Tài liệu tham khảo: ĐẲNG THỨC LƯỢNG GIÁC

Chia sẻ: Thạch Tuấn Vũ | Ngày: | Loại File: DOC | Số trang:10

Thêm vào BST

Báo xấu

394
lượt xem 127
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tài liệu học tập tham khảo về các đẳng thức lượng giác.

Chủ đề:

Bình luận(1) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Tài liệu tham khảo: ĐẲNG THỨC LƯỢNG GIÁC

ĐẲNG THỨC LƯỢNG GIÁC Ở đây không xét đến các đẳng thức lượng giác trong tam giác. Bài 1 Tính a/ sin150 và cos150 b/ sin180 và cos180 c/ sin 360 và cos 360 π d/ tg e/ tg 37030 ' 8 Bài 2 Tính a/ ( cot g 440 + tg 2260 ) cos 4060 − cot g 720.cot g180 cos 3160 cos ( −2880 ) cot g 720 b/ − tg180 tg ( −162 ) sin108 0 0 1 2sin 25500.cos ( −1880 ) c/ + tg 3680 2 cos 6380 + cos 980 cos 2 1970 + cos 2 2870 sin 2 3230 d/ − 1 − sin 2 217 0 cos 2 370 Bài 3 Tính giá trị các biểu thức sau π 3π 5π a/ tg 200 tg 400 tg 600 tg 800 d/ tg 2 + tg 2 + tg 2 12 12 12 1 b/ 0 − 2sin 700 e/ tg 90 − tg 27 0 − tg 630 + tg 810 2 sin10 4 π 3π 5π 7π π 3π 5π 7π c/ sin + sin 4 + sin 4 + sin 4 f/ cos 6 + cos6 + cos 6 + cos 6 16 16 16 16 16 16 16 16 Bài 4 Rút gọn 1 + cos x  ( 1 − cos x )  2 a/ sin 3 x sin x + cos 3 x cos x 3 3 b/ 1 +  sin x   sin 2 x   2 cos 2 x − 1 1 + sin x 1 − sin x c/ d/ + sin x + cos x 1 − sin x 1 + sin x Bài 5 a/ Cho sin x + cos x = a .Tính sin x.cos x sin x − cos x sin x + cos x  3 3 sin 4 x + cos 4 x  sin 5 x + cos5 x   3  4  5 sin x − cos x sin x − cos x sin x − cos x 3 4 5    b/ Cho tgx + cot gx = a .Tính  2 tg x + cot g x 2  3 tg x + cot g x 3 tg 6 x + cot g 6 x  tgx − cot gx  2  3  6 tg x − cot g x tg x − cot g x tg x − cot g x 2 3 6    Bài 6 a/ Cho tgx = 2 .Tính
3sin 4 x − 5sin 3 x cos x + 11sin 2 x cos 2 x − 4sin x cos3 x + 2 cos 4 x A= −5sin 4 x + 3sin 3 x cos x − 2sin 2 x cos 2 x + 10sin x cos3 x − 3cos 4 x b/Cho tgx=4 .Tính 7 cos5 x − 4 cos 4 x sin x + 2 cos 2 x.sin 3 x − 5cos x.sin 4 x − 6sin 5 x B= 8sin 4 x cos x − 2sin 3 x cos 2 x Bài 7 Chứng minh các đẳng thức sau không phụ thuộc vào biến số a/ 2 ( sin 4 x + cos 4 x + sin 2 x cos 2 x ) − ( sin 8 x + cos8 x ) 2 b/ sin 4 x + 4 cos 2 x + cos 4 x + 4sin 2 x 2 sin 4 x + cos 4 x − 1  1 − tg 2 x   − ( 1 + tg x ) ( 1 + cot g x ) 2 2 c/ 6 d/  sin x + cos6 x − 1  tgx  Bài 8 Chứng minh các biểu thức sau không phụ thuộc x 2 π  2 π  2  2π   2π  a/ f ( x ) = cos  − x  + cos  + x  + cos  − x  + cos 2  + x  − 2sin 2 x 3  3   3   3  2  2π   2π  b/ f ( x ) = cos x + cos  + x  + cos 2  − x 2  3   3  2 2π   2π  c/ f ( x ) = sin x + sin  + x  + sin 2  − x 2  3   