Sáng kiến kinh nghiệm THPT: Những kỹ năng phát hiện nhanh đồ thị của hàm số bậc 3, hàm trùng phương trong bài thi trắc nghiệm

Chia sẻ: Behodethuonglam | Ngày: | Loại File: DOC | Số trang:32

Thêm vào BST

Báo xấu

20
lượt xem 2
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Mục đích nghiên cứu của sáng kiến là tổng hợp kiến thức cơ bản về một lĩnh vực nhỏ của hàm số giúp học sinh có học lực yếu, trung bình, khá… có thể giải được các bài tập trắc nghiệm một cách nhanh chóng, chính xác.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Sáng kiến kinh nghiệm THPT: Những kỹ năng phát hiện nhanh đồ thị của hàm số bậc 3, hàm trùng phương trong bài thi trắc nghiệm

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NGHỆ AN TRƯỜNG NGUYỄN CẢNH CHÂN =====  ===== ĐỀ CƯƠNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM LĨNH VỰC: TOÁN HỌC Đề tài:Những kỹ năng phát hiện nhanh đồ thị của hàm số bậc 3, hàm trùng phương trong bài thi trắc nghiệm. Tên tác giả : Võ Văn Thọ Tổ bộ môn : Toán Tin Năm thực hiện : 2020 2021
ĐỀ TÀI SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM Những kỹ năng phát hiện nhanh đồ thị của hàm số bậc 3, hàm trùng phương trong bài thi trắc nghiệm. I. MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài Một trong những vấn đề cơ bản của đổi mới chương trình giáo dục phổ thông là đổi mới phương pháp dạy học, phương pháp kiểm tra đánh giá. Việc đổi mới phương pháp dạy học và phương pháp kiểm tra đánh giá môn Toán hiện nay là nhằm phát huy tính tích cực chủ động sáng tạo của học sinh trong việc tiếp thu kiến thức qua đó khai thác vận dụng những kỹ năng để giải toán. Trong các kỳ thi tốt nghiệp THPT Quốc gia, cũng như các kỳ thị lớp lớp 12 ở những năm gần đây đều thi dưới hình thức thi trắc nghiệm nên đòi hỏi kỹ năng giải toán phải linh hoạt, sáng tạo không thụ động. Khi đứng trước một bài toán học sinh phải hình dung và định hướng được ngay cách giải mới đáp ứng được kết quả cao. Qua quá trình giảng dạy ở trường phổ thông nhiều năm bản thân tôi đã trực tiếp dạy nhiều đối tượng học sinh từ yếu, trung bình đến bồi dưỡng học sinh khá; song, tôi nhận thấy rằng việc giải một bài toán trắc nghiệm học sinh mất phương hướng, đặc biệt là đối với đối tượng học sinh có học lực yếu, trung bình cũng như khá để tìm ra đáp án đúng, đôi khi học sinh giải bài toán đó như theo hướng tự luận mất rất nhiều thời gian, trong khi, yêu cầu bình quân mỗi câu trắc nghiệm chỉ mất tối đa là gần 2,0 phút phải cho đáp số ở những câu hỏi dạng nhận biết. Đứng trước những vấn đề như vậy, làm thế nào để đáp ứng được nhu cầu đổi mới hiện nay, làm sao cho học sinh có hứng thú trong học tập, không bị động trước các bài toán ở mức độ nhận biết, thông hiểu và vận dùng về 2
