Tìm hiểu lý thuyết điều khiển tuyến tính: Phần 2

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:224

Thêm vào BST

Báo xấu

11
lượt xem 6
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tiếp nội dung phần 1, Cuốn sách Lý thuyết điều khiển tuyến tính phần 2 cung cấp cho người đọc những kiến thức như: điều khiển liên tục trong miền thời gian; điều khiển hệ không liên tục. Mời các bạn cùng tham khảo!

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Tìm hiểu lý thuyết điều khiển tuyến tính: Phần 2

3 §iÒu khiÓn liªn tôc trong miÒn thêi gian 3.1 C«ng cô to¸n häc 3.1.1 Nh÷ng cÊu tróc ®¹i sè c¬ b¶n Nhãm Nhãm bao gåm mét tËp hîp V vμ ¸nh x¹ * : V 2 → V , tháa m·n c¸c tÝnh chÊt sau: − NÕu x, y ∈V th× z = x * y còng thuéc V, tøc lμ V kÝn (hay ®ãng) víi *. − Víi mäi x, y , z ∈V bao giê còng cã ( x * y ) * z = x * ( y * z ) , nãi c¸ch kh¸c * cã tÝnh kÕt hîp. − Tån t¹i trong V mét phÇn tö e sao cho x * e = e * x = x ®óng víi mäi x ∈ V . PhÇn tö e ®−îc gäi lμ phÇn tö ®¬n vÞ cña V. −1 − Víi mäi x ∈ V bao giê còng tån t¹i mét phÇn tö x còng thuéc V sao cho −1 −1 −1 x *x=x*x = e . PhÇn tö x ®−îc gäi lμ phÇn tö nghÞch ®¶o cña x. PhÇn tö ®¬n vÞ e lμ duy nhÊt. ThËt vËy, nÕu cã x* e 1 = e 1 * x = x vμ x* e 2 = e 2 * x = x ®óng víi mäi x∈ V th× còng ph¶i cã e 1 = e 2 v×: e1 = e1 * e 2 = e2 −1 −1 Còng t−¬ng tù nh− vËy, nÕu cã hai phÇn tö nghÞch ®¶o x , x cña x th× do cã: −1 −1 −1 −1 −1 −1 −1 −1 x =x *e = x *(x* x ) = (x *x)* x = e* x =x −1 −1 −1 tøc lμ x =x nªn phÇn tö nghÞch ®¶o x còng ph¶i lμ duy nhÊt. 2 NÕu tËp hîp V vμ ¸nh x¹ * : V → V chØ tháa m·n cã hai tÝnh chÊt 1) vμ 2) th× V ®−îc gäi lμ nöa nhãm. Nöa nhãm cã chøa phÇn tö ®¬n vÞ e ®−îc gäi lμ Monoid. §Ó nhÊn m¹nh ¸nh x¹ * t¹o víi tËp V thμnh ®−îc mét nhãm, ta sÏ sö dông ký hiÖu ( V , * ) . Tïy thuéc vμo b¶n chÊt cña * mμ nhãm ( V , * ) cßn cã c¸c tªn kh¸c nhau. VÝ dô nh− nhãm céng, nÕu ¸nh x¹ * lμ phÐp céng +, hoÆc nhãm nh©n nÕu * lμ phÐp nh©n •. Riªng ®èi víi nhãm nh©n, thay v× x • y ta sÏ viÕt ®¬n gi¶n h¬n lμ x y . PhÇn tö ®¬n vÞ e 229
trong nhãm céng cã tªn gäi lμ phÇn tö kh«ng, cßn trong nhãm nh©n th× nã lμ phÇn tö mét. NÕu ¸nh x¹ * trong ( V , * ) cßn cã tÝnh giao ho¸n x* y = y * x víi mäi x, y ∈ V th× ( V , * ) ®−îc gäi lμ nhãm giao ho¸n hay nhãm Abel. Mét tËp con W cña V sÏ lμ mét nhãm con trong ( V , * ) nÕu: − W chøa phÇn tö ®¬n vÞ e cña ( V , * ) . − NÕu cã x, y ∈W th× còng cã x* y −1 ∈W. VÝ dô 3.1: Mét sè nhãm th−êng gÆp − TËp tÊt c¶ c¸c sè nguyªn Z víi phÐp céng lμ mét nhãm Abel. − TËp tÊt c¶ c¸c sè h÷u tû Q víi phÐp céng trªn nã t¹o thμnh nhãm Abel. − TËp c¸c sè h÷u tû kh¸c 0 cïng phÐp nh©n t¹o thμnh nhãm Abel. − TËp c¸c ®a thøc cïng bËc cña biÕn x víi phÐp céng ®a thøc lμ mét nhãm Abel. − TËp c¸c sè thùc kh¸c 0 víi phÐp nh©n lμ mét nhãm Abel. Vμnh 2 Vμnh lμ tËp hîp V víi hai ¸nh x¹ +, •: V → V , tháa m·n: − Víi + th× V lμ mét nhãm ( V , + ) . − Gäi phÇn tö ®¬n vÞ cña ( V , + ) lμ 0 th× cïng víi • tËp V \ { 0} t¹o thμnh nöa nhãm. VÝ dô 3.2: Mét sè vµnh th−êng gÆp − TËp c¸c sè nguyªn Z hay h÷u tû Q víi phÐp céng vμ nh©n t¹o thμnh vμnh. − TËp c¸c sè thùc R víi phÐp céng vμ nh©n lμ mét vμnh. − TËp c¸c vector cïng phÐp tÝnh céng vector vμ phÐp nh©n cã h−íng t¹o thμnh mét vμnh. − TËp tÊt c¶ c¸c ma trËn vu«ng cïng sè