zunia.vn

Tuyển sinh 2024 dành cho Gen-Z

zunia.vn

» Khoa Học Tự Nhiên

Sử dụng một số dạng bài tập về chuỗi số thuộc học phần Phương trình toán lý nhằm phát triển năng lực giải toán cho sinh viên Trường Đại học Tài nguyên và Môi trường Hà Nội

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:3

Báo xấu

12
lượt xem 1
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Bài viết Sử dụng một số dạng bài tập về chuỗi số thuộc học phần Phương trình toán lý nhằm phát triển năng lực giải toán cho sinh viên Trường Đại học Tài nguyên và Môi trường Hà Nội trình bày khái niệm năng lực giải toán và vai trò của bài tập toán; Một số dạng bài về chuỗi số nhằm phát triển năng lực giải toán cho SV.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Sử dụng một số dạng bài tập về chuỗi số thuộc học phần Phương trình toán lý nhằm phát triển năng lực giải toán cho sinh viên Trường Đại học Tài nguyên và Môi trường Hà Nội

Journal of educational equipment: Applied research, Volume 1, Issue 300 (November 2023) ISSN 1859 - 0810 Sử dụng một số dạng bài tập về chuỗi số thuộc học phần Phương trình toán lý nhằm phát triển năng lực giải toán cho sinh viên Trường Đại học Tài nguyên và Môi trường Hà Nội Dương Thị Hoài Thu* *ThS. Khoa Khoa học đại cương - Trường Đại học Tài nguyên và Môi trường Hà Nội Received: 15/9/2023; Accepted: 29/9/20223; Published: 10/10/2023 Abstract: When students study the Mathematical Equations section, studying the number series section, there are many mathematical formulas and calculation skills. Students need to master the related mathematical knowledge to solve the exercises. This article focuses on relevant mathematical knowledge to solve the number series exercises in the Mathematical Equations module taught at Hanoi University of Natural Resources and Environment to help students improve their knowledge and application. into specialized courses. Keywords: The number series exercises, 1. Đặt vấn đề nghiên cứu kiến thức và thấy hứng thú khi học học Trong toán học, chuỗi Fourier (được đặt tên theo phần Phương trình toán lý. tên nhà toán học Joseph Fourier) của một hàm tuần 2. Nội dung nghiên cứu hoàn là một cách biểu diễn hàm đó dưới dạng tổng của 2.1. Khái niệm năng lực giải toán và vai trò của bài các hàm tuần hoàn có dạng ejnx, trong đó, e là số tập toán Euler và j là đơn vị số ảo. Theo công thức Euler, các Năng lực giải Toán là một phần của năng lực toán chuỗi này có thể được biểu diễn một cách tương đương học, bao gồm tổ hợp các kĩ năng, đảm bảo thực hiện theo các hàm sin và hàm cos. Một cách tổng quát, một các hoạt động giải toán một cách hiệu quả; đó là: khả chuỗi hữu hạn của các hàm lũy thừa của số ảo được năng áp dụng tiến trình phát hiện và giải quyết vấn gọi là một chuỗi lượng giác. Fourier là người đầu tiên đề vào giải một bài toán cụ thể có phương thức tiếp nghiên cứu chuỗi lượng giác theo các công trình trước cận sáng tạo và tính hướng đích cao, nhằm đạt kết đó của Euler, d’Alembert và Daniel Bernoulli. Fourier quả sau khi thực hiện các hoạt động giải toán. Theo đã áp dụng chuỗi Fourier