SKKN: Một số bài toán cơ bản về tỉ lệ thức và các cách giải

“Một số bài toán cơ bản về tỉ lệ thức và các cách giải”<br /> <br /> <br /> I. PHẦN MỞ ĐẦU<br /> 1. Lý do chọn đề tài<br /> Toán học có vai trò rất quan trọng đối với đời sống và đối với các ngành <br /> khoa học. Ngay từ thế kỉ XIII, nhà tư tưởng Anh R.Bêcơn đã nói rằng: “Ai không  <br /> hiểu biết toán học thì không thể hiểu biết bất cứ một khoa học nào khác và cũng <br /> không thể phát hiện ra sự  dốt nát của bản thân mình”. Đến giữa thế  kỉ  XX nhà <br /> vật lí học nổi tiếng (P.Dirac) khẳng  định rằng khi xây dựng lí thuyết vật lí  <br /> “không được tin vào mọi quan niệm vật lí”, mà phải “tin vào sơ  đồ  toán học, <br /> ngay cả khi sơ đồ này thoạt đầu có thể không liên hệ  gì với vật lí cả”. Sự phát  <br /> triển của các nhà khoa học đã chứng minh lời tiên đoán của Các Mác: “Một khoa <br /> học chỉ thực sự phát triển nếu có thể sử dụng được phương pháp toán học”.<br /> Môn Toán học nói chung, Toán học  ở  bậc THCS nói riêng, trong  đó có <br /> chương trình Toán lớp 7 luôn có sự  kế  thừa và phát triển kiến thức liền mạch  <br /> trong hệ thống kiến thức Toán học của nhân loại. Trong quá trình dạy học Toán  <br /> 7, tôi thấy các bài toán về  tỉ  lệ  thức chiếm lượng kiến thức lí thuyết không <br /> nhiều, song về bài tập có vai trò quan trọng trong việc giải quyết nhiều bài toán <br /> cơ bản tính toán, suy luận chúng minh cũng như việc áp dụng kiến thức này vào <br /> nhiều phần kiến thức Toán, kể cả phân môn Hình học. Trong thực tế, nhiều học <br /> sinh bị nhầm lẫn giữa tỉ số của hai số và phân số, giải các bài tập về  tỉ  lệ thức  <br /> một cách rập khuôn máy móc và cảm thấy khó khăn, “sợ” các bài tập này. <br /> Nguyên nhân cơ bản của những khó khăn mà học sinh gặp phải khi giải bài <br /> tập về tỉ lệ thức là học sinh chưa chủ động rèn luyện cách trình bày lời giải, các  <br /> lập luận, những kiến thức được áp dụng trong quá trình làm bài nên dẫn đến thụ <br /> động, rập khuôn, thiếu tính sáng tạo. Do đó, học sinh mau quên những kĩ năng cơ <br /> bản ấy. Trong thực tế, theo chủ quan cá nhân tôi, tôi thấy điều cơ bản của việc <br /> dạy cách giải bài tập toán là tìm ra phương pháp dạy cho học sinh hiểu và tự <br /> giải những bài tập quen thuộc, cơ bản một cách rõ ràng, ngắn gọn, để từ đó học <br /> sinh liên tưởng, tìm tòi, vận dụng vào trong các bài tập liên quan hoặc cùng  <br /> dạng. Vậy, làm thế nào để học sinh khắc sâu và vận dụng những kiến thức về tỉ <br /> lệ thức để giải được các bài tập cơ bản về tỉ lệ thức?  Để trả lời câu hỏi này, tôi <br /> đã viết sáng kiến kinh nghiệm tìm hiểu “Một số bài toán cơ bản về tỉ lệ thức và  <br /> các cách giải”  trong chương  trình Toán  lớp  7, với mong muốn qua nội dung <br /> SKKN này, sẽ giúp các em giải một số bài tập cơ bản về tỉ lệ thức một cách dễ <br /> dàng nhất, hiệu quả nhất. Qua kiến thức trong sách giáo khoa và tham khảo một <br /> số tài liệu liên quan về tỉ lệ thức và dãy tỉ số bằng nhau,  tôi đã cố gắng hệ thống <br /> lại một số  dạng bài tập cơ  bản liên quan tỉ  lệ  thức, mỗi dạng bài tập đều có <br /> <br /> <br /> <br /> Giáo viên: Đoàn Công Nam                         Trường THCS Lương Thế Vinh                                          Trang ­ 1 <br /> ­<br />  “Một số bài toán cơ bản về tỉ lệ thức và các cách giải”<br /> <br /> <br /> phần gợi ý nhận xét, định hướng những cách giải thông qua kiến thức được áp <br /> dụng trong bài tập đó.   <br /> Hơn nữa, với mong muốn được tích lũy thêm kiến thức kinh nghiệm trong  <br /> giảng dạy, dần được làm quen với công tác nghiên cứu khoa học giáo dục, ngày <br /> càng nâng cao nhận thức khoa học bộ  môn, những lí luận cần thiết về  chuyên <br /> môn phục vụ cho công việc giảng dạy của bản thân, đồng thời nhận được nhiều <br /> ý kiến góp ý của các thầy cô đồng nghiệp trong và ngoài nhà trường để  SKKN <br /> này được trọn vẹn hơn nữa. Có lẽ rằng nhiều ý kiến của tôi nêu ra sẽ chưa thật <br /> trọn vẹn, song tôi luôn hy vọng rằng sự  tích lũy của tôi sẽ  góp được một điều <br /> nhỏ  bé nào đó cho mỗi chúng ta trong quá trình giảng dạy mảng kiến thức này. <br /> Đây là lí do giúp tôi chọn nghiên cứu SKKN này.<br /> Mặc dù đã cố  gắng để  hoàn thành SKKN này, song việc mắc phải những <br /> sai sót  trong trình bày, trong diễn đạt …là điều không  thể  tránh khỏi. Tôi rất <br /> mong nhận được sự  góp ý, bổ  sung của quý thầy cô giáo, của các đồng nghiệp <br /> và bạn đọc để SKKN của tôi được hoàn thiện hơn nữa. <br /> 2. Mục tiêu, nhiệm vụ của đề tài<br /> *Mục tiêu<br /> ­ Xây dựng cơ  sở  lý thuyết về  tỉ  lệ  thức để  giải các bài toán cơ  bản liên <br /> quan.<br />          ­ Phân loại và hệ thống các dạng bài tập từ dễ đến khó. <br />         ­ Rèn luyện kĩ năng thực hành giải bài tập, phát triển và rèn luyện tư  duy  <br /> sáng tạo cho học sinh qua việc tìm tòi, chọn lọc, tham khảo kiến thức và các  <br /> cách giải đối với mỗi bài tập.<br /> ­ Hướng mở rộng SKKN trong điều kiện thực thi được nội dung mở rộng.