hμng/cét víi phÐp céng vμ nh©n ma trËn t¹o thμnh mét vμnh. Tr−êng Tr−êng (field) lμ mét tËp hîp F víi hai ¸nh x¹ +, • : F 2 → F , tháa m·n: − Víi + th× F lμ mét nhãm Abel ( F , + ) . − Gäi phÇn tö ®¬n vÞ cña ( F , + ) lμ 0 th× cïng víi • tËp F \ { 0} còng t¹o thμnh nhãm Abel (F \ { 0} , • ). PhÇn tö ®¬n vÞ cña (F \ { 0} , • ) th−êng ®−îc viÕt lμ 1. − Víi mäi a, b, c ∈ F cã a • ( b + c ) = a • c + a • c . Ta sÏ ký hiÖu tr−êng gåm tËp hîp F vμ hai ¸nh x¹ +, • lμ ( F , + , • ) . Hai phÇn tö 0 vμ 1 ®−îc gäi lμ c¸c phÇn tö kh«ng, phÇn tö mét cña tr−êng ( F , + , • ) . Tuy nhiªn, khi hai phÐp tÝnh + , • ®· x¸c ®Þnh mμ kh«ng sî bÞ nhÇm lÉn th× cã thÓ ký hiÖu ng¾n gän lμ F. 230
VÝ dô 3.3: Mét sè tr−êng th−êng gÆp − TËp c¸c sè h÷u tû Q víi phÐp céng vμ nh©n t¹o thμnh mét tr−êng. − TËp c¸c sè thùc R cïng phÐp céng vμ nh©n t¹o thμnh mét tr−êng. − TËp c¸c sè phøc C cïng phÐp céng vμ nh©n t¹o thμnh mét tr−êng. Kh«ng gian vector Cho mét nhãm Abel ( V , + ) vμ mét tr−êng ( F , + , • ) . NÕu cã ¸nh x¹ ° ®−îc ®Þnh nghÜa cho F × V → V , tøc lμ gi÷a mét phÇn tö x cña V víi mét phÇn tö a cña F, tháa m·n: − a ° x ∈ V víi mäi x ∈ V vμ a ∈ F . − a ° ( b ° x ) = ( a • b ) ° x víi mäi x ∈ V vμ a , b ∈ F . − 1 ° x = x víi mäi x ∈ V . − ( a + b ) ° x = a ° x + b ° x víi mäi x ∈ V vμ a , b ∈ F . − a ° ( x + y ) = a ° x + b ° y víi mäi x, y ∈ V vμ a ∈ F . th× ( V , + ) ®−îc gäi lμ kh«ng gian vector trªn tr−êng ( F , + , • ) . Ta sÏ sö dông ký hiÖu ( V , + , F ) ®Ó chØ kh«ng gian vector V trªn tr−êng F. Kh«ng gian vector ( V , + , F ) cã tÝnh kÝn víi c¸c phÐp biÕn ®æi tuyÕn tÝnh, tøc lμ nÕu x, y ∈ V vμ a, b ∈ F th× a x + b y ∈ V . Bëi vËy nã cßn cã tªn gäi lμ kh«ng gian tuyÕn tÝnh. PhÇn tö cña V ®−îc gäi lμ vector. PhÇn tö kh«ng cña V ®−îc ký hiÖu b»ng 0. ë nhiÒu tr−êng hîp, vμ còng ®Ó ®¬n gi¶n trong c¸ch viÕt, khi mμ tr−êng F cïng c¸c phÐp tÝnh +, •, ° ®· x¸c ®Þnh vμ kh«ng sî bÞ nhÇm lÉn th× thay cho ký hiÖu ( V , + , F ) ®Ó chØ kh«ng gian vector V trªn tr−êng F ta sÏ viÕt ng¾n gän lμ V. Mét tËp c¸c vector x 1 , x 2 , … , x n thuéc kh«ng gian vector V trªn tr−êng F ®−îc gäi lμ ®éc lËp tuyÕn tÝnh nÕu: a1x1+a2x2+ + a n x n = 0 , trong ®ã a 1, a2 , … , an∈F chØ ®óng khi vμ chØ khi a1 = a2 = … = an= 0 , víi 0 lμ phÇn tö kh«ng cña tr−êng F. Cho tËp x 1 , x 2 , … , x n lμ n vector tïy ý cña V (ch−a cÇn ph¶i lμ ®éc lËp tuyÕn tÝnh). Mét vector y t¹o bëi: y = a1x1+a2x2+ +anxn víi a1, a2 , … , an∈F còng thuéc V vμ gäi lμ mét tæ hîp tuyÕn tÝnh cña x 1 , x 2 , … , x n . TËp hîp tÊt c¶ c¸c tæ hîp tuyÕn tÝnh cña x 1 , x 2 , … , x n khi a 1 , a 2 , … , a n ch¹y kh¾p trªn F lμ mét kh«ng gian vector ®Þnh nghÜa trªn cïng tr−êng F (gièng nh− V ) vμ ®−îc ký hiÖu bëi: 231
span( x 1 , x 2 , , xn). Nã ®−îc gäi lμ bao tuyÕn tÝnh cña x 1 , x 2 , … , x n . Do cã thÓ bao tuyÕn tÝnh kh«ng chøa tÊt c¶ c¸c phÇn tö cña V nªn nã chØ lμ mét kh«ng gian vector con n»m trong V. NÕu x 1 , x 2 , … , x n lμ n c¸c vector ®éc lËp tuyÕn tÝnh thuéc V vμ tháa m·n: span( x 1 , x 2 , , xn)=V th× tËp x 1 , x 2 , … , x n ®−îc gäi lμ mét c¬ së cña V. Sè c¸c vector x 1 , x 2 , … , x n trong mét c¬ së cña V ®−îc gäi lμ sè chiÒu (dimension) cña V vμ ký hiÖu b»ng: dim V = n. Nh− vËy, bÊt cø n vector ®éc lËp tuyÕn tÝnh nμo cña mét kh«ng gian vector V víi sè chiÒu n ®Òu cã thÓ lμ mét s¬ së cña V. Còng tõ ®©y ta thÊy sè chiÒu cña mét bao tuyÕn tÝnh t¹o bëi n vector x 1 , x 2 , … , x n (kh«ng b¾t buéc ph¶i ®éc lËp tuyÕn tÝnh) sÏ b»ng sè c¸c vector ®éc lËp tuyÕn tÝnh trong x 1 , x 2 , … , x n vμ do ®ã: dim span( x 1 , x 2 , , xn)≤n. Mét tËp con W cña kh«ng gian vector V x¸c ®Þnh trªn tr−êng F sÏ lμ mét kh«ng gian vector con trong V nÕu: − 0 ∈ W vμ nÕu cã x , y ∈ W th× còng cã x + y ∈ W . − NÕu cã a ∈ F vμ x ∈ W th× còng cã a x ∈ W . Kh«ng gian vector cßn cã tªn gäi kh¸c lμ kh«ng gian tuyÕn tÝnh. Kh«ng gian vector con Mét tËp con W cña kh«ng gian vector V x¸c ®Þnh trªn tr−êng F sÏ lμ mét kh«ng gian vector con trong V nÕu: a) 0∈W. b) NÕu cã x , y ∈ W th× còng cã x + y ∈ W . c) NÕu cã a ∈ F vμ x ∈ W th× còng cã a x ∈ W . Cho mét kh«ng gian vector V x¸c ®Þnh trªn tr−êng F vμ hai kh«ng gian vector con W 1 , W 2 cña nã. VËy th×: 1) a 0 = 0 x = 0 , trong ®ã 0 lμ phÇn tö kh«ng cña V vμ 0 lμ phÇn tö kh«ng cña F . 2) ( − 1 ) x = − x , trong ®ã − 1 lμ phÇn tö ®¬n vÞ cña F vμ − x lμ phÇn tö nghÞch ®¶o cña x . 3) Tõ a x = 0 suy ra hoÆc a = 0 hoÆc x = 0 , trong ®ã 0 lμ phÇn tö kh«ng cña V vμ 0 lμ phÇn tö 0 cña F . 232
4) Tæng S = W 1 + W 2 = { w 1 + w 2 ⏐ w 1 ∈ W 1 vμ w 2 ∈ W 2 } lμ kh«ng gian vector con nhá nhÊt cña V chøa c¶ hai kh«ng gian con W 1 vμ W 2 . 5) NÕu cã S = W 1 + W 2 vμ W 1 ∩ W 2 = { 0 } th× S ®−îc gäi lμ tæng trùc tiÕp cña W 1 vμ W 2 . Tæng trùc tiÕp ®−îc ký hiÖu lμ S = W 1 ⊕ W 2 . NÕu S lμ tæng trùc tiÕp cña W 1 vμ W 2 th× mäi phÇn tö s ∈ S ®Òu ph©n tÝch ®−îc thμnh s = w 1 + w 2 víi w 1 ∈ W 1 , w 2 ∈ W 2 . C¸ch ph©n tÝch ®ã còng lμ duy nhÊt. Khi ®ã w 1 ®−îc gäi lμ h×nh chiÕu cña s lªn W 1 vμ w 2 lμ h×nh chiÕu cña s lªn W 2 . 6) dim( W 1 + W 2 ) = dim( W 1 ) + dim( W 2 ) − dim( W 1 ∩ W 2 ) . 7) NÕu S = W 1 ⊕ W 2 th× dim( S ) = dim( W 1 ) + dim( W 2 ) . §a t¹p tuyÕn tÝnh XÐt kh«ng gian vector V x¸c ®Þnh trªn tr−êng F vμ mét kh«ng gian vector con W cña V. Ký hiÖu v lμ mét phÇn tö cña V (kh«ng b¾t buéc ph¶i thuéc W). Khi ®ã tËp D: D={v+w⏐w∈W} ®−îc gäi lμ ®a t¹p ®−îc sinh ra tõ W. Nh− vËy ®a t¹p tuyÕn tÝnh D cã thÓ kh«ng chøa phÇn tö 0 (nÕu v ≠ 0 ) vμ cã d¹ng song song víi kh«ng gian vector con W. §¹i sè Cho mét kh«ng gian vector ( V , + , F ) trªn tr−êng (F,+, •) vμ ° lμ ¸nh x¹ gi÷a mét phÇn tö x cña V víi mét phÇn tö a cña F. NÕu: − Ngoμi phÐp tÝnh +, cßn cã phÐp tÝnh × trªn V lμm cho tËp V trë thμnh mét vμnh. − a ° ( x × y ) = ( a ° x ) × y víi mäi x , y ∈ V vμ a ∈ F . th× ( V , + , F ) ®−îc gäi lμ ®¹i sè V x¸c ®Þnh trªn tr−êng F. Ngoμi ra, nÕu phÐp tÝnh × trªn V cßn lμ giao ho¸n: x× y = y ×x víi mäi x, y ∈V th× ®¹i sè V ®−îc gäi lμ ®¹i sè giao ho¸n. NÕu ®¹i sè V chøa phÇn tö ®¬n vÞ cña phÐp tÝnh × th× nã ®−îc gäi lμ ®¹i sè cã phÇn tö ®¬n vÞ. TÊt nhiªn nÕu tån t¹i th× phÇn tö ®¬n vÞ nμy lμ duy nhÊt. Ideale Cho mét ®¹i sè giao ho¸n V x¸c ®Þnh trªn tr−êng F víi hai phÐp + vμ × trªn V. Mét Ideale ®−îc hiÓu lμ mét kh«ng gian vector con M cña V tháa m·n: “NÕu cã x ∈ V vμ y ∈ M th× còng cã x × y = y × x ∈ M ” . 233