3  d/ cos ( x − a ) + cos x − 2 cos a cos x cos ( a − x ) 2 2 m cos3 x − cos 3 x m sin 3 x + sin 3 x  π e/ f ( x ) = +  ∀x ≠ k  cos x sin x  2 Bài 9 1 1 a/Cho a sin x.sin y − b cos x.cos y = 0 .Tính S = + a sin x + b cos x a sin y + b cos 2 y 2 2 2  m 2tg 2 x + n 2tg 2 y = 1  2 b/Cho hệ  m cos x + n cos = 1 .Tìm hệ thức liên hệ giữa m và n không phụ thuộc 2 2 2  m sin x = n cos y  x,y. c/Tìm m để biểu thức sau không phụ thuộc x: S = sin x + cos x − m ( sin x + cos x ) 6 6 4 4 Bài 10 sin 4 x cos 4 x 1 sin10 x cos10 x 1 a/Cho + = .Chứng minh + = ( m + n) 4 4 4 m n m+n m n b/Cho 2tg 2 x.tg 2 y.tg 2 z + tg 2 x.tg 2 y + tg 2 y.tg 2 z + tg 2 z.tg 2 x = 1 .Chứng minh sin 2 x + sin 2 y + sin 2 z = 1  a.cos3 x + 3a cos x.sin 2 x = m  ( m + n) + 3 ( m − n) = 2 3 a2 2 2 c/Cho  .Chứng minh 3  a.sin x + 3a cos x sin x = n 3 2 
 a1 = sin α1  d/Cho  a2 = cos α1 sin α 2 .Chứng minh a1 + a2 + a3 = 1 2 2 2  a = cos α cos α  3 1 2 Bài 11 Gọi α , β là các giá trị khác nhau của x thỏa mãn hệ thức a cos x + b sin x = c .Biết a 2 + b 2 > 0; α − β ≠ k 2π . 2 α 2 β a/.Tính sin .sin 2 2 α −β c2 α+β b b/Chứng minh cos 2 = 2 và tg = 2 a +b 2 2 a Bài 12 Tính a/ A = cos 200 + cos 409 + ... + cos1600 + cos1800 b/ B = tg 200 + tg 400 + ... + tg1600 + tg1800 c/ C = sin 50 + sin100 + ... + sin 3600 Bài 13 Chứng minh a/ tg 6a − tg 4a − tg 2a = tg 6atg 4atg 2a b/ tg ( a + b ) − tga − tgb = tg ( a + b ) tgatgb c/ sin ( a + b ) − sin a − sin b = 2sin a sin b cos ( a + b ) 2 2 2 sin ( a + b + c ) d/ tga + tgb + tgc − = tga.tgb.tgc cos a cos b cos c e/ cos a sin ( b − c ) + cos b sin ( c − a ) + cos c sin ( a − b ) = 0 f/ sin a sin ( b − c ) + sin b sin ( c − a ) + sin c sin ( a − b ) = 0 sin ( a − b ) sin ( b − c ) sin ( c − a ) g/ + + =0 cos a cos b cos b cos c cos c cos a Bài 14 cos x + cos y + cos z sin x + sin y + sin z a/ Cho = = m .Chứng minh cos ( x + y + z ) sin ( x + y + z ) cos ( x + y ) + cos ( y + z ) + cos ( z + x ) = m π 3sin 2 α + 2sin 2 β = 1 π b/Cho 0 < α , β < và  .Chứng minh α + 2β = . 2 3sin 2α − 2sin 2β = 0 2 π π c/Cho 0 < α , β < và sin α + sin β = sin ( α + β ) .Chứng minh α + β = . 2 2 2 2  a cos α + b cos β = 0  d/ Cho  ( ϕ ≠ kπ ) .Chứng minh rằng với mọi x ta có  a cos ( α + ϕ ) + b cos ( β + ϕ ) = 0  a cos ( α + x ) + b cos ( β + x ) = 0
