Sáng kiến kinh nghiệm THCS: Một số Phương pháp vẽ thêm yếu tố phụ trong giải toán hình học lớp 7

Chia sẻ: Khánh Thành | Ngày: | Loại File: DOC | Số trang:31

Thêm vào BST

Báo xấu

24
lượt xem 4
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Mục tiêu nghiên cứu của sáng kiến kinh nghiệm là môn Toán nói chung và môn Hình học nói riêng giữ một vị trí rất quan trọng. Trong môn học này, học sinh được học nhiều kiến thức, nhiều phương pháp suy luận, rèn luyện kỹ năng tính toán, vẽ hình. Ngoài ra môn học này còn góp phần bồi dưỡng cho học sinh những phẩm chất đạo đức, tính linh hoạt, độc lập, sáng tạo.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Sáng kiến kinh nghiệm THCS: Một số Phương pháp vẽ thêm yếu tố phụ trong giải toán hình học lớp 7

1. PHẦN MỞ ĐẦU 1.1. Lý do chọn đề tài Xuất phát từ mục tiêu Giáo dục trong giai đoạn hiện nay là phải đào tạo ra con người có trí tuệ phát triển, giàu tính sáng tạo và có tính nhân văn cao. Nhằm đáp ứng yêu cầu mới trong nhu cầu của thời đại, việc triển khai chương trình giáo dục phổ thông, nhằm thực hiện các mục tiêu, nhiệm vụ của Nghị Quyết số 29 NQ/TW ngày 04/11/2013 Ban chấp hành Trung ương Đảng về “Đổi mới căn bản, toàn diện giáo dục và đào tạo, đáp ứng yêu cầu công nghiệp hoá, hiện đại hoá trong điều kiện kinh tế thị trường định hướng xã hội chủ nghĩa và hội nhập quốc tế” đã được Hội nghị lần thứ 8, Ban Chấp hành Trung ương (Khóa XI) thông qua. Nghị quyết số 29 của Hội nghị BCH TƯ lần thứ 8 (Khóa XI) là sự kế thừa, nâng cao của Nghị quyết Trung ương 2 (Khóa 8). Theo đó, Trung ương Đảng tiếp tục xác định phát triển GD&ĐT là quốc sách hàng đầu và trong xu thế hiện nay “Đổi mới căn bản, toàn diện giáo dục và đào tạo, đáp ứng yêu cầu công nghiệp hoá, hiện đại hoá trong điều kiện kinh tế thị trường định hướng xã hội chủ nghĩa và hội nhập quốc tế” nhằm nâng cao chất lượng nguồn nhân lực được Đảng ta xác định là một trong ba đột phá chiến lược của công cuộc phát triển đất nước. Quan điểm chỉ đạo, mục tiêu, nhiệm vụ và giải pháp của Nghị quyết số 29 NQ/TW của BCH Trung ương đưa ra để tập trung lãnh, chỉ đạo thực hiện 8 nhiệm vụ và giải pháp cơ bản theo đúng thực tiễn của sự phát triển kinh tế xã hội trong đó nhiệm vụ giải pháp thứ 2 là tiếp tục đổi mới mạnh mẽ và đồng bộ các yếu tố cơ bản của giáo dục, đào tạo theo hướng coi trọng phát triển phẩm chất, năng lực của người học. Đó là một cuộc cải cách nhằm nâng cao chất lượng giáo dục toàn diện, phát huy tính tích cực chủ động, sáng tạo của học sinh, phù hợp với đặc điểm của từng lớp học, môn học, nhằm tác động đến tình cảm, đem lại niềm vui hứng thú cho học sinh, giúp các em trở thành những con người phát triển toàn diện (Đức, Trí, Thể, Mỹ...). Toán học là một bộ môn của khoa học tự nhiên được ra đời và phát triển rất sớm. Ngay từ khi ra đời Toán học đã phục vụ thiết thực cho đời sống xã hội, hơn nữa, Toán học được coi là cơ sở của nhiều ngành khoa học, nó phát triển tư duy, phát triển năng lực trí tuệ và rèn