hàm số; Sau đây tôi xin giới thiệu một kinh nghiệm đó là: Những kỹ năng phát hiện nhanh đồ thị của hàm số bậc 3, hàm trùng phương trong bài thi trắc nghiệm. 2. Mục đích nghiên cứu: Tổng hợp kiến thức cơ bản về một lĩnh vực nhỏ của hàm số giúp học sinh có học lực yếu, trung bình, khá… có thể giải được các bài tập trắc nghiệm một cách nhanh chóng, chính xác. 3. Đối tượng nghiên cứu: Những kỹ năng giải nhanh các bài toán về đồ thị của hàm số bậc 3, bậc 4 trùng. 4. Phương pháp nghiên cứu: Từ lý thuyết chung về hàm số bậc 3, bậc bốn trùng phương, xây dựng hệ thống các dấu hiệu nhận biết để giải các bài tập có liên quan. II. NỘI DUNG 1. Cơ sở lý luận 1.1 Đối với hàm số bậc 3: y = ax 3 + bx 2 + cx + d Một số vấn cần nhớ về đồ thị hàm số bậc 3 a>0 a
y ' = 0 có hai y y nghiệm phân biệt hay ∆ y/ > 0 O x O x y ' = 0 có hai y y nghiệm kép hay ∆ y = 0/ O x O x y ' = 0 vô y y nghiệm hay O ∆ y/ < 0 x O x Chú ý: y(0) = c Từ bảng tổng hợp trên nhận thấy: * Khi a > 0 , từ trái qua phải đồ thịcó hướng bắt đầu đi lên. * Khi a < 0 , từ trái qua phải đồ thị có hướng bắt đầu đi xuống. Từ dấu hiệu trên ta đã loại được một số phương án không phải là đáp số đúng. * y ( 0 ) = c * Tuỳ vào PT y’=0 có nghiệm hay không để kết luận hàm số có hay 4
không có cực trị. 1.2. Đối với hàm số bậc 4 trùng phương: y = ax 4 + bx 2 + c Một số vấn đề về lý thuyết về đồ thị cần nhớ. a >0 a 0, từ trái qua phải đồ thị có hướng bắt đầu đi lên. Khi a
Cho 1 hình ảnh đồ thị và 4 hàm số, tìm hàm số có đồ thị tương ứng. Cho 1 hình ảnh đồ thị và 1 hàm số tìm mỗi liên hệ giữa các hệ số. Nếu giải nhanh bài toán trên theo các bước khảo sát để tìm ra đồ thị thì quả thật mất rất nhiều thời gian. 3. Các giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề. 3.1. Các ví dụ về hàm số bậc 3 y = ax 3 + bx 2 + cx + d Ví dụ 1. Đường cong trong hình bên dưới là đồ thị của một hàm số trong bốn hàm số được liệt kê ở bốn phương án A, B, C, D dưới đây. Hỏi hàm số đó là hàm số nào? A. y = x3 + 3x2 – 2 B. y = x3 3x2 2 C. y = x3 3x2 – 2 D. y = x3 + 3x2 2 Giải Nhìn đồ thị có hướng đi lên từ trái qua phải suy ra a > 0 nên loại C và D Mà đồ thị có 2 điểm cực trị x= 0 và x = 2 suy ra loại B Chọn A Ví dụ 2. Đường cong trong hình bên dưới là đồ thị của một hàm số trong bốn hàm số được liệt kê ở bốn phương án A, B, C, D dưới đây. Hỏi hàm số đó là hàm số nào? 6
