intTypePromotion=1
zunia.vn Tuyển sinh 2024 dành cho Gen-Z zunia.vn zunia.vn
ADSENSE
 » 
 » 

Sáng kiến kinh nghiệm THCS: Một số phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử

Chia sẻ: Convetxao | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:30

Thêm vào BST
Báo xấu
40
lượt xem 6
download
 
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Mục đích của sáng kiến kinh nghiệm này nhằm nghiên cứu lí luận về phân tích đa thức thành nhân tử. Xây dựng hệ thống bài tập phân tích đa thức thành nhân tử với các phương pháp giải bài tập thích hợp cho từng bài. Thực nghiệm việc sử dụng các phương pháp giải bài tập phân tích đa thức thành nhân tử trong giảng dạy. Một số bài học kinh nghiệm trong quá trình nghiên cứu.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Sáng kiến kinh nghiệm THCS: Một số phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử

  1. Một số phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HÀ NỘI MÃ SKKN SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM Một số phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử Lĩnh vực: Toán Cấp học: Trung học cơ sở Năm học 2016-2017 Sáng kiến kinh nghiệm 1 Năm học 2016-2017
  2. Một số phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử Mục lục TT NỘI DUNG SKKN TRANG Phần I. Đặt vấn đề 1 Lý do chọn đề tài 2 2 Mục đích của đề tài 3 3 Giới hạn đề tài 3 4 Đối tượng nghiên cứu. 3 5 Phương pháp nghiên cứu 3 6 Kế hoạch nghiên cứu 3 Phần II. Giải quyết vấn đề 1 Cơ sở lý luận và thực tiễn: Một số phương pháp 4 phân tích đa thức thành nhân tử 2 Thực trạng vấn đề 26 3 Bài học kinh nghiệm và giải pháp thực hiện 26 4 Kết quả áp dụng đề tài 27 Phần III. Kết luận và khuyến nghị 28 Phần IV. Tài liệu tham khảo 29 Sáng kiến kinh nghiệm 2 Năm học 2016-2017
  3. Một số phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử PHẦN I. ĐẶT VẤN ĐỀ 1. Lí do chọn đề tài a. Cơ sở pháp chế Đào tạo bồi dưỡng học sinh giỏi là một công tác mũi nhọn của ngành giáo dục & đào tạo. Trong xu thế phát triển hiện nay, việc đào tạo, bồi dưỡng học sinh giỏi là một nhu cầu cấp thiết của xã hội, nó góp phần không nhỏ vào việc đào tạo, bồi dưỡng nhân tài cho đất nước. Chính vì vậy, trong những năm gần đây, việc đào tạo, bồi dưỡng học sinh giỏi được ngành giáo dục hết sức chú trọng. b. Cơ sở lý luận Toán học là môn học giữ vai trò quan trọng trong suốt bậc học phổ thông. Là một môn học khó, đòi hỏi ở mỗi học sinh phải có một sự nỗ lực rất lớn để chiếm lĩnh những tri thức cho mình. Chính vì vậy, việc tìm hiểu cấu trúc của chương trình, nội dung của SGK, nắm vững phương pháp dạy học, để từ đó tìm ra những biện pháp dạy học có hiệu quả là một công việc mà bản thân mỗi giáo viên đang trực tiếp giảng dạy bộ môn toán thường xuyên phải làm. Trong công tác giảng dạy bộ môn Toán, việc đào tạo, bồi dưỡng những học sinh có năng khiếu về bộ môn Toán. Giúp cho các em trở thành những học sinh giỏi thực sự về bộ môn toán là một công tác mũi nhọn trong công tác chuyên môn được ngành giáo dục hết sức chú trọng. Các cuộc thi học sinh giỏi các cấp được tổ chức thường xuyên mỗi năm một lần đã thể hiện rõ điều đó. Chương trình Toán bậc THCS có rất nhiều chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi, trong đó chuyên đề “ Một số phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử” là một trong những chuyên đề giữ một vai trò quan trọng, nó giúp cho học sinh hình thành kỹ năng biến đổi đồng nhất trên các biểu thức đại số. Chẳng hạn, để thực hiện rút gọn