intTypePromotion=1

Bài tập Lượng giác lớp 10 nâng cao: Chương 6 - GV. Trần Sĩ Tùng

Chia sẻ: Nguyễn Hùng Anh | Ngày: | Loại File: DOC | Số trang:12

0
757
lượt xem
76
download

Bài tập Lượng giác lớp 10 nâng cao: Chương 6 - GV. Trần Sĩ Tùng

Mô tả tài liệu
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Chương 6 "Góc, cung lượng giác, công thức lượng giác" thuộc tài liệu bài tập Lượng giác lớp 10 nâng cao cung cấp cho các bạn những kiến thức và những câu hỏi bài tập về giá trị lượng giác của góc lượng giác, công thức lượng giác, tính các giá trị lượng giác của một góc,... Đây là tài liệu tham khảo hữu ích cho các bạn đang học và ôn thi môn Toán.

Chủ đề:
Lưu

Nội dung Text: Bài tập Lượng giác lớp 10 nâng cao: Chương 6 - GV. Trần Sĩ Tùng

  1. Lượng giác Trần Sĩ Tùng CHƯƠ CH NG VI ƯƠNG VI GÓC – CUNG LƯỢ GÓC – CUNG L NG GIÁC ƯỢNG GIÁC CÔNG THỨ CÔNG TH C LƯỢ ỨC L NG GIÁC ƯỢNG GIÁC I. Giá trị lượng giác của góc (cung) lượng giác 1. Định nghĩa các giá trị lượng giác tang sin T Cho  (OA,OM ) = α . Giả sử  M (x; y ) . cosα = x = OH B S cotang sinα = y = OK K M sinα � π � tanα = = AT α � + kπ � cosin cosα � 2 � O H A cosα ( α kπ ) cotα = = BS sinα Nhận xét:    ∀α , − 1 cosα 1; − 1 sinα 1 π  tan  xác định khi  α + kπ , k Z  cot  xác định khi  α kπ , k Z 2   sin(α + k 2π ) = sinα   tan(α + kπ ) = tanα     cos(α + k 2π ) = cosα     cot(α + kπ ) = cotα 2. Dấu của các giá trị lượng giác Phần tư I II III IV Giá trị lượng giác cos + – – + sin + + – – tan + – + – cot + – + – 3. Giá trị lượng giác của các góc đặc biệt Trang 56
  2. Lượng giác Trần Sĩ Tùng π π π π 2π 3π π 3π 0 2π 6 4 3 2 3 4 2 00 300 450 600 900 1200 1350 1800 2700 3600 1 2 3 3 2 sin 0 1 0 –1 0 2 2 2 2 2 3 2 1 1 2 cos 1 0 − − –1 0 1 2 2 2 2 2 tan 0 3 1 –1 0 0 3 − 3 3 cot 1 3 0 3 –1 0 3 − 3 3 4. Hệ thức cơ bản: 2 1 1 sin2α + cos2α = 1;  tanα .cotα = 1;      1+ tan α = ; 1+ cot2 α = cos2 α sin2 α 5. Giá trị lượng giác của các góc có liên quan đặc biệt Góc đối nhau Góc bù nhau Góc phụ nhau �π � cos(−α ) = cosα sin(π − α ) = sinα sin� − α �= cosα �2 � �π � sin(−α ) = − sinα cos(π − α ) = − cosα cos� − α �= sinα �2 � �π � tan(−α ) = − tanα tan(π − α ) = − tanα tan� − α �= cotα �2 � �π � cot(−α ) = − cotα cot(π − α ) = − cotα cot� − α �= tanα �2 � π Góc hơn kém  π Góc hơn kém  2 �π � sin(π + α ) = − sinα sin� + α �= cosα �2 � �π � cos(π + α ) = − cosα cos� + α �= − sinα �2 � �π � tan(π + α ) = tanα tan� + α �= − cotα �2 � �π � cot(π + α ) = cotα cot� + α �= − tanα �2 � II. Công thức lượng giác 1. Công thức cộng Trang 57