3.1.2 §¹i sè ma trËn Ma trËn lμ mét tËp hîp A gåm h÷u h¹n m×n c¸c sè thùc (R), hoÆc phøc (C) ký hiÖu lμ a i j , i = 1 , 2 , … , m ; j = 1 , 2 , … , n , ®−îc s¾p xÕp theo hμng/cét nh− sau: ⎛ a11 a12 a1n ⎞ ⎜ ⎟ ⎜a a22 a2n ⎟ hμng thø 2 A = ⎜ 21 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜a a m2 amn ⎟ ⎝ m1 ⎠ cét thø n Theo c¸ch s¾p xÕp nh− vËy th× phÇn tö ai j cña A sÏ n»m ë hμng thø i vμ cét thø j. Do A cã m×n phÇn tö thuéc R (hoÆc C) nh− vËy mμ nhiÒu khi ng−êi ta cßn dïng ký ×n ×n hiÖu A ∈ R m (hoÆc A ∈ C m ) ®Ó chØ mét ma trËn A cã m hμng, n cét (cã kiÓu m×n). NÕu nh− c¸ch biÓu diÔn hμng/ cét ë trªn ®· ®−îc thèng nhÊt vμ kh«ng sî bÞ nhÇm ta cã thÓ viÕt mét ma trËn A ng¾n gän h¬n: A = ( a ij ) , i =1,2, … , m vμ j =1,2, … , n . Mét ma trËn A=(ai j ) cã sè hμng b»ng sè cét ®−îc gäi lμ ma trËn vu«ng. §−êng chÐo nèi c¸c phÇn tö ai i (chØ sè hμng b»ng chØ sè cét) trong ma trËn vu«ng ®−îc gäi lμ ®−êng chÐo chÝnh. §−êng chÐo cßn l¹i ®−îc gäi lμ ®−êng chÐo phô. Mét ma trËn vu«ng A = ( a i j ) cã a i j = 0 khi i ≠ j , tøc lμ c¸c phÇn tö kh«ng n»m trªn ®−êng chÐo chÝnh ®Òu b»ng 0, ®−îc gäi lμ ma trËn ®−êng chÐo. Ma trËn ®−êng chÐo ®−îc ký hiÖu bëi A = diag(ai i ). Ma trËn ®−êng chÐo I = diag(1) ®−îc gäi lμ ma trËn ®¬n vÞ. Mét vector cã n phÇn tö: ⎛ x1 ⎞ ⎜ ⎟ x =⎜ ⎟ ⎜x ⎟ ⎝ n⎠ ®−îc xem lμ ma trËn cã n hμng vμ 1 cét. NÕu ghÐp chung c¸c phÇn tö trªn cét thø j cña ma trËn A = ( a i j ) , i = 1 , 2 , … , m ; j = 1 , 2 , … , n l¹i víi nhau ®Ó thμnh vector: ⎛ a1 j ⎞ ⎜ ⎟ cj= ⎜ ⎟, ⎜a ⎟ ⎝ mj ⎠ gäi lμ vector cét, th× A sÏ cã d¹ng: A =(c1, c2, , cn). 234
C¸c phÐp tÝnh víi ma trËn 1) PhÐp céng / trõ: Cho hai ma trËn A =( a ij ) vμ B =( b ij ) cïng cã m hμng n cét. Tæng hay hiÖu cña chóng ®−îc ®Þnh nghÜa lμ A ± B =( a ij ± b ij ). Râ rμng lμ phÐp céng/trõ chØ thùc hiÖn ®−îc víi nh÷ng ma trËn cã cïng sè hμng vμ cïng sè cét. Nh÷ng ma trËn nh− vËy ®−îc gäi lμ ma trËn cïng kiÓu. 2) PhÐp nh©n víi sè thùc (phøc): Cho ma trËn A =( a ij ) cã m hμng, n cét vμ mét sè v« h−íng thùc (phøc) x tïy ý. TÝch x A ®−îc hiÓu lμ ma trËn xA =( xa ij ) vμ A x ®−îc hiÓu lμ Ax =( a ij x ). HiÓn nhiªn cã x A = A x . 3) PhÐp chuyÓn vÞ: Ma trËn chuyÓn vÞ cña ma trËn A = ( a i j ) víi m hμng, n cét lμ ma trËn AT=(aj i ) cã n hμng, m cét, ®−îc t¹o tõ A qua viÖc ho¸n chuyÓn hμng thμnh cét T T vμ ng−îc l¹i cét thμnh hμng. Nh− vËy ta lu«n cã ( A ) = A . T Mét ma trËn A tháa m·n A = A ®−îc gäi lμ ma trËn ®èi xøng. Mét ma trËn ®èi xøng ph¶i lμ ma trËn vu«ng. NÕu ghÐp chung c¸c phÇn tö trªn hμng thø i cña ma trËn A=(ai j ) l¹i víi nhau thμnh vector hT =( a i 1 , a i 2 , … , a in ), gäi lμ vector hμng, th× ma trËn A sÏ viÕt ®−îc i ⎛ hT ⎞ ⎜ 1 ⎟ thμnh A = ⎜ ⎟ hay A T = ( h 1 , h 2 , , hn). ⎜ T⎟ ⎜h ⎟ ⎝ m⎠ ⎛ A B⎞ T ⎛ AT CT ⎞ PhÐp chuyÓn vÞ cña ma trËn khèi: ⎜ ⎟ =⎜ T ⎜B ⎟ ⎝ C D⎠ ⎝ DT ⎟ ⎠ 4) PhÐp nh©n: Cho ma trËn A = ( a i k ) cã m hμng p cét vμ ma trËn B = ( b k j ) cã p hμng n cét. TÝch A B = C = ( c i j ) cña chóng lμ mét ma trËn cã m hμng, n cét víi c¸c phÇn tö p ∑ aikbkj = ai b j T c ij = k =1 trong ®ã ai lμ vector hμng thø i cña A vμ bj lμ vector cét thø j cña B (hμng thø i cña A nh©n víi cét thø j cña B). Hai ma trËn A, B chØ cã thÓ ®−îc nh©n víi nhau thμnh AB nÕu sè cét cña ma trËn A b»ng sè hμng cña ma trËn B. Cã thÓ thÊy ngay ®−îc tËp c¸c ma trËn, kÕt hîp víi phÐp céng / nh©n ma trËn vμ phÐp nh©n víi sè thùc (phøc) t¹o thμnh mét ®¹i sè. §ã còng lμ lý do t¹i sao ng−êi ta gäi lμ ®¹i sè ma trËn. ×n T T Mét ma trËn vu«ng A ∈ R n ®−îc gäi lμ ma trËn trùc giao nÕu A A = A A = I . Hai T vector a vμ b ®−îc gäi lμ trùc giao víi nhau nÕu a b = 0 . Vector e i chØ cã phÇn tö thø i b»ng 1, c¸c phÇn tö kh¸c b»ng 0, ®−îc gäi lμ vector ®¬n vÞ. 235