luyện phương pháp suy luận logic của con người.... Chính vì vậy mà ngày nay Toán học là môn học chiếm nhiều thời gian nhất trong kế hoạch đào tạo của nhà trường phổ thông. Thông qua việc học tập Toán học, việc học sinh ngoài việc nắm vững kiến thức còn biết áp dụng vào thực tiễn, vào lao động sản xuất... Trong nhà trường phổ thông, môn Toán nói chung và môn Hình học nói riêng giữ một vị trí rất quan trọng. Trong môn học này, học sinh được học nhiều kiến thức, nhiều phương pháp suy luận, rèn luyện kỹ năng tính toán, vẽ hình. Ngoài ra môn học này còn góp phần bồi dưỡng cho học sinh những phẩm chất đạo đức, tính linh hoạt, độc lập, sáng tạo..... 1
Nhưng do tính trừu tượng của môn học và là môn học khó đối với học sinh cấp THCS. Gặp bài chứng minh hình học, học sinh thường lúng túng không biết bắt đầu từ đâu, vận dụng kiến thức nào để giải quyết vấn đề. Do vậy bài làm của nhiều học sinh bị sai, không hoàn chỉnh hoặc không tìm được phương pháp giải...dẫn đến học sinh ngại học môn hình, trong khi tìm phương pháp giải Toán hình học ta gặp một số bài toán mà nếu không vẽ thêm đường phụ thì có thể bế tắc. Nếu biết vẽ thêm đường phụ thích hợp tạo ra sự liên hệ giữa các yếu tố đã cho thì việc giải toán trở nên thuận lợi hơn, dễ dàng hơn. Thậm chí có bài phải vẽ thêm yếu tố phụ thì mới tìm ra lời giải. Tuy nhiên, trong sách giáo khoa chỉ trình bày một số bài tập cơ bản với thời lượng chưa nhiều. Với các bài tập có liên quan đến vẽ đường phụ phần lớn học sinh vận dụng kiến thức chậm hoặc không biết làm thế nào để vẽ thêm đường phụ để giải bài tập. Đối với học sinh khá giỏi thì các dạng bài tập hình học trong SGK thường chưa làm các em thoả mãn vì tính ham học, muốn khám phá tri thức mới của mình. Hiện nay, trong kì thi học sinh giỏi Toán 7, các bài toán có vẽ thêm yếu tố phụ khá phổ biến. Tuy nhiên vẽ thêm yếu tố phụ như thế nào để có lợi cho việc giải toán là điều khó khăn và phức tạp. Vậy làm thế nào để học sinh có thể nắm được một số phương pháp vẽ thêm yếu tố phụ để giải các bài tập trong Hình học 7? Xét trên thực tế qua những năm giảng dạy lớp 7, đặc biệt là trong công tác bồi dưỡng học sinh giỏi, tôi nhận thấy nhu cầu học tập của học sinh, muốn được tiếp thu các kiến thức bổ trợ để có thể vận dụng vào việc giải các bài tập trong các kì thi học sinh giỏi, các kì thi cấp THCS, kì thi vào THPT hoặc một số trường, lớp chất lượng cao là rất cần thiết. Vì vậy tôi mạnh dạn thực hiện sáng kiến kinh nghiệm: “Một số Phương pháp vẽ thêm yếu tố phụ trong giải toán hình học lớp 7”. * Điểm mới của Sáng kiến Nội dung của sáng kiến này trước đây đã có một số người nghiên cứu song nội dung còn chung chung, chưa đưa ra các dạng bài cụ thể. Điểm mới trong sáng kiến này, tôi tập trung trang bị đầy đủ các dạng bài tập vận dụng một số phương pháp vẽ thêm yếu tố phụ. Đối với mỗi dạng toán đưa ra phương pháp giải cụ thể và tập trung phân tích kĩ các ví dụ và bài tập áp dụng. Trong sáng kiến này tôi đã cố gắng tìm ra một số ví dụ về các