GV : Nguyễn Vũ Minh Số Phức
Đt : 0914449230 ngvuminh249@yahoo.com
1
SỐ PHỨC
I. KIẾN THỨC CẦN NHỚ
1. Khái niệm số phức
Một biểu thức dạng ……………………
trong đó a và b là những số thực và i thỏa mãn ……………………. được gọi là số phức.
a …………………….. ; b ………………………. ; i …………………….
Tập hợp số phức được kí hiệu là C.
Số phức có phần ảo bằng 0 gọi là số thực nên
R
C⊂.
Số phức có phần thực bằng 0 gọi là số ảo. 0 = 0 + 0i là số vừa thực vừa ảo.
2. Biểu diễn hình học
(
Số phức z = a + bi được biểu diễn bởi điểm M(a; b) hay bởi
(
,ab R∈
)
)
,uab=
r
trong
mp(Oxy) (mặt phẳng phức).
a
b
x
O
y
M (a,b)
Trục thực
Trục ảo
VD 1 Tìm phần thực vào ảo của các số phức sau :
a) . Phần thực : ..................... Phần ảo :.................
13
22
zi=− +
i
b) Phần thực : ..................... Phần ảo :................. 87z=−
c) Phần thực : ..................... Phần ảo :................. 7z=− i
d) Phần thực : ..................... Phần ảo :................. 12z=
e) Phần thực : ..................... Phần ảo :................. 26zi=−
3. Hai số phức bằng nhau
()
a = a'
abi a'b'i ,,','
b = b' aba b R
⎧
+=+⇔ ∈
⎨
⎩
VD 2 : tìm x và y để z = z’. Biết
()
(
)
2x 3 3y 1 iz=−−+ và
(
)
(
)
'2y1 3x7iz=+−−
………………………………………………..…………………………………………………..……………..
………………………………………………..…………………………………………………..……………..
………………………………………………..…………………………………………………..……………..
4. Cộng và trừ hai số phức
()
(
)(
'' 'abi a bi aa++ + = + +
)
'bbi+ 9
9
()
(
)( )
'' ' 'abi a bi aa bbi+− + = − +−
9 Số đối của z = a + bi là – z = -a – bi
5. Nhân hai số phức
()( )( )
(
)
'ba i+ ¾ '' ' ' 'a bi a b i aa bb ab+×+ = − +
¾
)
() (
ka bi ka kbik R+=+ ∈
VD 3 Thực hiện các phép tính :
GV : Nguyễn Vũ Minh Số Phức
Đt : 0914449230 ngvuminh249@yahoo.com
2
)
i
)
i
ii
a)
()
= …………………………………………………………………..
()()(
35 24 45 57iii−++++−−
b) =…………………………………………………………………..………
…………………………………………………………..…………………………………………………
()()(
2
45 57. 17ii+−− −−
c)
()
=…………………………………………………………………..…………………
………………………………………………..…………………………………………………..………..
()
3
23 54.i−−−
d) = ………………………………………………..……………………………………
2008 2009 2010
iii++
e) TN THPT – 2008
2
(1 3 ) (1 3 )Pi=+ +− 2
i
………………………………………………..…………………………………………………..………..
………………………………………………..…………………………………………………..………..
6. Số phức liên hợp
Số phức liên hợp của số phức z = a + bi là
z
abi
=
−
zz= ''zz zz
±
=±
.' .' ; ''
zz
zz
zz zz ⎛⎞
=
= ;
⎜⎟
⎝⎠
22
.zz a b
=
+
z là số thực zz⇔= z là số ảo zz
=−
VD Tìm số phức liên hợp của : a) . Giải : ................................................ 23i+
b) . Giải : ..............................................
37i−
c) . Giải : ..............................................
3i
d) . Giải : ..............................................
3
7. Modul của số phức
Cho số phức z = a + bi
22 .zab zzOM=+= =
uuuur
0, ; 0 0zzCz z≥∀∈ =⇔=
.' . 'zz z z= ''
z
z
zz
= ''zz zz zz'
−
≤± ≤ +
VD tính mô dul của các số phức sau : a) . Giải : .................................................... 23i
+
b) . Giải : ...................................................
37i−
c) Giải : ...................................................
53i−
d) Giải : ...................................................
43i−
e) 7 Giải : ...................................................
i
8. Chia hai số phức 1121
2
22
22
..