  3. Trần Sĩ Tùng Lượng giác sin(a + b) = sina.cosb + sinb.cosa tana + tanb tan(a + b) = sin(a − b) = sina.cosb − sinb.cosa 1− tana.tanb cos(a + b) = cosa.cosb − sina.sinb tana − tanb cos(a − b) = cosa.cosb + sina.sinb tan(a − b) = 1+ tana.tanb �π � 1+ tanα �π � 1− tanα Hệ quả:    tan� + α �= , tan� − α �= �4 � 1− tanα �4 � 1+ tanα 2. Công thức nhân đôi sin2α = 2sinα .cosα cos2α = cos2 α − sin2 α = 2cos2 α − 1 = 1− 2sin2 α 2tanα cot2 α − 1 tan2α = ; cot2α = 1− tan2 α 2cotα Công thức hạ bậc Công thức nhân ba (*) 1− cos2α sin3α = 3sinα − 4sin3 α sin2 α = 2 1+ cos2α cos3α = 4cos3 α − 3cosα cos2 α = 3tanα − tan3 α 2 tan3α = 2 1− cos2α 1− 3tan2 α tan α = 1+ cos2α 3. Công thức biến đổi tổng thành tích a+b a−b sin(a + b) cosa + cosb = 2cos .cos tana + tanb = 2 2 cosa.cosb a+b a−b sin(a − b) cosa − cosb = − 2sin .sin tana − tanb = 2 2 cosa.cosb a+b a−b sin(a + b) sina + sinb = 2sin .cos cot a + cot b = 2 2 sina.sinb a+b a−b sin(b − a) sina − sinb = 2cos .sin cot a − cot b = 2 2 sina.sinb � π� � π� sinα + cosα = 2.sin�α + �= 2.cos�α− � � 4� � 4� � π� � π� sinα − cosα = 2sin�α − �= − 2cos�α + � � 4� � 4� 4. Công thức biến đổi tích thành tổng   1 cosa.cosb cos(a b) cos(a b) 2 1 sin a.sin b cos(a b) cos(a b)   2 1 sin a.cosb sin(a b) sin(a b) 2 Trang 58
  4. Lượng giác Trần Sĩ Tùng VẤN ĐỀ 1: Dấu của các giá trị lượng giác Để  xác định dấu của các giá trị  lượng giác của một cung (góc) ta xác định điểm   nhọn của cung (tia cuối của góc) thuộc góc phần tư  nào và áp dụng bảng xét dấu   các GTLG. Bài 1. Xác định dấu của các biểu thức sau: 21π a) A =  sin500.cos(−3000) b) B =  sin2150.tan 7 3π � 2π � 4π π 4π 9π c) C =  cot .sin�− � d) D =  cos .sin .tan .cot 5 � 3� 5 3 3 5 Bài 2. Cho  0 < α < 90 . Xét dấu của các biểu thức sau: 0 0 a) A =  sin(α + 900) b) B =  cos(α − 450) c) C =  cos(2700 − α ) d) D =  cos(2α + 900) π Bài 3. Cho  0 < α < . Xét dấu của các biểu thức sau: 2 a) A =  cos(α + π ) b) B =  tan(α − π ) � 2π � � 3π � c) C =  sin�α+ � d) D =  cos� α− � � 5� � 8� Bài 4. Cho tam giác ABC. Xét dấu của các biểu thức sau: a) A =  sin A + sin B + sinC b) B =  sin A.sinB.sinC A B C A B C c) C =  cos .cos .cos d) D =  tan + tan + tan 2 2 2 2 2 2 Bài 5. a)  Trang 59
  5. Trần Sĩ Tùng Lượng giác VẤN ĐỀ 2: Tính các giá trị lượng giác của một góc (cung) Ta sử dụng các hệ thức liên quan giữa các giá trị lượng giác của một góc, để từ giá   trị lượng giác đã biết suy ra các giá trị lượng giác chưa biết. I. Cho biết một GTLG, tính các GTLG còn lại 1. Cho biết sin , tính cos , tan , cot  Từ  sin2 α + cos2 α = 1    cosα = 1− sin2 α . – Nếu   thuộc góc phần tư I hoặc IV thì  cosα = 1− sin2 α . – Nếu   thuộc góc phần tư II hoặc III thì  cosα = − 1− sin2 α . sinα 1  Tính  tanα = ; cotα = . cosα tanα 2. Cho biết cos , tính sin , tan , cot  Từ  sin2 α + cos2 α = 1    sinα = 1− cos2 α . – Nếu   thuộc góc phần tư I hoặc II thì  sinα = 1− cos2 α . – Nếu   thuộc góc phần tư III hoặc IV thì  sinα = − 1− cos2 α . sinα 1  Tính  tanα = ; cotα = . cosα tanα 3. Cho biết tan , tính sin , cos , cot 1  Tính  cotα = . tanα 1 1  Từ  = 1+ tan2 α     cosα = . cos2 α 1+ tan2 α 1 – Nếu   thuộc góc phần tư I hoặc IV thì  cosα = . 1+ tan2 α 1 – Nếu   thuộc góc phần tư II hoặc III thì  cosα = − . 1+ tan2 α  Tính  sinα = tanα .cosα . 4. Cho biết cot , tính sin , cos , tan 1  Tính  tanα = . cotα 1 1  Từ  2 = 1+ cot α     sinα = 2 . sin α 1+ cot2 α 1 – Nếu   thuộc góc phần tư I hoặc II thì  sinα = . 1+ cot2 α 1 – Nếu   thuộc góc phần tư III hoặc IV thì  sinα = − . 1+ cot2 α II. Cho biết một giá trị lượng giác, tính giá trị của một biểu thức   Cách 1:  Từ  GTLG đã biết, tính các GTLG có trong biểu thức, rồi thay vào biểu   thức.  Cách 2: Biến đổi biểu thức cần tính theo GTLG đã biết III. Tính giá trị một biểu thức lượng giác khi biết tổng – hiệu các GTLG Trang 60
  6. Lượng giác Trần Sĩ Tùng Ta thường sử dụng các hằng đẳng thức để biến đổi: A2 + B 2 = (A + B )2 − 2AB A4 + B 4 = (A2 + B 2)2 − 2A2B 2 A3 + B 3 = (A + B )( A2 − AB + B 2) A3 − B3 = (A − B )(A2 + AB + B 2) IV. Tính giá trị của biểu thức bằng cách giải phương trình  Đặt  t = sin2 x , 0 t 1    cos2 x = t . Thế vào giả thiết, tìm được t.    Biểu diễn biểu thức cần tính theo t và thay giá trị của t vào để tính.  Thiết lập phương trình bậc hai:  t 2 − St + P = 0  với  S = x + y; P = xy . Từ  đó tìm x,   y. Bài 1. Cho biết một GTLG, tính các GTLG còn lại, với: 4 2 π a)  cosa = , 2700 < a < 3600 b)  cosα = ,−
  7. Trần Sĩ Tùng Lượng giác Bài 5. 3 7 a) Cho  3sin4 x + cos4 x = . Tính  A = sin4 x + 3cos4 x . ĐS:  A = 4 4 1 b) Cho  3sin4 x − cos4 x = . Tính  B = sin4 x + 3cos4 x . ĐS: B = 1 2 7 7 57 c) Cho  4sin4 x + 3cos4 x = . Tính  C = 3sin4 x + 4cos4 x . ĐS:  C = �C = 4 4 28 Bài 6. 1 a) Cho  sin x + cos x = . Tính  sin x , cos x , tan x , cot x . 5 b) Cho  tan x + cot x = 4 . Tính  sin x , cos x , tan x , cot x . 4 3 4 3 1 2− 3 ĐS:  a)  ; − ; − ; − b)  ; ; 2 + 3; 2 − 3 5 5 3 4 2 2− 3 2 2− 3 1 hoặc  2 − 3; 2 + 3; ; 2 2 2− 3 Bài 7. a)  VẤN ĐỀ 3: Tính giá trị lượng giác của biểu thức bằng các cung liên kết Sử dụng công thức các góc (cung) có liên quan đặc biệt (cung liên kết). Bài 1. Tính các GTLG của các góc sau: a)  1200; 1350; 1500; 2100; 2250; 2400; 3000; 3150; 3300; 3900; 4200; 4950; 25500 7π 13π 5π 10π 5π 11π 16π 13π 29π 31π b)  9π ; 11π ; ; ;− ; ;− ; ;− ; ; ;− 2 4 4 3 3 3 3 6 6 4 Bài 2. Rút gọn các biểu thức