A. y = x3 – 2 B. y = x3 3x 2 C. y = x3 + 3x 2 D. y = x3 3x Giải Nhìn đồ thị có hướng đi lên từ trái qua phải suy ra a > 0 nên loại C. Mà đồ thị không đi qua gốc tọa độ nên loại đáp án D Mặt khác đồ thị có 2 điểm cực trị nên loại A Chọn B. Ví dụ 3 . Đồ thị của hàm số nào dưới đây có dạng như đường cong hình vẽ bên A. y = x3 − 3x 2 + 3 . B. y = x3 − 2 x . C. y = x3 − 3x . D. y = − x3 + 3x . Nhìn đồ thị có hướng đi lên từ trái qua phải suy ra a > 0 nên D bị loại Ta thấy ở đáp án B và C đồ thị qua gốc tọa độ, mà đồ thị trên không qua gốc tọa độ nên đáp án B và C bị loại Chọn A Ví dụ 4. Đường cong trong hình bên là đồ thị của một hàm số trong bốn hàm số được liệt kê ở bốn phương án A, B, C , D dưới đây. Hỏi hàm số đó là hàm số nào? 7
A. y = − x3 + x − 1 B. y = − x 3 + 3x + 1 C. y = x3 − x2 D. y = x3 − 3x + 1. Lời giải Vì đồ thị có hướng đi lên từ trái qua phải nên a > 0 suy ra loại A và B, mặt khác đồ thị hàm số này không đi qua gốc tọa độ, nên loại C Chọn D Ví dụ 5. Hình vẽ sau đây là đồ thị của một trong bốn hàm số cho ở các đáp án A, B, C , D . Hỏi đó là hàm số nào? A. . B. . C. . D. . Lời giải Nhìn đồ thị có hướng đi lên từ trái qua phải suy ra a > 0 nên loại D Mà đồ thị có 2 điểm cực trị nên loại A Xét phương án B có y ' = 3 x 2 − 6 x và y ' đổi dấu khi đi qua các điểm x = 0; x = 2 nên hàm số đạt cực tri tại x = 0 và x = 2 , loại phương án B Chọn C Ví dụ 6 Đường cong trong hình bên là đồ thị của một hàm số trong bốn hàm số được liệt kê ở bốn phương án A, B, C , D dưới đây. Hỏi hàm số đó là hàm số nào? A. y = − x 2 + x − 1 B. y = − x 3 + 3x + 1 C. y = x 3 + 1 D. y = x3 − 3x + 1 8
Giải Vì đồ thị có hướng đi lên từ trái qua phải nên a > 0 suy ra loại đáp án A và B, hơn nữa đây là đồ thị hàm số bậc 3 có 2 điểm cực trị nên loại C Chọn D Ví dụ 7. Hình vẽ sau đây là đồ thị của một trong bốn hàm số cho ở các đáp án A, B, C , D . Hỏi đó là hàm số nào? A. y = x 3 + 3 x + 1 . B. y = x 3 − 2 x 2 + 1 . C. y = x3 − 2 x + 1 . D. y = − x3 + 2 x + 1 . Vì đồ thị có hướng đi lên từ trái qua phải nên a > 0, suy ra loại đáp án D, cực trị nằm 2 phái của trục 0y nên loại A, mặt khác hoành độ điểm cực trị khác 0 nên loại B. Chọn C Å Ví dụ 8. Đường cong trong hình bên d ướ i là đồ thị của một hàm số trong bốn hàm số được liệt kê ở bốn phương án A, B, C, D dưới đây. Hỏi hàm số đó là hàm số nào? y 2 -1 x O 1 -2 A. y = x3 − 3x . B. y = − x3 + 3x − 1 . C. y = − x3 + 3x . D. y = x3 − x 2 + 1 . Giải Vì đồ thị có hướng đi xuống từ trái qua phải nên a < 0 suy ra loại đáp án A và 9
