SKKN: Các biện pháp bồi dưỡng học sinh giỏi lớp 9 kĩ năng giải các dạng phương trình vô tỉ

Chia sẻ: Lê Thị Diễm Hương | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:21

Thêm vào BST

Báo xấu

482
lượt xem 95
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Khi giải toán về phương trình vô tỉ đòi hỏi học sinh nắm vững các kiến thức cơ bản về căn thức, phương trình, hệ phương trình, các phép biến đổi đại số,... Học sinh biết vận dụng linh hoạt, sáng tạo các kiến thức, kỹ năng từ đơn giản đến phức tạp. Việc học sinh giải thành thạo các dạng phương trình vô tỉ giúp học sinh phát triển tư duy, phát huy tính tích cực chủ động, sáng tạo trong giải toán dưỡng HSG. Đồng thời giáo dục tư tưởng, ý thức, thái độ, lòng say mê học toán cho học sinh. Mời quý thầy cô tham khảo sáng kiến “ Các biện pháp bồi dưỡng học sinh giỏi lớp 9 kĩ năng giải các dạng phương trình vô tỉ”.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: SKKN: Các biện pháp bồi dưỡng học sinh giỏi lớp 9 kĩ năng giải các dạng phương trình vô tỉ

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM CÁC BIỆN PHÁP BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI LỚP 9 KĨ NĂNG GIẢI CÁC DẠNG PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ
phần1 mở đầu Từ những năm đầu thập kỷ 90 của thế kỷ XX, Ngành Giáo dục Lệ Thủy đã chú trọng hoạt động nâng cao chất lượng giáo dục toàn diện trong đó chú trọng chất lượng giáo dục mũi nhọn. Đó là nhiệm vụ trung tâm của toàn ngành, của mọi cơ sở giáo dục. Để thực hiện có hiệu quả mục tiêu đó, giải pháp quan trọng đặt ra cho cấp THCS là thực hiện đổi mới phương pháp dạy học. Mục tiêu của đổi mới là nhằm nâng cao chất lượng dạy học, chất lượng đào tạo nguồn nhân lực đáp ứng ngày càng cao của sự nghiệp công nghiệp hoá, hiện đại hoá đất nước và yêu cầu hội nhập khu vực và quốc tế. Trong những năm gần đây vị thế chất lượng học sinh giỏi của Huyện Lệ Thuỷ ngày càng được khẳng định trong giáo dục tỉnh nhà, hai năm liên tiếp tiếp từ năm học 2009 - 2010 và 2010 - 2011 thành tích học sinh giỏi văn hóa xếp ở vị trí thứ 2 chỉ sau thành phố Đồng Hới. Trong đó bộ môn Toán cũng có đóng gốp quan trọng trong thành tích này của giáo dục huyện nhà, tuy nhiên trong giảng dạy bồi dưỡng HSG bộ môn Toán chúng ta cần phải nghiêm túc rút kinh nghiệm và điều chỉnh cho phù hợp với các đối tượng học sinh khác nhau, trình độ học tập khác nhau và trang bị chắc, nhuyễn các dạng toán, các chuyên đề để học sinh khi gặp tình huống trong thực tiễn thì có khả năng giải quyết đươc. Nhận thấy đây là một vấn đề quan trọng có vị trí chiến lược lâu dài và cũng để khẳng định "thương hiệu" giáo dục Lệ Thuỷ thì mỗi một cán bộ quản lí, mỗi một giáo viên phải trăn trở tìm được các giải pháp tối ưu để làm tốt công việc đầy gian khó là bồi dưỡng ngày càng được nhiều nhân tài cho quê hương và đất nước. Với suy nghĩ như vậy qua một số năm công tác quản lí chỉ đạo hoạt động bồi dưỡng học sinh giỏi và trực tiếp đứng lớp tại trường THCS Kiến Giang tôi trăn trở suy nghĩ tìm ra những giải pháp để ngày càng bồi dưỡng được nhiều học sinh giỏi bộ môn Toán nhăm đáp ứng yêu cầu ngày càng cao của việc bồi dưỡng HSG cũng như phong trào giáo dục huyện nhà. Trong phạm vi một sáng kiến kinh nghiệm tôi xin được trao đổi: "Các biện pháp bồi dưỡng học sinh giỏi lớp 9 kĩ năng giải các dạng phương trình vô tỉ". * * *
Phần 2 nội dung 1. Cơ sở lí luận Trong quỏ trỡnh phỏt triển, xã hội luôn đề ra những yêu cầu mới cho sự nghiệp đào tạo con người. Chính vì vậy mà dạy toán không ngừng được bổ sung và đổi mới để đáp ứng với sự ra đời của nó và sự đòi hỏi của xã hội .Vì vậy mỗi người giáo viên nói chung phải luôn luôn tìm tòi, sáng tạo, đổi mới phương pháp dạy học để đáp ứng với chủ trương đổi mới của Đảng và Nhà nước đặt ra. Tại đại hội Đảng toàn quốc lần VIII và IX Đảng ta đều xác định và nhấn mạnh: “Giáo dục là quốc sách hàng đầu là một trong những động lực quan trọng tạo sự chuyển biến toàn diện trong phát triển giáo dục và đào tạo” Xuất phát từ quan điểm chỉ đạo của Đảng về giáo dục - đào tạo, thực hiện chiến lược phát triển giáo dục 2001 - 2010, ngành giáo dục đang tích cực từng bước đổi mới nội dung chương trình đổi mới phương pháp dạy học, đổi mới phương pháp dạy học, đổi mới công tác quản lý giáo dục nâng cao chất lượng quản lý dạy bồi dưỡng học sinh giỏi nhằm nâng cao chất lượng giáo dục và đào tạo, nhằm hoàn thành mục tiêu: “Nâng cao dân trí, đào tạo nhân lực, bồi dưỡng nhân tài”. Cũng trong nghị quyết TW II khoá VIII đã nêu những giải pháp phát triển giáo dục cùng với việc cải tiến các vấn đề về công tác giáo dục toàn diện học sinh cả mặt tri thức lẫn đạo đức học sinh. Chính vì vậy công tác bồi dưỡng học sinh giỏi thực chất là một hoạt động dạy học đòi hỏi người giáo viên phải tuân thủ các yêu cầu sư phạm, các nguyên tắc cũng như phương pháp dạy học theo hướng phát huy tính sáng tạo của người học, người học thực sự là chủ thể của hoạt động dạy học. Do đó người giáo viên ở cơ sở cũng phải nắm bắt được các hình thức giáo dục học sinh giỏi. Từ đó giáo viên có các phương pháp dạy học sáng tạo đặc biệt đối bộ môn Toán để bồi dưỡng để đạt hiệu quả cao nhất. Trong chương trình môn Toán ở các lớp THCS kiến thức về phương trình vô tỉ không nhiều song lại rất quan trọng đó là những tiền đề cơ bản để học sinh tiếp tục học lên ở THPT. Khi giải toán về phương trình vô tỉ đòi hỏi học sinh nắm vững các kiến thức cơ bản về căn thức, phương trình, hệ phương trình, các phép biến đổi đại số,... Học sinh biết vận dụng linh hoạt, sáng tạo các kiến thức, kỹ năng từ đơn giản đến phức tạp. Việc học sinh giải thành thạo các dạng phương trình vô tỉ giúp học sinh phát triển tư duy, phát huy tính tích cực chủ động, sáng tạo trong giải toán dưỡng HSG. Đồng thời giáo dục tư tưởng, ý thức, thái độ, lòng say mê học toán cho học sinh. 2.Cơ sở thực tiễn: 2.1. Về học sinh
Phương trình vô tỉ là loại toán mà học sinh THCS coi là loại toán khó, nhiều học sinh không biết giải phương trình vô tỉ như thế nào? Có những phương pháp nào? Các bài toán về phương trình vô tỉ là một dạng toán hay và khó, có nhiều trong các đề thi học sinh giỏi các cấp, thi vào lớp 10 THPT. Tuy nhiên, các tài liệu viết về vấn đề này rất hạn chế hoặc chưa hệ thống thành các phương pháp nhất định, gây nhiều khó khăn trong việc học tập của học sinh, cũng như trong công tác tự bồi dưỡng của giáo viên. Vì vậy việc nghiên cứu các phương pháp giải phương trình vô tỉ là rất thiết thực, giúp giáo viên nắm vững nội dung và xác định được phương pháp giảng dạy phần này đạt hiệu quả, góp phần nâng cao chất lượng dạy và học, dặc biệt là chất lượng học sinh giỏi và giáo viên giỏi ở các trường THCS. Theo số liệu thống kê thể hiện trong Bảng 01 và 02 thì tỉ lệ học sinh giải thành thành thạo các dạng phương trình vô tỉ còn hạn chế chiếm tỉ lệ xấp xỉ 22% trong tổng số các bài tập mà giáo viên giao về nhà thuộc chuyên đề, trong đó có nhiều bài tập học sinh chưa nắm vững kiến thức cơ bản, kiến thức gốc nên trong quá trình giải phương trình vô tỉ kết luận tập nghiệm còn sai, nên hệ quả tất yếu đi kèm theo là nhiều học sinh trong các kì thi học sinh giỏi cấp tỉnh điểm chưa cao ảnh hưởng đến thành tích của toàn đội tuyển bộ môn Toán. *Bảng 1: thống kê tỉ lệ điểm của học sinh tham gia dự thi hsg cấp môn toán trong hai năm học liền kề Điểm Năm Tổng TT 0.0 - 2.9 3.0- 4.9 5.0 - 6.4 6.5 - 7.9 8.0 - 10.0 học số SL TL% SL TL% SL TL% SL TL% SL TL% 1 08 - 09 20 11 55.00 8 40.00 1 5.00 0 0.00 0 0.00 2 09 -10 17 2 11.76 8 47.06 6 35.29 1 5.88 0 0.00 *Bảng 2: Kết quả học tập chuyên đề " phương trình vô tỉ" Số Bài tập HS hoàn Số bài HS còn sai Tống số bài Điểm Năm học thành kiến thức cơ bản tập rabài ra Số lượng Tỉ lệ % Số lượng Tỉ lệ % 2008-2009 20 15 75.0 5 25.0 2009-2010 20 16 80.0 4 20.0 Tổng 40 31 77.5 9 22.5 2.2. Về giáo viên:
Trong chương trình đại trà, theo chuẩn kiến thức kỉ năng theo Quyết định 16, thì dạng phương trình không được giảng dạy trực tiếp mà chỉ thông qua một số bài tập rèn luyện mà tùy theo đối tượng học sinh, giáo viên có thể lựa chọn và giới thiệu. Nên trong thực tế giảng dạy giáo viên cúng ít đầu tư, tìm hiểu về vấn đề này, nhưng trong các kì thi chọn học sinh giỏi lớp 9 cấp tỉnh, thi tuyển sinh vào các trường chuyên lớp chọn lại xuất hiện nhiều bài toán liên quan đến nội dung này. Mặt khác, việc tìm hiểu các phương pháp giải phương trình vô tỉ hiện nay còn ít giáo viên nghiên cứu, hoặc nghiên cứu cũng không hệ thống. Theo thống kê các đề thi chọn HSG của Sở GD-ĐT Quảng Bình, trong các năm lại đây thì các bài thi liên quan đến phương trình vô tỉ, chiếm tỉ lệ khá đáng kể, tính ra trung bình đến 20% trong tổng số điểm của toàn bộ đề ra. *Bảng 3: thống kê kiến thức liên quan đến pt vô tỉ trong các kì thi chọn hsg lớp 9 tỉnh quảng bình Kiến thức liên quan đến Kiến thức chung