e/ Cho m cos ( a + b ) = cos ( a − b ) với ( a − b ) ≠ kπ , k ∈ ¢ ; m ≠ 1 .Chứng minh 1 1 2 + = 1 − m sin 2a 1 − m sin 2b 1 − m 2 Bài 15 Chứng minh các đẳng thức sau 1 − 2sin 2 x =1 a/ π  2 π  2 cot g  + x  cos  − x  4  4  1 + cos x + cos 2 x + cos 3x b/ = 2 cos x 2 cos 2 x + cos x − 1 3 1 c/ sin x + cos x = + cos 4 x 4 4 4 4 5 3 d/ sin x + cos x = + cos 4 x 6 6 8 8 7 1 e/ sin x + cos x = cos8 x + cos 6 x 8 8 8 8  π  2π  f/ tgx + tg  x +  + tg  x +  = 3tg 3 x  3  3   π  π  2π   2π  g/ tgxtg  x +  + tg  x +  tg  x +  + tg  x +  tgx = −3  3  3  3   3  Bài 16 Tính π 4π 5π a/ A = cos cos cos 7 7 7 b/ B = sin 5 sin15 ...sin 750 sin 850 0 0 c/ C = cos x cos 2 x cos 4 x...cos 2n x π 2π 3π nπ d/ D = cos cos cos ...cos 2n + 1 2n + 1 2n + 1 2n + 1 Bài 17 a/ Đặt S = cos x + 2 cos 2 x + ... + n cos nx .Chứng minh S= 2( ) n sin x sin 2n + 1 .x − sin 2 nx 2 2 với x ≠ k 2π 2 x 2sin 2 −1 π b/Chứng minh rằng sin n +1 = 2 2 + 2 ... 1 2 + 4 2 + 4 + 42 4 42 4 3 ... 2 n π 1 c/CMR cos = 2 + 2 + ... + 2 ( n-1 dấu căn) 2n 2 π 1 d/CMR sin n = 2 − 2 + 2 + ... + 2 ( n-1 dấu căn) 2 2
  n 4i 1  4n +1 1  e/ ∑ =  2 n −  i = 0 1 + cos 2 i 2  sin ( 2 ) sin 2 1   2 Bài 18 Chứng minh π  π  a/ 4sin x.sin  − x  .sin  + x  = sin 3 x 3  3  π  π  b/ 4 cos x cos  − x  cos  + x  = cos 3x 3  3  π  π  c/ 4tgxtg  − x  tg  + x  = tg 3 x 3  3   π  2π  d/ tgx + tg  x +  + tg  x +  = 3tg 3 x  3  3  2π  2π  e/ tg x + tg  + x  + tg  − x  = 9tg 3x + 6 2 2 3  3  Bài 19 (Áp dụng bài 18)Tính: a/ A = sin 200 sin 400 sin 800 b/ B = cos100 cos 200...cos800 c/ C = sin 20 sin180 sin 220 sin 380 sin 420 sin 580 sin 620 sin 780 sin 820 d/ D = tg 30 tg17 0 tg 230 tg 37 0 tg 430 tg 57 0 tg 630 tg 77 0 tg 830 tg 2430 π 2π 4π 5π 7π 8π 10π 11π 13π e/ E = tg tg tg tg tg tg tg tg tg 27 27 27 27 27 27 27 27 27 f/ F = tg1 + tg 5 + tg 9 + ... + tg177 0 0 0 0 g/ G = tg 2 50 + tg 2100 + ... + tg 2 800 + tg 2 850 Bài 20 Giải hệ ( ẩn x,y,z) a/ Cho sin α sin β sin γ ≠ 0 và cos α , cos β , cos γ đôi một khác nhau  x sin α + y sin 2α + z sin 3α = sin 4α   x sin β + y sin 2 β + z sin 3β = sin 4 β  x sin γ + y sin 2γ + z sin 3γ = sin 4γ  b/Cho cos α cos β cos γ ≠ 0 và cos α , cos β , cos γ đôi một khác nhau  x cos α + y cos 2α + z cos 3α = cos 4α   x cos β + y cos 2 β + z cos 3β = cos 4β  x cos γ + y cos 2γ + z cos 3γ = cos 4γ  Bài 21 Rút gọn các biểu thức sau sin 8 x + sin13 x + sin18 x a/ A = cos8 x + cos13 x + cos18 x b/ B = sin ( a − 2b ) − cos a − cos 2b 2 2 2 c/ C = sin ( a − 2b ) − sin 2a − sin b 2 2 2