D, hơn nữa đồ thị đi qua g Å ốc tọa độ nên c = 0 nên loại B Chọn C Ví dụ 9. Đồ thị hàm số y = x3 − 3x + 2 là hình nào trong 4 hình dưới đây? y y 4 4 3 2 1 -2 O x O 1 x -1 1 2 -1 -1 Å Å A. Hình 1. B. Hình 2. y y 3 -1 O 1 x 1 -1 O x 1 -2 -1 -4 C. Hình 3. D. Hình 4. Ta thấy hàm số có hệ số a > 0 nên đồ thị bắt đầu đi lên từ trái qua phải suy ra loại Hình 3 và Hình 4 có 2 điểm cực trị ; y(0) = 2 nên loại Hình 2 Chọn A ( Hình 1) Ví dụ 10. Đường cong trong hình bên d ướ i là đồ thị của một hàm số trong bốn hàm số được liệt kê ở bốn phương án A, B, C, D dưới đây. Hỏi hàm số đó là hàm số nào? 10
y 2 1 O x 1 A. y = x3 − 3x + 1 . B. y = − x 3 + 3x 2 + 1 . C. y = x3 − 3x 2 + 3x + 1 . D. y = − x3 − 3x 2 − 1 . Giải Nhìn dạng đồ thị thấy a > 0 , suy ra loại B và D. Mặt khác đồ thị hàm số đi qua điểm (1;2) và y ' 0, ∀x suy ra loại A. Chọn C. Ví dụ 11. Đường cong trong hình bên dưới là đồ thị của một hàm số trong bốn hàm số được liệt kê ở bốn phương án A, B, C, D dưới đây. Hỏi hàm số đó là hàm số nào? A. y = x3 3x2 + 3x + 1 B. y = x3 3x2 3x 1 C. y = x3 3x2 + 3x – 1 D. y = x3 + 3x2 3x – 1 Giải Ta thấy a > 0 suy ra loại D, đồ thị đi qua điểm ( 0; 1) nên loại A. Mặt khác từ đồ thị ta thấy y ' �0, ∀ x �R � loai B Chọn C Ví dụ 12. Đường cong trong hình bên dưới là đồ thị của một hàm số trong 11
bốn hàm số được liệt kê ở bốn phương án A, B, C, D dưới đây. Hỏi hàm số đó là hàm số nào? A. y = x3 + 2 B. y = x3 + 3x + 2 C. y = x3 x + 2 D. y = x3 + 1 Giải Nhìn đồ thị ta thấy hàm số luôn nghịch biến trên tập xác định nên loại B và đồ thị đi qua điểm (1;1) nên loại C và D. Chọn A Ví dụ 13. Cho hàm số y = ax3 + bx2 + cx + d có đồ thị như hình vẽ bên. Mệnh đề nào dưới đây đúng? A. a 0, c > 0, d > 0. B. a 0, b 0, d > 0. D. a 0, c = 0, d > 0. Giải Từ hình dáng đồ thị ta suy ra hệ số a 0 loại đáp án C. Ta có: y' = 3ax2 + 2bx + c Vì hàm số đạt cực tiểu tại điểm x = 0 nên y'(0) = 0 ⇒ c = 0 loại đáp án A. 12
Khi đó: y' = 0 ⇔ 3ax2 + 2bx = 0 ⇔ x = 0 hoặc x = 2b/3a Do hoành độ điểm cực đại dương nên 2b/3a > 0, mà a 0. Chọn D. Ví dụ 14. Hàm số có đồ thị như hình vẽ bên dưới: Khẳng định nào là đúng? A. a 0 C. a > 0, b > 0, c 0 D. a > 0, b 0 . + Đồ thị cắt trục 0 y tại điểm có tọa độ ( 0; d ) . Dựa vào đồ thị suy ra d > 0 . + Ta có: . Hàm số có hai điểm cực trị , trái dấu nên phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 ; x2 , trái dấu. Vì thế 3a.c < 0 , nên suy ra c < 0 . x1 > −1 + Mặt khác từ đồ thị ta thấy nên x1 + x2 > 0 . x2 > 1 2b 2b Mà x1 + x2 = − nên suy ra − > 0 � b < 0 3a 3a Vậy a > 0, b 0,c > 0,d < 0 B. a < 0,b < 0,c > 0,d < 0 C. a > 0,b < 0,c < 0,d > 0 D. a < 0,b > 0,c < 0,d < 0 13