sau: �π � a)  A = cos� + x �+ cos(2π − x ) + cos(3π + x ) �2 � �7π � �3π � b)  B = 2cos x − 3cos(π − x ) + 5sin� − x �+ cot � − x � �2 � �2 � �π � �3π � �π � c) C = 2sin� + x �+ sin(5π − x ) + sin� + x �+ cos� + x � �2 � �2 � �2 � �3π � �3π � d)  D = cos(5π − x ) − sin� + x �+ tan� − x �+ cot(3π − x ) �2 � �2 � Bài 3. Rút gọn các biểu thức sau: sin(−3280).sin9580 cos(−5080).cos(−10220) a)  A = − ĐS: A = –1 cot5720 tan(−2120) sin(−2340) − cos2160 b)  B = .tan360 ĐS:  B = −1 0 0 sin144 − cos126 c)  C = cos200 + cos400 + cos600 + ... + cos1600 + cos1800 ĐS:  C = −1 Trang 62
  8. Lượng giác Trần Sĩ Tùng d)  D = cos2 100 + cos2 200 + cos2 300 + ... + cos2 1800 ĐS:  D = 9 e)  E = sin200 + sin400 + sin600 + ... + sin3400 + sin3600 ĐS:  E = 0 f)  2sin(7900 + x ) + cos(12600 − x ) + tan(6300 + x ).tan(12600 − x ) ĐS:  F = 1+ cos x Bài 4. a)  VẤN ĐỀ 4: Rút gọn biểu thức lượng giác – Chứng minh đẳng thức lượng giác Sử  dụng các hệ  thức cơ  bản, công thức lượng giác để  biến đổi biểu thức lượng   giác. Trong khi biến đổi biểu thức, ta thường sử dụng các hằng đẳng thức. Chú ý: Nếu là biểu thức lượng giác đối với các góc A, B, C trong tam giác ABC thì: A B C π A + B + C = π   và    + + = 2 2 2 2 Bài 1. Chứng minh các đẳng thức sau: a)  sin4 x − cos4 x = 1− 2cos2 x b)  sin4 x + cos4 x = 1− 2cos2 x.sin2 x c)  sin6 x + cos6 x = 1− 3sin2 x.cos2 x d)  sin8 x + cos8 x = 1− 4sin2 x.cos2 x + 2sin4 x.cos4 x e)  cot2 x − cos2 x = cos2 x.cot2 x f)  tan2 x − sin2 x = tan2 x.sin2 x g)  1+ sin x + cos x + tan x = (1+ cos x )(1+ tan x ) h)  sin2 x.tan x + cos2 x.cot x + 2sin x.cos x = tan x + cot x sin x + cos x − 1 2cos x i)  = 1− cos x sin x − cos x + 1 2 1+ sin x k)  = 1+ tan2 x 2 1− sin x Bài 2. Chứng minh các đẳng thức sau: tana + tanb sina cosa 1+ cot2 a a)  tana.tanb = b)  − = cot a + cot b sina − cosa cosa − sina 1− cot2 a 2 2 sin2 a sina + cosa c)  1− sin a − cos a = sina.cosa d)   − = sina + cosa 1+ cot a 1+ tana sina − cosa tan2 a − 1 1+ cosa � (1− cosa)2 � tan2 a 1+ cot2 a 1+ tan4 a e)  1− � �= 2cot a f)  . = sina � sin2 a � 1+ tan2 a cot2 a tan2 a + cot2 a 2 � � tan2 a − tan2 b sin2 a − sin2 b g)  � 1+ sina − 1− sina �= 4tan2 a h)  = 2 2 � 1− sin a 1+ sin a � tan a.tan b sin2 a.sin2 b sin2 a − tan2 a tan3 a 1 cot3 a i)  = tan6 a k)  − + = tan3 a + cot3 a cos2 a − cot2 a sin2 a 2 sina.cosa cos a Trang 63