một biểu thức đại số thì không thể thiếu việc phân tích đa thức thành nhân tử, hay việc giải một phương trình bậc cao sẽ gặp rất nhiều khó khăn nếu học sinh không thành thạo phân tích biểu thức vế trái thành nhân tử, thậm chí trong nhiều đề thi học sinh giỏi cấp Quận, Thành phố, ... nhiều năm cũng có những bài toán về chuyên đề phân tích đa thức thành nhân tử. Chính vì vậy, việc bồi dưỡng cho học sinh chuyên đề về phân tích đa thức thành nhân tử là một trong những vấn đề mà bản thân tôi hết sức quan tâm. Sáng kiến kinh nghiệm 3 Năm học 2016-2017
  4. Một số phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử c. Cơ sở thực tiễn Năm học này, bản thân tôi được Nhà trường giao cho nhiệm vụ đào tạo bồi dưỡng học sinh. Đây là cơ hội để tôi đưa đề tài này áp dụng vào công tác đào tạo bồi dưỡng học sinh giỏi. Với tất cả những lý do nêu trên, tôi quyết định chọn đề tài “ Một số phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử” . 2. Mục đích của đề tài - Nghiên cứu lí luận về phân tích đa thức thành nhân tử. - Xây dựng hệ thống bài tập phân tích đa thức thành nhân tử với các phương pháp giải bài tập thích hợp cho từng bài . - Thực nghiệm việc sử dụng các phương pháp giải bài tập phân tích đa thức thành nhân tử trong giảng dạy. - Một số bài học kinh nghiệm trong quá trình nghiên cứu. 3. Giới hạn của đề tài Đề tài này tôi áp dụng tại nhà trường đang dạy 4. Đối tượng nghiên cứu Học sinh giỏi lớp 8 và lớp 9 của nhà trường. 5. Phương pháp nghiên cứu Để thực hiện đề tài này, tôi sử dụng những phương pháp sau đây: a) Phương pháp nghiên cứu lý luận. b) Phương pháp khảo sát thực tiễn. c) Phương pháp quan sát. d) Phương pháp phân tích, tổng hợp, khái quát hóa. e) Phương pháp tổng kết kinh nghiệm. 6. Kế hoạch nghiên cứu -Từ tháng 8/2016 đến tháng 10/2016: Đọc tài liệu liên quan đến đề tài -Từ tháng 11/2016 đến tháng 12/2016: Lập đề cương đề tài -Từ tháng 1/2017 đến tháng 3/2017: Hoàn thiện đề tài Sáng kiến kinh nghiệm 4 Năm học 2016-2017
  5. Một số phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử PHẦN II. GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ I. Cơ sở lý luận và thực tiễn: Một số phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử Nhiều định lý đã chứng tỏ được rằng mọi đa thức đều phân tích được thành tích các đa thức trên trường số thực R. Song đó là mặt lí thuyết, còn trong thực hành thì khó khăn hơn nhiều, và đòi hỏi những “kĩ thuật”, những thói quen và kĩ năng “sơ cấp”. Dưới đây qua các ví dụ ta xem xét một số phương pháp thường dùng để phân tích một đa thức thành nhân tử. 1. Phương pháp đặt nhân tử chung Phương pháp này vận dụng trực tiếp tính chất phân phối của phép nhân đối với phép cộng (theo chiều ngược). Bài 1 : Phân tích đa thức sau thành nhân tử A = 2ax 3 + 4bx2y + 2x2(ax - by) Giải: Ta có : A = 2ax3 + 4bx2y + 2x2(ax –by) = 2x2 (ax + 2by + ax – by) =2x2(2ax + by) Bài 2: Phân tích đa thức sau thành nhân tử B = (2a2 – 3ax)(5y + 2b) – (6a2 – 4ax)(5y + 2b) Giải: Ta có: B = (2a2 – 3ax)(5y +2b) – (6a2 – 4ax)(5y + 2b) = (5y+2b)((2a2 – 3ax) – (6a2 – 4ax)) = (5y + 2b)(- 4a2 + ax) = (5y + 2b)(x – 4a)a Bài 3: Phân tích đa thức thành nhân tử C = 3x2(y – 2z ) – 15x(y – 2z)2 Giải: Ta thấy các hạng tử có nhân tử chung là y – 2z Do đó : C = 3x2(y – 2z) – 15x(y – 2z)2 = 3x(y – 2z)((x – 5(y – 2z)) =3x(y – 2z)(x – 5y + 10z) Bài 4 : phân tích đa thức sau thành nhân tử D = (2a2 – 3ax)(5c + 2d) – (6a2 – 4ax)(5c +2d) Giải: Ta có: D = (2a2 – 3ax)(5c + 2d) – (6a2 – 4ax)(5c + 2d) = (5c + 2d)(2a2 – 3ax – 6a2 + 4ax) = (5c + 2d)(ax – 4a2) = a(5c + 2d)(x – 4a) Bài 5: phân tích đa thức sau thành nhân tử Sáng kiến kinh nghiệm 5 Năm học 2016-2017