Từ đồ thị suy ra hàm số có 2 cực trị và hoành độ các điểm cực trị trái dấu Tức y ' = 3ax 2 + 2bx + c có hai nghiệm phân biệt trái dấu ĐK là: a.c < 0 do a < 0 suy ra c > 0 Từ đồ thị, Ta có hoành độ điểm uốn dương b Tức là y" = 6ax + 2b có nghiệm dương hay: − > 0 , do a < 0 suy ra b > 0 3a Chọn A. Ví dụ 16. Chàm hàm số y = ax 3 + bx 2 + cx + d có đồ thị như hình bên. Trong các mệnh đề sau mệnh đề nào đúng? A. ab < 0, bc > 0, cd < 0 B. ab < 0, bc < 0, cd > 0 C. ab > 0, bc > 0, cd < 0 D. ab > 0, bc > 0, cd > 0 Giải Vì đồ thị đi lên từ trái qua phải khoảng đầu nên a > 0, có 2 điểm cực trị trái dấu nên a.c 0 Từ đồ thị, Ta có hoành độ điểm uốn dương b Tức là y" = 6ax + 2b có nghiệm dương hay: − > 0 , do a > 0 suy ra b < 0 3a Chọn A Cho hàm số y = ax 3 + 3x + d ( a; d  ) có đồ thị như hình bên. Mệnh Ví dụ 17. đề nào dưới đây đúng? A. a > 0, d > 0 . B. a < 0, d > 0 . C. a > 0, d < 0 . D. a < 0, d < 0 . Lời giải Ta có: xlim+ = − đồ thị nhánh ngoài cùng của hàm số hướng đi xuống nên 14
hệ số a < 0 . Giao điểm của đồ thị hàm số với trục tung Oy : x = 0 là điểm nằm bên dưới trục hoành nên khi x = 0 � y = d < 0 . Chọn D . Cho đường cong ( C ) : y = ax3 + bx 2 + cx + d có đồ thị như hình bên. Ví dụ 18 Khẳng định nào sau đây là đúng? A. a > 0, b < 0, c < 0, d < 0 . B. a > 0, b > 0, c < 0, d > 0 . C. a < 0, b > 0, c > 0, d < 0 . D. a > 0, b > 0, c < 0, d < 0 . Lời giải Từ đồ thị ta có x = 0 � y = d < 0 , từ dạng đồ thị suy ra a > 0 . Mặt khác y ' = 3ax 2 + 2bx + c từ đồ thị ta có phương trình y ' = 0 có hai nghiệm trái dấu suy ra ac < 0 mà a > 0 suy ra c < 0 . 2b Hơn nữa phương trình y ' = 0 có hai nghiệm phân biệt x1 + x2 = − = −1 suy ra 3a 3a = 2b � b > 0 . Chọn D. Ví dụ 19. Cho hàm số y = ax3 + bx 2 + cx + d ( a, b, c, d  ) có đồ thị là đường cong trong hình bên. Có bao nhiêu số dương trong các số a , b , c , d ? A. 4 . B. 1 . C. 2 . D. 3 . Lời giải Nhìn vào đồ thị ta dễ thấy a < 0 . 15
Gọi x1 , x2 là hoành độ hai điểm cực trị của hàm số suy ra x1 , x2 nghiệm phương trình y = 3ax 2 + 2bx + c = 0 nên theo định lý Viet: 2b b +) Tổng hai nghiệm x1 + x2 = − >0 0. 3a a c +) Tích hai nghiệm x1 x2 = >0 c 0 . Vậy có 2 số dương trong các số a , b , c , d . Chọn C. Ví d ụ 20 . Cho hàm số y = ax3 + bx 2 + cx + d có đồ thị như hình vẽ. Trong các số a, b, c và d có bao nhiêu số dương? A. 1 . B. 4 . C. 3 . D. 2 . Lời giải Từ hình dạng đồ thị hàm số ta có a > 0 Đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm có tung độ âm � d < 0 Ta có: y ' = 3ax 2 + 2bx + c Hàm số có hai điểm cực trị trái dấu � y ' = 0 có hai nghiệm trái dấu � ca < 0 Mà a > 0 nên c < 0 Ta lại có: y '' = 6ax + 2b b y '' = 0 � 6ax + 2b = 0 � x = − 3a b Từ đồ thị hàm số ta thấy tâm đối xứng có hoành độ âm. Do đó − 0 nên b > 0 Vậy trong các số a, b, c và d có 2 số dương là a và b Chọn D Ví dụ 21 Cho hàm số y = ax 3 + bx 2 + cx + d ( a, b, c, d R ) có đồ thị là đường cong trong hình bên. Có bao nhiêu số dương trong các số a, b, c, d ? 16