<br /> * Nhiệm vụ<br /> ­ Củng cố được các kiến thức cơ bản về  tỉ lệ  thức, các kĩ năng thực hiện  <br /> phép tính, tính toán thông thường phục vụ cho SKKN, đồng thời phân biệt, nhận <br /> dạng được từng loại bài tập, vận dụng phương pháp hợp lý của từng dạng vào <br /> giải toán. Từ đó hiểu được bản chất các dạng bài tập cơ bản về tỉ lệ thức.<br /> ­ Phát huy khả năng tư duy sáng tạo trong khi làm bài, biết suy luận từ bài <br /> dễ đến bài khó với cách giải hay hơn thông qua việc luyện một số cách giải phù <br /> hợp cho từng dạng.<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> Giáo viên: Đoàn Công Nam                         Trường THCS Lương Thế Vinh                                          Trang ­ 2 <br /> ­<br />  “Một số bài toán cơ bản về tỉ lệ thức và các cách giải”<br /> <br /> <br /> Với sáng kiến kinh nghiệm này, tôi muốn đưa ra một số bài toán cơ bản về <br /> một số cách giải các bài toán cơ bản về tỉ lệ thức trong chương trình Toán 7 và  <br /> những cách giải thông thường. Cụ thể:<br /> + Hệ thống một số bài toán cơ bản về tỉ lệ thức trong chương trình Toán 7 <br /> (nội dung kiến thức trong tuần 5 và tuần 6 ­ Bài 7: Tỉ lệ thức và Bài 8: Tính chất  <br /> của dãy tỉ số bằng nhau). <br /> + Tìm hiểu kết quả và mức độ đạt được khi triển khai sáng kiến sau ba năm <br /> thực hiện. Từ đó phân tích, rút ra bài học kinh nghiệm.<br /> 3. Đối tượng nghiên cứu<br /> ­ Kiến thức cơ bản về  tỉ lệ thức và dãy tỉ số bằng nhau trong chương trình <br /> Toán 7 và một số tài liệu liên quan.<br /> ­ Học sinh Lớp 7 ở bậc trung học cơ sở  – Trường THCS Lương Thế Vinh – <br /> Huyện Krông Ana các năm học 2012 – 2013; 2013 – 2014; 2014 – 2015.<br /> 4. Giới hạn, phạm vi nghiên cứu<br /> Do tuổi đời và tuổi nghề  chưa nhiều, với sự  tích lũy có hạn của bản thân,  <br /> tôi  chỉ  mạn phép nghiên cứu về  một số  cách giải các bài toán cơ  bản về  tỉ  lệ <br /> thức  và dãy tỉ  số  bằng nhau trong chương trình Toán 7, trong thời gian nghiên <br /> cứu và áp dụng SKKN là các năm học gần đây tôi được trực tiếp dạy chương  <br /> trình Toán 7.<br /> 5. Phương pháp nghiên cứu<br /> ­  Phương pháp nghiên cứu tài liệu.<br /> ­  Phương pháp đàm thoại – gợi mở. <br /> ­  Phương pháp thu thập và xử lý số liệu.<br /> ­  Phương pháp tác động giáo dục .<br /> ­  Phương pháp kiểm tra đánh giá.<br /> ­  Phương pháp thực nghiệm.<br /> II. PHẦN NỘI DUNG<br /> 1. Cơ sở lí  luận<br /> Qua thực tế  giảng dạy môn Toán THCS nói chung và môn Toán lớp 7 bậc <br /> trung học cơ sở  – Trường THCS Lương Thế Vinh – Huyện Krông Ana  các năm <br /> học 2012 – 2013; 2013 – 2014; 2014 – 2015  nói riêng, tôi thấy môn Toán 7 ­ phân <br /> môn Đại số đã tạo ra những sự liên kết kiến thức của cuối chương trình Toán 6 <br /> <br /> Giáo viên: Đoàn Công Nam                         Trường THCS Lương Thế Vinh                                          Trang ­ 3 <br /> ­<br />  “Một số bài toán cơ bản về tỉ lệ thức và các cách giải”<br /> <br /> <br /> và đầu chương trình Toán 7, trong đó có phần kiến thức về  tỉ  lệ  thức. Để  am  <br /> hiểu cặn kẽ  mảng kiến thức này, đòi hỏi người học phải luôn có sự  đam mê <br /> khám phá, tìm hiểu và ghi nhớ định nghĩa, tính chất của tỉ lệ thức một cách chính  <br /> xác và sáng tạo. Những kiến thức  ở  mức độ  căn bản thường yêu cầu tất cả <br /> người học phải nắm được. Những kiến thức mở  rộng, nâng cao, luôn tạo ra <br /> nhiều cơ hội mới cho những ai có lòng say mê bộ môn, có tính kiên trì, nghị lực,  <br /> có bản lĩnh vượt khó tìm hiểu và chinh phục. <br /> Trong quá trình giảng dạy, cùng với sự  trao đổi qua các đồng nghiệp, tôi <br /> thấy kết quả của học sinh trong khi học mảng kiến thức về t ỉ lệ th ức được thể <br /> hiện rất rõ qua việc luyện tập trên lớp, bài kiểm tra 15 phút lần một và bài kiểm <br /> tra một tiết lần một. Có những bài học sinh trình bày rất tốt, sáng tạo, tuy nhiên <br /> có nhiều bài làm trình bày sơ  sài, dư  thừa hoặc thiếu sót nhiều, thậm chí nhiều  <br /> bài không định hình được cách trình bày…Và sau khi hướng dẫn, tìm cho các em <br /> những mẹo nhớ, những cách trình bày ngắn gọn thì các em phần nào đã cải thiện <br /> được chất lượng bài làm, nhiều em học sinh khá giỏi rất hứng thú với mảng <br /> kiến thức này. <br /> Kiến thức lí thuyết<br /> 1/ Định nghĩa <br /> a c<br /> ­ Tỉ lệ thức là đẳng thức giữa hai tỉ số:  =  hoặc  a : b = c : d  <br /> b d<br /> (với  a,  b,  c,  d  ι Q;  b,d 0  là các số hạng của tỉ lệ thức; a và d là các ngoại tỉ; b <br /> và c là các trung tỉ)<br /> 2/ Tính chất<br /> 2.1)  Tính chất 1 (tính chất cơ  bản của tỉ  lệ  thức): Trong một tỉ  lệ  thức, <br /> a c<br /> tích các trung tỉ bằng tích các ngoại tỉ. Từ tỉ lệ thức  =  suy ra a.d = b.c <br /> b d<br /> 2.2) Tính chất 2: Từ  đẳng thức  a.d = b.c với  a,  b,  c,  d 0 , cho ta các tỉ lệ <br /> a c a b d c d b<br /> thức:  = ; = ; = ; =<br /> b d c d b a c a<br /> 2.3) Tính chất 3:  (tính chất hoán vị các số  hạng của tỉ  lệ  thức): Từ  tỉ lệ <br /> a c<br /> thức  = ;(a,  b,  c,  d 0) , suy ra các tỉ lệ thức: <br /> b d<br /> d c<br /> + Đổi chỗ ngoại tỉ:  =<br /> b a<br /> <br /> Giáo viên: Đoàn Công Nam                         Trường THCS Lương Thế Vinh                                          Trang ­ 4 <br /> ­<br />  “Một số bài toán cơ bản về tỉ lệ thức và các cách giải”<br /> <br /> <br /> a b<br /> + Đổi chỗ trung tỉ:  =<br /> c d<br /> d b<br /> + Đổi chỗ ngoại tỉ và đổi chỗ trung tỉ:  =<br /> c a<br /> 3/ Dãy các tỉ số bằng nhau:<br /> a c e<br /> * Dãy tỉ số bằng nhau gồm ba tỉ số bằng nhau trở lên:   = = = ...