phương pháp vẽ thêm yếu tố phụ, đưa ra các dạng bài tập từ dễ đến khó, các bài tập nâng cao dành cho học sinh khá giỏi. Khi gặp dạng toán học sinh dễ nắm bắt và giúp học sinh chủ động được cách giải, chủ động tư duy tìm hướng giải quyết cho các bài toán. Sáng kiến thực hiện tại trường đang giảng dạy và áp dụng giảng dạy có hiệu quả tốt. Nội dung vẽ thêm yếu tố phụ trong việc giải một số bài toán thường gặp ở cấp THCS có thể nhân rộng áp dụng vào giảng dạy ở các đơn vị trên địa bàn. Mong rằng sáng kiến sẽ được các em học sinh và đồng nghiệp đón nhận. 2
1.2. Phạm vi áp dụng đề tài: * Đối tượng nghiên cứu: Như đã trình bày ở trên nên trong sáng kiến này tôi chỉ nghiên cứu trên hai nhóm đối tượng cụ thể sau: 1. Giáo viên dạy toán THCS 2. Học sinh lớp 7 THCS : bao gồm 1 lớp 7 với tổng số 30 học sinh và nhóm bồi dưỡng học sinh giỏi toán 7. * Phạm vi nghiên cứu: Trong sáng kiến này tôi chỉ nêu ra một số “phương pháp vẽ thêm yếu tố phụ” mà học sinh chưa phát hiện ra trong quá trình chứng minh các bài toán hình học. Phân tích một số bài toán cụ thể để học sinh nhận thấy được cách thức vẽ thêm yếu tố phụ mà học sinh không nhận ra dẫn tới không giải được các bài toàn chứng minh hình học, đặc biệt là các bài toán khó. Từ đó định hướng cho học sinh phương pháp giải vẽ thêm yếu tố phụ khi chứng minh các bài toán hình học. * Phạm vi áp dụng sáng kiến: Sáng kiến này áp dụng cho học sinh lớp 7 và giáo viên dạy Toán THCS nơi bản thân đang công tác. 3
2. PHẦN NỘI DUNG 2.1. Thực trạng của nội dung cần nghiên cứu Qua nhiều năm dạy môn Hình học lớp 7, tôi nhận thấy rằng, không có phương pháp chung nhất cho việc vẽ thêm các yếu tố phụ, mà là một sự sáng tạo trong trong khi giải toán, bởi vì việc vẽ thêm các yếu tố phụ cần đạt được mục đích là tạo điều kiện để giải được bài toán một cách ngắn gọn chứ không phải là một công việc tuỳ tiện. Hơn nữa, việc vẽ thêm các yếu tố phụ phải tuân theo các phép dựng hình cơ bản và các bài toán dựng hình cơ bản, nhiều khi người giáo viên đã tìm ra cách vẽ thêm yếu tố phụ nhưng không thể giải thích rõ cho học sinh hiểu được vì sao lại phải vẽ như vậy, khi học sinh hỏi giáo viên: Tại sao cô (thầy) lại nghĩ ra được cách vẽ đường phụ như vậy, ngoài cách vẽ này còn có cách nào khác không? hay tại sao chỉ vẽ thêm như vậy mới giải được bài toán? Gặp phải tình huống như vậy, quả thật người giáo viên cũng phải rất vất vả để giải thích mà có khi hiệu quả cũng không cao, học sinh không nghĩ được cách làm khi gặp bài toán tương tự vì các em chưa biết các căn cứ cho việc vẽ thêm yếu tố phụ. Từ thực tế giảng dạy tôi thấy rằng: để giải quyết vấn đề này một cách triệt để, mặt khác lại nâng cao năng lực giải toán và bồi dưỡng khả năng tư duy tổng quát cho học sinh, tốt nhất ta nên trang bị cho các em những cơ sở của việc vẽ thêm đường phụ và một số phương pháp thường dùng khi vẽ thêm yếu tố phụ, cách nhận biết một bài toán hình học cần phải vẽ thêm yếu tố phụ, từ đó khi các em tiếp xúc với một bài toán, các em có thể chủ động được cách giải, chủ động tư duy tìm hướng giải quyết cho bài toán, như vậy hiệu quả sẽ cao hơn. * Số liệu khảo sát trước khi áp dụng đề tài: 4
