Một số kiến thức cơ bản về Lượng giác

Chia sẻ: Nguyễn Nhật Anh | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:10

Thêm vào BST

Báo xấu

162
lượt xem 23
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tham khảo tài liệu 'một số kiến thức cơ bản về lượng giác', tài liệu phổ thông, toán học phục vụ nhu cầu học tập, nghiên cứu và làm việc hiệu quả

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Một số kiến thức cơ bản về Lượng giác

Một số kiến thức cơ bản về Lượng giác A. Biến đổi lượng giác III. Bảng giá trị lượng giác đặc      cos      cos  cos   sin  sin  sin    cos  I. Hằng đẳng thức lượng giác biệt  2   0  cos      cos  cos   sin  sin  sin 2   cos 2   1(  R)         6 4 3 2 cos    s in  sin      sin  cos   cos  sin   2  sin   sin  0 1 2 3 1    tan   (   k , k  Z ) ta n      cot sin      sin  cos   cos  sin  cos  2 2  2  2 2 tan   tan  cos  cos  1 3 2 1 0 cot         ta n  tan      cot   (  k , k  Z )  2  1  tan  tan  sin  2 2 2 4. Cung hơn kém  :  và  +  tan   tan   tan  0 1 1 3 s i n       s i n  tan      tan  .cot   1(  k , k  Z ) 1  tan  tan  2 3 c o s       c o s  cot  1 1 0 t a n      t a n  2. Công thức nhân đôi, nhân ba 1  3 2  1  tan 2  (   k , k  Z ) 3 c o t      c o t  sin 2  2sin  cos  cos  2   IV. Dấu của các giá trị lượng giác cos 2  cos 2   sin 2  Góc 5. Cung hơn kém :  và +  1 I II III IV 2 2  1  cot 2  (  k , k  Z ) phần tư  2 cos 2   1 sin 2  sin  + + - -   s in     cos  II. Một số chú ý cos  + - - +  2   1  2sin 2  1. Tính tuần hoàn của hàm số tan  + - + -   2 tan  cos      sin  tan 2  lượng giác cot  + - + -  2  1  tan 2  sin   k 2   sin  V. Giá trị lượng giác của các cung   ta n      cot  sin 3  3sin   4sin 3  có liên quan đặc biệt  2  cos   k 2   cos  1. Cung đối nhau:  và -    cos 3  4 cos3   3cos  cot      tan  3. Công thức hạ bậc sin      sin   2  tan   k   tan  VI. Một số công thức lượng giác 1  cos 2 cos     cos  sin 2   1. Công thức cộng: 2 cot   k   cot  tan      tan  1  cos 2 cos 2   (  R, k  Z ) cot      cot  2 2. Giá trị lượng giác 3sin   sin 3 2. Cung bù nhau:  và    sin 3   1  sin  , cos   1(  R) sin      sin  4 cos       cos  3cos   cos3 cos 3   4 tan       tan  cot       cot  4. Công thức biến đổi tích thành  tổng 3. Cung phụ nhau:  và   2