<br /> b d f<br /> * Tính chất: <br /> a c a c a +c a −c<br /> + Từ tỉ lệ thức  =  suy ra tỉ lệ thức sau:  = = = ;(b   d)  <br /> b d b d b+d b−d<br /> a c e a + c + e a − c + e 2a + 3c − e<br /> + Dãy tỉ số bằng nhau:  = = = = = = ...  <br /> b d f b + d + f b − d + f 2b + 3d − f<br /> a b c<br /> * Nếu a, b, c tỉ lệ với m, n, p, ta có:  = =<br /> m n p<br /> a c e<br /> * Nếu có  = = = m  thì  a = b.m,  c = d.m,  e = f .m<br /> b d f<br /> * Ngoài ra, ta thấy tỉ lệ thức là một đẳng thức nên nó cũng có tính chất của một <br /> a c<br /> đẳng thức: Từ tỉ lệ thức  = ;(a,  b,  c,  d 0) , suy ra:<br /> b d<br /> 2 2 2<br /> �a � �c � a c a c �a � c e<br /> +/  � �= � �= . +/  m. = m. ;  ( m 0 ) +/ � �= .<br /> �b � �d � b d b d �b � d f<br /> 3 3 3<br /> m.a n.c a c e a � �c � �e � a c e<br /> +/  = ;   ( m;n 0 ) +/  = = � �<br /> � �= � �= � �= . .<br /> m.b n.d b d f �b � �d � �f � b d f<br /> 2. Thực trạng<br /> Sau thời gian được phân công giảng dạy các lớp 7 trong những năm học vừa <br /> qua tại trường THCS Lương Thế Vinh, bản thân tôi đã tích lũy được những kiến  <br /> thức và học hỏi từ đồng nghiệp rất nhiều kinh nghiệm quý báu, điều đó đã giúp  <br /> tôi có nhiều thuận lợi hơn trong quá trình thực hiện nhiệm vụ  giảng dạy được <br /> phân công. Trong những năm tôi mới ra trường, tôi đã được phân công dạy lớp 7.  <br /> Từ năm học 2007– 2008, tôi đã tích lũy một số kiến thức và các dạng bài tập cơ <br /> bản về  tỉ  lệ  thức và dãy tỉ  số  bằng nhau. Tôi đã dần sưu tầm, tìm hiểu các bài <br /> toán về vấn đề  này và áp dụng vào dạy các năm học 2012 – 2013; 2013 – 2014; <br /> <br /> Giáo viên: Đoàn Công Nam                         Trường THCS Lương Thế Vinh                                          Trang ­ 5 <br /> ­<br />  “Một số bài toán cơ bản về tỉ lệ thức và các cách giải”<br /> <br /> <br /> 2014 – 2015. Qua thời gian nghiên cứu, thực hiện viết và áp dụng SKKN  “Một  <br /> số  bài toán cơ  bản về  tỉ lệ  thức và các cách giải ” ở trường THCS Lương Thế <br /> Vinh – Huyện Krông Ana – Tỉnh ĐắkLắk”, bản thân tôi tiếp tục trao đổi với <br /> những giáo viên đã và đang giảng dạy khối 7 để  tích lũy thêm kiến thức cho  <br /> SKKN này. Qua đó, tôi thấy:<br /> 2.1 . Thuận lợi – Khó khăn <br /> <br /> * Thuận lợi:  SKKN này được chuẩn bị, thử  nghiệm và hoàn thành <br /> trong thời gian ba năm học, được sự trao đổi về kiến thức cũng như kinh nghiệm  <br /> với các đồng nghiệp, nên bản thân tôi đã phần nào tự tích lũy cho mình một vốn  <br /> kiến thức nho nhỏ  đảm bảo cho SKKN được hoàn thành. Với lượng kiến thức  <br /> nêu trong SKKN, tuy chưa đầy đủ  song có thể  đã đáp  ứng được mục tiêu của <br /> SKKN đề  ra, phần nào đã giúp cho học sinh dễ  dàng hơn trong tiếp cận và ghi  <br /> nhớ các dạng bài tập cơ bản về tỉ lệ thức. Đồng thời, thu hút thêm sự đóng góp ý <br /> kiến, nhận xét của mọi người để SKKN hoàn thiện hơn.<br /> * Khó khăn: Trong quá trình nghiên cứu và hoàn thành SKKN, bên cạnh <br /> những mặt thuận lợi cũng có nhiều những khó khăn phải kể đến. Trước hết, do  <br /> những năm đầu đi dạy, tuổi đời và tuổi nghề  của bản thân còn quá non trẻ, ít <br /> kinh nghiệm trong giảng dạy, chủ yếu chú trọng rèn luyện nhiều ở phương pháp <br /> dạy học, lại là những năm đầu bước vào nghề  nên bản thân tôi còn nhiều lúng <br /> túng. Do đó việc thử  nghiệm, so sánh kết quả  của SKKN này có phần không <br /> được thuận lợi như mong muốn. Mặt khác, các em học sinh khối 7 đã có sự thay <br /> đổi về tâm sinh lí lứa tuổi, tính tự giác trong học tập của các em chưa cao, vì vậy <br /> muốn các em áp dụng kiến thức đã học vào các bài tập cụ  thể  thì GV sẽ  phải <br /> trình bày bài tập mẫu, chỉnh sửa, uốn nắn nhiều, khi đó các em mới có thể hiểu  <br /> và nắm được kiến thức, song nhiều em ít có sự  rèn luyện, tự  học nên việc lưu  <br /> giữ  kiến thức còn hạn chế, mau nhớ  kiến thức nhưng có thể  quên ngay hoặc  <br /> nhớ  không chính xác các kiến thức đã học. Vì vậy, khi gặp lại các dạng toán <br /> hoặc các bài toán đã học, tuy quen thuộc nhưng đối với nhiều em dường như là <br /> rất mới mẻ … <br /> 2.2 . Thành công – Hạn chế<br /> <br /> * Thành công: SKKN được áp dụng trực tiếp vào giảng dạy học sinh <br /> trong nhiều tiết luyện tập bài tập của mảng kiến thức này (những dạng bài tập  <br /> cơ bản) cũng như trong việc dạy học hai buổi tại trường đã đạt mục tiêu đề  ra. <br /> Đồng thời, tôi đã áp dụng trong ôn thi học sinh giỏi giải toán trên máy tính cầm  <br /> tay Casio (từ năm 2013 đến 2015), ôn thi học sinh giỏi môn Toán (năm học 2010 <br /> – 2015), ôn thi Violympic khối 9 (năm học 2011 – 2015), thi Violympic khối 7  <br /> <br /> <br /> Giáo viên: Đoàn Công Nam                         Trường THCS Lương Thế Vinh                                          Trang ­ 6 <br /> ­<br />  “Một số bài toán cơ bản về tỉ lệ thức và các cách giải”<br /> <br /> <br /> (2010 – 2015).   