để giải phương trình truyền Đỗ Thị Trinh (2017): Năng lực giải toán là thuộc tính nhiệt, các công trình đầu tiên của ông được công bố cá nhân, đáp ứng yêu cầu giải quyết thành công một vào năm 1807 và 1811, cuốn Théorie analytique de la vấn đề toán học dựa vào tố chất sẵn có, sự huy động chaleur của ông được công bố vào năm 1822. Theo quan tổng hợp các kiến thức, kĩ năng, kinh nghiệm trong điểm của toán học hiện đại, các kết quả của Fourier có lĩnh vực toán học và các thuộc tính cá nhân khác như phần không chính thức liên quan đến sự không hoàn hứng thú, niềm tin, ý chí, niềm đam mê,… chỉnh trong khái niệm hàm số và tích phân vào đầu thế Bài tập toán học có vai trò quan trọng trong môn kỉ XIX. Sau đó, Dirichlet và Riemann đã diễn đạt lại Toán. Thông qua giải bài tập, SV phải thực hiện các công trình của Fourier một cách chính xác hơn và những hoạt động nhất định bao gồm cả nhận dạng hoàn chỉnh hơn. và thể hiện định nghĩa, định lý, quy tắc hay phương Khi sinh viên (SV) học phần chuỗi số, đến phần pháp, những hoạt động phức hợp bao gồm hoạt động khai triển hàm số thành chuỗi số dạng Fourier, có rất trí tuệ chung và hoạt động ngôn ngữ. Việc giải bài nhiều kiến thức liên qua đến toán học. Để phát triển tập (cho dù là bài tập đơn giản nhất) cũng đòi hỏi SV năng lực giải toán của SV và áp dụng một cách có hệ phải trải qua quá trình quan sát, phân tích, liên tưởng, thống và logic vào học phần chuyên ngành. Chính vì tổng hợp, phán đoán,… dựa vào những kinh nghiệm, vậy, tôi đã viết bài báo này, thông qua một số dạng kiến thức đã có để tìm đáp số từ những dữ liệu xuất bài tập khai triển hàm số thành chuỗi số Fourier, giúp phát. Quá trình đó giúp SV bổ sung thêm kiến thức SV phát triển năng lực tư duy giải toán và vận dụng mới và tạo cơ hội cho SV nhớ, hiểu, vận dụng, khắc kiến thức đã học một cách linh hoạt, giúp SV đi sâu sâu kiến thức. Trong môn Toán, có những yếu tố lí 82 Journal homepage: www.tapchithietbigiaoduc.vn
Journal of educational equipment: Applied research, Volume 1, Issue 300 (November 2023) ISSN 1859 - 0810 thuyết đòi hỏi SV tiếp thu trong dạng tĩnh tại, riêng a. f(x), −π < x < π và f(x) liên tục tại x biệt, gây cho các em sự trừu tượng thì qua giải bài 1 tập, SV được nắm kiến thức dưới dạng động, có sự b. [ f (− x) + f (+ x)] , − π < x < π và x là điểm 2 tác động qua lại của nhiều yếu tố nên sự trừu tượng gián đoạn loại 1 của f(x) được giảm đi. Ngoài ra, các bài tập gắn với thực tiễn 1 cuộc sống hàng ngày được kết hợp với sự dẫn dắt của c. [ f (−π ) + f (π )] , x =π ± 2 GV về giá trị kiến thức môn Toán với thực tiễn giúp 2) Khai triển Fourier của hàm chẵn và lẻ SV xác định động cơ, hứng thú học tập, tích cực, chủ Nếu f(x) là hàm chẵn trên [−π,π] thì sin nx là động, tự giác trong học tập. Hơn nữa, sau mỗi lần hàm lẻ, nên bn = 0. Vậy chuỗi Fourier của hàm chẵn giải bài tập thành công cùng với sự ghi nhận, động f(x) là khai triển theo các hàm cosnx : viên, khích lệ của GV sẽ mang lại cho SV niềm tin a0 ∞ vào năng lực bản thân. Đây là điều kiện quan trọng f ( x) = + ∑ an cos nx 2 n =1 để phát triển