1 1. Phương trình sinx=a  x    k (k  Z ) 3. Công thức diện tích tam cos cos   cos      cos     2  TXĐ: R II. Phương trình lượng giác giác 1 + |a|>1: Pt vô nghiệm thường gặp 1 1 1 sin sin   cos      cos     + |a|  1 pt có dạng S  ab sin C  bc sin A  ac sin B 1. Phương trình bậc nhất, bậc hai, 2  sinx=sin  2 2 2 bậc cao đối với một hàm số lượng 1 1 1 1 giác S  aha  bhb  chc sin cos   sin      sin      x    k 2 2   (k  Z ) Đặt t= hàm số lượng giác 2 2 2 5. Công thức biến đổi tổng thành  x      k 2 (nếu là sinf(x), cosf(x) thì -1  t  1) abc Đặc biệt S tích đưa về phương trình đại số rồi quy 4R    sin x  0  x  k về phương trình lượng giác cơ bản. cos   cos   2cos cos S  p ( p  a )( p  b)( p  c) 2 2  2. Phương trình bậc nhất đối với sin x  1  x   k 2     2 sinx và cosx 4. Công thức đường trung tuyến cos   cos   2sin sin *Dạng 2 2  b2  c2 a2 sin x  1  x    k 2 asinx+bcosx=c 2 ma       2 sin   sin   2sin cos 2. Phương trình cosx=a (a2+b2  0, a,b,c R ) 2 4 2 2 *Điều kiện có nghiệm Tương tự cho cho đường trung TXĐ: R tuyến còn lại     a 2  b2  c 2 sin   sin   2cos sin + |a|>1: Pt vô nghiệm 2 2 + |a|  1 pt có dạng *Cách giải: Chia cả hai vế cho sin(   ) cosx=cos  a 2  b 2 . Đưa vế trái về dạng tan   tan   cos  cos   x    k 2 sin     ; cos      (k  Z ) sin(   )  x    k 2 C. Hệ thức lượng trong tam giác tan   tan   cos  cos  Đặc biệt 1. Định lí hàm số cos 6. Công thức hỗn hợp  a 2  b 2  c 2  2bc cos A cos x  0  x   k   2 sin   cos   2 cos     b 2  a 2  c 2  2ac cos B  4 cos x  1  x  k 2 c 2  a 2  b 2  2ab cos C   cos x  1  x    k 2 2. Định lí hàm số sin  2 sin      4 a b c 3. Phương trình tanx=a    2R   sin A sin B sin C sin   cos   2 sin       4 TXĐ: R\{  k , k  Z } 2   Pt có nghiệm với mọi a   2 cos      4 tanx=tan   x    k (k  Z ) 4. Phương trình cotx=a TXĐ: R\{ k , k  Z } Pt có nghiệm với mọi a B. Phương trình lượng giác cotx=cot  I. Phương trình lượng giác cơ bản
Một số kiến thức cơ bản về Giải tích. A. Đạo hàm và các bài toán liên quan dy=y’dx lim  , lim  , lim  , lim       x x0 x  x0 x  x0 x  x0 I. Bảng đạo hàm IV. Một số kiến thức liên quan đến khảo sát hàm C  '  0 C  '  0 số 4. Bài toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất 1. Sự đồng biến, nghịch biến của hàm số  x  '  nx n n 1  u  '  nu n n 1 .u ' Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trên K: của hàm số + Nếu f’(x) > 0 với mọi x thuộc K thỡ hàm  Để tỡm GTLN, GTNN của hàm số y = f(x) 1 1 1 1  '   2   '   2 .u ' số đồng biến trờn  a; b : x x u u + Nếu f’(x) < 0 với mọi x thuộc K thỡ hàm +B1: Tính đạo hàm của hàm số y’ = f’(x) 1 1 số nghịch biến   x ' 2 x   u ' 2 u .u ' 2. Cực trị của hàm số + B2: Xét dấu đạo hàm f’(x), lập bảng biến thiên Dựa vào 2 qui tắc để tỡm cực trị của hàm số y = f(x)  sin x  '  cos x  sin u  '  u 'cos u Qui tắc I. Qui tắc II. x x0 b a  cos x  '   sin x  cos