Tỉ lệ % phương trình vô tỉ Năm học Tống số bài Tống số bài Tống số Điểm Điểm Điểm ra ra bài ra 1998-1999 4 10.0 1 2.5 25.0 25.0 1999- 2000 5 10.0 2 3.0 40.0 30.0 2000-2001 4 10.0 1 2.0 25.0 20.0 2001-2002 4 10.0 1 0.0 25.0 0.0 2002-2003 5 10.0 2 3.5 40.0 35.0 2003-2004 5 10.0 2 3.5 40.0 35.0 2004-2005 4 10.0 1 2.5 25.0 25.0 2005-2006 4 10.0 1 2.5 25.0 25.0 2006-2007 4 10.0 1 2.0 25.0 20.0 2007-2008 5 10.0 0 0.0 0.0 0.0 2008-2009 5 10.0 1 2.0 20.0 20.0 2009-2010 4 10.0 1 2.5 25.0 25.0 2010-2011 5 10.0 1 2.5 20.0 25.0 Tổng 58 130 15 28.5 25.9% 21.9% 3. Các giải pháp đã thực hiện 3.1.Giải pháp 1: Cung cấp kiến thức cơ bản, kiến thức gốc có hệ thống và HS được rèn luyện nhiều bài tập để nắm chắc các kiến thức gốc liên quan đến giải phương trình vô tỉ từ nội dung chương trình theo chuẩn kiến thức kỉ năng của QĐ16. 3.1.1 Các kiến thức cơ bản:
3.1.1.1. Căn bậc hai. PCác định nghĩa: * Căn bậc hai. Cho số a ³ 0, số x gọi là CBH của a nếu x2 = a. Ký hiệu x = a . Ta có nhận xét: P Khi a > 0 thì có hai CBH là x = a và x = - a . P Khi a = 0 thì có một CBH là x = a = 0 . P Khi a < 0 thì không có CBH. * Căn bậc hai số học. ìx ³ 0 ï x= a Ûí , với a ³ 0. ïx 2 = a î ( ) 2 =a P Phép biến đổi CBH, với giả thiết các căn thức đều có nghĩa. ì A khi A ³ 0 1. A2 = A = í î- A khi A < 0 2. A× B = AB Þ ( A) n = An ; ( A B C ) n = An B n C n A 3. A: B = B 4. A2 B = A B A A B 5. = B B 6. C = C ( A+ B ) A- B A- B A AB 7. = B B 8. m A - n A + p A = (m - n + p ) A 3.1.1.2. Căn bậc ba. PĐịnh nghĩa: Cho số thực a số thực x gọi là CBB của a nếu x3 = a. Ký hiệu x = 3 a . PLưu ý: Mọi số thực đều có duy nhất một CBB. PPhép biến đổi CBB: dựa trên phép biến đổi CBH ta cũng có tương tự. (Dành cho HS tự ghi vào vở để ghi nhớ) 3.1.1. 3. Căn bậc n. PĐịnh nghĩa: Cho số thực a số thực x gọi là CBn của a nếu xn = a. Ký hiệu x = n a . PLưu ý: +Mọi số thực a đều có duy nhất một căn bậc lẻ. +Mọi số thực a không âm có hai căn bậc chẵn là hai số đối nhau.
3.1.2. Các bài tập rèn luyện các kiến thức cơ bản. Bài 1. Tìm điều kiện xác định của các biểu thức: x-2 a) ( x - 1)( x - 3) ; b) x 2 - 4 ; c) ; x +3 2+x d) ; e) x 2 + 1 ; f) 3 - x 2 . 5- x Bài 2. Tìm x, thỏa mãn điều kiện sau: 1 a) 2 x = 6 ; b) 9x 2 = 2x + 1 ; c) 2 x + 2 + 4x + 8 = ; 2 d) 1 - 4x + 4x 2 = 5 ; e) x 4 = 7 ; f) x 2 - 9 - 3 x - 3 = 0 . 3.2.Giải pháp 2: Phát huy tính sáng tạo, tư duy linh hoạt mềm dẻo của học sinh, bằng cách tổ chức cho HS tìm hiểu và xây dựng nhiều lời giải khác nhau cho một bài toán. Ta xét bài toán sau ví dụ sau: Bài 3. Gải pt x - 1 + x + 2 = x + 34 - x - 7 (1) Lời giải: Điều kiện xác định x ³ 1. Ta có thể tổ chức cho HS tìm hiểu các cách giải khác nhau như sau: *Cách 1: Phương pháp bình phương Với x ³ 1, ta có x + 34 > x + 7 > 0 nên hai vế của phương trình (1) đều dương, suy ra: (1) Û ( x - 1 + x + 2 ) = ( x + 34 - x - 7 ) 2 2 Û x -1 + x + 2 + 2 ( x - 1)( x + 2 ) = x + 34 + x + 7 - 2 ( x + 34 )( x + 7 ) Û 20 - ( x - 1)( x + 2 ) = ( x + 34 )( x + 7 ) Þ 400 - 40 ( x - 1)( x + 2 ) + ( x - 1)( x + 2 ) = ( x + 34 )( x + 7 ) Û 4-x = ( x - 1)( x + 2 ) Þ 16 - 8x + x 2 = x 2 - x + 2x - 2 Û x = 2, thử lại thấy thỏa mãn là nghiệm của phương trình (1). *Cách 2: Phương pháp biểu thức liên hợp Ta có phương trình (1) tương đương với: ( x -1 + x + 2 )( x -1 - x + 2 )=( x + 34 - x - 7 )( x + 34 + x - 7 ) x -1 - x+2 x + 34 + x - 7 x + 2 - ( x - 1) x + 34 - ( x + 7 ) Û = x -1 - x + 2 x + 34 + x - 7 1 9 Û = x -1 - x + 2 x + 34 + x - 7
ì9 x + 2 - 9 x - 1 = x + 34 + x - 7 ï Ûí ï x - 1 + x + 2 = x + 34 - x - 7 î Û 10 x + 2 - 8 x - 1 = 2 x + 34 Û 5 x + 2 = x + 34 + 4 x - 1 ( ) =( ) 2 2 Û 5 x+2 x + 34 + 4 x - 1 Û ( x + 34 )( x - 1) = x + 4 ( ( x + 34 )( x - 1) ) 2 = ( x + 4) 2 Û Û 25x = 50 Û x = 2, thử lại thấy x = 2 là một nghiệm của phương trình (1). *Cách 3: Phương pháp đánh giá giá trị hai vế của phương trình Ta có phương trình (1) tương đương với phương trình: x - 1 + x + 2 + x - 7 = x + 34 x+2 áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki cho hai bộ số ( 1; 2; 3 ) và ( x - 1 ; ; 2 x+7 ), ta có: 3 (1 + 2 + 3) é( x - 1) + x + 2 x +7ù ( ) ( ) 2 2 ê + ³ x -1 + x + 2 + x + 7 = x + 34 . ë 2 3 ú û Suy ra 6x - 6 + 3x + 6 + 2x + 14 ³ x + 34 Þ 10x ³ 20 Þ x ³ 2 (*) Do x ³ 2 Þ x - 1 + x + 2 ³ 3 Þ x + 34 - x + 7 ³ 3 Þ x + 34 ³ 3 + x + 7 Þ x + 34 ³ 9 + 6 x + 7 + x + 7 Þ 3 ³ x + 7 Þ x £ 2 (**). Từ (*) và (**) suy ra x = 2. Thử lại thấy x = 2 là một nghiệm của phương trình (1). *Cách 4: Giải theo phương pháp đặc trưng riêng của dạng phương trình. Theo Cách 1, ta có: (1) Û ( x + 34 )( x + 7 ) + ( x - 1)( x + 2 ) = 20 Û x 2 + x - 2 + x 2 + 41x + 238 = 20 . Lại theo cách 3, ta cúng có x ³ 2, suy ra: x 2 + x - 2 ³ 2 và x 2 + 41x + 238 ³ 18 ì x2 + x - 2 = 2 ï Þ x 2 + x - 2 + x 2 + 41x + 238 ³ 20 Þ í Þ x = 2. ï x + 41x + 238 = 18 î 2 Thử lại thấy x = 2 là một nghiệm của phương trình (1). 