - 3bc + 1  0, (6.3) 2 b2 + c2 Đúng vì  bc và bc + b2c2 - 3bc + 1 = (bc - 1)2  0. 2 2 Ta có (6.1) xảy ra đẳng thức khi a = , b+c còn (6.3) xảy ra đẳng thức khi b = c và bc = 1. Giải ra, ta tìm được điều kiện để đẳng thức xảy ra ở bất đẳng thức ban đầu là 11
  12. Một số kỹ năng cơ bản khi sử dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz vào chứng minh bất đẳng thức a = b = c = 1.  Cách khác. (a2 + 2)(b2 + 2)(c2 + 2)  3(a + b + c)2 . (6) Nhận xét rằng đây là một bất đẳng thức không thuần nhất và các biến a, b, c độc lập với nhau. Ta muốn dùng Cauchy - Schwarz để đánh giá bất đẳng thức này. Muốn vậy, bạn hãy nhớ lại mục đính chính của ta trong mọi đánh giá là đưa bài toán về đơn giản nhất có thể. Không mất tổng quát giả sử (a2 - 1)(b2 - 1)  0  a2.b2 + 1  a2 + b2 (*) Vậy (a2 + 2)(b2 + 2)(c2 + 2) = [a2.b2 + 2(a2 + b2) + 4].(c2 + 2) (*) 2 2  [a + b + 2(a2 + b2) + 3].(c2 + 2) = 3(a2 + b2 + 12)(12 + 12 + c2)  3(a + b + c)2 dấu bằng khi và chỉ khi a = b = c = 1 Bài 7. Chứng minh bất đẳng thức sau đúng với mọi số thực bất kỳ a, b, c (a2 + 1)(b2 + 1)(c2 + 1)  (ab + bc + ca - 1)2 . (7) Lời giải Bằng phương pháp suy luận giống như ở bài toán trước, ta muốn áp dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz với biểu thức bình phương bên vế phải sao cho đại lượng a2 + 1 xuất hiện trong đánh giá. Ta thực hiện như sau 2    VP = a(b + c) + (bc - 1)  (a2 + 1)(b + c)2 + (bc - 1)2. (7.1) Và như vậy, ta chỉ cần chứng minh được (b + c)2 + (bc - 1)2  (b2 + 1)(c2 + 1). (7.2) Thế nhưng đây thực chất chỉ là một hằng đẳng thức. Đẳng thức ở đánh giá (7.1) xảy ra khi và chỉ khi a(bc - 1) = b + c, hay a + b + c = abc. Vậy ở bất đẳng thức đã cho, ta có đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a + b + c = abc. Nhận xét. Thật ra ta có hằng đẳng thức (a2 + 1)(b2 + 1)(c2 + 1) = (ab + bc + ca - 1)2 + (a + b + c - abc)2 (7.3). 12
  13. Một số kỹ năng cơ bản khi sử dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz vào chứng minh bất đẳng thức Sử dụng hằng đẳng thức này, ta có thể chứng minh được bất đẳng thức dưới đây bằng phương pháp tương tự như hai bài toán vừa xét. Bài 8. Cho các số thực a, b, c, d thỏa mãn (a2 + 1)(b2 + 1)(c2 + 1)(d2 + 1) = 16. Chứng minh bất đẳng thức: -3  ab + ac + ad + bc + bd + cd - abcd  5. (8) Lời giải Dễ thấy bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với (ab + ac + ad + bc + bd + cd - abcd - 1)2  16, (8.1) Hay là [a(b + c + d - bcd) + (bc + ca + db - 1)]2  16. (8.2) Sử dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz , ta có  VT  (a2 + 1)(b + c + d - bcd)2 + (bc + cd + db - 1)2. (8.3) Và như thế ta chỉ cần chứng minh được (b + c + d - bcd)2 + (bc + cd + db - 1)2  (b2 + 1)(c2 + 1)(d2 + 1). (8.4) Đây chính là hằng đẳng thức (7.3) mà ta vừa đề cập ở trên.  