Học sinh nắm kiến thức chắc chắn hơn, chính xác hơn, nhận <br /> dạng và phân tích bài toán nhanh hơn. Từ đó, kĩ năng trình bày bài làm được cải <br /> thiện rõ rệt, kết quả học sinh giỏi các cấp đáng ghi nhận. Đây là tiền đề  vững <br /> chắc, những thuận lợi đáng kể  góp phần giữ  vững kết quả  đại trà và công tác  <br /> bồi dưỡng HSG đối với nội dung kiến thức này của bản thân tôi trong thời gian  <br /> vừa qua. <br /> * Hạn chế: Học sinh khối 7 đã có sự  thay đổi về  tâm sinh lí lứa tuổi , <br /> mất tập trung trong giờ học, nhiều em chưa tập trung trong việc học và làm bài <br /> ở lớp cũng như ở nhà, giảm chất lượng của các kĩ năng “nghe – ghi – nghĩ – nói”  <br /> trong giờ  học.  Vì thế, năng lực tư  duy logic của các em chưa thật tốt. Vì thế, <br /> việc áp lý thuyết để làm bài tập về tỉ lệ thức nói riêng và nhiều mảng kiến thức <br /> khác đối với các em là một điều lạ  lẫm, khó khăn. Hầu hết chỉ  có các học sinh  <br /> khá, giỏi mới có thể  tự  làm đúng hướng và trọn vẹn yêu cầu của bài toán. Còn  <br /> hầu hết các học sinh khác lúng túng không biết cách trình bày lời giải, nhiều em  <br /> a a<br /> nhầm lẫn tỉ  số  của a và b là  ( a,b ι Q;b 0 )  với phân số   ( a,b ι Z;b 0 ) , kĩ <br /> b b<br /> năng phân tích và lập chương trình giải còn hạn chế  nhiều và trình bày lời giải <br /> như  thế  nào là đúng mặc dù được giáo viên hướng dẫn hoặc đã được trình bày <br /> bài tập mẫu.  <br /> 2.3 .  Mặt mạnh – mặt yếu<br /> <br /> * Mặt mạnh: Đây là một vấn đề  hay trong toán học, vận dụng được  <br /> rộng rãi, có giá trị sử dụng lâu dài và có thể tiếp tục mở rộng theo hướng chuyên <br /> sâu hơn. Nội dung này là một phần kiến thức tuy ngắn gọn song được bao hàm <br /> có thể  áp dụng được trực tiếp vào giảng dạy trên lớp cũng như  dạy tạo nguồn  <br /> kiến thức bồi dưỡng HSG của nhiều khối lớp cấp THCS. <br /> * Mặt yếu: Cách trình bày bài làm đôi khi gây cho học sinh lối mòn nếu <br /> học sinh không thật chăm chỉ, thụ  động. Đề  bài đôi khi quá “cồng kềnh” như <br /> dạng toán chia tỉ lệ hoặc quá “đơn giản” như dạng toán chứng minh đẳng thức,  <br /> bất đẳng thức dẫn đến học sinh dễ  mắc sai lầm trong suy nghĩ, trong lời giải, <br /> trong trình bày…Vì vậy, đây là một vấn đề để bản thân tôi trăn trở, suy nghĩ và  <br /> chuẩn bị  kiến thức thật cẩn thận khi giảng dạy. Từ đó, tôi tự  rút kinh nghiệm <br /> cho mình để  mục đích cuối cùng là đạt được kết quả  cao về  nội dung của  <br /> SKKN đề ra.<br /> 2.4 . Các nguyên nhân, các yếu tố tác động.<br /> Thực tế  cho thấy có nhiều  nguyên nhân, nhiều yếu tố  tác động tạo nên <br /> những khó khăn, hạn chế nêu trên. Trước hết phải kể đến là ý thức tự giác trong  <br /> <br /> Giáo viên: Đoàn Công Nam                         Trường THCS Lương Thế Vinh                                          Trang ­ 7 <br /> ­<br />  “Một số bài toán cơ bản về tỉ lệ thức và các cách giải”<br /> <br /> <br /> học tập của người học chưa cao, khả năng tự học, tự rèn của học sinh hiện nay  <br /> giảm sút nhiều, học sinh bị thụ động hoặc “bão hòa” kiến thức vì học thêm, học <br /> ôn quá nhiều môn học. Nhiều học sinh chăm ngoan, học giỏi, có ý thức rèn luyện  <br /> và tự học cao. Các em ít có những suy nghĩ sáng tạo khi làm bài tập khó hoặc khi  <br /> làm bài tập sai thì động lực để các em quyết tâm tự làm lại cho đúng chưa nhiều, <br /> còn chờ đợi giáo viên sửa bài. Một điều nữa là việc lưu giữ (quá trình ghi nhớ), <br /> tái hiện (trình bày bằng lời hoặc viết) của học sinh chưa tốt, các em lười học bài <br /> và làm bài tập ở nhà, thậm chí nhiều em làm bài tập đối phó, chiếu lệ cho xong.  <br /> Trong mảng kiến thức về  tỉ  lệ  thức và dãy tỉ  số  bằng nhau, các em học sinh <br /> trung bình và trung bình – khá tỏ ra lúng túng khi lập luận, khi trình bày lời giải.  <br /> Vì vậy mà các em nhanh quên kiến thức đã áp dụng để giải bài tập dẫn đến ngại <br /> làm bài tập tương tự. Trong khi đó, để  học môn toán tốt, nhớ  lâu kiến thức thì <br /> con đường vô cùng hiệu quả là luyện giải bài tập. <br /> 2.5 . Phân tích, đánh giá các vấn đề về thực trạng mà đề tài đặt ra<br />  Từ thực trạng và nguyên nhân trên, để giúp các em có vốn kiến thức, lấy  <br /> lại sự  tự tin trong học tập, thầy cô cần giúp các em ôn tập, một cách hệ  thống  <br /> lại các kiến thức đã học, hướng dẫn các em cách trình bày lời giải của một bài  <br /> tập, sau đó yêu cầu các em vận dụng làm các bài tập từ  dễ  đến khó. Giáo viên <br /> cần kiểm tra thường xuyên việc học và làm bài tập của học sinh. Giải pháp khắc <br /> phục là cần tăng cường sự phối hợp tốt hơn nữa giữa nhà trường và gia đình học <br /> sinh, đặc biệt là những em mà gia đình có điều kiện kinh tế  khó khăn, sự  động <br /> viên khích lệ của giáo viên dành cho gia đình và bản thân các em là cần thiết.