3.3.Giải pháp 3: Kiểm soát được quá trình việc làm bài tập của học sinh ở nhà. GV ra các dạng bài tập tương tự, các bài tập nâng cao cho HS. In thành phiếu và phát cho HS, các bài khó nên có định hướng lời giải hoặc kết quả. Sau các buổi học giáo viên thu và chấm bài làm để nắm vững các kiến thức vận dụng của học sinh từ đó đáng giá năng lực của hoc sinh trong giải các dạng phương
trình vô tỉ. Thông tin phản hồi kịp thời cho từng đối tượng học sinh: cụ thể về số bài tập làm được, số bài tập có nhiều lời giải, bài tập có lời giải sáng tạo. Các bài tập tùy theo buổi học cho học sinh kiểm tra chéo vở bài tập lẫn nhau, để thông qua đó học sinh tự học lẫn nhau. Cũng thông qua việc giải bài tập mà bản thân cùng với giáo viên tuyến 2 kèm cặp học sinh ở các trường để cũng cố các kiến thức còn yếu cho học sinh. Ví dụ: Sau khi dạy bồi dưỡng về chuyên đề "Phương trình vô tỉ", ta có thể giao phiếu bài tập về nhà được thiết kế như sau: Bài tập Buổi Phương trình vô tỉ Bài 1. Giải phương trình: x + 3 = 5 - x - 2 (1) HD: Nhận dạng phương trình cơ bản. Bài 2. Giải các phương trình: a) x - 3 - 2 x - 4 + x - 4 x - 4 = 1 (2) b) x - 2 + 2 x - 5 + x + 2 + 3 2 x - 5 = 7 2 (3) 1 Bài 3. Giải phương trình: x + y - 1 + z - 2 = ( x + y + z ) (4) 2 Bài 4. Giải phương trình: ( x + 1)( y + 2 )( z + 8) = 32 xyz (5), với x, y, z > 0. HD: áp dụng bđt Cô-si cho hai số không âm. Bài 5. Giải phương trình sau: 4 3x 2 + 6 x + 19 + 5 x 2 + 10 x + 14 = 4 - 2 x - x 2 (5) Nhận xét của GV kèm cặp tuyến hai sau khi hướng dẫn học sinh ôn tập lí thuyết, giải bài tập: -Kiến thức cơ bản:.................................................................................................................................................................................. . ............................................................................................................................................................................................................................... . ............................................................................................................................................................................................................................... -Kĩ năng làm bài:.................................................................................................................................................................................... . ............................................................................................................................................................................................................................... -Triển vọng: ................................................................................................................................................................................................. ......, ngày......tháng......năm 2011 GV kèm (Kí, ghi rõ họ tên) 3.4.Giải pháp 4: Trang bị kĩ cho học sinh về một số phương pháp giải các dạng phương trình vô tỉ thường gặp. * Khái niệm: Phương trình vô tỉ là phương trình đại số chứa ẩn trong dấu căn thức (ở đây tôi chỉ đề cập đến những phương trình mà ẩn nằm dưới dấu căn bậc hai và căn bậc ba phù hợp với đối tượng học sinh lớp 9 bậc THCS). * Phương trình vô tỉ rất phong phú và đa dạng, hướng chung để giải quyết phương trình vô tỉ là làm cho phương trình được chuyển về dạng hữu tỉ. 3.4.1-Phương pháp nâng lên luỹ thừa:
