SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
PHƯƠNG PHÁP XÁC ĐỊNH
GÓC GIỮA HAI MẶT PHẲNG
Phần i - mở đầu
i. lý do chọn đề tài.
Chúng ta đã biết Toán học nói chung là một nghành khoa học gắn liền
với những suy luận logic chặt chẽ, đòi hỏi tính chính xác và ngắn gọn. Có
nhiều ý kiến cho rằng toán học rất khô khan và nhàm chán bởi những rắc rối
của kí hiệu và sự trừu tượng của ngôn từ vµ h×nh ¶nh. Nhìn nhận vấn đề gần
hơn trong trường THPT đa số các em thấy khó khăn, rắc rối, khó nhớ và lo sợ
khi học môn toán đặc biệt là môn hình học không gian . Vỡ vậy, để giúp các
em tự tin hơn trong việc học toỏn, tôi xây dựng “ Phương pháp xác định
góc giữa hai mặt phẳng ” trong các trường hợp củ thể từ các bài toán đơn
giãn. Qua quỏ trỡnh thực hiện tụi thấy từ phương pháp này giúp các em giải
quyết bài toán liên quan đến góc giữa hai mặt phẳng một cách dễ dàng hơn và
từ đó tạo niềm đam mê tìm hiểu xây dựng phương pháp giải các bài toán khác
và đặc biệt giúp các em yêu thích hình học không gian nhiều hơn.
Chính những lí do trên mà tôi quyết định chọn đề tài này.
II. mục đích của đề tài
* Khắc phục những khó khăn hiện tại, tìm ra phương án thích hợp giải
quyết vấn đề bài toán tìm góc giữa hai mặt phẳng.
* Góp phần đổi mới phương pháp giảng dạy bộ môn theo hướng phát
huy tính tích cực, tự giác, sáng tạo của học sinh. Góp phần nâng cao chất
lượng đội ngũ học sinh khá, giỏi về bộ môn Toán ở trường THPT.
* Góp phần hình thành lòng say mê, sự hào hứng học tập môn Toán, từ
đó hình thành và phát triển năng lực tự học, tự bồi dưỡng kiến thức cho học
sinh.
* Ngoài ra, đề tài còn có thể là một tài liệu tham khảo bổ ích cho các
bạn đồng nghiệp.
Iii - đối tượng áp dụng
* Học sinh các lớp 11, 12 Trường THPT Quỳ Hợp 2.
Phần ii - nội dung sáng kiến
A. cơ sở lý thuyết về góc giữa hai mặt phẳng.
1. Khái niệm: “ Góc giữa hai mặt phẳng là góc giữa hai đường thẳng lần
lượt vuông góc với hai mặt phẳng đó ”.
2. Cách xác định góc giữa hai mặt phẳng (SGK Hình học 11cơ bản).
- Giả sử hai mặt phẳng (P) và (Q) cắt nhau theo giao tuyến c.
- Từ một điểm I bắt kỳ trên c ta dựng trong (P) đường thẳng a vuông góc
với c và dựng trong (Q) đường thẳng b vuông góc với c.
- Khi đó góc giữa hai mặt phẳng (P) và (Q) là góc giữa hai đường thẳng a
và b.
- Tuy nhiên khi sử dụng phương pháp trên học sinh sẽ gặp khó khăn với
những bài toán phức tạp đó là việc chọn vị trí điểm I trên giao tuyến c để xác
định được các đường thẳng a, b thoã mãn bài toán .
- Để khắc phục khó khăn trên, trong nội dung sáng kiến này tôi nêu ba
trường hợp thường gặp và hướng khắc phục cụ thể cho từng trường hợp.
b. các trường hợp thường gặp của bài “ toán tìm góc giữa hai mặt phẳng ” và phương
pháp giải.
i. trường hợp 1.
Tìm góc giữa hai mặt phẳng khi giao tuyến của chúng là một cạnh đáy cuả
hình chóp.
I.1. Các bài toán.
Bài toán 1:(Bài 3.32-SBT Hình học 11 cơ
bản).
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang
vuông ABCD vuông tại A và D, có AB = 2a,
AD = DC = a, có cạnh SA vuông góc với mặt
phẳng (ABCD) và SA = a. Xác định góc giữa
hai mặt phẳng (SBC) và (ABCD).
Giải:
Theo giả thiết:
SA (ABCD) SA CB. (1).
Mặt khác: Xét tam giác vuông ADC có AD = a, DC = a AC = a 2.
Gọi I là trung điểm của AB IC IB và IC = IB = AD = a.