<br /> 3. Giải pháp, biện pháp<br /> 3.1 . Mục tiêu của giải pháp, biện pháp <br /> Do yêu cầu của phương pháp dạy học mới có sự  thay đổi so với phương  <br /> pháp dạy học truyền thống, phải đảm bảo tính chủ  đạo của thầy và chủ  động  <br /> của trò; thầy hướng dẫn, điều khiển, đồng thời kích thích hứng thú học tập  ở <br /> các em để  các em tự  giác, tích cực chiếm lĩnh tri thức của nhân loại cho bản  <br /> thân. Để giúp học sinh nắm được tốt các kiến thức về tỉ lệ thức vào làm các bài <br /> tập cơ bản, tôi đã sử  dụng phối kết hợp nhiều phương pháp dạy học như: Đặt  <br /> vấn đề, đàm thoại ­ gợi mở, trực quan, vấn đáp, kết hợp trò chơi để  tăng thêm  <br /> động lực, niềm phấn khích đối với các em… để các em có thể tiếp thu kiến thức <br /> một cách tốt nhất.<br /> 3.2 . Nội dung và cách thức thực hiện giải pháp, biện pháp<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> Giáo viên: Đoàn Công Nam                         Trường THCS Lương Thế Vinh                                          Trang ­ 8 <br /> ­<br />  “Một số bài toán cơ bản về tỉ lệ thức và các cách giải”<br /> <br /> <br /> Một số dạng bài tập cơ bản.<br /> Dạng 1: Lập tỉ lệ thức<br /> Bài   1:Thay   tỉ   số   các   số   bằng   tỉ   số   của   các   số   nguyên: <br /> 7 4 2<br /> : ; : 0,3; 0,23:1,2<br /> 3 5 5<br /> * Phương pháp: Thực hiện phép chia hai số hữu tỉ (hoặc hai số thực)<br /> 7 4 7 5 35<br /> Ví dụ:  : = . =  (là tỉ số của hai số nguyên 35 và 12)<br /> 3 5 3 4 12<br /> Bài 2: Các tỉ số sau đây có lập thành tỉ lệ thức không?<br /> 15 30 1 2 3<br /> a)   và  b)  0,25 :1,75  và  c) 0,4:1  và  .<br /> 21 42 7 5 5<br />    * Phương pháp: Sử dụng định nghĩa về tỉ lệ thức. <br /> + Nếu hai tỉ số bằng nhau: lập được tỉ lệ thức.<br /> + Nếu hai tỉ số không bằng nhau: không lập được tỉ lệ thức.<br /> 15 5 30 5 15 30<br /> Ví dụ:  a) Ta có:  =  và  = � = là một tỉ lệ thức.<br /> 21 7 42 7 21 42<br /> 2 2 2 3<br /> b) Ta có:  0,4 :1 =   0,4 :1  nên ta không có tỉ  lệ  thức trong trường  <br /> 5 7 5 5<br /> hợp này.<br /> Bài 3: Có thể  lập được tỉ  lệ  thức từ  các số  sau đây không? Nếu có hãy <br /> viết các tỉ lệ thức đó: 3; 9; 27; 81; 243.<br /> * Phương pháp: <br /> + Trước hết, tạo đẳng thức  a.d = b.c  (bằng cách kiểm tra).<br /> + Áp dụng tính chất Tính chất 2: Từ đẳng thức  a.d = b.c  với  a,  b,  c,  d 0 , <br /> a c a b d c d b<br /> cho ta các tỉ lệ thức:  = ; = ; = ; =<br /> b d c d b a c a<br /> Ví dụ: Ta có  3.81 = 9.27 , theo thính chất 2, ta có các tỉ lệ thức sau:<br /> 3 27 3 9 9 81 27 81<br /> = ;              = ;               = ;               =<br /> 9 81 27 81 3 27 3 9<br /> Dạng 2: Tìm số hạng chưa biết của tỉ lệ thức:<br /> <br /> <br /> Giáo viên: Đoàn Công Nam                         Trường THCS Lương Thế Vinh                                          Trang ­ 9 <br /> ­<br />  “Một số bài toán cơ bản về tỉ lệ thức và các cách giải”<br /> <br /> <br /> * Tìm một số hạng chưa biết của tỉ lệ thức:<br /> Bài 4: Tìm x biết:<br /> x 3 10 12 2,1 x<br /> a)  ;b)  = - ; c)  = ; d)  2,5 : x = 4,7 :12,1<br /> 4 5 x 36 0,7 3<br /> a c<br /> * Phương pháp: Áp dụng tính chất 1, từ tỉ lệ thức  =  suy ra a.d = b.c  . Từ <br /> b d<br /> đó:<br /> b.c b.c <br /> a= ;   d = �  (Tìm ngoại tỉ ta lấy tích hai trung tỉ chia cho ngoại tỉ còn lại)<br /> d a<br /> a.d a.d <br /> b= ;   c = �  (Tìm trung tỉ ta lấy tích hai ngoại tỉ chia cho trung tỉ còn lại)<br /> c b<br /> <br /> Ví dụ: a) <br /> x<br /> =<br /> −3<br /> �x=<br /> ( −4 ) .( −3) =<br /> 12<br />  (x là ngoại tỉ)<br /> −4 5 5 5<br /> 605<br /> d)  2,5 : x = 4,7 :12,1 � x = ( 2,5.12,1) : 4,7 =  (x là trung tỉ)<br /> 94<br /> Bài 5: Tìm x trong các tỉ lệ thức sau:<br /> x2 24<br /> a)  - 15 : 6 = - 2x : ( - 4)   b)30 : 5x = 4 :12   c)  =<br /> 6 25<br /> * Phương pháp: Tìm ngoại tỉ hoặc trung tỉ là biểu thức chứa x, sau đó tìm <br /> x   a) <br /> - 15.( - 4)<br /> - 15 : 6 = - 2x : ( - 4) � - 2x = = 10 � x = 10 : (- 2) = - 5<br /> 6<br /> 2<br /> x 2 24 6.24 144 � 12 � 12 12<br /> c)  = � x 2 = = = ￷￷ ￷￷￷ � x =  hoặc  x = -<br /> 6 25 25 25 ￷�5 � 5 5<br /> x - 60<br /> Bài 6: Tìm x trong tỉ lệ thức sau:  =<br /> - 15 x<br /> * Phương pháp: Áp dụng tính chất 1 (tính chất cơ  bản của tỉ  lệ  thức): <br /> Trong một  tỉ  lệ  thức,  tích các trung tỉ  bằng tích các ngoại tỉ.   Từ  tỉ  lệ  thức <br /> a c<br /> =  suy ra a.d = b.c <br /> b d<br /> <br /> <br /> <br /> Giáo viên: Đoàn Công Nam                         Trường THCS Lương Thế Vinh                                          Trang ­ <br /> 10 ­<br />  “Một số bài toán cơ bản về tỉ lệ thức và các cách giải”<br /> <br /> <br /> x - 60<br /> = � x.x = (- 15)(- 60) � x 2 = 900 � x = 30  hoặc  x = - 30<br /> - 15 x<br /> x- 1 6 x- 2 x + 4<br /> Bài 7: Tìm x trong tỉ lệ thức: a)  = b)  =<br /> x+ 5 7 x- 1 x + 7<br /> * Phương pháp: Áp dụng tính chất 1 (tính chất cơ  bản của tỉ  lệ  thức): <br /> Trong một  tỉ  lệ  thức,  tích các trung tỉ  bằng tích các ngoại tỉ.   