PhÐp nh©n ma trËn th−êng kh«ng giao ho¸n ( AB ≠ BA ). Nã cã tÝnh chÊt: T T T a) (AB) = B A . b ) A ( B + C ) = A B + A C vμ (A+B)C = AC+BC. c) A = A I = I A , víi I lμ ma trËn ®¬n vÞ. d) eT A e j = ai j , tøc lμ b»ng phÇn tö thø i j cña A. i e ) A e j = cj , tøc lμ b»ng vector cét thø j cña A. f) e T A = h T , tøc lμ b»ng vector hμng thø i cña A. i i ⎛ A B⎞⎛ E F ⎞ ⎛ AE + BG AF + BH ⎞ g) ⎜ ⎟⎜ ⎟=⎜ ⎟ ⎝ C D⎠ ⎝G H ⎠ ⎝ CE + DG CF + DH ⎠ Chó ý: Víi hai ma trËn A , B giao ho¸n, tøc lμ tháa m·n AB = BA sÏ cßn cã: m+n a) A =AmAn n m n b) (AB) =A B c) AmBn=BnAm n n! d) ( A + B )n = ∑ Cn A k Bn − k víi Cn = k k k=0 k !( n − k)! e) A2−B2=(A−B)(A+B) §Þnh thøc cña ma trËn Cho ma trËn vu«ng A = ( a i j ) , i , j = 1 , 2 , … , n kiÓu ( n × n ) . Gi¸ trÞ thùc (phøc): det(A) = a11det(A11) − a12det(A12) + + (−1)n+1a1ndet(A1n) n n = ∑ ( −1)i+ j aij det( Aij ) = ∑ ( −1)i+ j aij det( Aij ) j =1 i =1 ®−îc gäi lμ ®Þnh thøc cña ma trËn A, trong ®ã Ai j lμ ma trËn kiÓu (n−1×n−1) thu ®−îc tõ A b»ng c¸ch bá ®i hμng thø i vμ cét thø j, tøc lμ bá ®i hμng vμ cét chøa phÇn tö a i j . VÝ dô: ⎛ a11 a12 a1n ⎞ ⎛ a22 a23 a2n ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜a a22 a2n ⎟ ⎜a a33 a3n ⎟ A = ⎜ 21 ⎟ ⇒ A11 = ⎜ 32 ⎟. ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜a an2 ann ⎟ ⎜a an3 ann ⎟ ⎝ n1 ⎠ ⎝ n2 ⎠ C«ng thøc tÝnh ®Þnh thøc trªn ®−îc gäi lμ c«ng thøc tæng qu¸t. ChØ cã ma trËn vu«ng míi cã ®Þnh thøc. Theo c«ng thøc tæng qu¸t th× ®Þnh thøc cña ma trËn vu«ng cã n hμng vμ cét ®−îc x¸c ®Þnh truy håi tõ ®Þnh thøc c¸c ma trËn cã sè hμng cét Ýt h¬n lμ n−1. B¾t ®Çu tõ ma trËn kiÓu (1×1) ta cã: 236
det( a 11 ) = a 11 §Þnh thøc cña mét ma trËn vu«ng A = ( a i j ) thuéc kiÓu ( n × n ) cã c¸c tÝnh chÊt sau: − A lμ ma trËn suy biÕn khi vμ chØ khi det(A) = 0. Nh− vËy, nÕu A cã hai hμng hoÆc hai cét phô thuéc tuyÕn tÝnh (vÝ dô gièng nhau) th× det(A) = 0. Tõ ®©y vμ cïng víi c«ng thøc tÝnh ®Þnh thøc tæng qu¸t, ta cã: n ⎧det( A ) nÕu k = i ⎪ ∑ ( −1)i+ j akj det( Aij ) = ⎨ j =1 ⎪0 nÕu k ≠ i ⎩ − Mét ma trËn vu«ng A = ( a i j ) , i , j = 1 , 2 , … , n cã ai j = 0 khi i > j (hoÆc i < j ) ®−îc gäi lμ ma trËn tam gi¸c, v× cã c¸c phÇn tö n»m d−íi (hoÆc trªn) ®−êng chÐo chÝnh ®Òu b»ng 0. §Þnh thøc cña ma trËn tam gi¸c b»ng tÝch c¸c phÇn tö trªn ®−êng chÐo chÝnh. − Gäi A" lμ ma trËn thu ®−îc tõ A b»ng c¸ch nh©n c¸c phÇn tö cña mét cét hoÆc mét hμng víi sè thùc (hoÆc phøc) λ th× det(A " ) = λdet(A ). − Cho ma trËn vu«ng A cã kiÓu ( n × n ) vμ mét sè thùc (phøc) λ. VËy th×: det( λ A ) = λ n det( A ) . − §Þnh thøc cña ma trËn kh«ng bÞ thay ®æi khi ta thay mét cét (hμng) b»ng tæng cña nã víi mét cét (hay hμng) bÊt kú kh¸c: ⎛A A2 ⎞ ⎛ A ± A2 A2 ⎞ ⎛ A ± A3 A2 ± A4 ⎞ det ⎜ 1 ⎜A ⎟ = det ⎜ 1 ⎟ = det ⎜ 1 ⎟ ⎝ 3 A4 ⎟ ⎠ ⎜A ± A ⎝ 3 4 A4 ⎟ ⎠ ⎜ A ⎝ 3 A4 ⎟ ⎠ − (C«ng thøc cña Schur): NÕu A1, A2, A3, A4 lμ c¸c ma trËn lμ nh÷ng ma trËn cã kiÓu phï hîp vμ Θ lμ ma trËn cã c¸c phÇn tö 0, th×: ⎛A A2 ⎞ ⎛A A2 ⎞ − det ⎜ 1 ⎜A ⎟ = det ⎜ 1 ⎟ = det(A 1 )det(A 4 − A 3 A1 1 A 2 ), ⎝ 3 A4 ⎟ ⎠ ⎜Θ ⎝ A4 − A3 A1 1 A2 ⎟ − ⎠ T − det( A ) = det(A ) − det(A B ) = det(A )⋅det(B ) − Gäi A' lμ ma trËn thu ®−îc tõ A b»ng c¸ch ®æi chç hai vector hμng hoÆc hai vector cét th× det( A ) = − det( A ' ) . VÒ ý nghÜa h×nh häc th× ®Þnh thøc cña ma trËn 2×2: ⎛p p2 ⎞ A=⎜ 1 ⎟ , tøc lμ det( A )= p 1 q 2 − q 1 p 2 ⎝ q1 q2 ⎠ ⎛p ⎞ ⎛q ⎞ chÝnh lμ phÇn diÖn tÝch tam gi¸c cã ba ®Ønh lμ ®iÓm P = ⎜ 1 ⎟ , Q = ⎜ 1 ⎟ vμ gèc täa ®é 0, ⎝ p2 ⎠ ⎝ q2 ⎠ trong ®ã chiÒu quay cña vector tõ P tíi Q lμ ng−îc kim ®ång hå. 237