sin 2 ( a + b ) − sin 2 a − sin 2 b d/ D = sin 2 ( a + b ) − cos 2 a − cos 2 b Bài 21 Chứng minh x a/ sin 4 x − 4sin 3 x + 6sin 2 x − 4sin x = 16sin 2 x sin 4 2 1 1 b/ cos x − cos 3 x − cos 5 x = 8sin x cos x 2 3 2 2 6− 2 c/ cos 27 0 − cos 630 = 4 5 −1 d/ sin 2 240 − sin 2 60 = 8 8 3 e/ tg 300 + tg 400 + tg 500 + tg 600 = cos 200 3 f/ tg 9 + tg15 − tg 27 − cot g 27 + cot g150 + cot g 90 = 8 0 0 0 0 g/ cos120 + cos180 − 4 cos150 cos 210 cos 240 = − ( 3 +1) 2 Bài 22 sin ( x − α ) a cos ( x − α ) A aA + bB a/ Cho = ; = Chứng minh = cos ( α − β ) sin ( x − β ) b cos ( x − β ) B aB + bA n kπ 1 b/ ∑ ( −1) cos k +1 = k =1 2n + 1 2 8π 12π 18π 1 π 7 π c/ cos + cos + cos = cos + sin 35 35 35 2 5 2 5 Bài 23 Chứng minh a/ sin ( a + b ) sin ( a − b ) + sin ( b + c ) sin ( b − c ) + sin ( c + a ) sin ( c − a ) = 0 b/ cos ( a + b ) sin ( a − b ) + cos ( b + c ) sin ( b − c ) + cos ( c + a ) sin ( c − a ) = 0 c/ sin a sin ( b − c ) + sin b sin ( c − a ) + sin c sin ( a − b ) = 0 Bài 24 Tính 2π 4π 6π a/ A = cos + cos + cos 7 7 7 π 2π 3π b/ B = cos + cos + cos 7 7 7 π 5π 7π 11π c/ C = sin sin sin sin 24 24 24 24 π 7π 13π 19π 25π d/ D = sin sin sin sin sin 30 30 30 30 30 Bài 25 Tính
 A1 = sin a + sin 2a + ... + sin na a/   A2 = cos a + cos 2a + ... + cos na  B1 = cos 2 a + cos 2 2a + ... + cos 2 na  b/   B2 = sin a + sin 2a + ... + sin na 2 2 2  c/ C = tga + 2tg 2a + ... + 2n tg 2n a + 2n +1 cot g 2n +1 a 2 a 2 a a n −1 2 a a a d/ D = tg tga + 2tg tg + ... + 2 tg n tg n −1 + 2 tg n n 2 4 2 2 2 2 1 a 1 a e/ E = tga + tg + ... + n tg n 2 2 2 2 1 1 1 F= + + ... + f/ a a a 4 cos 2 42 cos 2 4n cos 2 n 2 4 2 Bài 26 (sử dụng dãy tỉ số bằng nhau) r 2 −1 1 + 2r cos y + r 2 a/Cho = .Chứng minh 1 + 2r cos x + r 2 r 2 −1 2 2 x 2 y  r +1  tg tg =  2 2  r −1  b/Cho a,b,c đôi một khác nhau và 4 góc α , β , γ , ϕ thỏa a b c = = .Chứng minh tg ( ϕ + α ) tg ( ϕ + β ) tg ( ϕ + γ ) a+b 2 b+c 2 c+a 2 sin ( α − β ) + sin ( β − γ ) + sin ( γ − α ) = 0 a −b b−c c−a Bài 27 cos x cos 2 x cos 3 x 2 x 2a2 − a1 − a3 a/Cho = = .Chứng minh sin = a1 a2 a3 2 4 a2 sin x sin 3 x sin 5 x a1 + a5 a3 − a1 b/Cho = = .Chứng minh = a1 a3 a5 a3 a1 Bài 28 π a/Cho α , β , γ ≠ + kπ ( k nguyên) .Giả sử sin 2 α ,sin 2 β ,sin 2 γ lập thành cấp số cộng, 2 sin β ≠ 0 và tgα .tgγ = 1 .Chứng minh rằng tgα , tg β , tgγ lập thành một cấp số nhân. β γ b/Cho α + β + γ = 0 và tg , tg có nghĩa.Chứng minh rằng sin β ,sin α ,sin γ lập 2 2 β γ 1 thành cấp số cộng khi và chỉ khi tg .tg = . 2 2 3 c/Cho α , β , γ thỏa hệ 0 ≤ α ≤ β ≤ γ ≤ 2π  cos α + cos β + cos γ = 0 sin α + sin β + sin γ = 0 