.
zzzzz
z
zz
==
2
z
nhân tử và mẫu cho liên hợp phức của z2
VD 4 : a) 2
34
i
i
+
+ =…………………………………………………………………………………….
b) =…………………………………………………………………………………….
83
1
i
i
−−
−
c) =……………………………………………………………………………………….
1
1i−
GV : Nguyễn Vũ Minh Số Phức
Đt : 0914449230 ngvuminh249@yahoo.com
3
d) =……………………………………………………………………………………….
23
13
i
i
+
+
9. Phương trình bậc hai
(
)
20*Az Bz C++= (A, B, C là các số phức cho trước, 0)A
≠
Công thức nghiệm giống phương trình bậc 2 trên tập số thực
Nếu 0
zC∈ là một nghiệm của (*) thì 0
z cũng là nghiệm của (*)
VD 5 Giải các phương trình sau trên tập số phức :
a) .
225xx++=0
0
0
0
0
Giải ……………………………………………………………………………………….…………………
…………………………………………………………………….…………………………………………
…………………………………………………………………….…………………………………………
b) . (TN THPT – 2006)
2625xx−+=
Giải ……………………………………………………………………………………….…………………
…………………………………………………………………….…………………………………………
…………………………………………………………………….…………………………………………
c) .
233xx−+=
Giải ……………………………………………………………………………………….…………………
…………………………………………………………………….…………………………………………
…………………………………………………………………….…………………………………………
d) .
240x+=
Giải ……………………………………………………………………………………….…………………
…………………………………………………………………….…………………………………………
…………………………………………………………………….…………………………………………
e)
250zz++=
Giải ……………………………………………………………………………………….…………………
…………………………………………………………………….…………………………………………
…………………………………………………………………….…………………………………………
f) (TN THPT – 2009)
2
841zz−+=
Giải ……………………………………………………………………………………….…………………
…………………………………………………………………….…………………………………………
…………………………………………………………………….…………………………………………
g) (TN THPT – 2009)
2
21ziz−+=
Giải ……………………………………………………………………………………….…………………
…………………………………………………………………….…………………………………………
…………………………………………………………………….…………………………………………
VD 6 : (TN – 2012) Tìm các số phức và biết z = 3 – 4i 2zz
+
25i
z
…………………………………………………………………….…………………………………………
GV : Nguyễn Vũ Minh Số Phức
Đt : 0914449230 ngvuminh249@yahoo.com
4
…………………………………………………………………….…………………………………………
…………………………………………………………………….…………………………………………
…………………………………………………………………….…………………………………………
…………………………………………………………………….…………………………………………
VD 7 : Tính giá trị biểu thức: ĐS: . 131Ai i=+ +−36=A
…………………………………………………………………….…………………………………………
…………………………………………………………………….…………………………………………
…………………………………………………………………….…………………………………………
VD 8 : Tính số phức sau: z = (1+ i)15. ĐS: z = 128 – 128i.
…………………………………………………………………….…………………………………………
…………………………………………………………………….…………………………………………
VD 9 :Cho hai số phức: , . Xác định phần thực và phần ảo của số phức .
112zi
=
+223z=−i12
2zz
−
…………………………………………………………………….…………………………………………
…………………………………………………………………….…………………………………………
CÁC DẠNG BÀI TẬP TRONG CÁC ĐỀ THI
Dạng tìm phần thực, phần ảo của một số phức
Bài 1: Tìm phần thực, phần ảo của số phức i + (2 – 4i) – (3 – 2i)
Bài 2: Tìm phần thực, phần ảo của số phức
()(
33
12ii−+ −
)
Bài 3: (ĐH khối A 2010) Tìm phần ảo của số phức z, biết
(
)
(
)
2
212zi=+ −i
ĐS: Phần ảo của số phức z bằng: 2.−
Bài 4: (Cao đẳng 2010) Cho số phức z thỏa mãn điều kiện
()
. Tìm phần thực
và phần ảo của z.
()(
2
23 4 13iz iz i−++=−+
)
zBài 5: (Cao đẳng 2009) Cho số phức z thỏa mãn
()
. Tìm phần thực và phần
ảo của z.
( ) ( )
2
12 812iizi i+−=+++
Bài 6: (ĐH khối A 2011) Tìm số phức z, biết: .
53
10
i
zz
+
−
−=
Bài 7: (ĐH khối A 2011) Tìm phần thực và phần ảo của số phức .