Từ  tỉ  lệ  thức <br /> a c<br /> =  suy ra a.d = b.c <br /> b d<br /> x- 1 6<br /> a)  = � 7 ( x - 1) = 6.( x + 5) � 7x - 7 = 6x + 30 � 7x - 6x = 30 + 7 � x = 37<br /> x +5 7<br /> x- 2 x +4<br /> b)  = � ( x - 2) ( x + 7) = ( x - 1) ( x + 4)<br /> x- 1 x +7<br /> � x 2 + 7x - 2x - 14 = x 2 + 4x - x - 4 � 5x - 14 = 3x - 4<br /> � 5x - 3x = - 4 +14 � 2x = 10 � x = 5<br /> * Tìm hai, ba, … số hạng chưa biết của tỉ lệ thức:<br /> Bài 8:  Tìm hai số x và y biết rằng:<br /> x y x y x y<br /> a)  =  và  x + y = −63     b)  =  và  x − y = 109        c) =  và  x.y = 10  <br /> 2 5 2 5 2 5<br /> * Phương pháp: <br /> + Cách 1: Khi x, y là hai số  hạng khác nhau (x là trung tỉ  thì y là ngoại tỉ  và <br /> ngược lại), căn cứ  vào mối quan hệ  của x và y trong đề  bài đã cho (tổng hay <br /> hiệu), ta áp dụng tính chất:  <br /> a c a c a +c a −c<br /> Từ tỉ lệ thức  =  suy ra tỉ lệ thức sau:  = = = ;(b   d)<br /> b d b d b+d b−d<br /> *Chú ý: ta phải viết lại dãy tỉ số bằng nhau hoặc tỉ lệ thức được áp dụng tính chất.<br /> x y<br /> Ví dụ: a)  =  và  x + y = −63  <br /> 2 5<br /> x y x + y −63<br /> Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có:  = = = = −9<br /> 2 5 2+5 7<br /> x y<br /> Suy ra:  = −9 � x = (−9).2 = −18;  = −9 � y = (−9).5 = −45 Vậy  x = −18; y = −45<br /> 2 5<br /> <br /> <br /> Giáo viên: Đoàn Công Nam                         Trường THCS Lương Thế Vinh                                          Trang ­ <br /> 11 ­<br />  “Một số bài toán cơ bản về tỉ lệ thức và các cách giải”<br /> <br /> <br /> a c e<br /> + Cách 2: Áp dụng nhận xét: Nếu có  = = = m  thì  a = b.m,  c = d.m,  e = f .m<br /> b d f<br /> x y<br /> Đặt:   = = m � x = 2m; y = 5m (1) . Theo đề  bài ta có: x + y = −63 , thay (1) vào <br /> 2 5<br /> biểu thức ta được:  2m + 5m = −63 � 7m = −63 � m = −9<br /> Khi đó:  x = 2(−9) = −18; y = 5( −9) = −45<br /> + Cách 3: Biểu thị số hạng này theo số hạng kia.<br /> x y 2y  (2)<br /> Ta có:  = �x=    . Theo đề bài ta có:  x + y = −63 , thay (2) vào biểu thức <br /> 2 5 5<br /> 2y ( −63).5<br /> ta được:  x + y = −63 � + y = −63 � 2y + 5y = ( −63).5 � y = = −45<br /> 5 7<br /> 2.(−45)<br /> Thay  y = −45  vào (2), ta được:  x = = −18<br /> 5<br /> x y<br /> c) =  và  x.y = 10  <br /> 2 5<br /> + Cách 1: Đối với dạng bài tập mà mối quan hệ của x và y không phải là tổng <br /> (hiệu), chúng ta phải sử  dụng đến các tính chất bổ  trợ, chẳng hạn câu c, ta áp  <br /> 2 2<br /> �a � �c � a c<br /> dụng tính chất: � �= � �= .<br /> �b � �d � b d<br /> 2<br /> �x � x.y 10 x x<br /> Ta có:  � �= = = 1 � = 1  hoặc  = −1 . Suy ra  x = 2  hoặc  x = −2<br /> �2 � 10 10 2 2<br /> + Với  x = 2 � y = 5 + Với  x = −2 � y = −5<br /> a c e<br /> + Cách 2: Áp dụng nhận xét: Nếu có  = = = m  thì  a = b.m,  c = d.m,  e = f .m<br /> b d f<br /> x y<br /> Đặt  = = m � x = 2m; y = 5m (3) . Thay (3) và biểu thức  x.y = 10 , ta được:<br /> 2 5<br /> 2m.5m = 10 � m 2 = 1 . Suy ra  m = 1  hoặc  m = −1<br /> + Với  m = 1 � x = 2; y = 5<br /> + Với  m = −1 � x = −2; y = −5<br /> + Cách 3: Biểu thị số hạng này theo số hạng kia.<br /> <br /> <br /> Giáo viên: Đoàn Công Nam                         Trường THCS Lương Thế Vinh                                          Trang ­ <br /> 12 ­<br />  “Một số bài toán cơ bản về tỉ lệ thức và các cách giải”<br /> <br /> <br /> x y 2y  (4)<br /> Ta có:  = �x=    . Thay (4) vào biểu thức  x.y = 10 , ta được:<br /> 2 5 5<br /> 2y<br /> .y = 10 � 2y 2 = 50 � y 2 = 25 = ( 5 )<br /> 2<br /> x.y = 10 �<br /> 5<br /> Suy ra  y = 5  hoặc  y = −5<br /> + Với  y = 5 � x = 2<br /> + Với  y = −5 � x = −2<br /> x y<br /> Bài 9: Tìm hai số x, y biết rằng:  = và  x 2 + y 2 = 4;(x, y > 0)  <br /> 5 3<br /> * Phương pháp: <br /> +   Cách   1:  Áp   dụng   tính   chất   trong   bài   7,   ta   có:<br /> x y x 2 y2 x 2 − y2 4 1<br /> = � = = = =<br /> 5 3 25 9 25 − 9 16 4<br /> 25 5 5 9 3 3<br /> � x2 = � x =  hoặc  x = −  và  y 2 = � y =  hoặc  y = −<br /> 4 2 2 4 2 2<br /> 5 3<br /> Vì  x, y > 0  nên  x =  và  y = .<br /> 2 2<br /> a c e<br /> + Cách 2: Áp dụng nhận xét: Nếu có  = = = m  thì  a = b.m,  c = d.m,  e = f .m<br /> b d f<br /> x y x = 5k<br /> Đặt  = =k  ; thay vào  x 2 + y 2 = 4 , tiếp tục tìm x và y.<br /> 5 3 y = 3k<br /> + Cách 3: Biểu thị số hạng này theo số hạng kia.<br /> x y 5y<br /> = �x= , thay vào biểu thức x 2 + y 2 = 4 , tiếp tục tìm x và y.