A. 4 . B. 2 . C. 1 . D. 3 . Lời giải Ta có: y = 3ax 2 + 2bx + c Dựa vào đồ thị ta thấy a < 0 ∆y > 0 b 2 − 9ac > 0 2b b 0 � 3a c0 3a Đồ thị cắt trục Oy tại điểm ( 0; d ) nên d > 0 Vậy có đúng 1 số dương trong các số a, b, c, d . Chọn C. Qua một số ví dụ trên, ta có các bước nhận biết về dấu hiệu để giải các bài tập dạng trên: Bước 1: Xác định dấu hệ số a và dựa vào: Khi a > 0 , từ trái qua phải đồ thị bắt đầu đi lên. Khi a < 0 , từ trái qua phải đồ thị bắt đầu đi xuống để loại đi các hàm số (hoặc đồ thị hàm số) không phù hợp. Bước 2: Xác định tương giao với Oy: y(0) = c, quan sát hàm số hoặc đồ thị để loại tiếp các phương án không phù hợp Bước 3: Xác định trên đồ thị sự tương giao với ox (nếu hoành độ điểm tương giao x0 có giá trị nguyên) kiểm tra y( x0 )=0 cho ra đáp án đúng. Chú ý: Nếu x0 không nguyên thì không xét bước 3. Bước 4: Nếu bước 2, 3 không tìm được đáp án đúng khi đó ta xem xét đến hàm số có cực trị hay không, kiểm tra hoành độ các điểm cực trị từ đó 17
cho ra đáp án đúng. Bước 5: Nếu các yếu tố trên vẫn chưa tìm được đáp án đúng ta chú ý đến điểm uốn, tâm đối xúng của đồ thị hàm số, từ đó cho kết luận. 3.2. Các ví dụ về hàm số trùng phương y = ax 4 + bx 2 + c Ví dụ 1 . Đường cong trong hình bên là đồ thị của một hàm số trong bốn hàm số được liệt kê ở bốn phương án A, B, C, D dưới đây. Hỏi hàm số đó là hàm số nào ? y 1 1 1 0 x 1 A. y = x 4 − 3x 2 + 1 . B. y = x 4 − 2 x 2 + 1 . C. y = − x 4 + 2 x 2 + 1 . D. y = − x 4 − 2 x 2 + 1 . Giải Vì đồ thị có hướng đi lên từ trái qua phải ở khoảng đầu tiên nên a
Vì đồ thị có hướng đi lên từ trái qua phải ở khoảng đầu tiên nên a 0 suy ra loại đáp án D, x=0 mà y(0) =2 suy ra loại B. mặt khác y ' = 0 nên loại C. x= 1 Chọn A Ví dụ 4 Đường cong ở hình bên là đồ thị của một trong bốn hàm số dưới đây. Hàm số đó là hàm số nào? A. y = x 4 − x 2 + 1 B. y = − x 4 + x 2 − 1 C. y = x 4 − x 2 − 1 D. y = − x 4 + x 2 + 1 Giải 19
Khoảng ngoài cùng từ bên trái của đồ thị có hướng đi xuống từ trái thì a > 0 nên loại B và D và y(0) = 1nên loại A Chọn C Ví dụ 5 . Đường cong trong hình bên là đồ thị của một hàm số trong bốn hàm số được liệt kê ở bốn phương án A, B, C, D dưới đây. Hỏi hàm số đó là hàm số nào ? y 1 1 1 0 x 1 A. y = x 4 − 3x 2 + 1 . B. y = x 4 + 2 x 2 . C. y = x 4 − 2 x 2 . D. y = − x 4 − 2 x 2 . Giải Từ đồ thị ta suy ra đây là hàm số bậc 4 trùng phương có 3 cực trị nên a > 0, b 0 nên loại A và B. Vì đồ thị có 3 điểm cực trị nên a.b