H¹ng cña ma trËn XÐt ma trËn A = ( a i j ) , i = 1 , 2 , … , m ; j = 1 , 2 , … , n bÊt kú (cã kiÓu m × n ) vμ gäi h i , i = 1 , 2 , … , m lμ c¸c vector hμng còng nh− c j , j = 1 , 2 , … , n lμ c¸c vector cét cña A. NÕu trong sè m vector hμng h i cã nhiÒu nhÊt p ≤ m vector ®éc lËp tuyÕn tÝnh vμ trong sè n vector cét c j cã nhiÒu nhÊt q ≤ n vector ®éc lËp tuyÕn tÝnh th× h¹ng cña ma trËn ®−îc hiÓu lμ: Rank(A ) = min { p , q } . Mét ma trËn vu«ng A kiÓu ( n × n ) sÏ ®−îc gäi lμ kh«ng suy biÕn nÕu Rank( A ) = n . Ng−îc l¹i nÕu Rank( A ) < n th× A ®−îc nãi lμ ma trËn suy biÕn. H¹ng cña ma trËn cã c¸c tÝnh chÊt sau: − Rank(A ) = min { p , q } = p = q . − Rank(A B ) ≤ Rank(A ) vμ Rank(A B ) ≤ Rank(B ). − Rank(A + B ) ≤ Rank(A ) + Rank(B ). − NÕu A kh«ng suy biÕn th× Rank(A B ) = Rank(B ). T − NÕu A thuéc kiÓu ( m × n ) víi m ≤ n vμ Rank( A ) = m th× tÝch A A lμ ma trËn vu«ng T kiÓu ( m × m ) kh«ng suy biÕn víi Rank( A A ) = m . Ma trËn nghÞch ®¶o Cho ma trËn A =( a ij ), i =1,2, … , m ; j =1,2, … , n , trong ®ã a ij lμ nh÷ng sè thùc ×n ×n (hoÆc phøc), nãi c¸ch kh¸c A ∈ R m (hoÆc A ∈ C m ). NÕu tån t¹i mét ma trËn B tháa m·n: AB = BA = I (ma trËn ®¬n vÞ), − th× ma trËn B ®−îc gäi lμ ma trËn nghÞch ®¶o cña A vμ ký hiÖu lμ B = A 1. −1 − Do ph¶i tån t¹i c¶ hai phÐp nh©n A A vμ A 1A cho ra kÕt qu¶ cã cïng kiÓu nªn ma trËn A ph¶i lμ mét ma trËn vu«ng, tøc lμ ph¶i cã m = n . H¬n n÷a do det( I ) = 1 ≠ 0 nªn A ph¶i lμ ma trËn kh«ng suy biÕn. −1 Ma trËn nghÞch ®¶o A cña A cã c¸c tÝnh chÊt sau: −1 − A lμ phÇn tö nghÞch ®¶o duy nhÊt cña A −1 − − − T − − (A B )= B 1A 1 vμ ( A 1 ) = ( A T ) 1 − Aadj − A 1= , víi ma trËn bï Aadj lμ ma trËn cã c¸c phÇn tö aij = (−1)i+jdet( A j i ) det( A ) vμ A j i lμ ma trËn thu ®−îc tõ A b»ng c¸ch bá ®i hμng thø j vμ nh− cét thø i (phÇn tö ë vÞ trÝ ®èi xøng víi aij ). 238
−1 ⎛1 ⎞ − NÕu A = diag(a i ) vμ kh«ng suy biÕn th× A = diag ⎜ ⎜a ⎟ ⎟ ⎝ i ⎠ − − Víi E ij lμ ma trËn lÊy tõ I sau khi ®æi chç hai hμng i vμ j th× Eij1 = Eij − Ký hiÖu E k (a) lμ ma trËn lÊy tõ I sau khi nh©n hμng thø k cña I víi a. Khi ®ã sÏ − cã Ek 1 ( a) = Ek ( − a) ⎛ A1 A2 ⎞ − (C«ng thøc Frobenius) Cho ma trËn vu«ng A = ⎜ ⎜A ⎟ kh«ng suy biÕn, trong ®ã ⎝ 3 A4 ⎟ ⎠ A1, A2, A3 , A4 còng lμ c¸c ma trËn. Khi ®ã sÏ cã: − a) NÕu A 1 kh«ng suy biÕn vμ B = A4 − A3 A1 1 A2 còng kh«ng suy biÕn th× −1 −1 ⎛A A2 ⎞ ⎛ A −1 + A −1 A B −1 A A −1 − A1 1 A2 B −1 ⎞ − A = ⎜ 1 ⎜A ⎟ =⎜ 1 1 2 3 1 ⎟ ⎝ 3 A4 ⎟ ⎠ ⎜ ⎝ − B −1 A3 A1 1 − B −1 ⎟ ⎠ − b) NÕu A 4 kh«ng suy biÕn vμ C = A1 − A2 A4 1 A3 còng kh«ng suy biÕn th× −1 −1 ⎛A A2 ⎞ ⎛ C −1 − C −1 A2 A4 1 − ⎞ A = ⎜ 1 ⎜A ⎟ =⎜ ⎟ ⎝ 3 A4 ⎟ ⎠ ⎜ − A −1 A C −1 ⎝ 4 3 − A4 1 + A4 1 A3 C −1 A2 A4 1 ⎟ − − ⎠ A −1bc T A−1 ( ) −1 5) (C«ng thøc Sherman−Morrison) A + bc T = A −1 − 1 + c T A −1b ( ) −1 −1 6) (C«ng thøc Sherman−Morrison−Woodbury) ( A + BC ) = A −1 − A −1 B I + CA −1 B CA −1 ( ) ( ) −1 −1 7) (C«ng