  6. Một số phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử E = 3x3y – 6x2y – 3xy3 – 6xy2z – xyz2 + 3xy Giải: Ta có: E = 3x 3y – 6x2y – 3xy3 – 6xy2z – xyz2 + 3xy = 3xy(x2 – 2x –y2 – 2yz – z2 + 1) = 3xy((x2 – 2x + 1) – (y2 + 2yz + z2)) = 3xy((x – 1)2 – (y + z)2) = 3xy((x – 1) –(y + z))((x – 1) + 9 y+ z)) = 3xy(x - y –z –1)(x + y + z – 1) Bài 6 : Phân tích đa thức thành nhân tử: F = 16x2(y – 2z) – 10y( y – 2z) Giải: Ta có : F = 16x2(y – 2z) – 10y( y – 2z) = (y – 2z)(16x2 – 10y) Bài 7 : Phân tích đa thức sau thành nhân tử G = x3 + 3x2 + 2x + 6 Giải: Ta có : G = x3 + 3x2 + 2x + 6 = x2(x + 3) + 2( x + 3) = (x2 + 2)(x + 3) Bài 8 : Phân tích đa thức sau thành nhân tử H = 6z3 + 3z2 + 2z +1 Giải: Ta có : H = 6z3 + 3z2 + 2z +1 = 3z2(2z + 1) + (2z + 1) = (2z + 1)(3z2 + 1) 2. Phương pháp nhóm các hạng tử Phương pháp này vận dụng một cách thích hợp tính chất giao hoán, tính chất kết hợp của phép cộng, để làm xuất hiện từng nhóm các hạng tử có nhân tử chung, rồi sau đó vận dụng tính chất phân phối của phép nhân với phép cộng. Sau đây là một số ví dụ : Bài 1: Phân tích đa thức sau thành nhân tử A = xy2 – xz2 + yz2 – yx2 + zx2 – zy2 Giải: Ta có : A = xy2 – xz2 + yz2 – yx2 + zx2 – zy2 = (xy2 – xz2) + (yz2 - zy2) + (zx 2 – yx 2) = x(y2 – z2) + yz(z – y) + x2(z – y) = x(y – z)(y + z) – yz(y – z) – x2(y – z) = (y – z)((x(y + z) – yz – x2)) = (y – z)((xy – x2) + (xz – yz) = (y – z)(x(y – x) + z(x – y)) Sáng kiến kinh nghiệm 6 Năm học 2016-2017
  7. Một số phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử = (y – z)(x – y)(z – x) Bài 2 : Phân tích đa thức sau thành nhân tử B= 4x5 +6x3 +6x2 +9 Giải: Ta có : B = 4x5 +6x3 +6x2 +9 = 2x3(2x2 + 3) + 3(2x3 + 3) = (2x3 + 3)(2x2 + 3) Bài 3: Phân tích đa thức sau thành nhân tử C = x6 + x4 + x 2 + 1 Giải: Ta có : C = x6 + x4 + x2 + 1 = x 4(x2 + 1) + ( x2 + 1) = (x2 + 1)(x4 + 1) Bài 4: Phân tích đa thức sau thành nhân tử D = x2 + 2x + 1 – y2 Giải: Ta có: D = x2 + 2x + 1 – y2 = (x2 + 2x + 1) – y2 = (x + 1)2 – y2 =(x +1 – y)(x + 1 + y ) Bài 5 : Phân tích đa thức sau thành nhân tử E = x2 + 2xy + y2 – xz - yz Giải: Ta có : E = x2 + 2xy + y2 – xz - yz = (x2 + 2xy + y2) – (xz + yz) = (x + y)2 – z(x + y) = (x + y)(x + y – z) Bài 6: Phân tích đa thức sau thành nhân tử F = xm + 4 + x m + 3 – x - 1 Giải: Ta có : G = xm + 4 + xm + 3 – x – 1 = xm + 3(x + 1) – ( x + 1) = (x + 1)(xm + 3 – 1) Bài 7: Phân tích đa thức sau thành nhân tử G = x2(y – z) + y2(z - x) + z2(x – y) Giải: Khai triển hai số hạng cuối rồi nhóm các số hạng làm xuất hiện thừa số chung y - z Ta có : G = x2(y – z) + y2z – xy2 + xz2 – yz2 = x2(y – z) + yz(y – z) – x(y2 – z2) = x2(y – z) + yz(y – z) – x(y – z)(y + z) Sáng kiến kinh nghiệm 7 Năm học 2016-2017
  8. Một số phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử = (y – z)((x 2 + yz – x(y + z)) = (y – z)(x2 + yz – xy – xz) = (y – z)(x(x – y) – z(x – y)) = (y – z)(x – y)(x – z) Nhận xét : dễ thấy z – x = -((y – z) + (x – y) nên : G = x2(y – z) - y2((y – z) + (x – y)) + z2(x – y) =(y – z)(x2 – y2) – (x – y)(z2 – y2) = (y – z) (x – y)(x + y) - (x – y)(z - y)(z + y) = (y – z) (x – y)(x + y – (z + y)) = (y – z) (x – y)(x – z) Bài 8: Phân tích đa thức sau thành nhân tử I = ( a + b + c)(bc + ca + ab) - abc Giải: Ta có : I = ( a + b + c)(bc + ca + ab) - abc = ( a + b)(bc + ca + ab) + c(bc + ca + ab) - abc = ( a + b)(bc + ca + ab) + bc2 + c2a + abc – abc = ( a + b)(bc + ca + ab) + c2( a + b) = ( a + b)(bc + ca + ab + c2) = ( a + b)( c(b + c) + a(b + c)) = ( a + b)(b + c)(c + a) Bài 9: Phân tích đa thức sau thành nhân tử: K = a2b + ab2 + b2c +bc2 + c2a + ca2 + 3abc Giải: Ta có : K = a2b + ab2 + b2c +bc2 + c2a + ca2 + 3abc = (a2b + ab 2 + abc) + (b2c +bc2 +abc) + (c2a + ca2 + abc) = ab( a + b + c) + bc( a + b + c) +ca( a + b + c) = ( a + b + c)(ab + bc + ca) Bài 10: Phân tích đa thức sau thành nhân tử Q = 2a2b + 4ab 2 – a2c + ac2 – 4b2c + 2bc2 – 4abc Giải: Ta có : Q = 2a2b + 4ab2 – a2c + ac2 – 4b2c + 2bc2 – 4abc = (2a2b + 4ab2) – (a2c + 2abc) + (ac2+ 2bc2) – (4b2c+ 2abc) = 2ab(a + 2b) – ac(a + 2b) + c2(a + 2b) – 2bc(a + 2b) = (a + 2b)(2ab – ac + c2 – 2bc) = (a + 2b)(a(2b – c) – c(2b –c)) = (a + 2b)(2b – c)(a – c) Sáng kiến kinh nghiệm 8 Năm học 2016-2017
  9. Một số phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử 3. Phương pháp dùng hằng đẳng thức. Phương pháp này dùng hằng đẳng thức để đưa một đa thức về dạng tích, hoặc luỹ thừa bậc hai, bậc ba của một đa thức khác. Các hằng đẳng thức thường dùng là : A2 + 2AB + B2 = (A + B)2 A2 - 2AB + B2 = (A - B)2 A2 - B2 = (A + B) (A - B) (A + B)3 = A3 + 3A2B + 3AB2 + B3 (A - B)3 = A3 - 3A2B + 3AB2 - B3 A3 - B3 = (A - B)( A2 + AB + B2) A3 + B3 = (A + B)( A2 - AB + B2) Sau đây là một số bài tập cụ thể: Bài 1: Phân tích đa thức sau thành nhân tử B = a6 – b6 + a4 + a2b2 + b4 Giải: Ta có : B = a6 – b6 + a4 + a2b2 + b4 = (a6 – b6) + (a4 + a2b2 + b4 ) = (a3 + b3) (a3 - b3) + (a4 + a2b2 + b4 ) = (a + b)( a2 - ab + b2) (a - b)( a2 + ab + b2) + (a4 + 2a2b2 + b4) – a2b 2 = (a + b)( a2 - ab + b2) (a - b)( a2 + ab + b2) +(a2 + b2 )2– a2b2 = (a + b)( a2 - ab + b2) (a - b)( a2 + ab + b2) +(a2 +ab + b2 )(a2 - ab + b2 ) = (a2 +ab + b2 )(a2 - ab + b2 ) ((a – b)(a + b) + 1)) = (a2 +ab + b2 )(a2 - ab + b2 )(a2 – b2 + 1) Bài 2: Phân tích đa thức sau thành nhân tử C = x4 + x2 + 1 + (x2 – x + 1)2 Giải: Ta có : C = x4 + x2 + 1 + (x2 – x + 1)2 = (x4 + 2x2 + 1) – x2 + (x2 – x + 1)2 = (x2 + 1)2 – x2 + (x2 – x + 1)2 = (x2 – x + 1) (x2 + x + 1) + (x2 – x + 1)2 = (x2 – x + 1) (x2 + x + 1 + x2 – x + 1) = 2(x2 – x + 1)(x2 + 1) = (x – y – z) (x + y + z) (x – y + z)(x + y – z) Bài 3: Phân tích đa thức sau thành nhân tử E = (x + y)3 +(x - y)3 Sáng kiến kinh nghiệm 9 Năm học 2016-2017
  10. Một số phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử Giải: Dựa vào đặc điểm của vế trái và áp dụng hằng đẳng thức ta sẽ có cách khác giải như sau : Cách 1: E = (x + y)3 +(x - y)3 = ((x + y) +(x - y))3 – 3((x + y) +(x - y)) (x + y)(x - y) = 8x3 – 3.2x(x2 – y2) = 2x(4x2 – 3(x2 – y2)) = 2x(x2 + 3y2) Cách 2: E = (x + y)3 +(x - y)3 = ((x + y) +(x - y))((x + y)2 – (x + y)(x – y) + (x – y)2 = 2x(2(x2 + y2) - (x2 – y2)) = 2x(x2 + 3y2) Bài 4: Phân tích đa thức sau thành nhân tử F = 16x2 + 40x + 25 Giải: Ta có: F = 16x2 + 40x + 25 = (4x)2 + 2.4.5.x + 52 = (4x + 5)2 Bài 5: Phân tích đa thức sau thành nhân tử G = (a + b+ c) – (a3 + b3+ c3) Giải: Ta có: G = (a + b+ c) –(a3 + b3+ c3) = a3 + 3a2(b + c) + 3a(b + c)2 + (b + c)3 - (a3 + b3+ c3) = a3 + 3a2(b + c) + 3a(b + c)2 + b3 + 3b 2c + c3 - (a3 + b3+ c3) = 3a2(b + c) + 3a(b + c)2 + 3bc(b + c) = 3(b + c)(a2 + ab + ac + bc) = 3(b + c)(a(a + b) + c(a + b) = 3(b + c)(a + b)(a + c) Bài 6: Phân tích đa thức sau thành nhân tử H = x8 – 28 Giải: Ta có : H = x8 – 28 = (x4 + 24) (x4 - 2 4) = (x4 + 24)((x2)2 – (22)2 ) = (x4 + 24)(x2 – 22)(x2 + 22) = (x4 + 24)(x2 + 22)(x – 2)(x + 2) * Trong thực hành giải toán thường phải phối hợp cả ba phương pháp kể trên để có thể phân tích đa thước thành nhân tử. Bài 7 : Phân tích đa thức sau thành nhân tử : M = 3a - 3b + a2 - 2ab + b2 Sáng kiến kinh nghiệm 10 Năm học 2016-2017