a) Kiến thức vận dụng: + (A ± B)2 = A2 ± 2AB + B2 + (A ± B)3 = A3 ± 3A2B + 3AB2 ± B3 ì f ( x) ³ 0 ï + f ( x) = g ( x) Û í g ( x) ³ 0 ï î f ( x ) = [g ( x ) ] 2 + 3 A = m Û A = m3 b) Bài toán rèn luyện Bài 4. Giải phương trình sau: 2 + 2 x - 1 = x (1) Giải Điều kiện căn có nghĩa: 2 x - 1 ³ 0 (2) 1 Û x³ 2 (1) Û 2 x - 1 = x - 2 (3) Với điều kiện x - 2 ³ 0 (4) 2 (3) Û 2x - 1 = (x-2) (5) Û 2x - 1 = x 2 - 4x + 4 Û x 2 - 6x + 5 = 0 Giải ra ta được x1=1 không thoả mãn (4) x2 = 5 thoả mãn (2) và (4) nghiệm duy nhất của phương trình: x = 5 Bài 5. Giải phương trình: x - 1 - 5 x - 1 = 3x - 2 (1) Giải ìx - 1 ³ 0 Phương trình (1) có nghĩa: Û ï5 x - 1 ³ 0 Û x ³ 0 (2) í ï3x - 2 ³ 0 î (1) Û x - 1 = 3x - 2 + 5 x - 1 Hai vế đều dương, bình phương hai vế ta được x - 1 = 3 x - 2 + 5 x - 1 + 2 (3 x - 2)(5 x - 1) Û 2 - 7 x = 2 15 x 2 - 13 x + 2 ì2 - 7 x ³ 0 Ûí î4(15 x - 13 x + 2) = (2 - 7 x) (3) 2 2 2 Giải (3) ta được: x £ không thoả mãn (1). 7 Vậy phương trình vô nghiệm. Bài 6. Giải phương trình x + 1 - x - 2 = 1 (1) Giải Điều kiện: x ³ 2 (2) Viết PT (1) dưới dạng x + 1 = x - 2 + 1 (3)
Hai vế của (3) không âm, bình phương hai vế ta được x +1 = x - 2 +1+ 2 x - 2 Û 2=2 x-2 Û x - 2 = 1 Û x - 2 = 1 Û x = 3 thoả mãn điều kiện (2) Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x= 3 Lưu ý: + Nếu để (1) bình phương ta phải đặt điều kiện: x + 1 ³ x - 2 (Điều kiện này luôn đúng) + Nếu biến đổi (1) thành x - 2 = x + 1 - 1 rồi bình phương hai vế ta phải đặt điều kiện x + 1 ³ 1 Û x ³ 0 Bài 7. Giải phương trình: 3 x + 1 = 2 - 3 7 - x (1) Giải: (1) Û 3 x + 1 + 3 7 - 2 x = 2 Û (3 x + 1 + 3 7 - x ) 3 = 2 3 Û 3 ( x + 1)(7 - x) = 0 Giải (1) Û ( x + 1)(7 - x) = 0 Û x1 = -1; x 2 = 7 Là nghiệm của phương trình Chú ý: - Khi bình phương hai vế của phương trình cần chú ý điều kiện hai vế cùng dương. - Trước khi lên luỹ thừa cần biến đổi phương trình về dạng thuận lợi nhất để hạn chế các trường hợp hoặc có lời giải ngắn gọn. Bài 8. Giải pt: x 2 - 4 x + 4 + x = 8 (1) Giải: ( x - 2) 2 + x = 8 Û x-2 +x =8 Nếu x ³ 2 thì x - 2 + x = 8 Û x = 5 Nếu x < 2 thì 2 - x + x = 8 vô nghiệm Kết luận : x = 5 là nghiệm của pt c) Bài tập tương tự: Bài 9. Giải các phương trình sử dụng phép bình phương. 1/ x2- 4x = 8 x - 1 (x = 4 + 2 2 ) 2/ 2 x 2 + 8 x + 6 + x 2 - 1 = 2x + 2 7 7 3/ x2 - 2 + x - 2 = x (x = 2) x x 4/ x + 1 - x + 2 = x + 5 - x + 10 (x=-1) Bài 10. Giải các pt sử dụng phép lập phương: 1/ 3 x - 1 + 3 x - 2 = 3 2 x - 3 (x = 4; 2);
5 2/ 3 x + 1 + 3 x - 1 = 3 5x (x=0; ± ); 2 3/ 3 x + 1 + 3 3x + 1 = 3 x - 1 (x=- 1); 28 4/ 3 1 + x + 3 1 - x =1 (x = ); 27 3.4.2. Phương trình đưa về phương trình chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối a) Kiến thức vận dụng : Ta có: f ( x) 2 = f ( x) = f (x) nếu f ( x) ³ 0 - f (x) nếu f ( x) < 0 Phương pháp giải phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối (tự tìm hiểu ). b) Bài tập rèn luyện: Bài 11. Giải phương trình : x + 2 - 4 x x - 2 + x + 7 - 6 x - 2 = 1 (1) Giải: Điều kiện : x - 2 ³ 0 hay x ³ 2 (2) Û ( x - 2 - 2) 2 + ( x - 2 - 3) 2 = 1 Û x-2 -2 + x - 2 -3 =1 Cách 1: Chia các trường hợp để bỏ dấu giá trị tuyệt đối. Cách 2: Sử dụng bất đẳng thức a + b ³ a + b , dấu “=” xảy ra khi a,b > 0. Khi đó x - 2 - 2 + 3- x - 2 ³ x - 2 - 2 + 3 - x - 2 = 1 (3) Dấu “=”xảy ra khi: ( x - 2 - 2)(3 - x - 2 ) ³ 0 (4) Giải (4) ta được: 6 £ x £ 11 Thoả mãn (2) Vậy nghiệm của phương trình (1)là : 6 £ x £ 11 c) Chú ý : + Phương pháp này thường được áp dụng khi các biểu thức trong dấu căn bậc hai viết được thành bình phương của một biểu thức. + Có những phương trình cần phải biến đổi mới có dạng trên. d) Bài tập áp dụng: Bài 12. Giải các phương trình sau: 1/ x 2 + 2 x + 1 + x 2 - 2 x + 1 = 2 (x ³ 1) 2/ x + x 2 - 1 - x - x 2 - 1 = 2 (x = 2) æ5 ö 3/ x + 2 + 3 2 x - 5 + x - 2 - 2 x - 5 = 2 2 ç £ x £ 3÷ è2 ø 3.4.3. Phương pháp đặt ẩn phụ a) Đặt ẩn phụ đưa về phương trình ẩn mới Bài 13. Giải phương trình x 2 - 5 x + 13 = 4 x 2 - 5 x + 9 (1)
Giải: æ 5 ö 11 Ta có : x 2 - 5x + 9 = ç x - ÷ + >0 è 2ø 4 Đặt: x 2 - 5x + 9 = y ³ 0 Þ x 2 - 5x + 9 = y 2 Khi đó (1) Û y2 + 4 = 4y Û y=2 Û x 2 - 5x + 5 = 4 Û x 2 - 5x + 5 = 0 é 5+ 5 êx = Ûê 2 ê 5- 5 êx = ë 2 1 1 Bài 14. Giải phương trình: x + x + + x + =2 (1) 2 4 Giải: 1 1 Điều kiện: x ³ 4 (2). Đặt: x + = y ³ 0 Þ x = y2 - 4 4 1 1 Khi đó (1) trở thành y2 - + ( y + )2 = 2 4 2 é - 2 2 -1 êy = á0 Û 4y + 4y - 7 = 0 Û ê 2 2 ê 2 2 -1 êy = ë 2 - 2 2 -1 Trường hợp y = < 0 (loại) Þ x = 2 - 2 , thoả mãn điều kiện (2). 2 Vậy nghiệm của phương trình là : x = 2 - 2 . Bài 15. Giải phương trình: 3 x +1 + 3 x + 3 + 3 x + 3 = 0 (1) Giải: Đặt: x+2 = y (1) Û 3 y 3 - 1 + 3 y 3 + 1 = - y éy = 0 Lập phương hai vế ta có : y 3 = y 3 y 6 - 1 Û ê êy = 3 y -1 2 6 ë Nếu: y = 0 Û 3 x + 2 = 0 Û x = -2 Nếu y 2 = 3 y 6 - 1 Û y 6 = y 6 - 1 , vô nghiệm. Vậy nghiệm của phương trình là: x = -2 b) Đặt ẩn phụ đưa về hệ phương trình: * Dạng: ax + b = r (ux + v) + dx + e (1) Với a, u, r ¹ 0 . Đặt u. y + v = ax + b .