u  '  u 'sin u B1: Tỡm tập xỏc định. B1: Tỡm tập xỏc định. y' - + 1 u' B2: Tớnh f’(x). Tỡm B2: Tính f’(x). Giải y (tan x) '  (tan u ) '  cỏc điểm tại đó f’(x) = phương trỡnh f’(x) = 0 GTNN cos 2 x cos 2 u 0 hoặc f’(x) không xác và kớ hiệu là xi là cỏc x a x0 b 1 u' định. nghiệm của nú. (cot x) '   2 (cot u ) '   2 y' + - sin x sin u B3. Lập bảng biến B3: Tớnh f ”(xi) y GTLN e  '  e x x e  '  u ' e u u thiờn. B4: Dựa vào dấu của f ” B4: Từ bảng biến thiờn (xi) suy ra cực trị Trong đó tại x0 thỡ f’(x0) bằng 0 hoặc không xác a '  a x x ln a  a  '  a u 'ln a u u suy ra cỏc cực trị ( f ”(xi) > 0 thỡ hàm số định 1 u' cú cực tiểu tại xi; ( f  Để tỡm GTLN, GTNN của hàm số y = f(x)  ln x  '   ln u  '  ”(xi) < 0 thỡ hàm số cú trờn [a; b]: x u cực đại tại xi) 1 u' B1: Tỡm caực giaự trũ xi   a; b (i = 1, 2, ...,  log a x  '   log a u  '  x ln a u ln a 3. Tiệm cận của đồ thị hàm số n) laứm cho ủaùo haứm baống 0 hoaởc Cho hàm số y = f(x) có đồ thị là (C) khoõng xaực ủũnh . II. Quy tắc tính đạo hàm  y = y0 là tiệm cận ngang của nếu một trong B2: Tớnh f (a), f ( x1 ), f ( x2 ),..., f ( xn ), f (b) Cho u=u(x); v=v(x) ta có hai điệu kiên sau được thoả món: B3: GTLN = (u  v)’=u’  v’; (ku)’=ku’; (uv)’=u’v+uv’ lim f ( x)  y0 ,hoÆ lim f ( x)  y0 c max{ f (a), f ( x1 ), f ( x2 ),..., f ( xn ), f (b) } x x  u  u ' v  uv ' GTNN =  '   x = x0 là tiệm cận đứng của (C) nếu một v v2 Min{ f (a), f ( x1 ), f ( x2 ),..., f ( xn ), f (b) } trong các điều kiện sau đựơc thoả món: III. Vi phân: ta có công thức vi phân
B. Nguyên hàm I. Bảng nguyên hàm 2. Phương pháp đổi biến dạng 2: b b  dx  x  C  du  u  C Ta cần tính  f ( x)dx =  g ( ( x)) '  x  dx =I  1  1 a a  x  u x dx  C u dx  C Đặt t=  ( x)  dt   '( x)dx  1  1 dx du x  a  t1   (a )  2 x  x C  2 u  u C x  b  t 2   (b )  ( b) dx 1 du 1  x2   x  C  u2   u  C I=  g (t )dt  (a)  sin xdx   cos x  C  sin udu   cos u  C 3. Phương pháp tích phân từng phần B1. Chọn u, dv tính du, v  cos xdx  sin x  C  cos udx  sin u  C B2. Lắp công thức  cos dx 2  tan x  C  cos du 2  tan u  C  udv  uv   vdu x u b b b  sin dx 2   cot x  C  sin du 2   cot u  C  udv  uv  vdu a a a x u x x u u  e dx  e C  e du  e C III. ứng dụng nguyên hàm tích phân vào diện tích, thể tích a x a u 1. Diện tớch hỡnh phẳng giới hạn bởi đồ thị các b hàm số y = f(x), trục Ox và x u  a dx  ln a  C  a du  ln a  C hai đường thẳng x = a, x = b (a < b ) là S  f ( x ) dx  b 2. Diện tớch hỡnh phẳng giới hạn bởi đồ thị cácahàm số y = f(x), y = g(x) và dx du hai đường thẳng x = a, x = b (a < b ) là S  f ( x)  g ( x ) dx    ln x  C  u  ln u  C x a II. Nguyên hàm, tích phân bằng phương pháp đổi biến 3. Thể tớch khối trũn xoay do hỡnh thang cong giới hạn bởi cỏc dường y = f(x), y = b 1. Phương pháp đổi biến dạng 1: 2 b 0, x = a, x = b (a < b) quay quanh trục Ox tạo thành là V     f ( x )  dx Ta cần tính  f ( x)dx =I a a 4. Thể tớch khối trũn xoay do hỡnh thang cong giới hạn bởi các dường x = g(y), x = Đặt x=  (t )  dx  d   t     '  t  dt d 2  (t )  a  t   0, y = c, y = d (c < d) quay quanh trục Oy tạo thành là V     g ( y)  dy Giải phương trình c  (t )  b  t    I=  f ( (t )) '(t )dt 
6. Chia cho số phức khác 0 Nếu z = a + bi (a, b  ) khác không thì số phức nghịch đảo của z là C. Số phức 1 1. Số phức: Một biểu thức dạng z = a + bi, trong đó a và b là những số thực và z-1= z. 2 i thỏa mãn i 2 = -1 được gọi là một số phức. z a được gọi là phần thực, b được gọi là phần ảo z' z'z i được gọi là đơn vị ảo. Thương của z' cho z khác không là:  z'z-1  . Ta có: z zz Tập các số phức được kí hiệu là  z' z'  z' z' Số phức có phần ảo bằng 0 gọi là số thực nên R  .  ,   . Số phức có phần thực bằng 0 gọi là số ảo. z z  z z 0 = 0 + 0i là số vừa thực vừa ảo. 7. Biểu diễn hình học của số phức 2. Hai số phức bằng nhau Số phức z = a + bi (a, b  ) được biểu diễn bởi M(a; b) trong mặt phẳng z  a+bi (a,b  ) toạ độ Oxy hay còn gọi là mặt phẳng phức. z'  a'+b' i (a',b'  ) Trục Ox biểu diễn các số thực gọi là trục thực, trục Oy biểu diễn các số ảo gọi là trục ảo a  a '  z  z'   Số phức z = a + bi (a, b  ) cũng được biểu diễn bởi vectơ u  (a; b) , do b  b ' đó M(a; b) là điểm biểu diễn của số phức z = a + bi (a, b  ) cũng có nghĩa   3. Cộng, trừ hai số phức là OM biểu diễn số phức đó. z  a+bi (a,b  ) 8. Định nghĩa căn bậc hai của số phức z'  a'+b' i (a',b'  ) Cho số phức w mỗi số phức z thoả mãn z2 = w được gọi là một căn bậc hai của số phức w. z + z'  (a + a' ) + (b + b') i a) Nếu w là số thực z  z'  (a - a') + (b - b' )i + w < 0 thì có hai căn bậc hai:  wi &   wi Số đối của số phức z = a + bi là số phức - z = - a - bi; z + (-z) = 0. 4. Nhân hai số phức + w  0 thì có hai căn bậc hai: w &  w . z  a+bi (a,b  ) b) Nếu w là số phức khi đó ta thực hiện các bước: z'  a'+b' i (a',b'  ) + Giả sử w= a + ib, đặt z = x + iy là một căn bậc hai của w tức là: z 2  w khi zz'  aa ' bb ' (ab ' a ' b)i  x 2  y 2  a (1) đó ta có hệ:  5. Môđun của số phức, số phức liên hợp 2 xy  b (2) z = a +bi (a, b  ) thì môđun của z là z = a 2 +b 2 2 Bình phương 2 vế của (1) và (2) rồi cộng lại ta được x  y  2 a 2  b2 z = a +bi (a, b  ) thì số phức liên hợp của z là z = a - bi.  x 2  y 2  a (1)  Ta có: Do vậy ta được hệ:  2 2 2 2 zz' = z z' , zz  a 2  b2  z 2 x  y  a  b  (2') 2 Giải hệ tìm được x và y 2 suy ra x và y để tìm z. z + z' = z + z', zz'=z z', z = z Chú ý: Theo (2) ta có nếu b > 0 thì x, y cùng dấu. Nếu b < 0 thì x, y trái dấu. z là số thực khi và chỉ khi z = z