  11. Một số phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử Giải: M = 3a - 3b + a2 - 2ab + b2 = (3a - 3b) + (a2 - 2ab + b2) (Nhóm các hạng tử) = 3(a - b) + (a - b)2 (đặt NTC và dùng hằng đẳng thức) = (a - b) (3 + a - b) (Đặt nhân tử chung) Bài 8: Phân tích đa thức sau thành nhân tử : N = a2 - b2 - 2a + 2b Giải: N = a2 - b2 - 2a + 2b = (a2 - b2) - (2a - 2b) (Nhóm các hạng tử) = (a - b) (a + b) - 2(a - b) (Dùng hằng đẳng thức và đặt NTC) = (a -b) (a + b - 2) (Đặt NTC) Để phối hợp nhiều phương pháp trên để phân tích đa thức thành nhân tử cần chú ý các bước sau đây: + Đặt nhân tử chung cho cả đa thức nếu có thể từ đó làm đơn giản đa thức. + Xem xét đa thức có dạng bằng đẳng thức nào không ? + Nếu không có nhân tử chung, hoặc không có hằng đẳng thức thì phải nhóm các hạng tử vào từng nhóm thoả mãn điều kiện mỗi nhóm có nhân tử chung, làm xuất hiện nhân tử chung của các nhóm hoặc xuất hiện hằng đẳng thức. Cụ thể các ví dụ sau: Bài 9: Phân tích đa thức sau thành nhân tử : P = 5a2 + 3(a + b)2 - 5b2 Ta thấy P không có dạng hằng đẳng thức, các hạng tử cũng không có nhân tử chung, vậy làm gì để phân tích được. Quan sát kỹ ta thấy hai hạng tử 5a2 - 5b2 có nhân tử chung. Vì vậy ta dùng phương pháp nhóm các hạng tử đầu tiên. P = (5a2 - 5b2) + 3(a + b)2. Sau đó đặt nhân tử chung của nhóm thứ nhất làm xuất hiện hằng đẳng thức P = 5(a2 - b2) + 3 (a + b)2. Sử dụng hằng đẳng thức ở nhóm đầu làm xuất hiện nhân tử chung của cả hai nhóm là (a+b) Vậy P = 5(a + b) (a - b) +3 (a + b)2 . Đã có nhân tử chung là: (a + b) Vậy ta tiếp tục đặt nhân tử chung. P = (a + b) (8a - 2b) =2 (a + b) (4a - b). Bài 10: Phân tích đa thức sau thành nhân tử. Q = 3x3y - 6x2y - 3xy3 - 6xy22 - 3xyz2 + 3xy. Trước hết hãy xác định xem dùng phương pháp nào trước ? Ta thấy các hạng tử đều chứa nhân tử chung 3xy. + Đặt nhân tử chung. Q = 3xy (x2 - 2x - y2 - 2yz - Z2 + 1) Trong ngoặc có 6 hạng tử hãy xét xem có hằng đẳng thức nào không? Sáng kiến kinh nghiệm 11 Năm học 2016-2017
  12. Một số phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử + Nhóm hạng tử: Q = 3 xyx2 - 2x + 1 ) - (y2 + 2y z + z2 + Dùng hằng đẳng thức: Q = 3xy ( x - 1)2 - ( y + z)2 xem xét hai hạng tử trong ngoặc có dạng hằng đẳng thức nào. + Sử dụng hằng đẳng thức hiệu hai bình phương ta có: Q = 3xy (x + y + z - 1) (x - y - z - 1) Vậy: Q đã được phân tích các đa thức thành nhân tử ta cần chú ý quan sát xem, kiển tra, linh hoạt sử dụng các bước phối hợp giữa các phương pháp như đã hướng dẫn trên từ đó sẽ phân tích theo các phương pháp thông thường. 4. Phương pháp sử dụng phép chia đa thức: Nếu a là một nghiệm của đa thức f(x) thì có sự phân tích f(x) = (x – a).g(x) ,g(x) là một đa thức. Để tìm g(x), ta chia f(x) cho (x – a). Sau đó lại phân tích tiếp g(x). Sau đây là một số ví dụ cụ thể: Bài 1: Phân tích đa thức sau thành nhân tử f(x) = x5 + 6x 4 + 13x3 + 14x2 + 12x + 8 Giải: Dễ thấy: f(-2) = (-2)5 + 6(-2)4 + 13(-2)3 + 14(-2)2 + 12(-2) + 8 = 0 Nên chia f(x) cho (x + 2), ta được: f(x) = (x + 2)(x4 + 4x3 + 5x2 + 4x + 4) = (x + 2).g(x) Dễ thấy: g(x) = x 4 + 4x3 + 5x2 + 4x + 4 có g(-2) = 0 Nên chia g(x) cho (x + 2), ta được: g(x) = (x + 2)(x3 + 2x2 + 2x + 2) Đặt h(x) = x3 + 2x2 + 2x + 2. Ta có: h(-2) = 0 Nên chia h(x) cho(x + 2), được: h(x) = (x + 2)(x2 + 1) Vậy: f(x) = (x + 2) (x + 2) (x + 2) (x2 + 1) = (x + 2)3(x2 + 1) Khi thực hiện phép chia f(x), g(x), h(x) cho (x + 2), ta có thể sử dụng sơ đồ Hoocne để thực hiện phép chia được nhanh hơn. Ví dụ chia f(x) cho (x + 2) như sau : 1 6 13 14 12 8 -2 1 4 5 4 4 0 Vậy f(x) = (x + 2)(x 4 + 4x3 + 5x2 + 4x + 4) Sáng kiến kinh nghiệm 12 Năm học 2016-2017