Khi đó phương trình (1) đưa được về dạng : u ( x - y )(ruy + rux + 2ur + 1) = 0 Bài 16. Giải phương trình: 2 x + 15 = 32 x 2 + 32 x - 20 (1) Giải: - 15 Điều kiện: 2 x + 15 ³ 0 Û x ³ 2 Khi đó: (1) Û 2 x + 15 = 2(4 x + 2) 2 - 28 (2) Đặt: 4 y + 2 = 2 x + 15 (3) -1 Điều kiện: 4 y + 2 ³ 0 Û y ³ 2 Khi đó (2) trở thành (4x + 2)2 = 2y + 15 (4) Từ (3) ta có : (4y + 2)2 = 2x + 15 (5) ì(4 x + 2) = 2 y + 15(4) 2 Từ (4) và (5) có hệ: ï í ï(4 y + 2) = 2 x + 15(5) î 2 Trừ vế với vế của (4) cho (5) ta được (x- y)(8x + 8y + 9) = 0 é 1 ê x= +) Nếu: x - y = 0 Û x = y thay vào (5) ta được: 16x2 + 14x-11 = 0 Û ê 2 ê x = - 11 ê ë 8 11 với x = - , loại 8 +) Nếu 8x + 8y + 9 = 0 Û 8 y = -8 x - 9 . Thay vào 9 (4) ta được: -9 - 221 -9 + 221 64x2 + 72x - 35 = 0 Û x = ( loại ); x = (nhận). 16 16 1 - 9 + 221 Vậy nghiệm của phương trình là: x1 = ; x 2 = . 2 16 * Dạng: 3 ax + b = r (ux + v) 3 + dx + e (1) Đặt uy + v = ax + b , pt (1) đưa được về dạng: u ( y - v)(rP 2 + rPQ + rQ 2 + 1) = 0 3 Trong đó: P = uy + v Q = ux + v Bài 17. Giải phương trình: 3 3 x - 5 = 8 x 3 - 36 x 2 + 53 x - 25 (1) Giải: (1) Û 3 3x - 5 =(2x - 3)3- x + 2 (2) Đặt :2y - 3 = 3 3x - 5 Û 3x - 5 = (2 y - 3) 3 (3) Khi đó (2) Û 2 y + x - 5 = (2 x - 3) 3 (4) ì3 x - 5 = (2 y - 3) 3 Từ (3),(4) có hệ : ï í ï2 y + x - 5 = (2 x - 3) 3 î Trừ vế với vế ta được : ( x - y )( P 2 + Q 2 + PQ + 1) = 0(5) Trong đó : P = 2 y - 3 ; Q = 2 x - 3 . Vì: P 2 + Q 2 + P.Q + 1 > 0 "x, y
Do đó :(5) Û x = y Thay vào (3) ta được: (x-2)(8x 2 -20+11)=0 5+ 3 5- 3 Û x 1 =2 ; x 2 = ; x3 = 2 2 * Một số dạng khác: Bài 18. Giải phương trình: 3 x - 2 + x + 1 = 3 (1) Giải Điều kiện: x ³ -1 (2) Đặt: 3 x - 2 = y Þ x - 2 = y3 x +1 = z ³ 0 Þ x +1 = z2 Þ z2 - y2 = 3 Với điều kiện (2) thì (1) đưa về hệ: ìy + z = 3 ï 2 íz - y = 3 2 ïz ³ 0 î ìy = 1 Giải hệ này ta được: í îz = 2 Từ đó suy ra: x = 3 là nghiệm của phương trình (1) 1 1 Bài 19. Giải phương trình: + =2 (1) x 2 - x2 Giải: ìx ¹ 0 Điều kiện: í î- 2 < x < 2 Đặt: 2 - x2 = y > 0 Þ x2 + y2 = 2 ìx 2 + y 2 = 2 Ta có hệ: (1) ï 1 1 í ïx + y = 2 î Đặt: x +y = S ; xy = P é P = 1, S = 2 ìS 2 - 2 P = 2 (1) Ûí Ûê îS = 2 P ê P = - 1 , S = -1 ë 2 +Trường hợp 1: Ta được x = y =1. ì -1+ 3 ì -1- 3 ïx = ïx = +Trường hợp 2: ï í 2 hoặc ï í 2 . ïy = -1- 3 ïy = -1+ 3 ï î 2 ï î 2 -1- 3 Từ đó ta được x = 1; x = là nghiệm của phương trình. 2 c) Chú ý
* Giải phương trình vô tỉ bằng phương pháp đặt ẩn phụ giúp ta giải được nhiều bài toán khó, tuy nhiên để đặt cái gì làm ẩn phụ và có mấy ẩn phụ thì phải biết nhận xét và tìm mối liên quan giữa các biểu thức trong phương trình, liên quan giữa các ẩn * Cần phải có kỹ năng giải phương trình và hệ phương trình. d) Bài tập áp dụng Bài 20. Giải các phương trình sau: 1/ x 2 + 2 x - 9 = 6 + 4 x + 2 x 2 ; 2/ x + 2 x - 1 + x - 2 x - 1 = 4 ; (HD: đặt x - 1 = y ³ 0; x = 5 ) 3/ x + 1 - 2 x + x + 4 - 4 x = 1 ; (HD: đặt x = y;1 £ x £ 4 ) Bài 21. Giải các phương trình sau bằng cách đưa về hệ phương trình: 1/ 3 x 3 + 8 = 2 x 2 - 6 x + 4 ; (HD: đặt: x + 2 = a, x 2 - 2 x + 4 = b ) 2/ 5 x 3 + 1 = 2( x 2 + 2) (HD: đặt x + 1 = a; x 2 - x + 1 = b ; kết quả 5 ± 37 x= x = 3 + 13; x = 3 - 13 ). 