9. Công thức nghiệm của phương trình bậc hai hệ số phức Cho PT: ax 2  bx  c  0; (1) (a, b, c  , a  0) và có   b 2  4ac b   b   + Nếu   0 pt có hai nghiệm là x1  ; x2  2a 2a Trong đó  là một căn bậc hai của  . b + Nếu  = 0 thì pt có nghiệm kép: x1  x2   . 2a
Một số kiến thức cơ bản về Hình Học    A. KHÔNG GIAN 4. a.b  x1.x 2  y1 .y 2  z1.z 2 , a  b  x1.x 2  y1.y 2  z1.z 2  0 1. Muốn chứng minh hai đường thẳng trong không gian song song với nhau  2 2 2 C1. Quy hai đường thẳng đồng phẳng và dùng các tính chất của hình phẳng 5. a  x1  y1  z1 như: không có điểm chung, định lí Ta let, góc so le trong….   x1.x 2  y1.y 2  z1.z 2    C2. Dùng tính chất bắc cầu 6. cos(a; b)  với a  0; b  0 2 2 2 2 2 2 C3. Dùng tính chất 3 giao tuyến phân biệt của 3 mặt phẳng phân biệt lần lượt x1  y1  z1 . x 2  y 2  z 2 cắt nhau 3. Tọa độ của một điểm :   2. Muốn chứng minh đường thẳng song song với mặt phẳng: chứng minh * Tọa độ của vectơ OM là tọa độ của điểm M. Như vậy ta có : đường thẳng đó song song với một đường thẳng trong mặt phẳng   OM  (x; y;z)  M  (x ; y ; z) 3. Muốn chứng minh hai mặt phẳng song song: chứng minh hai cặp đường * Cho tứ diện ABCD với : A(xA ; yA ; zA), B(xB ; yB ; zB), C(xC ; yC ; zC) ta cú thẳng cắt nhau nằm trong hai mặt phẳng lần lượt song song với nhau : 4. Muốn chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng: chứng minh   đường thẳng đó vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau trong mặt phẳng 1. AB  (x B  x A ; y B  y A ; z B  z A ) 5. Muốn chứng minh hai mặt phẳng vuông góc : chứng minh đường thẳng  2. AB  AB  (x B  x A ) 2  (y B  y A ) 2  (z B  z A ) 2 nằm trong mặt phẳng này vuông góc với mặt phẳng kia 6. Thể tích các khối 3. M(x M ; y M ) là trung điểm của AB thỡ 1 x  xB y  yB z  zB V K C  Bh ; V K LT  Bh ; xM  A ; yM  A ; zM  A 2 2 2 3 4. G(x G ; yG ; zG ) là trọng tõm của  ABC V K HCN  a .b .c ( B  S day  ; h  Chie `u cao ) ˆ x  xB  xC y  yB  yC z z z thỡ x G  A ; yG  A ; zG  A B C 7. Diện tích thể tích các khối tròn xoay 3 3 3 4 1 5. G(x G ; yG ; zG ) là trọng tõm tứ diện ABCD Scầu = 4R 2 Vcầu = R 3 Vtrụ = Sđáy.h Vnún = Sđáy.h Sxq nún 3 3 thỡ 1 x  x  x  xD y  yB  yC  yD z z z z = CVđáy .l xG  A B C ; yG  A ; zG  A B C D 2 