  13. Một số phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử Chia x + 4x3 + 5x2 + 4x + 4 cho (x + 2) như sau : 4 1 4 5 4 4 -2 1 2 2 2 0 Vậy x4 + 4x3 + 5x2 + 4x + 4 = (x + 2)(x 3 + 2x2 + 2x + 2) Chia x3 + 2x2 + 2x + 2 cho (x + 2) như sau : 1 2 2 2 -2 1 0 1 0 Vậy x3 + 2x2 + 2x + 2 = (x + 2)(x2 + 1) Vậy h(x) = (x + 2)3(x2 + 1) Bài 2: Phân tích đa thức sau thành nhân tử P = x4 – 2x3 – 11x2 + 12x + 36 Giải: Tìm nghiệm nguyên của đa thức (nếu có) trong các ước của 36 :  1;  2;  3;  4;  6 ;  9;  12;  18;  36. Ta thấy : x = -2 P(-2) = 16 + 16 –44 – 24 +36 = 68 – 68 = 0 Ta có: P = x4 + 2x3 – 4x3 – 8x2 – 3x2 – 6x + 18x + 36 = x3 (x + 2) – 4x2(x + 2) – 3x(x + 2) + 18(x + 2) = (x + 2)(x 3 – 4x2 – 3x + 18) Lại phân tích Q = x3 – 4x2 – 3x + 18 thành nhân tử Ta thấy: Q(-2) = (-2)3 – 4(-2)2 – 3(-2) + 18 = 0 Nên chia Q cho (x + 2), ta được : Q = (x + 2)(x2 – 6x + 9) = (x + 2)(x – 3)2 Vậy: P = (x + 2)2(x – 3)2 5. Phương pháp đặt ẩn phụ Bằng phương pháp đặt ẩn phụ (hay phương pháp đổi biến) ta có thể đưa một đa thức với ẩn số cồng kềnh , phức tạp về một đa thức có biến mới, mà đa thức này sẽ dễ dàng phân tích được thành nhân tử. Sau đây là một số bài toán dùng phương pháp đặt ẩn phụ. Sáng kiến kinh nghiệm 13 Năm học 2016-2017
  14. Một số phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử Bài 1: Phân tích đa thức sau thành nhân tử A = (x 2 + x) + 4(x2 + x) - 12 Giải: Đặt : y = x2 + x , đa thức đã cho trở thành : A = y2 + 4y – 12 = y2 – 2y + 6y – 12 = y(y – 2) + 6(y – 2) = (y – 2)(y + 6) (1) Thay : y = x2 + x vào (1) ta được : A = (x2 + x – 2)(x2 + x – 6) = (x – 1)(x + 2)(x 2 + x – 6) Bài 2: Phân tích đa thức sau thành nhân tử A = (x 2 + x + 1)( x2 + x + 2) - 12 Giải: A = (x2 + x + 1)( x2 + x + 2) - 12 Đặt y = (x2 + x + 1). Đa thức đã cho trở thành : A = y(y + 1) – 12 = y2 + y – 12 = y2 – 3y + 4y – 12 = y(y – 3) + 4(y – 3) = (y – 3)(y + 4) (*) Thay: y = (x2 + x + 1) vào (*) ta được : A = (x 2 + x + 1 - 3)(x2 + x + 1 + 4) = (x2 + x – 2) (x 2 + x + 6) = (x – 1)(x + 2)(x2 + x + 6) Bài 3: Phân tích đa thức sau thành nhân tử B = x12 – 3x6 + 1 Giải: B = x12 – 3x6 + 1 Đặt y = x6 (y  0 ) Đa thức đã cho trở thành : B = y2 – 3y + 1 = y2 – 2y + 1 – y = (y – 1)2 – y = (y – 1 - y )(y + 1 + y ) (*) Thay : y = x6 vào (*) được : B = (x6 – 1 - x 6 )( y  1  x 6 ) Sáng kiến kinh nghiệm 14 Năm học 2016-2017
  15. Một số phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử = (x – 1 – x3)(x 6 + 1 + x 3) 6 Bài 4: Phân tích đa thức sau thành nhân tử C = x3 - 3 2 x 2 + 3x + 2 - 2 Giải: Đặt : y = x - 2 , ta có x = y + 2 C = (y + 2 )3 - 3 2 (y + 2 )2 + 3(y + 2 ) + 2 - 2 = y3 + 3y2 2 + 3y.2 + 2 2 - 3 2 (y2 + 2 2 y + 2) + 3(y + 2 ) + 2 - 2 = y3 - 3y – 2 = y3 - y – 2y – 2 = y(y2 – 1) – 2(y + 1) = y(y – 1)(y + 1) – 2(y + 1) = (y + 1)(y(y – 1) – 2) = (y + 1)(y2 – y – 2) = (y + 1)(y + 1)(y – 2) = (y + 1)2(y – 2) (*) Thay : y = x - 2 vào (*), được : C = (x - 2 + 1)2(x - 2 - 2) Bài 5: Phân tích đa thức sau thành nhân tử D = (x + 1)(x + 3)(x + 5)(x + 7) + 15 Giải: Ta có: D = (x + 1)(x + 3)(x + 5)(x + 7) + 15 = ((x + 1)( x + 7))((x + 3)(x + 5)) + 15 = (x2 + 8x + 7)( x2 + 8x + 15) + 15 Đặt : y = (x 2 + 8x + 7). Đa thức đã cho trở thành : D = y(y + 8) + 15 = y2 + 8y + 15 = y2 + 3y + 5y + 15 = y(y + 3) + 5(y + 3) = ( y + 3)(y + 5) Thay : y = (x2 + 8x + 7), ta được : D = (x 2 + 8x + 10)(x2 + 8x + 12) = (x 2 + 8x + 10)( x2 + 2x + 6x + 12) = (x 2 + 8x + 10)((x(x + 2) + 6(x + 2)) Sáng kiến kinh nghiệm 15 Năm học 2016-2017