2 1 1 1 1 1+ 5 3/ x + 1 - = x (HD: đặt: x - = a; 1 - = b; kết quả x = ). x x x x 2 4/ 3 2 - x + x - 1 = 1 (HD: đặt 3 2 - x = a; x - 1;2;10 ) 11 11 + 37 5/ 3x + 1 = -4 x 2 + 13x - 5 (HD: đặt 2 y - 3 = 3x + 1, x = 1; ; ) 4 8 5 + 29 6/ x 2 - 4 x - 3 = x - 5 (HD: đặt x + 5 = y - 2, x = -1; ) 2 7/ x 3 + 2 = 33 3 - 2 (HD: đặt 3x - 2 = y, x = 1;-2) 3.4.4. Phương pháp bất đẳng thức. a) Chứng tỏ tập giá trị ở hai vế rời nhau khi đó phương trình vô nghiệm *Nội dung phương pháp: Xét phương trình: f(x) = g(x) Nếu tập giá trị của f(x), g(x) lần lượt là: S1, S2 mà S1 giao với S2 bằng rỗng thì phương trình vô nghiệm. *Bài tập rèn luyện: Bài 22. Giải phương trình: x - 3 - 7 x - 3 = 5 x - 2 (1) Giải: Điều kiện: x ³ 3 Với điều kiện này thì: x - 3 < 7 x - 3 Khi đó vế trái của (1) âm, còn vế phải dương do đó phương trình (1) vô nghiệm b) Sử dụng tính đối nghịch ở hai vế *Nội dung phương pháp: Xét phương trình F(x) = G(x) (1)
Nếu: F(x) ³ K, dấu đẳng thức sảy ra khi x = a, G(x) £ K, dấu đẳng thức sảy ra khi x = b (k, a, b là các hằng số). Khi a = b Þ (1) có nghiệm là: x = a Khi a ¹ b Þ (1) vô nghiệm *Bài tập rèn luyện: Bài 23. Giải phương trình: 3x 2 + 6 x + 7 + 5 x 2 + 10 x + 14 = 4 - 2 x - x 2 (1) Giải: Vế trái: 3( x + 1) 2 + 4 + 5( x + 1) 2 + 9 ³ 4 + 9 = 5 Vế phải: 4 - 2x - x2 = 5- (x + 1)2 £ 5 Do đó cả hai vế đều bằng 5 khi x = -1, với giá trị này cả hai bất đẳng thức trên đều là đẳng thức. Vậy x = -1 là nghiệm của phương trình. Bài 24. Giải phương trình: 6 - x + x + 2 = x 2 - 6 x + 13 (1) Giải: Sử dụng bất đẳng thức: a1b1 + a 2 b2 £ a1 2 + a 2 2 . b1 2 + b2 2 a1 a 2 (Với dấu “=” xảy ra khi = ) b1 b2 Vế trái: 6 - x + x + 2 £ 12 + 12 . 6 - x + x - 2 = 4 Dấu “=” xảy ra khi x = 3. Vậy phương trình vô nghiệm. c) Sử dụng tính đơn điệu của hàm số: *Nội dung phương pháp: Ta chỉ ra nghiệm cụ thể và chứng minh được các trường hợp khác của ẩn không là nghiệm của phương trình . *Bài tập rèn luyện: Bài 25. Giải phương trình: 3 x - 2 + x + 1 = 3 (1) Giải: Ta thấy x = 3 nghiệm đúng phương trình. + Với x > 3 thì 3 x - 2 > 1, x + 1 < 2 Þ vế trái của (1) lớn hơn 3 + Với -1 £ x < 3 thì 3 x - 2 > 1, x + 1 < 2 Þ vế trái của (1) nhỏ hơn 3 Vậy x = 3 là nghiệm duy nhất của phương trình. d) Sử dụng điều kiện xảy ra dấu "=" ở bất đẳng thức không chặt. *Nội dung phương pháp: TA xét dấu bằng xảy ra ở một trong hai vế cảu phương trình và dự đoán giá trị đó là một trong các nghiệm. *Bài tập rèn luyện: x 4x -1 Bài 26. Giải phương trình: + =2 (1) 4x - 1 x Giải:
1 a b Điều kiện: x > (2). Sử dụng bất đẳng thức: + ³2 4 b a Với a,b > 0 thì dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a = b x 4x -1 Do đó: + ³2 4x - 1 x Dấu “=” xảy ra Û x = 4 x - 1 Û x 2 - 4x + 1 = 0 Û x = 2 ± 3 , thoả mãn (2) Vậy nghiệm của phương trình là: x = 2 ± 3 e) Bài tập áp dụng: Bài 27. Giải các phương trình sau bằng phương pháp áp dung bất đẳng thức: 1/ x - 4 + 6 - x = x 2 - 10 x + 27 (x = 5) 2/ 3x 2-12 x + 6 + y 2 - 4 y + 13 = 5 (x = y = 2) 3/ x 2 + 6 = x - 2 x 2 - 1 (Vô nghiệm) 4/ x - 1 + x + 3 + 2. ( x - 1)( x 2 - 3x + 5) = 4 - 2 x 16 4 1225 5)/ + + = 82 - x - 3 - y - 1 - z - 665 (x = 19; y = x-3 y -1 z - 665 5; z = 1890). 3.4.5. Những chú ý trong việc giải các dạng phương trình vô tỉ thường gặp a) Khi giải phương trình vô tỉ cần tránh những sai lầm sau + Không chú ý đến điều kiện có nghĩa của căn thức. + Không đặt điều kiện có nghĩa của căn thức. b) Để giải phương trình vô tỉ thành thạo thì các kiến thức sau cần nắm vững + Các phép biến đổi căn thức. + Các phép biến đổi biểu thức đại số. + Các kiến thức và phương pháp giải các phương trình và hệ phương trình. + Các kiến thức về bất đẳng thức... 4. Kết quả đạt được bước đầu và bài học kinh nhiệm. Sau khi áp dung các giải pháp chỉ đạo trên thực hiện công