Trước khi áp dụng đề tài tôi đã tiến hành khảo sát với nội dung kiến thức liên quan đến vẽ thêm yếu tố phụ trên 30 học sinh. Kết quả đạt được như sau: 0
A x A’ B y O’ B’ O Bài toán 3: Dựng tia phân giác của góc xAy cho trước. Cách dựng: Dựng đường tròn (A, r) cắt Ax ở B và cắt Ay ở C. Dựng các đường tròn (B, r) và (C, r) chúng cắt nhau ở D. Tia AD là tia phân ﾷ giác của xAy . Thật vậy: ABD = ACD ( c c c) ﾷA1 = ﾷA2 x B r r 1 D z A 2 r r C y Bài toán 4: Dựng trung điểm của đoạn thẳng AB cho trước. Cách dựng: 6
Dựng hai đường tròn (A, AB) và (B, BA) chúng cắt nhau tại C, D. Giao điểm của CD và AB là trung điểm của AB. C A B D * Chú ý: đây cũng là cách dựng đường trung trực của đoạn thẳng cho trước. Bài toán 5: Qua điểm O cho trước, dựng đường thẳng vuông góc với đường thẳng a cho trước. Cách dựng: Dựng đường tròn (O, r) cắt a tại A, B. Dựng đường trung trực của AB. Đường trung trực của AB là đường thẳng vuông góc với đường thẳng a C a A B D Trên đây là các bài toán dựng hình cơ bản, khi cần thì sử dụng mà không cần nhắc lại cách dựng. Khi cần vẽ thêm đường phụ để chứng minh thì cũng phải căn cứ vào những đường cơ bản đã dựng để vẽ thêm không nên vẽ một cách tuỳ tiện. 2.2. 2. Cơ sở thực tế 7
Ta đã biết nếu hai tam giác bằng nhau thì suy ra được các cặp cạnh tương ứng bằng nhau, các cặp góc tương ứng bằng nhau. Đó chính là lợi ích của việc chứng minh hai tam giác bằng nhau. Vì vậy muốn chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau (hay hai góc bằng nhau) ta thường làm theo một cách gồm các bước sau: Bước 1: Xét xem hai đoạn thẳng (hay hai góc) đó là hai cạnh (hay hai góc) thuộc hai tam giác nào? Bước 2: Chứng minh hai tam giác đó bằng nhau. Bước 3: Từ hai tam giác bằng nhau, suy ra cặp cạnh (hay cặp góc) tương ứng bằng nhau. Tuy nhiên trong thực tế giải toán thì không phải lúc nào hai tam giác cần có cũng được cho ngay ở đề bài mà nhiều khi phải tạo thêm các yếu tố phụ mới xuất hiện được các tam giác cần thiết và có lợi cho việc giải toán. Vì vậy yêu cầu đặt ra là làm thế nào học sinh có thể nhận biết cách vẽ thêm được các yếu tố phụ để giải toán hình học nói chung và toán hình học 7 nói riêng. Qua thực tế giảng dạy tôi đã tích luỹ được một số cách vẽ yếu tố phụ đơn giản và thiết thực, khi hướng dẫn học sinh thực hiện giải toán rất hiệu quả, đặc biệt là trong công tác bồi dưỡng học sinh giỏi. 2.2.3. Một số phương pháp vẽ yếu tố phụ Bây giờ chúng ta cùng nghiên cứu một số phương pháp đơn giản nhất, thông dụng nhất để vẽ thêm yếu tố phụ trong giải toán Hình học 7: Phương pháp 1: Vẽ trung điểm của một đoạn thẳng, vẽ tia phân giác của một góc Bài toán 1: Cho tam giác ABC có AB = 10 cm; BC = 12 cm, D là trung điểm của cạnh AB. Vẽ DH vuông góc với BC ( H BC) và DH = 4cm. Chứng minh rằng tam giác ABC cân tại A. 1) Phân tích bài toán: Bài cho tam giác ABC có AB = 10 cm; BC = 12 cm, D là trung điểm của cạnh AB. Vẽ DH vuông góc với BC ( H BC) và DH = 4cm. Yêu cầu chứng minh tam giác ABC cân tại A. 2) Hướng suy nghĩ: ABC cân tại A AB = AC. Ta nghĩ đến điểm phụ K là trung điểm của AB. Vậy yếu tố phụ cần vẽ là trung điểm của BC. A 3) Chứng minh: GT ABC; AB = 10cm; D 8 B C H K