  16. Một số phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử 2 = (x + 8x + 10)(x + 2)(x + 6) Nhận xét: Từ lời giải bài toán trên ta có thể giải bài toán tổng quát sau : phân tích đa thức sau thành nhân tử : A = (x + a)(x + b)(x + c)(x + d) + m Nếu a + d = b + c . Ta biến đổi A thành : A = ((x + a)(x + d))((x + b)(x + c)) + m (1) Bằng cách biến đổi tương tự như bài 5, ta đưa đa thức (1) về đa thức bậc hai và từ đó phân tích được đa thức A thành tích các nhân tử. Bài 6: Phân tích đa thức sau thành nhân tử E = x4 + 6x3 + 7x2 - 6x + 1 Giải: Giả sử x  0 , ta viết đa thức dưới dạng : 1 1 E = x2((x2 + 2 ) + 6( x - ) + 7 ) x x 1 1 Đặt y = x - thì x2 + 2 = y2 + 2 x x Do đó : E = x2(y2 + 2 + 6y + 7) = x2( y + 3)2 = (xy + 3x) 2 1 Thay y = x - , ta được x 2 1 E =  x( x  )  3x  x  = (x + 3x – 1)2 2 Dạng phân tích này cũng đúng với x = 0 Nhận xét : Từ lời giải bài tập này, ta có thể giải bài tập tổng quát sau : Phân tích đa thức sau thành nhân tử : A = a0x2n + a1x n – 1 +…….+ an – 1xn – 1 +anx n + an – 1xn – 1 + …..+ a1x + a0 Bằng cách đưa xn làm nhân tử của A, hay : a n1 a a A = xn(a0xn + a1xn – 1 + …….+ an – 1x + an + +…..+ n11 + 0n x x x 1 Sau đó đặt y = x + ta sẽ phân tích được A thành nhân tử một cách dễ dàng x như bài tập trên. Bài 7: Phân tích đa thức sau thành nhân tử F = x2 + 2xy + y2 – x – y - 12 Giải: Ta có: F = x2 + 2xy + y2 – x – y – 12 = (x + y)2 – (x + y) – 12 - Đặt X = x + y, đa thức trên trở thành : F = X2 – X – 12 = X2 - 16 – X + 4 = (X + 4)(X - 4) - (X - 4) Sáng kiến kinh nghiệm 16 Năm học 2016-2017
  17. Một số phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử = (X - 4)(X + 4 - 1) = (X - 4)(X + 3) (1) - Thay X = x + y vào (1) ta được : F = (x + y – 4)( x + y + 3) Bài 8: Phân tích đa thức sau thành nhân tử G = (x 2 + y2 + z2)( x + y + z)2 + (xy + yz + zx)2 Giải: G = (x2 + y2 + z2)( x + y + z)2 + (xy + yz + zx)2 Đặt : x2 + y2 + z2 = a xy + yz + zx = b 2 2 2 2  ( x + y + z) = x + y + z + 2(xy + yz + zx) = a + 2b Đa thức A trở thành : G = a(a + 2b) + b2 = a2 + 2ab + b2 = (a + b)2 (*) Thay : a = x2 + y2 + z2 b = xy + yz + zx vào (*) ta được : G = (x 2 + y2 + z2 + xy + yz + zx)2 6. Phương pháp tách hạng tử; thêm bớt hạng tử Phương pháp tách; thêm, bớt các hạng tử trong đa thức để làm xuất hiện các đa thức có thể đưa về hằng đẳng thức đáng nhớ. Sau đây là một số ví dụ : Bài 1: Phân tích đa thức sau thành nhân tử A = x2 – 6x + 5 Giải: Ta có thể giải bài toán trên đây bằng một số cách như sau: Cách 1: A = x2 – 6x + 5 = x2 – x – 5x + 5 = x(x – 1) – 5(x – 1) = (x – 1)(x – 5) Cách 2 : A = x2 – 6x + 5 = (x2 - 2x + 1) – 4x + 4 = (x – 1)2 – 4(x – 1) = (x – 1)(x – 1 - 4) = (x – 1)(x – 5) Cách 3 : A = x2 – 6x + 5 = (x2 – 6x + 9) – 4 = (x – 3)2 – 4 = (x – 3 – 2) (x – 3 + 2) Sáng kiến kinh nghiệm 17 Năm học 2016-2017