tác bồi dưỡng học sinh giỏi THCS Kiến Giang trong năm học 2010 - 2011 cho đội tuyển Toán lớp 9 thgi chọn học sinh giỏi tỉnh, thì đạt kết quả như sau (xem Bảng 4, 5). *Bảng 4: Kết quả học tập chuyên đề " phương trình vô tỉ" Số Bài tập HS hoàn Số bài HS còn sai Tống số bài Điểm Năm học thành kiến thức cơ bản tập ra bài ra Số lượng Tỉ lệ % Số lượng Tỉ lệ % 2010-2011 20 18 90.0 2 10.0 Tổng 20 18 90.0 2 10.0 So với Bảng 2, thì sau khi áp dung các biện pháp bồi dưỡng kỉ năng giải các dạng phương trình vô tỉ, thì học sinh đã có kỉ nảng giải thành thao các dạng phương trình cơ bản, tỉ lê các em không giải được chỉ còn 10% (trước khi áp dụng
là 22,5%). Thông qua kết quả chấm vở bài tập của học sinh thì số học sinh nhận dạng và làm đúng dạng chiếm 100%, còn số học sinh khi gặp các dạng bài tập lạ đòi hỏi nhiều tháo tác tư duy, kỉ thuật giải phức tạp đã giảm xuống rõ rệt. Không có hiện tượng học sinh chưa nắm vững các kiến thức cơ bản khi vận dụng giải các dạng phương trình vô tỉ. Do đó, kết quả học sinh giỏi bộ môn Toán 9 trong kì thi chọn HSG lớp 9 diễn ra ngày 31 tháng 03 năm 2011 khả quan: điểm đồng đội trung bình 5,0 xếp thức nhì sau huyện Bố Trạch có điểm trung bình là 5,5 điểm. Bảng thống kê tỉ lệ điểm: *Bảng 5: thống kê tỉ lệ điểm trong kì thi chọn hsg lớp 9 tỉnh quảng bình 2010 - 2011 Điểm Tổng 0.0 - 2.9 3.0- 4.9 5.0 - 6.4 6.5 - 7.9 8.0 - 10.0 Năm học số SL TL% SL TL% SL TL% SL TL% SL TL% 2010 - 2011 12 1 8.33 4 33.33 6 50.00 1 8.33 0 0.00 Qua bảng số liệu này ta có thể thấy rằng HS giải tốt phương trình vô tỉ và các kiến thức liên quan đến căn thức giúp các em có tư duy giải toán, tỉ lệ học sinh điểm dưới 5 chỉ còn 5/12 em chiểm 41,67%, so với hai năm học trước là 29/37 em chiếm tỉ lệ 78,38% (xem Bảng 01). Từ sự phân tích trên, cho chúng ta thấy các giải pháp trên là sát đúng với thực tế công tác bồi dưỡng học sinh giỏi bộ môn Toán tại THCS Kiến Giang nên đã gặt hái bước đầu những kết quả quan trọng, tạo sự động viên khích lệ bản thân yên tâm công tác bồi dưỡng học sinh giỏi bộ môn Toán. Để làm được vấn đề này thì theo tôi chúng ta phải lưu ý một số bài học kinh nghiệm trong việc dạy các dạng phương trình vô tỉ. Đó là: Thứ nhất, phương trình vô tỉ là một dạng toán không thể thiếu được trong chương trình bồi dưỡng học sinh giỏi bậc THCS. Nếu chỉ dừng lại yêu cầu trong sách giáo khoa thì chưa đủ, vì vậy đòi hỏi giáo viên phải tích cực tự học, tự nghiên cứu, tìm tòi sáng tạo thường xuyên bổ sung kiến thức và tích luỹ kinh nghiệm về vấn đề này thông qua các kênh thông tin. Thứ hai, để dạy học cho học sinh hiểu và vận dụng tốt phương pháp giải phương trình vô tỉ thì bản thân mỗi giáo viên phải hiểu và nắm vững về phương trình vô tỉ: các dạng phương trình vô tỉ, phân biệt sự khác nhau giữa phương trình vô tỉ với các dạng phương trình khác, đồng thời phải nắm vững các phương pháp giải phương trình vô tỉ. Thứ ba, qua việc nghiên cứu bên cạnh việc giúp cho bản thân nâng cao kiến thức nâng cao nghiệp vụ, bồi dưỡng học sinh giỏi có hiệu quả, ngoài ra còn
giúp bản thân nâng cao phương pháp tự học, tự nghiên cứu để có thể tiếp tục nghiên cứu các vấn đề khác tốt hơn trong suốt quá trình dạy học của mình. Thứ tư, giáo viên phải biết vận dụng linh hoạt các kiến thức, phương pháp sư phạm vào trong công tác bồi dưỡng học sinh giỏi, và có những sáng kiến phù hợp với điều kiện thực tế cũng như các vấn đề nảy sinh trong bồi dưỡng học sinh giỏi bộ môn Toán. * * *