nhận thức, hình thành ở SV ý chí, quyết tâm học tập môn Toán, làm điểm tựa cho sự tiến bộ Tương tự, nếu f(x) là hàm lẻ thì an = 0, nên ta có của các em đối với môn học khai triển theo các hàm sinnx: 2.2. Một số dạng bài về chuỗi số nhằm phát triển ∞ f ( x) = ∑ bn sin nx năng lực giải toán cho SV n =1 2.2.1. Kiến thức cần nhớ khi giải bài toán về khai 3) Khai triển Fourier trên nửa đoạn [0, π] triển hàm số thành chuỗi Fourier Để tìm được khai triển Fourier của hàm số f(x) * Cho dãy số u1, u2, u3,... Biểu thức trên đoạn [0, π] ta có thể khai triển f(x) trên cả đoạn n [−π,π] rồi sử dụng các công thức của phần trước. ∑u n =1 n = u1 + u2 + ... + un (*) được gọi là chuỗi số. un Thông thường ta có ba cách khai triển: với n tổng quát gọi là số hạng tổng quát. - Khai triển chẵn: xét hàm F(x) như sau: n  f ( x),  x ∈ [ 0, π ] F ( x) =  S n = ∑ un là tổng riêng thứ n của chuỗi số.  f (− x),  x ∈ [−π , 0) n =1  f ( x),  x ∈ [ 0, π ] n - Khai triển lẻ: F ( x) =  ; Nếu lim S n = n →∞ ∑ un S thì chuỗi số (*) là hội tụ = n =1 − f (− x),  x ∈ [−π , 0)  f ( x),  x ∈ [ 0, π ] và có tổng S. F ( x) =   0,  x ∈ [−π , 0) Rn = S – Sn gọi là phần dư thứ n của chuỗi số. Nếu chuỗi số hội tụ thì Rn → 0 khi n → ∞ 4) Khai triển Fourier của hàm có chu kỳ bất kỳ Nếu Sn không dần tới giới hạn hữu hạn khi n → ∞ Cho f(x) có chu kỳ là 2L, L > 0, ta cần tìm chuỗi thì chuỗi là phân kỳ. Fourier của f(x) trên [−L, L]. Để làm điều đó ta dùng πx * Chuỗi Fourier với f(x) là: phép biến đổi t = và xét hàm số: a0 ∞ L + ∑ (a f ( x) = n cos nx + bn sin nx)  tL  2 n =1 F (t ) = ( x) f= f  π  với các hệ số là các hệ số Fourier: 1 π Hàm F(t) sẽ có chu kỳ 2π. Thật vậy: an π ∫ f ( x) cos(nx)dx (n = 0,1, 2,...) −π F (t + 2π )=  tL  f  + 2π =  tL  f  = F (t ) π π  π  1 bn π ∫ f ( x) sin(nx)dx (n = 1, 2,...) Vậy ta có khai triển Fourier của F(t) trên [−π,π]: −π a0 ∞ 2.2.2. Khai triển Fourier của hàm số 2 n =1 ∑ n F (t ) =a cos nt + b sin nt ) + ( n 1) Điều kiện đủ của khai triển Fourier Trong đó: Hàm số f(x) được gọi đơn điệu từng khúc trên 1 π 1 π  tL  1 L nπ x đoạn [a,b], nếu có thể chia đoạn [a,b] thành hữu hạn an π= π −∫π= L −∫L f ( x) cos L dx = − ∫π F(t) cos(nt )dt f   cos(nt )dt π  các đoạn con đơn điệu của f(x). với n = 0, 1, 2,…, Nếu f(x) đơn điệu từng khúc và bị chặn trên [-π, π] L 1 nπ x thì chuỗi Fourier của nó hội tụ từng điểm trên đoạn ấy bn = ∫ f ( x) sin dx với n = 0, 1, 2,…, L −L L và tổng của chuỗi ấy bằng: 83 Journal homepage: www.tapchithietbigiaoduc.vn
Journal of educational equipment: Applied research, Volume 1, Issue 300 (November 2023) ISSN 1859 - 0810 2π Trở lại biến x ta được: 1 1 π 2π  a0 nπ x ∞ nπ x an = π ∫ f ( x) cos(nx)dx = π ∫  (1.cosnx)dx + ∫ (2.cosnx)dx  = 0  + ∑ (an 0 π f ( x) =cos + bn sin ) 0 2 n =1 L L 2π π 2π 1 1  với an và bn được tính theo 2 công thức trên. bn = π ∫= 0 f ( x) sin(nx)dx  ∫ (1.sin(nx))dx + ∫ (2.sin(nx))dx  π 0 π  2.2.3. Một số dạng bài về chuỗi số nhằm phát triển 0; n = 2k năng lực giải toán cho SV = cos nπ − 1  =  2 Bài 1: Tìm chuỗi Fourier của hàm f(x) xác định nπ − nπ ; n =+ 1 2k  bởi: f(x) = 1; 0 ≤ x ≤ 2π; T = 2π HDG: Ta có chuỗi Fourier: Vậy chuỗi Fourier tương ứng của hàm f(x) đã cho a0 3 +∞ −2 +∑ ∞ + ∑( f ( x) =an cos nx + bn sin nx) là: f ( x) =sin(2 k + 1) x ; n = 2k 2 n =1 2 k =1 (2k + 1)π Cần xác định các hệ số của chuỗi Fourier: 3 +∞ −2 2π 2π +∑ f ( x) =sin(2 k + 1) x 1 1 1 2 k =1 (2k + 1)π a0 = π ∫ f (= x)dx π ∫= 1.dx .2π = 2 π 0 0 Bài 4: Tìm chuỗi Fourier của hàm f(x) xác định 1 2π 1 2π bởi: f(x) = x2; −π ≤ x ≤ π; T = 2π an π ∫0 f ( x) cos(nx)dx = = 0 ∫ (1.cos(nx))dx π 0 HDG: Ta thấy hàm số f(x) = x2 liên tục tại mọi 1 2π 1 2π cos 0 − cos 2nπ điểm thuộc đoạn [−π, π] nên chuỗi Fourier của f(x) =bn π ∫ 0 f (= x) sin(nx)dx π ∫ (1.sin(nx))dx 0 = = 0 nπ hội tụ về chính nó. Do f(x) = x2 là hàm chẵn nên ta có hệ số bn = 0. Vậy chuỗi Fourier tương ứng của hàm f(x) đã cho π π π a0 ∞ 2 2 2 2  x3  2 2 +∑ là: f ( x) = (an cos nx + bn sin nx) = 1 Ta có: a0 = ∫= f ( x)dx =∫ x dx π = 3 π .  2 n =1 π 0 π 0  3 0 π π Bài 2: Tìm chuỗi Fourier của hàm f(x) xác định 2 2 ∫ ∫ ( x .cos(nx))dx 2 an = f ( x) cos(nx)dx = 0; − π ≤ x ≤ 0 π 0 π 0 bởi: f ( x) = = 2π ; T 1; 0 < x ≤ π u = x 2 Đặt:  HDG: Cần xác định các hệ số của chuỗi Fourier. dv = cos(nx)dx π π 1  0 1 Ta có: a= 0 π ∫ f ( x)dx = ∫ π  −π 0.dx + ∫ 1.dx= 1  2 1 2 π 2 π  −π 0  =⇒ an  x sin(nx) − ∫ ( x.sin(nx))dx  π π π n  0 n0   1  0 1 a= n π ∫ f ( x) cos(nx)dx =  ∫ (0.cosnx)dx + ∫ (1.cosnx)dx= 0 π  −π  4 4 −π 0  ⇒ an = 2 cos(nπ ) = 1) n 2 (− π π n n 1  0 1 bn π − ∫π= f ( x) sin(nx)dx π  −∫  (0.sin(nx))dx + ∫ (1.sin(nx))dx  π 0  Vậy chuỗi Fourier tương ứng của hàm f(x) đã cho là: f ( x) = 1 π 2 + ∑ (−1) n 4 cos nx +∞ 0; n = 2k 1 − cos nπ  3 n2 = = 2 n =1 nπ  nπ ; = 2k + 1 n  3. Kết luận Vậy chuỗi Fourier tương ứng của hàm f(x) đã cho Qua phần trình bày một số dạng bài tập khai triển là: = 1 ; n 2k f ( x) = hàm số thành chuỗi số dạng Fourier nhằm phát triển 2 năng lực giải toán cho SV, giúp SV tiếp tục nghiên 1 +∞ 2 cứu và áp dụng vào các học phần chuyên ngành một f ( x) = ∑ + sin(2 k + 1) x; n =+ 1 2k cách dễ dàng và vận dụng linh hoạt các kiến thức vào 2 k =1 (2k + 1)π giải các bài toán. Từ đó giúp SV hứng thú và học tốt Bài 3: Tìm chuỗi Fourier của hàm f(x) xác định phần Chuỗi trong chương trình Phương trình toán lý 1; 0 ≤ x ≤ π ở đại học. bởi: f ( x) = = 2π ; T 2; π < x ≤ 2π Tài liệu tham khảo HDG: Cần xác định các hệ số của chuỗi Fourier. 1. Đỗ Đình Thanh - Vũ Văn Hùng (2009), Phương 2π pháp toán lý, NXB Giáo dục. 1 π 2π  Ta có: a0 = ∫ f ( x)dx = 1  ∫ 1.dx + ∫ 2.dx  = 3 2. Đặng Trần Chiến (2020), Giáo trình Phương π 0 π 0 π  trình toán lý, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội. 84 Journal homepage: www.tapchithietbigiaoduc.vn

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

THÔNG TIN

TRỢ GIÚP

HỖ TRỢ KHÁCH HÀNG

Theo dõi chúng tôi

Chịu trách nhiệm nội dung:

Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA

LIÊN HỆ

Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM

Hotline: 093 303 0098

Email: support@tailieu.vn

Giấy phép Mạng Xã Hội số: 670/GP-BTTTT cấp ngày 30/11/2015 Copyright ©2025 TaiLieu.VN. All rights reserved.