1 BC = 12 cm; DA DB AB ; 2 DH BC, DH = 4 cm KL ABC cân tại A. Gọi K là trung điểm của đoạn thẳng BC, ta có: BK = KC = 1 BC = 6 cm. 2 1 Lại có: BD = AB = 5 cm ( do D là trung điểm của AB) 2 ﾷ Xét HBD có: BHD = 900 ( gt), theo định lí Pitago ta có: DH2 + BH2 = BD2 BH2 = BD2 DH2 = 52 42 = 9 BH = 3 ( cm) Ta có BH + HK = BK ( Vì H nằm giữa B và K ) HK = BK – BH = 6 – 3 = 3 (cm) A Xét ABK có BD = DA ( gt ) ; BH = HK ( = 3 cm) DH // AK (đường nối trung điểm 2 D cạnh của tam giác thì song song với cạnh thứ 3). B C Ta có: DH BC, DH // AK AK BC. H K � ﾷAKB = ﾷAKC = 900 Xét ABK và ACK có: BK = KC ( theo cách lấy điểm K) ﾷAKB = ﾷAKC = 900 AK là cạnh chung Do đó ABK = ACK (c g c) AB = AC ABC cân tại A. (đpcm) 4) Nhận xét: Trong cách giải bài toán trên ta đã chứng minh AB = AC bằng cách tạo ra hai tam giác bằng nhau chứa hai cạnh AB và AC từ việc kẻ thêm trung tuyến AK, việc chứng minh còn sử dụng thêm một bài toán phụ là: Trong một tam giác, đường thẳng đi qua trung điểm hai cạnh thì song song với cạnh thứ ba, kiến thức về đường trung bình này học sinh sẽ được nghiên cứu trong chương trình Toán 8 nhưng ở phạm vi kiến thức lớp 7 vẫn có thể chứng minh được, việc chứng minh dành cho học sinh khá giỏi, trong bài này có sử dụng kết quả của bài toán mà không chứng minh lại vì chỉ muốn nhấn mạnh vào việc vẽ thêm yếu tố phụ. 9
ﾷ Bài toán 2: Cho tam giác ABC có B ﾷ = C ; chứng minh rằng: AB = AC? (Giải bằng cách vận dụng trường hợp bằng nhau góc .cạnh. góc của hai tam giác). 1) Phân tích bài toán: ﾷ Bài cho: tam giác ABC có B ﾷ ; Yêu cầu: chứng minh AB = AC. = C 2) Hướng suy nghĩ: ﾷ Đường phụ cần vẽ thêm là tia phân giác AI của BAC ( I BC) 3) Chứng minh: A GT ﾷ ABC; B ﾷ = C 1 2 KL AB = AC ﾷ Vẽ tia phân giác AI của BAC ( I BC). ﾷA =ﾷA =1 BAC 1 2 ﾷ . (1) B C 1 2 I 2 Áp dụng định lí tổng ba góc của tam giác vào hai tam giác ABI và ACI ta có: * ﾷA1 + B 1 1 ( ﾷ + Iﾷ =1800 � Iﾷ =1800 − ﾷA + B 1 ﾷ ) * ﾷA2 + C 2 2 2 ( ﾷ + Iﾷ =1800 � Iﾷ =1800 − ﾷA + C ﾷ ) ﾷ Mặt khác B ﾷ ( gt); ﾷA =ﾷA ( theo (1) ) = C ﾷ =I I ﾷ (2) 1 2 1 2 Xét ABI và ACI ta có: ﾷI =ﾷI ( theo (2)) 1 2 Cạnh AI chung ﾷA = ﾷA ( theo (1)) 1 2 ABI = ACI ( g c g) AB = AC ( 2 cạnh tương ứng) 4) Nhận xét: Trong cách giải trên, ta phải chứng minh AB = AC bằng cách kẻ thêm AI là tia phân giác của góc BAC để tạo ra hai tam giác bằng nhau. Phương pháp 2: Trên một tia cho trước, đặt một đoạn thẳng bằng đoạn thẳng cho trước. 10