Bài 9. Chứng minh rằng với mọi a, b, c dương, ta đều có 3 a(b + 1) + b(c + 1) + c(a + 1)  (a + 1)(b + 1)(c + 1). (9) 2 Phân tích và tìm tòi lời giải Đây là một bất đẳng thức không thuần nhất và các biến độc lập với nhau. Đó chính là lợi thế của bài toán, việc đánh giá riêng lẻ sẽ dễ dàng hơn những bất đẳng thức có điều kiện. Ta quan sát và có để ý rằng đại lượng c(a + 1) và biểu thức bên vế phải của bất đẳng thức đã cho đều chứa a + 1. Do đó nếu ta sử dụng Cauchy - Schwarz đánh giá biểu thức còn lại của vế trái là a(b + 1) + b(c + 1) sao cho a + 1 xuất hiện thì ta có thể giản bớt a + 1 ở hai vế. Và như thế ta chỉ còn một bất đẳng thức hai biến, lẽ đương nhiên là nó sẽ dễ chứng minh hơn bất đẳng thức ban đầu. Với những ý tưởng như vậy, ta áp dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz như sau a(b + 1) + b(c + 1)  (a + 1)[(b + 1) + b(c + 1)]. (9.1) Như thế ta chỉ cần chứng minh 13
  14. Một số kỹ năng cơ bản khi sử dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz vào chứng minh bất đẳng thức 3 b(c + 2) + 1 + c  (b + 1)(c + 1). (9.2) 2 Phân tích tương tự như trên, ta muốn áp dụng Cauchy - Schwarz một lần nữa cho vế trái của (9.2) sao cho nhân tử b + 1 xuất hiện. Theo đó ta sẽ chỉ còn một bất đẳng thức một biến số… Ý tưởng đã rõ. Bây giờ ra chỉ cần thêm một chút quan sát nữa là được. Bạn hãy để ý rằng đại lượng b(c + 2) + 1 còn thiếu một lượng c + 1 thì có thể phân tích ra được b + 1, cái mà chúng ta cần. Do đó ta sẽ sử dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz để bổ sung lượng đó cho nó, cụ thể là   c  b(c + 2) + 1 + c  (b(c + 2) + 1) + (c + 1) 1 +    c + 1 (b + 1)(c + 2)(2c + 1) = (9.3) c+1 Cuối cùng ta chỉ cần chứng minh được (c + 2)(2c + 1) 3  c + 1, (9.4) c+1 2 Hay 4(c + 2)(2c + 1)  9(c + 1)2 (9.5) Đúng theo bất đẳng thức AM - GM 2   4(c + 2)(2c + 1)  (c + 2) + (2c + 1) = 9(c + 1)2. (9.6) Ta có (9.1) xảy ra dấu bằng khi ab(c + 1) = b + 1, (9.3) xảy ra dấu bằng khi (c + 1)2 b(c + 2) + 1 = , c còn (9.6) xảy ra dấu bằng khi c = 1. Kết hợp những điều kiện này lại, chúng ta tìm được điều kiện để xảy ra dấu đẳng thức ở bất đẳng thức ban đầu là a = b = c = 1. 1 1 1 Bài 10. Cho x, y, z > 1 và + + = 2. Chứng minh rằng x y z x+y+z x-1+ y - 1 + z - 1. (10). Lời giải 14
  15. Một số kỹ năng cơ bản khi sử dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz vào chứng minh bất đẳng thức Một cách tự nhiên, ta muốn áp dụng Cauchy - Schwarz cho biểu thức bên phải sao cho sau bước đánh giá, ta thu được đại lượng x + y + z làm nhân tử. Với ý tưởng như vậy, ta nghĩ ngay đến việc sử dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz như sau  x - 1  1 (∑ x - 1)2  (∑x)∑  = (∑x)3 - ∑  = ∑x. (10.1)  x   x 1 1 1 x-1 y-1 z-1 Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi + + = 2 và 2 = = 2 . x y z x y2 z 3 Giải ra, ta tìm được x = y = z = . 2 3 Vậy bất đẳng thức đã cho xảy ra đẳng thức khi và chỉ khi x = y = z = . 