2π Chứng mini rằng α , β , γ lập thành cấp số cộng với công sai d = .. 3 π d/Cho α + β + γ = 0 và α , β , γ đều khác k , k ∈ ¢ .Chứng minh rằng ta có 2  α β γ  ÷tg 2 , tg 2 , tg 2 ⇔ ÷ cos α , cos β , cos γ    ÷ cot g α .cot g β , cot g γ ⇔ ÷ sin α ,sin β ,sin γ   2 2 2 Các bài toán có liên quan với định lí Vi-et Bài 1 Tính giá trị các biểu thức sau 1 1 1 A= + + a/ π 3π 5π cos cos cos 7 7 7 1 1 1 B= + + b/ 2π 3π 6π sin 2 sin 2 sin 2 7 7 7 1 1 1 C= + + c/ 4 π 4 2π 3π cos cos cos 4 7 7 7 π 9π 9π 17π 17π π d/ D = cos cos + cos cos + cos cos 12 12 12 12 12 12 π 3π 5π cos 4 + cos 4 + cos 4 e/ E = 14 14 14 2 π 2 3π 2 5π 4 cos cos cos 14 14 14 2π 3 4π 3 8π f/ F = 3 cos + cos + cos 7 7 7 Bài 2 Tính 2 π 5π 7π a/ A = tg + tg 2 + tg 2 18 18 18 π 5π 7π b/ B = tg + tg 6 + tg 6 6 18 18 18 2π 4π 8π c/ C = tg + tg 6 + tg 6 6 18 18 18 π 2π 3π 4π d/ D = tg tg tg tg 5 5 5 5 Bài 3 a/Giả sử tgα1 , tgα 2 , tgα 3 là ba nghiệm của phương tình x 3 + ax 2 + bx + c = 0 . tg β1 , tg β 2 , tg β3 là ba nghiệm của phương trình x 3 + cx 2 + bx + a = 0 .Chứng minh α1 + α 2 + α 3 + β1 + β 2 + β3 = kπ
b/Chứng minh tg 7 0 + tg 410 + tg 530 + tg 790 = tg 7 0 tg 410 tg 530 tg 790 + tg 7 0 tg 410 tg 530 + g 410 tg 530 tg 790 +tg 530 tg 790 tg 70 + tg 790 tg 7 0 tg 410 Sử dụng lượng giác để chứng minh đẳng thức đại số Trước tiên ta chứng minh một số bổ đề quan trọng sau π 1/ Cho x,y,z đều khác + kπ , k ∈ ¢ . Chứng minh rằng 2 tgx + tgy + tgz = tgxtgytgz ⇔ x + y + z = nπ , n ∈ ¢ π 2/ Cho x,y,z đều khác + kπ , k ∈ ¢ .Chứng minh rằng 2 π tgx.tgy + tgy.tgz + tgz.tgx = 1 ⇔ x + y + z = + nπ , n ∈ ¢ 2 π 3/ Cho x,y,z đều khác + kπ , k ∈ ¢ .Chứng minh 2 tgx + tgy + tgz − tgxtgytgz = 1 − tgztgy − tgytgz − tgztgx π ⇔ x + y + z = + nπ , n ∈ ¢ 4 4/Chứng minh rằng cos 2 x + cos 2 y + cos 2 z + 2 cos x cos y cos z = 1 ⇔ x+ y+z x+ y−z y+z−x z+x− y cos cos cos cos =0 2 2 2 2 Ứng dụng Bài 1 Cho ab ≠ −1, bc ≠ −1, ca ≠ −1 .Chứng minh a −b b −c c −a a −b b −c c −a + + = 1 + ab 1 + bc 1 + ca 1 + ab 1 + bc 1 + ca  xyz ≠ 0 Bài 2 Cho  .Chứng minh  xy + yz + zx = 1 (x 2 − 1) ( y 2 − 1) + (y 2 − 1) ( z 2 − 1) =4 + (z 2 − 1) ( x 2 − 1) xy yz zx Bài 3 Giải hệ sau   1  1  1 3  x +  = 4  y +  = 5  z +    x  y  z  xy + yz + zx = 1  Bài 4Cho xyz ≠ 0 và x+y+z-xyz=1-xy-yz-zx .Chứng minh 1 − x2 1 − y 2 1 − z 2 1 1 − x2 1 − y 2 1 − z 2 + + = x y z 4 x y z Bài 5 Cho x+y+z=xyz. Chứng minh a/ ∑ x ( y − 1) ( z − 1) = 4 xyz 2 2
3x − x3 3x − x3 3 y − y 3 3 z − z 3 b/ ∑ 1 − 3x 2 = 1 − 3x 2 1 − 3 y 2 1 − 3z 2 ( x, y , z ≠ ± 3 ( 1+ x ) ( 1+ y ) − 2 2 1 + x2 − 1 + y 2 c/ ∑ xy =0 Bài 6 Cho x,y,z>0 và x 2 + y 2 + z 2 + 2 xyz = 1 .Chứng minh 1 + xyz = ∑ x ( 1 − y 2 ) ( 1 − z 2 ) Bài 7 Cho xy+yz+zx=1.Chứng minh x + y + z − 3 xyz = ∑ x ( y + z ) 2 2