Bài toán 3: Chứng minh định lí: Trong tam giác vuông, trung tuyến thuộc cạnh huyền bằng nửa cạnh huyền ( Bài 25/ 67 SGK toán 7 tập 2) 1) Phân tích bài toán: Bài cho Tam giác ABC vuông tại A, AM là đường trung tuyến ứng với cạnh 1 huyền, yêu cầu chứng minh: AM = BC � 2 AM = BC 2 2) Hướng suy nghĩ: Ta cần tạo ra đoạn thẳng bằng 2.AM rồi tìm cách chứng minh BC bằng đoạn thẳng đó. Như vậy dễ nhận ra rằng, yếu tố phụ cần vẽ thêm là điểm D sao cho M là trung điểm của AD. 3) Chứng minh: A ABC; ﾷA = 900 ; GT AM là trung tuyến 1 KL AM = BC 2 B C M Trên tia đối của tia MA lấy điểm D sao cho: MD = MA. A Xét MAC và MDB ta có: 1 MA = MD ( theo cách lấy điểm D) ﾷ = M M ﾷ ( hai góc đối đỉnh) 1 2 B 2 C MB = MC ( Theo gt) M 1 MAC = MDB ( c g c) AB = CD (2 cạnh tương ứng) (1) D ﾷA1 = D ﾷ (2 góc tương ứng). Từ ﾷA1 =D ﾷ AB // CD ( vì có cặp góc so le trong bằng nhau). Lại có: AC AB ( gt) AC CD (Quan hệ giữa tính song song và vuông ﾷ góc) � ﾷACD = 900 => BAC = ﾷACD =900 (2) Xét ABC và CDA có: AB = CD ( Theo (1)) ﾷ BAC = ﾷACD =900 ( Theo (2)) AC là cạnh chung 11
ABC = CDA ( c g c) 1 1 BC = AD ( 2 cạnh tương ứng ) Mà AM AD nên AM BC 2 2 4) Nhận xét: 1 Trong cách giải của bài tập trên, để chứng minh AM BC ,ta đã vẽ thêm 2 1 đoạn thẳng MD trên tia AM sao cho MD = MA, do đó AM = AD . Như 2 vậy chỉ còn phải chứng minh AD = BC và đưa bài toán đã cho trở về bài toán chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau. Trên một tia cho trước, đặt một đoạn thẳng bằng một đoạn thẳng khác là một trong những cách vẽ đường phụ để vận dụng trường hợp bằng nhau của tam giác. Bài toán 4: Cho tam giác ABC có AB
AB = CD (2 cạnh tương ứng) (1) và ﾷA1 =D ﾷ (2 góc tương ứng). (2) Ta có: AB = CD ( Theo (1)), mà AB
KL AB = CD; AC = BD Xét ABD và DCA có: ﾷ BAD ﾷ = CDA ( so le trong AB // CD) AD là cạnh chung ﾷ ADB ﾷ = DAC ( so le trong AC // BD) ABD = DCA ( g c g) AB = CD; AC = BD ( các cạnh tương ứng) 4) Nhận xét: Việc nối AD làm xuất hiện trong hình vẽ hai tam giác có một cạnh chung là AD, muốn chứng minh AB = CD; AC = BD ta chỉ cần chứng minh. ABD = DCA. Do hai tam giác này đã có một cạnh bằng nhau( cạnh chung) nên chỉ cần chứng minh hai cặp góc kề cạnh đó bằng nhau là vận dụng được trường hợp bằng nhau góc cạnh góc. Điều này thực hiện được nhờ vận dụng tính chất của hai đường thẳng song song. Phương pháp 4: Từ một điểm cho trước, vẽ một đường thẳng song song hay vuông góc với một đường thẳng. Bài toán 6: Tam giác ABC có đường cao AH và trung tuyến AM chia góc A thành ba góc bằng nhau. Chứng minh rằng ABC là tam giác vuông và ABM là tam giác đều? 1) Phân tích bài toán: Bài cho ABC có đường cao AH và trung tuyến AM chia góc A thành ba góc bằng nhau. Yêu cầu ta chứng minh ABC là tam giác vuông và ABM là tam giác đều. 2) Hướng suy nghĩ: Muốn chứng minh tam giác ABC vuông tại A ta cần kẻ thêm đường thẳng vuông góc với AC và chứng minh đường thẳng đó song song với AB, từ đó suy ra AB AC và suy ra góc A = 900. 3) Chứng minh: A ABC; AH BC; 1 2 3 GT trung tuyến AM; I ﾷA = A ﾷ = ﾷA 1 2 3 1 2 B C H M 14