Xét tam giác vuông ICB ta có: CB = 22 IBIC = a 2.
Xét tam giác vuông ACB ta có: AC2 + CB2 = 2a2 + 2a2 = 4a2
AB2 = 4a2.
AC2 + CB2 = AB2 AC CB (2).
Từ (1) và (2) (SAC) CB SC CB (3).
Từ (2) và (3) góc SCA là góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABCD).
Nhận xét.
Trong bài tập dựa vào hai điều kiện để xét góc giữa hai mặt phẳng (SBC)
và (ABCD) là:
S
A B
C
D
I
1. A là hình chiếu của S trên mặt phẳng (ABCD) hay SA
CB.
2. AC
CB.
Từ nhận xét trên hãy giải bài toán sau:
Bài toán 1.2.
Hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành.
SA (ABCD). Xác định góc giữa hai mặt
phẳng (SBC) và (ABCD).
Ta thấy bài toán 1.2 thiếu điều kiện 2, để
giải quyết bài toán này ta cần tạo nên điều kiện
vuông góc.
Giải:
Theo giả thiết:
SA BC [vì SA (ABCD)].
Từ A dựng AH CB tại H (1). (SAH) CB SH CB (2).
Từ (1) và (2) góc SHA là góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABCD).
Bài toán 1.3.
Hình chóp S.ABCD có SA = SB = SC = SD. Đáy ABCD là hình bình
hành.Xác định góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABCD).
Ta thấy bài toán 1.3 chưa có cả hai điều kiện trong nhận xét trên, khi đó ta
giải bài toán này như sau.
Giải:
Gọi o = AC BD.
Theo giả thiết ta có: ÄSAC, ÄSBD cân tại S
với SO là đường trung tuyến.
)(ABCDSO
BDSO
ACSO
.
[hay O là hình chiếu của S lên (ABCD)]
Từ O dựng OH BC tại H (1).
(SOH) BC
SH BC (2).
Từ (1) và (2) góc SHO là góc giữa hai mặt
phẳng (SBC) và (ABCD).
I.2. Phương pháp giải.
Xác định góc giữa hai mặt phẳng (
) và (
) trong đó a = (
)
(
) thuộc
mặt phẳng đáy.
Phương pháp giải:
- Xác định hình chiếu O của đỉnh S lên mặt phẳng đáy ( P ).
- Từ O dựng đường thẳng OH
a tại H.
góc SHO là góc giữa hai mặt phẳng (
) và (
).
S
A
B
C
D
H
C
S
A
B
D
O
H
I.3. Bài tập vận dụng.
Bài 1. (Đề thi TSĐH - CĐ -2004 khối B). Cho hình chóp tứ giác đều
S.ABCD có cạnh đáy bằng a, góc giữa cạnh bên và mặt đáy bằng (00 < <
900). Tính tan của góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (ABCD) theo .
Bài 2. Cho hình chốp S.ABCD có ABCD là hình thoi cạnh a, Â = 600, SA
= SB = SD = 2
3
a. Tính góc giữa hai mặt phẳng (SBD) và (ABCD).
II- trường hợp 2.
Tìm góc giữa hai mặt phẳng khi giao tuyến của chúng là một cạnh bên của
hình chóp.
II.1. Các bài toán.
Bài toán 2.1.
Hình chóp S.ABCD có ÄSAB, ÄSAD đều.
Xác định góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và
(SAD).
Giải:
Gọi I là trung điểm SA.
Theo giả thiết ÄSAB, ÄSAD đều.
SADI
SABI
góc BID là góc giữa hai mặt phẳng (SAB)
và (SAD).
Nhận xét:
Trong bài tập 2.1 dựa vào điều kiện ÄSAB, ÄSAD đều nên xác định được
hai đường thẳng IB
(SAB); ID
(SAD) cùng vuông góc với SA tại I (I
SA).
Từ nhận xét đó giải bài toán sau.
Bài toán 2.2.
Hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang cạnh
a, SB = a. Xác định góc giữa hai mặt phẳng
(SAB) và (SAD).
Ta thấy, bài toán 2.2 không có điều kiện
tam giác đều giống như bài toán 2.1 do đó ta
giải bài toán 2.2 như sau.
Giải:
Gọi I là trung điểm của SA.
Theo giả thiết: SB = a = AB.
BI SA.
Trong mặt phẳng (SAD), từ I dựng IK SA tại I cắt AD tại K.
góc BIK là góc giữa hai mặt phẳng (SAB)
và (SAD).
Bài toán 2.3.
S
A
I
B
C
D
I
S
A
B
C
D
K