4 4 4 B. PHƯƠNG PHáP TọA Độ TRONG KHÔNG GIAN 4. Tích có hướng của hai vectơ:   I. Các kiến thức mở đầu Cho vectơ a  (x1 ; y1 ; z1 ) , b  (x 2 ; y 2 ; z2 ) khi đó tích có hướng của hai 1. Tọa độ của vectơ trong khụng gian:     vectơ a , b là một vectơ được kí hiệu là [ a , b ] và có toạ độ : Vectơ u  x i  y j  zk  u  (x ; y ; z)   y z z x x y  2. Các phép toán của vectơ:  [a,b]   1 1 ; 1 1 ; 1 1   (y1z2  y2z1;z1x2  z2x1;x1y2  x2y1) Cho hai vectơ a  (x1; y1; z1 ) , b  (x 2 ; y 2 ; z 2 ) , k  R khi đó :  y2 z2 z2 x2 x2 y2    1. a  b  (x1  x 2 ; y1  y 2 ; z1  z 2 )  2. k.a  (kx1; ky1 ; kz1 )        3. a  b  x1  x 2 ; y1  y 2 ; z1  z 2 Chỳ ý:1. Hai vectơ a và b cùng phương khi và chỉ khi [ a, b]  0
      (a.b.c≠ 0) 2. Ba vectơ a , b và c đồng phẳng khi và chỉ khi [ a, b].c  0 4. Vị trí tương đối của hai mặt phẳng:     3. a  [ a, b] và b  [ a, b] (Tích có hướng của hai vectơ là một vectơ Cho hai mặt phẳng: () : A1x + B1 y + C1z + D1 = 0, () : A2x + B2 y + C2z vuông góc với hai vectơ đó) + D2 = 0        () cắt ()  A1 : B1 : C1  A2 : B2 : C2 4. [ a, b]  a . b .sin  với  là góc giữa hai vectơ a vaøb A B C D  () // ()  1  1  1  1  ()  ()  5. Diện tớch tam giỏc, thể tớch của hỡnh hộp, khối tứ diện: A 2 B2 C 2 D 2 1     A1 B1 C1 D1 1. Diện tớch tam giỏc ABC : S ABC   AB, AC     2  A 2 B2 C 2 D2 / / / / 2. Thể tớch của hỡnh hộp ABCD.A B C D :       * ()  ()  AA  BB CC2  0 1 2 1 2 1 VABCD.A/ B/ C / D /   AB, AD  .AA/   5. Khoảng cách từ một điểm M(x0 ; y0 ; z0) đến mặt phẳng () : Ax + By + Cz 1       + D = 0 là: 3. Thể tớch của khối tứ diện ABCD : VABCD   AB, AC .AD Ax 0  By 0  Cz 0  D 6  dM 0 ; ()  6. Phương trỡnh mặt cầu: A 2  B2  C 2 a. Phương trỡnh mặt cầu tõm I(a ; b ; c) bỏn kớnh R cú dạng 6. Gúc giữa hai mặt phẳng: (S): (x – a)2 + (y – b)2 + (z – c)2 = R2. Cho hai mặt phẳng: () : A1x + B1 y + C1z + D1 = 0 b.Phương trỡnh (S) : x2 + y2 + z2 – 2ax – 2by – 2cz + d = 0 (a2 + b2 + c2 – d () : A2x + B2 y + C2z + D2 = 0 > 0) là phương Gọi  là gúc giữa hai mặt phẳng () và () thỡ ta cú: trỡnh mặt cầu tõm I(a ; b ; c), bỏn kớnh : R  a2  b2  c2  d .   | n().n( ) | A1A2  B1B2  C1C2 II.PHƯƠNG TRèNH MẶT PHẲNG  cos =    1. Ph trỡnh mặt phẳng () có vectơ pháp tuyến n  ( A ; B ; C) và đi qua | n() |.