2 1 1 1 1 Bài 11. Cho bốn số thực dương a, b, c, d thỏa mãn: a + b + c + d = + + + . a b c d Chứng minh rằng a2 + 1 b2 + 1 c2 + 1 d2 + 1 a+b+c+d + + + (11) 2 2 2 2 Lời giải Sử dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz , ta có  2 2  a +1+ 2 b +1+ c +1+ 2 d + 1  2   a2 + 1 b2 + 1 c2 + 1 d2 + 1 (a + b + c + d) + + +   a b c d   1 1 1 1 = (a + b + c + d)a + b + c + d + + + +  = 2(a + b + c + d)2. (11.1)  a b c d Từ đây suy ra a2 + 1 b2 + 1 c2 + 1 d2 + 1 + + +  a + b + c + d. (11.2) 2 2 2 2 Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 1 1 1 1 a2 + 1 b2 + 1 c2 + 1 d2 + 1 a + b + c + d = + + + và 2 = = = . a b c d a b2 c2 d2 Giải hệ phương trình này ta tìm được điều kiện để đẳng thức xảy ra là a = b = c = d = 1.  15
  16. Một số kỹ năng cơ bản khi sử dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz vào chứng minh bất đẳng thức Bài 12. Cho n số thực dương a1, a2, …, an có tổng bằng 1. Chứng minh 1 1 1 1 1 1 +…+ <  + + … + . (12) 1 + a1 1 + a1 + a2 + … + an 2a1 a2 an Lời giải Để việc đánh giá được thuận lợi, ta đặt a0 = 0. Khi đó ta phải chứng minh i=n 1 1 1 1 +…+ <  . (12.1) 1 + a0 + a1 1 + a0 + a1 + … + an 2i = 1ai Sử dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz , ta được 2  1    i=n i=n i=n  1 ai        2 (12.2) i = 11 + a0 + … + ai  i = 1ai  i = 1 (1 + a0 + … + ai)  Ta cần chứng minh i=n ai 1 P=  2 < . (12.3) i = 1(1 + a0 + … + ai) 2 Để ý rằng với mọi 1  i  n, ta có ai ai < (1 + a0 + … + ai)2 (1 + a0 + … + ai - 1)(1 + a0 + … + ai) 1 1 = - (12.4) 1 + a0 + … + ai 1 + a0 + … + ai - 1 Do đó i=n  1 1  P<  -  i = 1 1 + a0 + … + ai 1 + a0 + … + ai - 1 1 1 1 1 = - =1- = (12.5) 1 + a0 1 + a0 + … + ai 1+1 2 Bài toán được chứng minh xong.  Bài 13. Cho các số thực dương a, b, c. Chứng minh rằng a3 b3 c3 a2 + b2 + c2 + +  . (13) a2 + ab + b2 b2 + bc + c2 c2 + ca + a2 a+b+c 16
  17. Một số kỹ năng cơ bản khi sử dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz vào chứng minh bất đẳng thức Phân tích và tìm tòi lời giải Xin được nhắc lại một lần nữa mục đích của ta khi sử dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz là làm đơn giản hóa bài toán, càng nhiều càng tốt. Bởi vì vậy cho nên ta cố gắng áp dụng Cauchy - Schwarz làm sao cho giảm bớt được một số đại lượng có trong các vế của bất đẳng thức cần chứng minh. Chẳng hạn ở bài này, ta hãy cùng quan sát vế phải và đưa ra nhận xét “nếu ta có thể sử dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz cho vế trái để làm mất đại lượng a2 + b2 + c2 trên tử thì bài toán sẽ không còn khó nữa”. Với ý tưởng như vậy, ta thực hiện đánh giá sau a3 (a2 + b2 + c2)2 ∑ 2  . (13.1) a + ab + b2 ∑a(a2 + ab + b2) Cuối cùng ta chỉ cần chứng minh (a2 + b2 + c2)(a + b + c)  ∑a(a2 + ab + b2). (13.2) Thế nhưng đây lại chỉ đơn giản là một hằng đẳng thức. Ta có đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a2 b2 c2 = = , tức là a = b = c.  a(a2 + ab + b2) b(b2 + bc + c2) c(c2 + ca + a2) Bài 14. Chứng minh bất đẳng thức sau đúng với mọi a, b, c dương a2 b2 c2 3 a3 + b3 + c3 + +  . (14) b + c c + a a + b 2 a2 + b2 + c2 Lời giải Sử dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz , ta được a2 b2 c2 (a3 + b3 + c3)2 + +  . (14.1) b + c c + a a + b a4(b + c) + b4(c + a) + c4(a + b) Từ đó bài toán được quy về chứng minh 2(a2 + b2 + c2)(a3 + b3 + c3)  3∑a4(b + c). (14.2) Bất đẳng thức này tương đương với   ∑a5 + b5 + 2a2b2(a + b) - 3ab(a3 + b3)  0, (14.3) Ta có a5 + b5 + 2a2b2(a + b) - 3ab(a3 + b3) = (a + b) [a4 - a3b + a2b2 - ab3 + b4] + 2a2b2(a + b) - 3ab(a3 + b3) 17
  18. Một số kỹ năng cơ bản khi sử dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz vào chứng minh bất đẳng thức = (a + b) [a4 - a3b + a2b2 - ab3 + b4 + 2a2b2 - 3ab(a2 - ab + b2)] = (a + b) [a4 - a3b + a2b2 - ab3 + b4 + 2a2b2 - 3a3b + 3a2b2 - 3ab3] = (a + b) [a4 - 4a3b + 6a2b2 - 4ab3 + b4] = (a + b)(a - b)4 Vậy (14.3)  (a + b)(a - b)4 + (b + c)(b - c)4 + (c + a)(c - a)4  0. (14.4) Do bất đẳng thức cuối hiển nhiên đúng nên ta có điều phải chứng minh. Ta đi tìm điều kiện để đẳng thức xảy ra. Do (14.1) xảy ra đẳng thức khi a3 b3 c3 = = a4(b + c) b4(c + a) c4(a + b) Và (14.4) xảy ra đẳng thức khi a = b = c nên bất đẳng thức đã cho có dấu bằng khi a = b = c.  Bây giờ chúng ta sẽ đến với một kỹ năng khác, (cùng mẫu). Bài 15. Chứng minh rằng với mọi số thực dương a, b, c ta có 1 1 1 2+ 2 2 . (15) (a + b) (a + c) a + bc Phân tích và tìm tòi lời giải Ta có nhận xét rằng “nếu ta áp dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz cho các bình phương (a + b)2, (a + c)2 sao cho đại lượng a2 + bc xuất hiện bậc của bất đẳng thức sẽ được giảm đáng kể”. Tiến hành theo ý tưởng này, ta được  b (a2 + bc)1 +   (a + b)2, (15.1)  c Từ đó suy ra 1 c 2 (15.2) (a + b) (b + c)(a2 + bc) Hoàn toàn tương tự, ta cũng có 1 b 2 (15.3) (a + c) (b + c)(a2 + bc) Cộng tương ứng vế với vế hai bất đẳng thức này, ta được 18
  19. Một số kỹ năng cơ bản khi sử dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz vào chứng minh bất đẳng thức 1 1 c b 1 2+ 2 2 + 2 = 2 (15.4) (a + b) (a + c) (b + c)(a + bc) (b + c)(a + bc) a + bc Do (15.1) xảy ra đẳng thức khi a = c và (15.3) xảy ra đẳng thức khi a = b nên bất đẳng thức đã cho xảy ra đẳng thức khi a = b = c.  Bài 16. Cho ba số thực dương a, b, c. Chứng minh bất đẳng thức sau 1 a3 b3 c3  + + (16) a + b + c (2a2 + b2)(2a2 + c2) (2b2 + c2)(2b2 + a2) (2c2 + a2)(2c2 + b2) Lời giải Tương tự bài trước, ta muốn áp dụng Cauchy - Schwarz cho các mẫu số của từng phân thức bên vế phải sao cho đại lượng a + b + c xuất hiện sau khi đánh giá. Với ý tưởng như vậy, ta sử dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz như sau (a2 + b2 + a2)(a2 + a2 + c2)  (a2 + ba + ac)2 = a2(a + b + c) (16.1) Từ đó suy ra a3 a 2  . (16.2) (2a + b )(2a + c ) (a + b + c)2 2 2 2 Cộng bất đẳng thức này với hai bất đẳng thức tương tự, ta thu được ngay kết quả bài toán. Dễ thấy đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c.  