thøc Hemes) A + BC −1 D = A −1 − A −1 B C + DA −1 B DA −1 ×n −1 Ma trËn vu«ng A∈Rn kh«ng suy biÕn ®−îc gäi lμ trùc giao nÕu A T =A . ë ma trËn trùc giao, c¸c vector cét vu«ng gãc víi nhau vμ còng nh− vËy, c¸c vector hμng lμ vu«ng gãc víi nhau. VÕt cña ma trËn Cho ma trËn vu«ng A=(a ij ), i,j=1,2, … , n kiÓu ( n × n ) . VÕt cña A ®−îc hiÓu lμ tæng gi¸ trÞ c¸c phÇn tö trªn ®−êng chÐo chÝnh cña A vμ ®−îc ký hiÖu b»ng trace( A ) : n trace( A ) = ∑ aii i =1 VÕt cña ma trËn cã c¸c tÝnh chÊt: n n n n − trace( AB) = ∑ ∑ aij b ji = ∑ ∑ b ji aij = trace( BA ) i =1 j =1 j =1 i =1 −1 − trace( S A S ) = trace(A ), víi S lμ ma trËn vu«ng kh«ng suy biÕn bÊt kú. 239
Ma trËn lμ mét ¸nh x¹ tuyÕn tÝnh XÐt hÖ ph−¬ng tr×nh tuyÕn tÝnh gåm m ph−¬ng tr×nh vμ n Èn: a11x1 + a12x2 + + a1nxn = y1 a21 x1 + a22 x2 + + a2nxn = y2 am1x1 + am2 x2 + + amnxn = ym Sö dông ký hiÖu: ⎛ x1 ⎞ ⎛ y1 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ x = ⎜ ⎟ ∈Rn, y= ⎜ m ⎟ ∈R , ⎜x ⎟ ⎜y ⎟ ⎝ n⎠ ⎝ m⎠ hÖ ph−¬ng tr×nh trªn viÕt ®−îc thμnh: ⎛ a11 a12 a1n ⎞ ⎜ ⎟ ⎛ x1 ⎞ ⎛ y1 ⎞ ⎜ a21 a22 a2n ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟=⎜ ⎟ ⇔ Ax = y ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜x ⎟ ⎜y ⎟ ⎜a am2 amn ⎟ ⎝ n⎠ ⎝ m⎠ ⎝ m1 ⎠ x y A Nh− vËy ma trËn A chÝnh lμ mét ¸nh x¹ y = f ( x ) = A x vμ ¸nh x¹ f : R n → R m nμy tháa m·n tÝnh chÊt tuyÕn tÝnh: f ( a1 x1 + a p x2 + + a p x p ) = a1 f ( x1 ) + a2 f ( x2 ) + + ap f ( x p ) trong ®ã a 1 , a 2 , … , a p lμ nh÷ng sè thùc/phøc (hoÆc phÇn tö cña mét tr−êng F) nªn nã ®−îc gäi lμ ¸nh x¹ tuyÕn tÝnh. PhÐp biÕn ®æi t−¬ng ®−¬ng ×n Ta ®· ®−îc biÕt ma trËn A ∈ R n lμ mét h×nh thøc biÓu diÔn ¸nh x¹ tuyÕn n n tÝnh f : R → R . Tuy nhiªn c¸ch biÓu diÔn ®ã phô thuéc vμo bé c¸c vector c¬ së e1 , e2 , … , en ®−îc chän. Gi¶ sö s 1 , s 2 , … , s n lμ mét c¬ së kh¸c cña Rn ngoμi e 1 , e 2 , … , e n . Mçi vector s i l¹i cã d¹ng biÓu biÔn theo c¬ së cò e 1 , e 2 , … , e n nh− sau: ⎛ s11 ⎞ ⎛ s12 ⎞ ⎛ s1n ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ s1 = ⎜ ⎟, s2 = ⎜ ⎟, … , sn= ⎜ ⎟ ⎜s ⎟ ⎜s ⎟ ⎜s ⎟ ⎝ n1 ⎠ ⎝ n2 ⎠ ⎝ nn ⎠ V× s 1 , s 2 , … , s n lμ n vector ®éc lËp tuyÕn tÝnh trong Rn nªn mäi vector x trong Rn ®Òu cã d¹ng phô thuéc tuyÕn tÝnh theo chóng, tøc lμ: 240
⎛ x1 ⎞ ⎛ r1 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ x = ⎜ ⎟ = r1s1+ r2s2+ + rnsn = ( s1 s2 sn ) ⎜ ⎟ ⎜x ⎟ ⎜r ⎟ ⎝ n⎠ S ⎝ n⎠ Bé sè thùc r 1 , r 2 , … , r n ®−îc gäi lμ täa ®é cña x theo c¬ së míi s 1 , s 2 , … , s n . VËy muèn biÓu diÔn x theo täa ®é míi ta cã phÐp biÕn ®æi: ⎛ r1 ⎞ ⎛ x1 ⎞ ⎜ ⎟ −1 ⎜ ⎟ ⎜ ⎟= S ⎜ ⎟. ⎜r ⎟ ⎜x ⎟ ⎝ n⎠ ⎝ n⎠ Víi c¸ch biÓu diÔn x theo c¬ së míi nμy, ¸nh x¹ f : Rn → Rm còng cã d¹ng míi: ⎛ x1 ⎞ ⎛ r1 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ y = ( f ( e1 ) f ( e2 ) f ( en ) ) ⎜ ⎟ = A S ⎜ ⎟ , ⎜x ⎟ ⎜r ⎟ A ⎝ n⎠ ⎝ n⎠ nãi c¸ch kh¸c A S còng lμ ma trËn m« t¶ f : Rn → Rn nh−ng theo c¬ së s 1 , s 2 , … , s n trong Rn cho x . Tuy x ®· ®−îc biÓu diÔn theo c¬ së míi s1 , s2 , … , sn nh−ng ¶nh y cña nã l¹i vÉn theo c¬ së cò e 1 , e 2 , … , e n . §Ó chuyÓn y theo c¬ së s1 , s2 , … , sn ta l¹i lμm gièng nh− ®· lμm víi x vμ ®i ®Õn d¹ng t−¬ng ®−¬ng cho f : Rn → Rn theo c¬ së míi s1 , s2 , … , sn nh− sau: −1 S AS. −1 C¸c phÐp biÕn ®æi ma trËn A thμnh S A S , trong ®ã S lμ mét ma trËn vu«ng kh«ng suy