  18. Một số phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử = (x – 1)(x – 5) Cách 4 : A = x2 – 6x + 5 = (x2 – 1) – 6x + 6 = (x – 1)(x + 1) – 6(x – 1) = (x – 1)( x + 1 – 6) = (x – 1)(x – 5) Cách 5 : A = x2 – 6x + 5 = (3x2 – 6x + 3) – 2x2 + 2 = 3(x – 1)2 - 2(x 2 – 1) = 3(x – 1)(3(x – 1) – 2 ( x + 1)) = (x – 1)(x – 5) Cách 6 : A = x2 – 6x + 5 = (5x2 – 10x + 5) – 4x2 + 4 = (x – 1)2 – 4x(x – 1) = (x – 1)( (5(x – 1) – 4x)) = (x – 1)(x – 5) Cách 7 : A = x2 – 6x + 5 = (6x2 – 6x) – 5x2 + 5 = 6x(x – 1) - 5(x – 1) (x + 1) = (x – 1)(6x – 5(x + 1)) = (x – 1)(x – 5) Cách 8 : A = x2 – 6x + 5 Đặt f(x) = x2 – 6x + 5 Dễ thấy tổng các hệ số của f(x) bằng 0 hay f(x) = 0 nên f(x) chia hết cho (x- 1). Thực hiện phép chia f(x) cho (x –1) được thương là (x – 5). Vậy A = (x – 1)(x – 5) Chú ý: Để phân tích đa thức ax2 + bx + c (c  0) bằng phương pháp tách số hạng ta làm như sau : Bước 1 : lấy tích a.c = t Bước 2 : phân tích t thành hai nhân tử ( xét tất cả các trường hợp) t = pi.q i Bươc 3 : tìm trong các cặp nhân tử pi, qi một cặp pa, q a sao cho : pa + qa = b Bước 4 : viết ax2 + bx + c = ax2 + pax + qax + c Bước 5 : từ đây nhóm các số hạng và đưa nhân tủ chung ra ngoài dấu ngoặc. Bài 2: Phân tích đa thức sau thành nhân tử B = x4 + 2x 2 - 3 Sáng kiến kinh nghiệm 18 Năm học 2016-2017
  19. Một số phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử Giải: Cách 1: B = x4 + 2x2 - 3 = x4 – x2+ 3x 2 – 3 = x2(x2 – 1) + 3(x2 – 1) = (x2 – 1) (x2 + 3) = (x – 1)(x + 1)(x2 + 3) Cách 2: B = x4 + 2x2 - 3 = x4 + 3x2 – x 2– 3 = x2(x2 + 3) - (x 2 + 3) = (x2 + 3)(x 2 – 1) = (x2 + 3)(x – 1)(x + 1) Cách 3 : B = x4 + 2x2 - 3 = (x4 ) + 2x2 – 1 – 2 = (x4 – 1) + 2x2– 2 = (x2 – 1)(x2 + 1) + 2(x2 – 1) = (x2 – 1)(x2 + 3) = (x – 1)(x + 1)(x2 + 3) Cách 4 : B = x4 + 2x2 - 3 = (x4 + 2x2 + 1) - 4 = (x2 + 1)2 – 4 = (x2 + 1)2 – 22 = (x2 + 1 – 2)(x2 + 1 + 2) = (x2 – 1) (x2 + 3) = (x – 1)(x + 1)(x2 + 3) Cách 5 : B = x4 + 2x2 - 3 = (x4 – 9) + 2x2 + 6 = (x2 + 3)(x 2 - 3) + 2(x2 + 3) = (x2 + 3)( x2 - 3 + 2) = (x2 + 3)(x 2 – 1) = (x2 + 3)(x – 1)(x + 1) Cách 6 : B = x4 + 2x2 - 3 = (3x4 – 3) – 2x4 + 2x2 = 3(x4 – 1) – 2x2(x2 – 1) = 3(x2 – 1)(x2 + 1) - 2x2(x 2 – 1) = (x2 – 1)(3( x2 + 1) - 2x2) Sáng kiến kinh nghiệm 19 Năm học 2016-2017
  20. Một số phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử = (x2 – 1) (x2 + 3) = (x – 1)(x + 1)(x2 + 3) Bài 3: Phân tích đa thức sau thành nhân tử C = x4 + x2 + 1 Giải: Cách 1 : C = x4 + x2 + 1 = (x4 + 2x2 + 1) - x 2 = (x2 + 1)2 - x 2 = (x2 + 1 - x)(x2 + 1 + x) Cách 2 : C = x4 + x2 + 1 = (x4 + x 3 + x2) – (x3 + x2 + x) + (x2 + x + 1) = (x2 + 1 - x)(x2 + 1 + x) Cách 3 : C = x4 + x2 + 1 = (x4 - x3 + x2) + (x3 - x2 + x) + (x2 - x + 1) = x2(x2 - x + 1) + x(x 2 - x + 1) + (x2 - x + 1) = (x2 - x + 1)(x2 + x + 1) Bài 4: Phân tích đa thức sau thành nhân tử D = 5x2 + 6xy + y2 Giải: Cách 1 : D = 5x2 + 6xy + y2 = (5x2 + 5xy) + (xy + y2) = 5x(x + y) + y(x + y) = (x + y)(5x + y) Cách 2 : D = 5x2 + 6xy + y2 = (6x2 + 6xy) – (x2 - y2) = 6x(x + y) – (x – y)(x + y) = (x + y)(6x – x + y) = (x + y)(5x + y) Cách 3 : D = 5x2 + 6xy + y2 = (4x2 + 4xy) +(x2 + 2xy + y2 ) = 4x(x + y) + (x + y)2 = (x + y)(4x + x + y) = (x + y)(5x + y) Cách 4 : D = 5x2 + 6xy + y2 = (3x2 + 6xy + 3y2) + (2x2 – 2y2 ) Sáng kiến kinh nghiệm 20 Năm học 2016-2017
ADSENSE

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

EXAM.03: Bộ 400 Đề Thi Thử THPT Quốc Gia 2021
400 tài liệu
955 lượt tải
THÔNG TIN
TRỢ GIÚP
HỖ TRỢ KHÁCH HÀNG
Theo dõi chúng tôi

Chịu trách nhiệm nội dung:

Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA

LIÊN HỆ

Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM

Hotline: 093 303 0098

Email: support@tailieu.vn

Giấy phép Mạng Xã Hội số: 670/GP-BTTTT cấp ngày 30/11/2015 Copyright © 2022-2032 TaiLieu.VN. All rights reserved.

 

Đồng bộ tài khoản
2=>2