Bài 17. Giả sử a, b, c là ba số thực dương cho trước. Chứng minh rằng 1 1 1  a + b + c 2 + +   . (17) a2 + ab + bc b2 + bc + ca c2 + ca + ab ab + bc + ca Lời giải Sử dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz , ta có 1 c2 + ab + bc c2 + ab + bc =  (17.1) a2 + ab + bc (a2 + ab + bc)(c2 + ab + bc) (ca + ab + bc)2 Cộng bất đẳng thức này với hai bất đẳng thức tương tự, ta suy ra 1 ∑(c2 + ab + bc) (a + b + c)2 ∑ 2  = (17.2) a + ab + bc (ab + bc + ca)2 (ab + bc + ca)2 Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c.  Bài 18. Chứng minh rằng với mọi số thực dương a, b, c ta có ab bc ca a2 + b2 + c2 + +  (18) a2 + bc + ca b2 + ca + ab c2 + ab + bc ab + bc + ca 19
  20. Một số kỹ năng cơ bản khi sử dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz vào chứng minh bất đẳng thức Lời giải Sử dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz , ta có ab ab(b2 + bc + ca) ab(b2 + bc + ca) =  (18.1) a2 + bc + ca (a2 + bc + ca)(b2 + bc + ca) (ab + bc + ca)2 Do đó ta chỉ cần chứng minh được ∑ab(b2 + bc + ca)  (a2 + b2 + c2)(ab + bc + ca), (18.2) Hay a3b + b3c + c3a  abc(a + b + c). (18.3) Chia cả hai vế của bất đẳng thức này cho abc, ta được a2 b2 c2 + +  a + b + c (18.4) c a b Hiển nhiên đúng theo bất đẳng thức Cauchy - Schwarz , a2 b2 c2 (a + b + c)2 + +  = a + b + c (18.5) c a b c+a+b Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c.  Bài 19. Cho các số thực dương x1, x2, …, xn thỏa mãn x1 + x2 + … + xn = n. Chứng minh bất đẳng thức 1 1 1 2 + 2 +…+ 2  1. (19) x1 - x1 + n x2 - x2 + n xn - xn + n Lời giải Sử dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz , ta có [x12 + (n - x1)][1 + (n - x1)]  [x1 + (n - x1)]2 = n2 (19.1) Từ đó suy ra 1 n + 1 - x1 2  (19.2) x1 - x1 + n n2 Cộng bất đẳng thức này với các bất đẳng thức tương tự, ta suy ra ngay kết quả bài toán. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x1 = x2 = … = xn = 1.  Bài 20. Giả sử a, b, c là các số thực dương thỏa mãn 1 1 1 + +  1. b+c+1 c+a+1 a+b+1 Chứng minh rằng 20
ADSENSE

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

EXAM.03: Bộ 400 Đề Thi Thử THPT Quốc Gia 2021
400 tài liệu
955 lượt tải
THÔNG TIN
TRỢ GIÚP
HỖ TRỢ KHÁCH HÀNG
Theo dõi chúng tôi

Chịu trách nhiệm nội dung:

Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA

LIÊN HỆ

Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM

Hotline: 093 303 0098

Email: support@tailieu.vn

Giấy phép Mạng Xã Hội số: 670/GP-BTTTT cấp ngày 30/11/2015 Copyright © 2022-2032 TaiLieu.VN. All rights reserved.

 

Đồng bộ tài khoản
2=>2