  9. Trần Sĩ Tùng Lượng giác sin4 x cos4 a 1 sin8 x cos8 x 1 Bài 3. Cho  + = i a, b > 0. , v��  Chứng minh:   + = . 3 3 a b a+b a b (a + b)3 Bài 4. Rút gọn các biểu thức sau: a)  (1− sin2 x )cot2 x + 1− cot2 x b)  (tan x + cot x )2 − (tan x − cot x )2 cos2 x + cos2 x.cot2 x c)  d)  (x.sina − y.cosa)2 + (x .cosa + y.sina)2 2 2 2 sin x + sin x.tan x sin2 x − tan2 x sin2 x − cos2 x + cos4 x e)  f)  cos2 a − cot2 x cos2 x − sin2 x + sin4 x 1+ cos x 1− cos x g)  sin2 x (1+ cot x ) + cos2 x (1+ tan x ) h)  − ; x (0, π ) 1− cos x 1+ cos x 1+ sin x 1− sin x �π π � 2 2 �π 3π � i)  + ; x �� − ; �k)  cos x − tan x − sin x ; x � ; � 1− sin x 1+ sin x �� 2 2 �2 2 � Bài 5. Chứng minh các biểu thức sau độc lập đối với x: a)  3(sin4 x + cos4 x ) − 2(sin6 x + cos6 x ) ĐS: 1 b)  3(sin8 x − cos8 x ) + 4(cos6 x − 2sin6 x ) + 6sin4 x ĐS: 1 c)  (sin4 x + cos4 x − 1)(tan2 x + cot2 x + 2) ĐS: –2 d)  cos2 x.cot2 x + 3cos2 x − cot2 x + 2sin2 x ĐS: 2 sin4 x + 3cos4 x − 1 2 e)  ĐS:  6 6 4 3 sin x + cos x + 3cos x − 1 tan2 x − cos2 x cot2 x − sin2 x f)  + ĐS: 2 sin2 x cos2 x sin6 x + cos6 x − 1 3 g)  ĐS:  sin4 x + cos4 x − 1 2 Bài 6. Cho tam giác ABC. Chứng minh: a)  sin B = sin( A + C ) b)  cos( A + B ) = − cosC A+ B C c)  sin = cos d)  cos(B − C ) = − cos( A + 2C ) 2 2 −3A + B + C e)  cos( A + B − C ) = − cos2C f)  cos = − sin2A 2 A + B + 3C A + B − 2C 3C g)  sin = cosC h)  tan = cot 2 2 2 Bài 7. a)  VẤN ĐỀ 5: Công thức cộng sin(a + b) = sina.cosb + sin b.cosa tana + tanb tan(a + b ) = sin(a − b) = sina.cosb − sinb.cosa 1− tana.tanb cos(a + b) = cosa.cosb − sin a.sin b cos(a − b) = cosa.cosb + sin a.sinb Trang 64
  10. Lượng giác Trần Sĩ Tùng tana − tanb tan(a − b) = 1+ tana.tanb �π � 1+ tanα �π � 1− tanα Hệ quả:    tan� + α �= , tan� − α �= �4 � 1− tanα �4 � 1+ tanα Bài 1. Tính các giá trị lượng giác của các góc sau: π 5π 7π a)  150; 750; 1050 b)  ; ; 12 12 12 Bài 2. Tính giá trị của biểu thức lượng giác, khi biết: � π� 3 π a)  tan� α + �khi sinα = , < α < π ĐS:  38− 25 3 � 3� 5 2 11 �π � 12 3π b)  cos� − α �khi sinα = − , < α < 2π ĐS:  (5− 12 3) �3 � 13 2 26 1 1 119 c)  cos(a + b).cos(a − b) khi cosa = , cosb = ĐS:  − 3 4 144 8 5 d)  sin(a − b), cos(a + b), tan(a + b)  khi  sina = , tanb =  và a, b là các góc nhọn. 17 12 21 140 21 ĐS:  ; ; . 221 221 220 π π e)  tana + tanb, tana, tanb  khi  0< a, b < , a + b =  và  tana.tanb = 3− 2 2 . Từ  đó  2 4 π suy ra a, b . ĐS:  2 2 − 2;  tana = tanb = 2 − 1, a = b = 8 Bài 3. Tính giá trị của các biểu thức lượng giác sau: 3 a) A =  sin2 20o + sin2 100o + sin2 140o ĐS:  2 3 b) B =  cos2 10o + cos110o + cos2 130o ĐS:   2 c) C =  tan20o.tan80o + tan80o.tan140o + tan140o.tan20o ĐS: –3 d) D =  tan10o.tan70o + tan70o.tan130o + tan130o.tan190o ĐS: –3 cot225o − cot79o.cot71o e) E =  ĐS:  3 cot259o + cot251o f) F =  cos2 75o − sin2 75o ĐS:  − 3 2 o 1− tan15 g) G =  ĐS:  3 0 3 1+ tan15 h) H =  tan15 + cot15 0 0 ĐS: 4 HD:  400 = 600 − 200; 800 = 600 + 200 ;  500 = 600 − 100; 700 = 600 + 100 Bài 4. Chứng minh các hệ thức sau: a)  sin(x + y ).sin(x − y ) = sin2 x − sin2 y 2sin(x + y ) b)  tan x + tan y = cos(x + y ) + cos(x − y ) Trang 65