ABC vuông ; KL ABM đều Vẽ MI AC ( I AC) Xét MAI và MAH có: ﾷ = Iﾷ =900 ( gt) H AM là cạnh chung) MAI = MAH ( cạnh huyền góc nhọn) ﾷA = ﾷA (gt) MI = MH ( 2 cạnh tương ứng) (1) 2 3 Xét ABH và AMH có: ﾷ =Hﾷ 2 =90 0 H 1 ( gt) AH là cạnh chung ABH= AMH ( g c g) ﾷA = ﾷA ( gt) BH= MH ( 2 cạnh tương ứng) (2) 1 2 1 Mặt khác: H BM , nên từ (1) và (2) MI = MH = BH = BM 2 1 Lại có BM = CM (gt) � MI = CM 2 1 ﾷ = 300 từ đó suy Xét MIC vuông tại C có: MI = CM nên C 2 ﾷ 3 ﾷ 3 ﾷ ra: HAC = 600 BAC = HAC = .600 = 900 . 2 2 ﾷ = 300 � B Vậy ABC vuông tại A. Vì C ﾷ = 600 1 Lại có AM = BC ( tính chất trung tuyến ứng với cạnh huyền trong 2 1 tam giác vuông) và BM = MC = BC ( vì M là trung điểm BC) suy ra AM = 2 BM do đó ABM cân tại A và có 1 góc bằng 600 nên nó là tam giác đều. 4) Nhận xét: Trong bài toán trên nếu chỉ có các yếu tố bài ra thì tưởng chừng như rất khó giải, tuy nhiên, chỉ bằng một đường vẽ thêm ( MI AC) thì bài toán lại trở lên rất dễ dàng, qua đó càng thấy rõ vai trò của việc vẽ thêm yếu tố phụ trong giải toán hình học. 15
Bài toán 7: Cho tam giác ABC ( AB
trong nhiều bài toán nên giáo viên cần lưu ý cho học sinh nhớ để vận dụng. Cách giải này cũng được áp dụng để giải một số bài toán rất hay trong chương trình THCS. Các phương pháp vẽ thêm yếu tố phụ trên nằm trong nhóm phương pháp chung gọi là phương pháp tam giác bằng nhau, sau đây ta sẽ nghiên cứu thêm một phương pháp mới rất hay nhưng chưa được khai thác nhiều trong giải toán. Phương pháp 5: Phương pháp “tam giác đều” Đây là một phương pháp rất đặc biệt, nội dung của nó là tạo thêm được vào trong hình vẽ các cạnh bằng nhau, các góc bằng nhau giúp cho việc giải toán được thuận lợi. Đặc biệt đối với các bài tập về tính số đo góc, trước tiên ta cần hướng dẫn học sinh chú ý đến những tam giác chứa góc có số đo xác định như: Tam giác cân có một góc xác định. Tam giác đều. Tam giác vuông cân. Tam giác vuông có một góc nhọn đã biết hay cạnh góc vuông bằng nửa cạnh huyền... Sau đó hướng dẫn học sinh nghĩ đến việc tình số đo của góc cần tìm thông qua mối liên hệ với các góc của một trong các hình chứa góc có số đo hoàn toàn xác định nêu trên (Thường là đi với mối liên hệ bằng nhau của một tam giác rồi rút ra góc tương ứng của chúng bằng nhau). Ta hãy xét một bài toán điển hình: Bài toán 8: Cho tam giác ABC cân tại A, ﾷA = 200 . Trên cạnh AB lấy điểm ﾷ 1 D sao cho AD = BC. Chứng minh rằng DCA = ﾷA . 2 1) Phân tích bài toán: Bài cho ABC cân tại A, ﾷA = 200 ; AD = BC ( D AB) ﾷ 1ﾷ Yêu cầu chứng minh: DCA = A. 2 2) Hướng suy nghĩ: A Đề bài cho tam giác cân ABC có góc ở đỉnh là 20 , suy ra góc ở đáy là 800. Ta 0 thấy 800 200 = 600 là số đo mỗi góc của tam giác đều Vẽ tam giác đều BMC D 3) Chứng minh: M 17 B C
GT ABC; AB = AC; ﾷA = 200 ; AD = BC (D AB) ﾷ 1ﾷ KL DCA = A . 