1
Bồi dưỡng tư duy học sinh qua giờ học
tự chọn môn toán lớp 10
2
PHẦN THỨ NHẤT : MỞ ĐẦU
I.LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI:
Bất đẳng thức và các bài toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức là
các vấn đề đã được đề cập trong chương trình sách giáo khoa môn toán ở bậc Trung học
phổ thông. Thời gian giảng dạy chủ đề này không nhiều, mức độ bài tập trình bày trong
sách giáo khoa và sách bài tập đều ở dạng cơ bản. Tuy nhiên trong các kỳ thi Đại học và
các kỳ thi học sinh giỏi thì các bài toán về bất đẳng thức và tìm giá trị lớn nhất, giá trị
nhỏ nhất lại là một đỉnh cao mà rất ít học sinh có thể vượt qua. Rất nhiều học sinh còn
lúng túng trước các bài toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức đặc biệt là
học sinh lớp 10.
Trong những năm gần đây thực hiện chương trình giảm tải của Bộ giáo dục, môn
toán chương trình ban cơ bản của lớp 10 còn 3 tiết trên tuần. Trường THPT Nguyễn
Trung Ngạn xây dựng kế hoạch giảng dạy thêm một tiết tự chọn dành cho môn toán dạy
theo chủ đề bám sát. Căn cứ vào kế hoạch của nhà trường, của Ban chuyên môn, Tổ toán
đã xây dựng kế hoạch dạy tự chọn môn toán lớp 10 theo từng chủ đề, bám sát với phân
phối chương trình của Sở giáo dục trong đó có chủ đề : Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ
nhất của biếu thức, chủ đề này được thực hiện sau khi học sinh học xong bài Bất đẳng
thức.
Năm học 2012-2013 tôi được nhà trường phân công giảng dạy lớp 10A1.Thực tế
trong những năm học trước bản thân tôi cũng đã có những băn khoăn trăn trở về cách
hướng dẫn học sinh học giờ tự chọn như thế nào cho hiệu quả và làm thế nào để học sinh
có hứng thú học trong các giờ tự chọn? Trong khi tài liệu chung để học sinh và giáo viên
tham khảo không có. Khóa học 2008 - 2011 tôi đã mạnh dạn đưa một số dạng bài tập tìm
giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất vào giảng dạy ở giờ tự chọn và học sinh đã có hứng thú
trong việc giải các dạng bài tập đó.Tuy nhiên kết quả thi học sinh giỏi cấp tỉnh học sinh
chỉ đạt giải ba, còn thi đại học mới có một số em đạt điểm 9 khối A và khối B. Trong
năm học này tôi mạnh dạn giới thiệu cho học sinh lớp 10 một số dạng bài toán tìm giá trị
lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức để giúp bồi dưỡng tư duy cho học sinh, nâng cao năng
lực, rèn luyện kỹ năng giải toán và đặc biệt tạo cho học sinh hứng thú học trong giờ tự
chọn và lòng đam mê chinh phục đỉnh cao trong các kỳ thi sắp tới.
Các bài toán tìm giá trị lớn nhât, giá trị nhỏ nhất có một vị trí quan trọng trong các
kỳ thi và nó có sức hấp dẫn đối với học sinh khá giỏi và cả những người say mê toán.Đối
với đối tượng học sinh lớp 10 các em chưa học đạo hàm nên chỉ dừng lại ở một số
phương pháp cơ bản để giải các bài toán đó.Tuy nhiên thời gian dạy chủ đề này không
nhiều nên tôi chỉ dừng lại ở việc giới thiệu các bài toán tìm giá trị lớn nhât, giá trị nhỏ
nhất bằng bất đẳng thức giúp cho các giờ học tự chọn đạt hiệu quả và học sinh thích học
giờ tự chọn hơn. Chính vì lý do đó tôi mạnh dạn đề xuất sáng kiến
“ Bồi dưỡng tư duy học sinh qua giờ học tự chọn môn toán lớp 10”. Xin trao đổi cùng
các đồng nghiệp.
II MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU
Giúp học sinh lớp 10 nâng cao khả năng tư duy toán học, có những suy nghĩ tích
cực trong các bài toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất.Học sinh thích học các giờ tự
chọn hơn, đồng thời qua đó giúp học sinh say mê nghiên cứu toán học, ham học hỏi. Tạo
cho học sinh có niềm tin, mơ ước chinh phục được đỉnh cao của trí tuệ.
3
III PHẠM VI NGHIÊN CỨU
1. Đối tượng nghiên cứu:
Học sinh lớp 10A1 của Trường THPT Nguyễn Trung Ngạn trong giờ học tự chọn môn
toán.
2. Phạm vi nghiên cứu:
“ Bồi dưỡng tư duy học sinh qua giờ học tự chọn môn toán lớp 10” bằng các bài toán
Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhât.
IV. CƠ SỞ NGHIÊN CỨU
Để thực hiện đề tài này, tôi dựa trên cơ sở các kiến thức đã học ở Trường ĐHSP,
các tài liệu về phương pháp giảng dạy, các tài liệu bồi dưỡng thường xuyên, sách giáo
khoa, sách bài tập, sách tham khảo của bộ môn Toán bậc trung học phổ thông …
V PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU
Thực hiện đề tài này, tôi sử dụng các phương pháp sau đây:
– Phương pháp nghiên cứu lý luận : Nghiên cứu sách tham khảo, đề thi học sinh
giỏi, mạng Internet, các tài liệu liên quan khác…
– Phương pháp khảo sát thực tiễn: Khảo sát học sinh lớp 10A1 của Trường
THPT Nguyễn Trung Ngạn.