3
13
1
i
zi
⎛⎞
+
=⎜⎟
⎜⎟
+
⎝⎠
Dạng tìm môđun của số phức
VD 10 :Cho số phức z thỏa mãn . Tìm môđun của số phức
(
)
3
13i
z1i
−
=−ziz+
Giải: Ta có: Do đó
()
3
13i−=8−844 44
1
ziz
ii
−
=
=− − ⇒ =− +
−
(
)
44 44 88ziz i ii i⇒ + =− − + − + =− − Vậy 82.ziz+=
Bài 8: (ĐH khối D 2012) Cho số phức z thỏa mãn (2 + i)z + .
2(1 2 ) 78
1
ii
i
+
=
+
+
Tìm môđun của số phức w = z + 1 + i. ĐS : 16 9 5w
=
+=
GV : Nguyễn Vũ Minh Số Phức
Đt : 0914449230 ngvuminh249@yahoo.com
5
Bài 9: Tìm môđun của số phức (1 )(2 )
12
ii
zi
+−
=+. ĐS: 2.z=
Bài 10: (ĐH khối A 2012) Cho số phức z thỏa 5( ) 2
1
zi i
z
+
=
−
+. Tính môđun của số phức w = 1 + z + z2.
ĐS : w491=+=3
Bài 11: Tìm môđun của số phức
22 2
()2
x
yixy
z
x
yixy
++
=−+ ĐS: 1.z
=
Dạng tìm số phức z thỏa mãn điều kiện cho trước
VD 11 : (Đề thi thử 2012) Tìm số phức z thỏa mãn : 22
2
212
iz z i z
ii
−
+
−
=
+−
Pt cho
()()
(
)
(
)
(
)
(
)
212 22 2122iz izii ii.z− −+ += − +⇔−
()
(
)
(
)
24 2 43.iiz iz−+ =−⇔− ( 1)
Đặt z = x + y.i ,
x
yR∈
()
(
)
(
)
24 2 ( ) 43.( )iixyi ixyi−+ + =− −⇔− (1) tương đương với
11
x
yz⇔==⇒=+i
Bài 12: (ĐH Khối D - 2010) Tìm số phức z thỏa mãn: 2z=2
z và là số thuần ảo.
ĐS : 1 + i; 1 – i; -1 + i; -1 – i.
(2 3 ) 1 9ziziBài 13: (ĐH Khối D - 2011) Tìm số phức z, biết :
−
+=− ĐS : z = 2 –i
Bài 14: (ĐH khối B - 2009) Tìm số phức z thỏa mãn:
(
)
21zi−+=0 và .2zz 5
=
.
34zi+ hoặc 5z
=
ĐS : số phức cần tìm là:
=
VD 12 :Tìm số phức z thỏa mãn: 20zz+=
Giải: Gọi z = x + yi
()
,Ry R∈∈, khi đó
x
()
2
22
00zz xyi xy+=⇔+ + + =
2
(
)
22 22
20
x
yxy xyi⇔−+ ++ =
22 22
0
20
xy xy
xy
⎧−+ + =
⎪
⇔⎨=
⎪
⎩
2
2
0
0
0
0
x
yy
y
xx
⎡=
⎧
⎪
⎢⎨−+=
⎪
⎢⎩
⇔⎢=
⎧
⎪
⎢⎨
⎢+=
⎪
⎩
⎣
()
()
0
10
0
10
x
yy
y
xx
⎡=
⎧
⎪
⎢⎨−=
⎢⎪
⎩
⇔⎢=
⎧
⎪
⎢⎨
⎢+=
⎪
⎩
⎣
()
0
0
1
0
010
x
y
y
y
xdox
⎡=
⎧
⎢⎪=
⎡
⎨
⎢⎢
⎪
⎢=
⇔⎣
⎩
⎢
⎢=
⎧
⎪
⎢⎨
=
+>
⎢⎪
⎩
⎣
0, 0
0, 1
0, 1
0, 0
xy
xy
xy
xy
⎡
==
⎡
⎢⎢
=
=
⎢⎢
⇔⎢⎢
=
=−
⎣
⎢==
⎢
⎣
Vậy các số phức cần tìm là: 0; ;zziz===−i
Bài 15: (ĐH Khối A - 2011) Tính môđun của số phức z, biết: (2z – 1)(1 + i) + ( z+1)(1 – i) = 2 – 2i.
ĐS : 11 11
0, ,
22 22
zz iz i
=
=− + =− −
Bài 16: (ĐH Khối A - 2011) Tìm tất cả các số phức z, biết z2 = 2
zz
+
. ĐS : 11 2
99 3
z=+=