  11. Trần Sĩ Tùng Lượng giác � π� � π � � 2π � � 2π � c)  tan x.tan�x + �+ tan�x + � .tan�x + �+ tan�x + .tan x = − 3 � � 3� � 3� � 3 � � 3� � π� � π� � π � � 3π � 2 d)  cos�x − � .cos�x + �+ cos�x + � .cos�x + �= (1− 3) � 3� � 4� � 6� � 4 � 4 e)  (cos70o + cos50o )(cos230o + cos290o ) +(cos40o + cos160o )(cos320o + cos380o ) = 0 tan2 2x − tan2 x f)  tan x.tan3x = 1− tan2 2x.tan2 x Bài 5. Chứng minh các hệ thức sau, với điều kiện cho trước: a)  2tana = tan(a + b) khi sinb = sina.cos(a + b) b)  2tana = tan(a + b) khi 3sinb = sin(2a + b) 1 c)  tana.tanb = − khi cos(a + b) = 2cos(a − b) 3 1− k d)  tan(a + b).tanb = khi cos(a + 2b) = k cosa 1+ k HD:  a) Chú ý: b = (a+b)–a b) Chú ý: b = (a+b)–a;  2a+b=(a+b)+a c) Khai triển giả thiết d) Chú ý: a+2b=(a+b)+a;  a=(a+b)–b Bài 6. Cho tam giác ABC. Chứng minh: a)  sinC = sin A.cosB + sin B.cos A sinC b)  = tan A + tan B (A, B 900) cos A.cosB c)  tan A + tan B + tanC = tan A.tan B.tanC ( A, B,C 900) d)  cot A.cot B + cot B.cotC + cotC .cot A = 1 A B B C C A e)  tan .tan + tan .tan + tan .tan = 1 2 2 2 2 2 2 A B C A B C f)  cot + cot + cot = cot .cot .cot   2 2 2 2 2 2 cosC cosB g)  cot B + = cotC + ( A 90o ) sin B.cos A sinC.cos A A B C A B C A B C A B C h)  cos .cos .cos = sin sin cos + sin cos sin + cos sin sin 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 A B C A B C i)  sin2 + sin2 + sin2 = 1+ 2sin sin sin 2 2 2 2 2 2 �A B � C HD: a, b, c, d) Sử dụng (A + B) + C = 1800 e, f) Sử dụng  � + �+ = 900 �2 2 � 2 �A B C � g) VT = VP = tanA h) Khai triển  cos� + + � �2 2 2 � �A B C � i) Khai triển  sin� + + �.  �2 2 2 � �B C � A B C A B C Chú ý: Từ  cos� + �= sin     cos .cos = sin + sin .sin �2 2 � 2 2 2 2 2 2 A B C A A B C   sin .cos .cos = sin2 + sin .sin .sin 2 2 2 2 2 2 2 Bài 7. Cho tam giác A, B, C. Chứng minh: a)  tan A + tan B + tanC 3 3, ∀ ∆ ABC nhon �. Trang 66
  12. Lượng giác Trần Sĩ Tùng b)  tan2 A + tan2 B + tan2 C 9, ∀ ∆ ABC nhon �. c)  tan6 A + tan6 B + tan6 C 81, ∀ ∆ ABC nhon �. A B C d)  tan2 + tan2 + tan2 1 2 2 2 A B C e)  tan + tan + tan 3 2 2 2 HD: a, b, c) Sử dụng  tan A + tan B + tanC = tan A.tan B.tanC  và BĐT Cô–si d) Sử dụng  a2 + b2 + c 2 ab + bc + ca   A B B C C A và  tan .tan + tan .tan + tan .tan = 1 2 2 2 2 2 2 2 e) Khai triển  � A B C� �tan + tan + tan � và sử dụng câu c) � 2 2 2� Trang 67
ADSENSE
ADSENSE

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

 

Đồng bộ tài khoản
2=>2