– Phương pháp quan sát : Quan sát quá trình dạy và học tại trường THPT
Nguyễn Trung Ngạn
- Phương pháp thực nghiệm sư phạm: Tổ chức dạy thực nghiệm, cho đề kiểm tra
khảo sát kết quả sau khi thực hiện chuyên đề.
– Phương pháp thống kê toán học.
VI. THỜI GIAN THỰC HIỆN
- Đề tài được thực hiện từ ngày 20 - 03 -2013 đến ngày 10 - 04 - 2013
VII. GIỚI HẠN CỦA ĐỀ TÀI
Đề tài được sử dụng trong giờ học tự chọn môn toán của lớp 10A1 và dùng để bồi
dường học sinh thi Đại học , bồi dưỡng đội tuyển học sinh giỏi cấp tỉnh.
PHẦN THỨ HAI: NỘI DUNG
I. Khảo sát tình hình thực tế
Năm học 2012 – 2013, tôi được BGH nhà trường phân công giảng dạy môn toán
lớp 10A1. Đây là một cơ hội rất tốt để tôi thực hiện đề tài này.Bài toán tìm giá trị lớn
nhất, giá trị nhỏ nhất là một trong những dạng bài toán khó. Trong quá trình giải toán học
sinh còn rất lúng túng, kể cả những học sinh đã đạt giải học sinh giỏi cấp tỉnh ở cấp
THCS. Sau khi học sinh học xong bài bất đẳng thức và một số ứng dụng tìm giá trị lớn
nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức. Tôi tiến hành khảo sát trên 46 học sinh ở lớp 10A1 và
kết quả đạt như sau:
11/46 HS đạt điểm trên trung bình
35/46 HS đạt điểm dưới trung bình
4
II. Nội dung đề tài:
A Kiến thức cơ bản:
* Một số bất đẳng thức cần nhớ:
- Bất đẳng thức Côsi
n
n
naaaa
n
aaaa ....
....
321
321
Với 0
i
a
Dấu bằng xảy ra khi 1 2 ...
n
a a a
- Các bất đẳng thức khác :
1. xyyx 2
22
2. xyyx 22
3,
xyyx 4
2
4. 2
a
b
b
a
5. 1 1 4
Khi b c
b c b c
6.
2 2 2
1 1 8
( )
a b a b
với a ,b > 0
7.
u v u v
, Với mọi
u,v
B Giới thiệu các bài toán
- Bài tập học sinh thực hiện trên lớp: Từ bài 1 đến bài 20
- Bài tập học sinh thực hiện ở nhà : Từ bài 21 đến hết.
I.1 Giới thiệu các bài toán thực hiện trên lớp:
Bài 1: Cho x,y,z là các số dương và x + y + z = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
P =
1 1 1
x y z
x y z
Lời giải: Ta có P =
1 1 1 1 1 1
1 1 1 3
1 1 1 1 1 1
x y z x y z
( 1)
Theo bất đẳng thức Cô si ta có :
111
( 1) ( 1) ( 1) 9
1 1 1
x y z x y z
.(2)
Mặt khác theo giả thiết x+ y+ z = 1 nên từ(2) ta có
111
1 1 1
x y z
9
4
(3)
5
Từ (3) và (1) Ta có P
3
4
. Dấu bằng xảy ra khi x = y = z =
1
3
.
Vậy Max P =
3
4
khi và chỉ khi x = y = z =
1
3
.
Bài 2: Cho x, y , z là các số dương thay đổi và thỏa điều kiện : xy2z2 + x2z +y = 3 z2
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P =
4
4 4 4
1 ( )
z
z x y
Lời giải: Ta xét
4 4
4
1 1
x y
P z
Từ giả thiết suy ra xy2 +
2
2
3
x y
z z
. Áp dụng bất đẳng thức Cô si ta có :
8 2
4 4 4
4 4
1
1 4 4
x x
x x
z z z
(1)
1+
4
44
4 4 8 2
1 1
4 4
y y
y
z z z z
(2)
1+ x4 + y4 +y4
4 8
4
4
x y
= 4xy2 (3) . Cộng vế với vế các BĐT (1),(2),(3) ta được
3 +3(
4 4
4
1
x y
z
)
22
2
4 12
x y xy
z z
1
P
3
P
1
3
. Dấu
bằng xảy ra khi x =y = z = 1.
Vậy Max P =
1
3
khi và chỉ khi x =y = z = 1.
Bài 3 Cho a, b, c là các số thục dương thỏa điều kiện abc = 1. Tìm giá trị lớn nhất của
biểu thức P = 2 2 2 2 2 2
111
2 3 2 3 2 3
a b b c c a
Lời giải : Do a2+b2
2ab, b2 + 1
2b khi đó :
2 2 2 2 2
1 1 1
2 3 1 2 2( 1)
a b a b b ab b
Tương tự 2 2
1 1
2 3 2( 1)
b c bc c
và 2 2
1 1
2 3 2( 1)
c a ac c
Khi đó P 1 1 1 1
2 1 1 1
ab b bc c ca a
P
1 1 1
2 1 1 1 2
ab b
ab b ab b ab b
. ( Do
1
c
ab
và ac =
1
b
)
Dấu bằng trong BĐT trên xảy ra khi a = b = c = 1
Vậy Max P =
1
2
khi và chỉ khi a = b = c = 1
Bài 4 ( Đề thi HSG Tỉnh Hưng Yên)