| n( ) | A1  B1  C1 . A2  B2 C2 2 2 2 2 2 2 điểm M(x0, y0, z0) III. PHƯƠNG TRèNH ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN cú dạng () : A(x x0 )  B( y y0 )  C(z z0 )  0 2. Phương trỡnh tổng quỏt của mặt phẳng: ():Ax +By+Cz+D= 0(A2+B2+C2 1. Phương trỡnh tham số – Phương trỡnh chớnh tắc:  >0) với Đường thẳng  đi qua M0(x0 ; y0 ; z0), cú VTCP u  (a ; b ; c) thỡ :  n  (A; B; C) là vtpt  x  x 0  at 3.Các trường hợp đặc biệt:  a) Phương trỡnh tham số  :  y  y 0  bt Trong khụng gian (Oxyz) cho (  ):Ax + By + Cz + D = 0 z  z  ct 1) mp  đi qua gốc toạ độ O  D = 0  0 2) mp  song song hoặc chứa Ox  A = 0 x  x 0 y  y 0 z  z0 b) Phương trỡnh chớnh tắc  :   (a.b.c ≠ 0) 3) mp  song song hoặc trựng với (Oxy)  A = B = 0. a b c 4) Phương trỡnh của mặt phẳng theo đoạn chắn: Mặt phẳng () cắt các trục toạ độ Ox, Oy, Oz lần lượt tại các điểm có toạ độ tại 2. Vị trí tương đối của hai đường thẳng: x y z  Đường thẳng 1 đi qua M1(x1 ; y1 ; z1), vectơ chỉ phương u 1  (a 1 ; b1 ; c1 ) các điểm (a ; 0 ; 0), (0 ; b ; 0),(0 ; 0 ; c) có phương trỡnh dạng :   1 a b c
Đường thẳng 2 đi qua M1(x2 ; y2 ; z2), vectơ chỉ phương Cho hai đường thẳng 1 và 2 chộo nhau với 1 đi qua M1(x1 ; y1 ; z1), vectơ   u 2  (a 2 ; b2 ; c2 ) . Khi đó, chỉ phương u 1  (a 1 ; b1 ; c1 ) và 2 đi qua M2 (x2 ; y2 ; z2), vectơ chỉ phương        u1, u2  M1M2  0   a) 1 cắt 2    u 2  (a 2 ; b2 ; c2 )  a1 : b1 : c1  a2 : b2 : c2  Khoảng cách giữa hai đường thẳng 1 và 2 là b) 1 // 2  a1 : b 1 : c1 = a2 : b 2 : c2  (x2 – x1) : (y2 – y1) : (z2 – z1)      c) 1  2  a1 : b 1 : c1 = a2 : b 2 : c2 = (x2 – x1) : (y2 – y1) : (z2 – z1)  u1 ,u2  . M 1M 2   d  1;  2            d) 1 chộo 2   u1 , u 2  M1M 2  0    u1 ,u2    3. Vị trí tương đối giữa đường thẳng và mặt phẳng: 6. Góc giữa hai đường thẳng:  Cho đường thẳng  đi qua M(x0 ; y0 ; z0) có vectơ chỉ phương u  (a ; b ; c)   Đường thẳng 1 có vectơ chỉ phương u 1  (a 1 ; b1 ; c1 ) Mặt phẳng () : Ax + By + Cz + D = 0 cú n  (A ; B ; C) . Khi đó :  Đường thẳng 2 có vectơ chỉ phương u2  (a2 ; b2 ; c2 ) . a)  cắt ()  u và n khụng vuụng gúc  Aa + Bb + Cc  0 Gọi  là góc giữa hai đường thẳng 1 và 2 ta cú b)  // ()  u và n vuông góc và không có điểm chung    Aa  Bb  Cc  0 u1 .u2  a1a2  b1b2  c1c2 Ax 0  By 0  Cz 0  D  0 cos     2 2 2 2 2 2 u1 . u2 a1  b1  c1 . a2  b2  c2 Aa  Bb  Cc  0 c)   ()  u  n và có điểm chung   Ax 0  By 0  Cz 0  D  0 7. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng:  4.Khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng  đi qua M0(x0 ; y0 ; z0) có vectơ Cho đường thẳng  có vectơ chỉ phương u  (a ; b ; c) và mặt phẳng () cú       M 0 M , u   VTPT n  (A ; B ; C) . Gọi  là góc giữa đường thẳng  và (  ). Ta cú : chỉ phương u  (a ; b ; c) là: d(M ;  )     | u| | n. u | Aa  Bb  Cc sin      | n |.| u | A 2  B2  C2 . a2  b2  c2 5. Khoảng cách giữa hai đường thẳng chộo nhau :