<br /> 5 3 3<br /> x y<br /> Bài 10: Tìm x, y biết:  = và  2x + 3y = 180<br /> 15 20<br /> * Phương pháp: Đề  bài cho trước  2x + 3y = 180 . Vậy, làm như  thế  nào <br /> x y<br /> để áp dụng được tính chất đã biết đối với tỉ lệ thức  = ? <br /> 15 20<br /> <br /> <br /> <br /> Giáo viên: Đoàn Công Nam                         Trường THCS Lương Thế Vinh                                          Trang ­ <br /> 13 ­<br />  “Một số bài toán cơ bản về tỉ lệ thức và các cách giải”<br /> <br /> <br /> m.a n.c<br /> Áp dụng tính chất:  = ;  ( m;n 0)<br /> m.b n.d<br /> x y 2x 3y 2x + 3y 180<br /> Ta có:  = = = = = =2<br /> 15 20 30 60 30 + 60 90<br /> Suy ra:  x = 2.15 = 30  và  y = 2.20 = 40 . Vậy  x = 30; y = 40<br /> * Các cách 2 và 3 áp dụng tương tự cho bài tập 10. <br /> x y z<br /> Bài 11: Tìm x, y, z cho: = = và  x + y − z = 42<br /> 15 20 28<br /> * Phương pháp: Sử dụng các cách có thể, chẳng hạn dùng tính chất của  <br /> x y z x+y−z 42<br /> dãy tỉ số bằng nhau, ta có:  = = = = =6<br /> 15 20 28 15 + 20 − 28 7<br /> Suy ra:  x = 90; y = 120;z = 168<br /> x y z<br /> Bài 12: Tìm x, y, z cho: = = và  3x + 2y − z = 19<br /> 15 20 28<br /> * Gợi ý:  Thay đổi điều kiện  x + y − z = 42  thành điều kiện  3x + 2y − z = 19 , ta <br /> x y z 3x 2y z<br /> giải tương tự bài 11. Ta có:  = = = = =<br /> 15 20 28 45 40 28<br /> Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta tiếp tục tìm x và y.<br /> x y y z<br /> Bài 13: Tìm x, y, z biết:   = (5)<br /> ; = (6)<br />  và  x + y − z = 10 (7)<br /> 2 3 4 5<br /> * Phương pháp: <br /> + Cách 1: Đối với bài tập này, cần tìm ba số hạng là x, y, z. Vì vậy, để áp dụng <br /> tính chất của dãy tỉ  số  bằng nhau, ta phải tạo được dãy tỉ  số  bằng nhau bằng <br /> a c<br /> cách sử dụng tính chất:  m. = m. ;  ( m 0 ) như sau:<br /> b d<br /> x y x 1 y 1 x y<br /> = � . = . � =<br /> 2 3 2 4 3 4 8 12 x y z<br /> �� = =<br /> y z y 1 z 1 y z 8 12 15<br /> = � . = . � =<br /> 4 5 4 3 5 3 12 15<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> Giáo viên: Đoàn Công Nam                         Trường THCS Lương Thế Vinh                                          Trang ­ <br /> 14 ­<br />  “Một số bài toán cơ bản về tỉ lệ thức và các cách giải”<br /> <br /> <br /> y y<br /> (Ở đây ta có   và  là hai tỉ số cùng chứa số  hạng y của hai tỉ lệ thức đã cho,  <br /> 3 4<br /> nên ta tạo ra hai tỉ số giống nhau đối với số hạng y của hai tỉ lệ thức này để lập  <br /> dãy tỉ số bằng nhau)<br /> Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta có:<br /> x y z x + y − z 10<br /> = = = = =2<br /> 8 12 15 8 + 12 − 15 5<br /> x y z<br />  Suy ra  = 2 � x = 16;     = 2 � y = 24;     = 2 � z = 30<br /> 8 12 15<br /> Vậy  x = 16;  y = 24;  z = 30<br /> a c e<br /> + Cách 2: Áp dụng nhận xét: Nếu có  = = = m  thì  a = b.m,  c = d.m,  e = f .m<br /> b d f<br /> x y y z 3m<br /> Đặt  = = m ; = = n � y = 3m = 4n � n = .<br /> 2 3 4 5 4<br /> x y y z<br /> Khi đó:  = = m � x = 2m; y = 3m  và  = = n � y = 4n;z = 5n<br /> 2 3 4 5<br /> Mà  x + y − z = 10 (7)  nên  2m + 3m− 5n = 10 <br /> 3m 3m<br /> Thay  n =  vào 2m + 3m− 5n = 10   2m + 3m− 5. = 10 � 5m = 10 � m = 2<br /> 4 4<br /> 3m<br /> Tiếp tục thay  m = 2 vào  x = 2m;   y = 3m;   z = 5.  để tìm x, y, z.<br /> 4<br /> + Cách 3: Biểu thị hai số hạng này theo số hạng còn lại.<br /> 2y 5y<br /> Từ (5) ta suy ra  x = .Từ (6) ta suy ra  z =  . Thay vào (7) ta được: <br /> 3 4<br /> 2y 5y<br /> + y+ = 10. Ta tìm y, sau đó thay y vào tìm x và z. <br /> 3 4<br /> + Cách 4: Biến đổi và áp dụng tính chất của đẳng thức<br /> Ta có:  3x = 2y  và  5y = 4z  <br /> Cộng vế theo vế hai đẳng thức trên ta được:  3x + 5y = 2y + 4z � 3x + 3y − 4z = 0<br />   � 3(x + y − z) − z = 0 � z = 30 (vì  x + y − z = 10 (7) ) <br /> <br /> <br /> Giáo viên: Đoàn Công Nam                         Trường THCS Lương Thế Vinh                                          Trang ­ <br /> 15 ­<br />  “Một số bài toán cơ bản về tỉ lệ thức và các cách giải”<br /> <br /> <br /> 4z<br /> Vì  5y = 4z � y = = 24 <br /> 5<br /> 2y<br /> Vì  3x = 2y � x = = 16<br /> 3<br /> Bài 14: Tìm x, y, z biết  2x = 3y = 5z  và  x + y − z = 95 (8)<br /> * Phương pháp: <br /> x y y z<br /> + Cách 1: Từ  2x = 3y � = ;    3y = 5z � =<br /> 3 2 5 3<br /> Sau đó, đưa về  dãy tỉ  số  bằng nhau và giải tương tự  cách 1 của bài 13. Tuy <br /> nhiên, cách này hơi dài và một số học sinh thường bị sai ở bước đầu tạo ra hai tỉ <br /> lệ   thức   như   trên   hoặc   một   số   học   sinh   bị   sai   khi   áp   dụng   tính   chất  <br /> a c<br /> m. = m. ;   ( m 0 ) . Vì vậy mà các em thường nhớ máy móc để làm bài.<br /> b d<br /> + Cách 2: Chúng ta phân tích cách làm:<br /> ­ Nếu có dãy tỉ số bằng nhau của của x, y, z và kết hợp điều kiện (8) ta sẽ  tìm <br /> được x, y, z. <br /> ­  Làm thế nào để từ điều kiện  2x = 3y = 5z  sẽ có dãy tỉ số bằng nhau của của <br /> x, y, z. Ta sẽ chia các vế của đẳng thức  2x = 3y = 5z  cho BCNN(2;3;5) = 30  như <br /> sau:<br /> 2x 3y 5z x y z<br /> 2x = 3y = 5z � = = = = =<br /> 30 30 30 15 10 6<br /> x y z x + y − z 95<br /> Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta có:  = = = = =5<br /> 15 10 6 15 + 10 − 6 19<br /> � x = 75; y = 50; z = 30<br />  Bài tập mở rộng dạng 2:<br /> 1 2 3<br /> Bài 15: Tìm x, y, z biết:  x = y = z    (9)  và  x − y = 15<br /> 2 3 4<br /> * Gợi ý: Ta chọn cách giải phù hợp<br /> + Cách 1:  (tương tự bài 14)<br /> x y z x − y 15<br /> ­ Chia các vế của (9) cho  BCNN(1; 2; 3) = 6  ta có:  = = = = =5<br /> 12 9 8 12 − 9 3<br /> <br /> Giáo viên: Đoàn Công Nam                         Trường THCS Lương Thế Vinh                                          Trang ­ <br /> 16 ­<br />  “Một số bài toán cơ bản về tỉ lệ thức và các cách giải”<br /> <br /> <br /> � x = 12.5 = 60;       y = 5.9 = 45;        z = 8.5 = 40<br /> + Cách 2:  Vì  x − y = 15  ta nên biểu thị x và y theo z<br /> 1 2 3 3 9<br /> x = y = z � x = z  và  y = z  (10)<br /> 2 3 4 2 8<br /> Sau đó, ta thay (10) vào điều kiện  x − y = 15  để tìm z, sau đó tìm x và y.