2 Ta có: ABC; AB = AC; ﾷA = 200 ( gt) ﾷﾷ 1800 − 200 Suy ra: B = C = = 800 2 Vẽ tam giác đều BCM ( M và A cùng thuộc nửa mặt phẳng bờ BC), ta được: ﾷﾷ AD = BC = CM đồng thời ABM = ACM = 80 0 600 = 200 ﾷﾷ Ta có MAB = MAC ( c c c) MAB = MAC = 20 0 : 2 = 100 Xét CAD và ACM có: AD = CM ( chứng minh trên) ﾷ CAD = ﾷACM ( = 200 ) AC là cạnh chung Do đó CAD = ACM ( c g c ) ﾷﾷﾷ 0 . Vậy DCA = 1ﾷ => DCA = MAC = 10 BAC. 2 4) Nhận xét: * Đề bài cho tam giác cân ABC có góc ở đỉnh là 20 0, suy ra góc ở đáy là 800. Ta thấy 800 200 = 600 là số đo mỗi góc của tam giác đều. Chính sự liên hệ này gợi ý cho ta vẽ tam giác đều BCM vào trong tam giác ABC. Với giả thiết AD = BC thì vẽ tam giác đều như vậy giúp ta có mối quan hệ bằng nhau giữa AD với các cạnh của tam giác đều giúp cho việc chứng minh tam giác bằng nhau dễ dàng. * Ta cũng có thể giải bài toán trên bằng cách vẽ tam giác đều kiểu khác: Cách 2: ﾷ Vẽ ∆ EAD đều nằm ngoài tam giác ABC, tạo ra EAC ﾷ = 600 + 200 = 800 = B Khi đó ∆ EAC = ∆ CBA (c.g.c) vì: EA = BC AC = AB ﾷ CE = CA và EAC ﾷ =B ﾷ ECA ﾷ = BAC 18
Mặt khác ∆ CDA = ∆ CDE (c.c.c) vì: DA = DE A CD chung E CA = CE � Cﾷ = ﾷC = 1 ECA ﾷ = 1ﾷ BAC = 10 0 1 2 2 2 D ﾷ 1ﾷ Vậy DCA = BAC. 2 ? 2 1 0 B 80 C Sau khi phân tích, hướng dẫn học sinh làm hai cách trên, có thể hướng dẫn học sinh làm thêm theo cách sau: Cách 3: A Vẽ tam giác đều EAC nằm ngoài 1 ﾷ tam giác ABC, tạo ra DAE ﾷ = 800 = B 1 E Khi đó ∆ DAE = ∆ CBA (c.g.c) vì : D 2 AE = BA ( = AC ) ﾷ DAE =B ﾷ (= 800 ) AD = BC ? ﾷ = ﾷA � E E ﾷ = 200 (do ﾷA = 200 ) 1 1 1 1 0 DE = AC B 80 C DE = AC mà AC = CE nên DE = CE do đó ∆ DEC cân tại đỉnh E, có góc ở ﾷ đỉnh góc đáy ECD = (1800 400) : 2 = 700 ﾷ E = 60o − 20o = 40o 2 Do đó DCA ﾷﾷ = DCE ﾷ − ACE = 700 − 600 = 100 . A Từ đó ta có điều phải chứng minh. 1 Cách 4 : Vẽ ∆ đều ABE ( E,C nằm cùng phía đối với AB) ﾷ tạo ra CBE ﾷ = 800 − 600 = 200 = BAC D Khi đó ∆ CBE = ∆ DAC (c.c.c) vì : CB = AD (gt) 2 E 1 BE = AC ( =AB) ﾷ =E ﾷ ? � C1 1 1 ﾷ CBE ﾷ = BAC ( = 20 0 ) 0 B 80 19 C
ﾷ ta chỉ cần tính E Vậy để tìm C ﾷ 1 1 Ta có AE = AC (=AB) nên ∆ AEC cân tại A lại có góc ở đỉnh ﾷA = 600 200= 400 Nên góc ở đáy ﾷAE C = (1800 – 400) : 2 = 700 ﾷ = 600 (góc trong tam giác đều ABE) Mà góc E 2 ﾷ = ﾷAEC − E �E ﾷ = 700 − 600 = 100 � C ﾷ = 100 Hay ﾷ 1 2 1 ACD = 100 ﾷﾷ 1 Vậy DCA = BAC. 2 Ở ví dụ này đề bài cho hai cặp đoạn thẳng bằng nhau là : AB = AC ; AD = BC. Như vậy có thể giải bằng 4 cách : Vẽ tam giác đều có một cạnh là AC ; vẽ tam giác đều có một cạnh là AB ; vẽ tam giác đều có một cạnh là BC ; rồi AD. Qua ví dụ bước đầu các em đã định hình được phương pháp vẽ tam giác đều và các cách triển khai theo phương pháp đó. Ngoài ra còn những cách vẽ tam giác đều khác cũng giúp ta tính được góc DCA dẫn tới điều phải chứng minh, các cách khác còn tuỳ thuộc vào sự sáng tạo của mỗi người và bắt nguồn từ việc yêu thích môn Hình học. ﾷ Bài toán 9: Cho tam giác ABC vuông tại A, C = 150. Trên tia BA lấy điểm O sao cho BO = 2 AC. Chứng minh rằng tam giác OBC cân. O 1) Phân tích bài toán: ﾷ = 150. Bài cho tam giác ABC vuông tại A, C Trên tia BA lấy điểm O sao cho BO = 2 AC. Yêu cầu chứng minh OBC cân tại O. 2) Hướng suy nghĩ: ﾷ = 150 suy ra ﾷA = 750 150 = 600 Ta thấy C A 150 B C là số đo của mỗi góc trong tam giác đều sử dụng phương pháp tam giác đều vào việc giải bài toán. 3) Chứng minh: ABC; ﾷA = 900; Cﾷ = 150 GT O tia BA: BO = 2AC KL OBC cân tại O. 20