<br /> Bài 16. Tìm x, y, z biết:<br /> x − 1 y − 2 z − 3 ( 11)<br /> a)  = =     và  2x + 3y − z = 50<br /> 2 3 4<br /> 2x 2y 4z ( 12 )<br /> b)  = =      và   x + y + z = 49<br /> 3 4 5<br /> * Gợi ý:<br /> a) Từ (1) ta có:<br /> 2 ( x − 1) 3 ( y − 2 ) z − 3 2x − 2 + 3y − 6 − z + 3 ( 2x + 3y − z ) + −2 − 6 + 3<br /> = = = =<br /> 4 9 4 4+9−4 9<br />  <br /> 50 − 5<br /> = =5<br /> 9<br /> x −1 y−2 z −3<br /> Suy ra:   = 5 � x = 11 ; = 5 � x = 17 ;    = 5 � z = 23<br /> 2 3 4<br /> b) Tương tự bài 14: Chia các vế của (12) cho BCNN (2;3;4) = 12<br /> 2x 3y 4z 2x 3y 4z x y z x+y+z 49<br /> = = � = = � = = = = =1<br /> 3 4 5 3.12 4.12 5.12 18 16 15 18 + 16 + 15 49<br /> Suy ra  x = 18;  y = 16;  z = 15<br /> a1 − 1 a 2 − 2 a −9<br /> Bài 17: Tìm các số  a1 , a 2 , ..., a 9 biết:  = = ... = 9  <br /> 9 8 1<br /> và  a1 + a 2 + ... + a 9 = 90<br /> * Gợi ý: Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta có:<br /> a1 − 1 a 2 − 2 a − 9 a1 − 1 + a 2 − 2 + ... + a 9 − 9<br /> = = ... = 9 =<br /> 9 8 1 9 + 8 + 7 + ... + 1<br /> ( a + a + ... + a 9 ) − ( 1 + 2 + ... + 9 ) = 90 − 45 = 1<br /> = 1 2<br /> 9 + 8 + ... + 1 45<br /> <br /> Giáo viên: Đoàn Công Nam                         Trường THCS Lương Thế Vinh                                          Trang ­ <br /> 17 ­<br />  “Một số bài toán cơ bản về tỉ lệ thức và các cách giải”<br /> <br /> <br /> Từ đó suy ra  a1 , a 2 , ..., a 9<br /> Dạng 3: Bài toán về chứng minh đẳng thức<br /> Sau khi học sinh đã nắm được kiến thức cơ bản của tỉ lệ thức và dãy tỉ số <br /> bằng nhau, thành thạo hai dạng toán nêu trên, có thể  nâng cao khả  năng tư  duy  <br /> của học sinh bằng dạng bài tập chứng minh đẳng thức với một số  bài tập cơ <br /> bản sau:<br /> a c a+b c+d<br /> Bài 18: Chứng minh rằng: Nếu  = 1  thì   =  với  a,  b,  c,  d 0<br /> b d a −b c−d<br /> a c a c a+b c+d<br /> = � +1 = +1�<br /> * Gợi  ý:  Với   a,  b,  c,  d 0 ,  ta có:   =   (cộng <br /> b d b d b d<br /> a+b b<br /> vào hai vế của đẳng thức với cùng một số)  � =  (1)  (đổi chỗ trung tỉ)<br /> c+d d<br /> a c a c a −b c−d a −b b<br /> Tương tự: = � −1 = −1� = � =  (2)<br /> b d b d b d c−d d<br /> a+b a−b a+b c+d<br /> Từ (1) và (2) suy ra:   = � =   (đpcm)<br /> c+d c−d a −b c−d<br /> a c ac a 2 + c2<br /> Bài 19: Cho  = . Chứng minh rằng:  =<br /> b d bd b 2 + d 2<br /> 2 2<br /> �a � �c � a c a c ac a 2 c2<br /> * Gợi ý:  Áp dụng tính chất  � �= � �= .  ta có:  = � = =   <br /> �b � �d � b d b d bd b 2 d 2<br /> Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta có:<br /> ac a 2 c2 a 2 + c 2 ac a 2 + c 2<br /> = = = � =   (đpcm)<br /> bd b 2 d 2 b 2 + d 2 bd b 2 + d 2<br /> a c<br /> Bài 20: Chứng minh rằng: Nếu  =  thì:<br /> b d<br /> 5a + 3b 5c + 3d 7a 2 + 3ab 7c2 + 3cd<br /> a)  = b)  =<br /> 5a − 3b 5c − 3d 11a 2 − 8b 2 11c 2 − 8d 2<br /> * Phân tích:<br /> 5a + 3b 5c + 3d<br /> a)  =<br /> 5a − 3b 5c − 3d<br />  ?/ Nhận xét điều phải chứng minh? Làm như thế nào để xuất hiện 5a, 5c, 3b, 3d?<br /> <br /> Giáo viên: Đoàn Công Nam                         Trường THCS Lương Thế Vinh                                          Trang ­ <br /> 18 ­<br />  “Một số bài toán cơ bản về tỉ lệ thức và các cách giải”<br /> <br /> <br /> ?/ Bài 18 gợi ý gì cho kết quả bài 20?<br /> a c a b 5a 3b 5a 5c 5a + 3b 5c + 3d<br /> Từ  = � = � = � = = =  (đpcm)<br /> b d c d 5c 3d 3b 3d 5a − 3b 5c − 3d<br /> b) Tương tự:<br /> a c a b a 2 b 2 ab 7a 2 8b 2 3ab 11a 2 7a 2 + 3ab 11a 2 − 8b 2<br />   = � = � 2 = 2= � 2= 2= = = =<br /> b d c d c d cd 7c 8d 3cd 11c 2 7c 2 + 3cd 11c 2 − 8d 2<br /> Dạng 4:  Ứng dụng tính chất của tỉ  lệ  thức, dãy tỉ  số  bằng nhau vào <br /> giải bài toán chia tỉ lệ<br /> Bài 21: Tam giác ABC có số đo các góc A, B, C lần lượt tỉ lệ với 3; 4; 5. <br /> Tính số đo các góc của tam giác ABC.<br /> Lời giải: Gọi số đo các góc A, B, C của tam giác ABC lần lượt là x, y, z. Vi s<br /> ̀ ố <br /> x y z<br /> ́ = =<br /> đo các góc A, B, C lần lượt tỉ lệ với 3; 4; 5 nên ta co: <br /> 3 4 5<br /> ̀ ̉ ́ ́ ̉<br /> Vi tông cac goc cua tam giac băng 180<br /> ́ ̀ 0 <br /> nên:  x + y + z = 1800<br /> x y z x + y + z 1800<br /> ́ ̣ ́ ̉ ̃ ̉ ́ ̀ ́ = = =<br /> Ap dung tinh chât cua day ti sô băng nhau ta co: <br /> ́ = = 150<br /> 3 4 5 3 + 4 + 5 12<br /> Suy ra:  x = 450 ; y = 600 ;z = 750 .<br /> ̣ ố đo các góc A, B, C của tam giác ABC lần lượt la: <br /> Vây s ̀ 450 ;600 ;750<br /> Bài 23:  Diện tích rừng tự  nhiên ở  nươc ta trong năm 1945; 1990 va 2002<br /> ́ ̀  <br /> lần lượt tỉ lệ với 40; 26; 34. Tính diện tích rừng cua n<br /> ̉ ươc ta vao cac năm đo, bi<br />