biÕn bÊt kú, ®−îc gäi lμ phÐp biÕn ®æi t−¬ng ®−¬ng. Kh«ng gian nh©n vμ kh«ng gian ¶nh cña ma trËn ×n Cho ma trËn A ∈ R m biÓu diÔn ¸nh x¹: n y = A x víi x ∈ R vμ y ∈ R m Khi ®ã: − TËp hîp Ker{ A } = { x ∈ X ⏐ y = A x = 0 ∈ R m } ®−îc gäi lμ nh©n cña ma trËn A . − TËp hîp Im{ f } = { y ∈ Y ⏐ ∃ x ∈ X : y = A x } ®−îc gäi lμ tËp ¶nh cña A. − Im( A ) lμ mét kh«ng gian vector con trong Rm. Nãi c¸ch kh¸c nÕu cã y ∈ Im( A ) 1 vμ y ∈ Im( A ) th× còng ph¶i cã a y + b y ∈ Im( A ) , víi a, b lμ hai sè thùc bÊt kú. 2 1 2 − Rank( A ) = dim Im( A ) . − dim Im( A ) + dim Ker( A ) = n. 241
− Víi ma trËn vu«ng A kiÓu ( n × n ) , th× Im( A ) vμ Ker( A ) sÏ lμ hai kh«ng gian con cña Rn. Mäi phÇn tö x ∈ Rn ®Òu ph©n tÝch ®−îc thμnh tæng x = x1 + x2, trong ®ã x 1 ∈ Im( A ) vμ x 2 ∈ Ker( A ) . H¬n n÷a viÖc ph©n tÝch ®ã lμ duy nhÊt. − NÕu ma trËn vu«ng A cã kiÓu ( n × n ) lμ ®èi xøng th× Im( A ) vμ Ker( A ) lμ hai kh«ng gian trùc giao víi nhau, tøc lμ víi mäi phÇn tö y ∈ Im( A ) , x ∈ Ker( A ) ta T lu«n cã yT x = x y = 0. Gi¸ trÞ riªng vμ vector riªng Cho ma trËn A. Mét sè thùc (phøc) λ ®−îc gäi lμ gi¸ trÞ riªng vμ vector x ®−îc gäi lμ vector riªng bªn ph¶i øng víi gi¸ trÞ riªng λ cña A, nÕu chóng tháa m·n: λx = Ax ®óng víi mäi x ⇔ (λI−A)x = 0 §Ó cho ph−¬ng tr×nh trªn cã nghiÖm x ≠ 0 th× ( λ I − A ) ph¶i lμ ma trËn suy biÕn, tøc lμ λ ph¶i lμm cho ®Þnh thøc cña ma trËn ( λ I − A ) b»ng 0. §Þnh thøc det( λ I − A ) cña ma trËn ( λ I − A ) ®−îc gäi lμ ®a thøc ®Æc tÝnh cña ma trËn A. Gi¸ trÞ riªng vμ vector riªng cña ma trËn A cã nh÷ng tÝnh chÊt sau: − (Cayley−Hamilton) NÕu ®a thøc ®Æc tÝnh cña ma trËn A cã d¹ng: −1 det( λ I − A ) = p(λ ) = λ n + an−1λ n + … + a 1 λ + a0 th× còng cã −1 p(A) = An+an−1An + … +a1A+a0I = Θ, trong ®ã Θ lμ ký hiÖu chØ ma trËn cã tÊt c¶ c¸c phÇn tö b»ng 0. − NÕu khai triÓn ®a thøc ®Æc tÝnh thμnh: −1 det( λ I − A ) = λ n + a n − 1 λ n + +a0 th× a0 = ( − 1 ) n det(A ) vμ an−1 = −trace(A ). §iÒu nμy còng nãi r»ng det(A ) vμ trace(A ) lμ hai ®¹i l−îng bÊt biÕn víi viÖc chän c¬ së nªn chóng lμ nh÷ng ®¹i l−îng ®Æc tr−ng cho ¸nh x¹ f : Rn → Rn. −1 − Hai ma trËn t−¬ng ®−¬ng A vμ S A S lu«n cã cïng c¸c gi¸ trÞ riªng, nãi c¸ch kh¸c gi¸ trÞ riªng cña ma trËn bÊt biÕn víi phÐp biÕn ®æi t−¬ng ®−¬ng. − C¸c gi¸ trÞ riªng cña ma trËn bÊt biÕn víi phÐp chuyÓn vÞ. det(A − λI) = det(AT − λI). − Vector riªng øng víi c¸c gi¸ trÞ riªng kh¸c nhau th× ®éc lËp tuyÕn tÝnh víi nhau. − NÕu A kh«ng suy biÕn th× A B vμ B A cã cïng c¸c gi¸ trÞ riªng. 242
− NÕu A lμ ma trËn ®èi xøng ( A T = A ) th× c¸c vector riªng øng víi nh÷ng gi¸ trÞ riªng kh¸c nhau sÏ trùc giao víi nhau. ×n − Gäi a 1 , a 2 , … , a n lμ c¸c vector riªng bªn ph¶i cña ma trËn vu«ng A∈ R n øng víi c¸c gi¸ trÞ riªng λ 1 , λ 2 , … , λ n , tøc lμ: (λkI−A)ak = 0, k=1,2, … ,n Khi ®ã ma trËn: M = (a1 , a2 , … , an) ®−îc gäi lμ ma trËn modal. − Gi¶ sö ma trËn modal M cña A kh«ng suy biÕn. VËy th× c¸c vector hμng cña ma −1 trËn nghÞch ®¶o M : ⎛ bT ⎞ ⎜ 1⎟ −1 M =⎜ ⎟ ⎜ T⎟ ⎜b ⎟ ⎝ n⎠ sÏ lμ c¸c vector riªng bªn tr¸i cña A, tøc lμ còng cã: bT ( λ k I − A ) = 0 T , k k=1,2, … ,n ×n − Cho ma trËn vu«ng A ∈ C n . Gi¶ thiÕt r»ng A cã n gi¸ trÞ riªng λ 1 , λ 2 , … , λ n kh¸c nhau ®«i mét. Khi ®ã c¸c vector riªng bªn ph¶i a 1 , a 2 , … , a n sÏ ®éc lËp tuyÕn tÝnh víi nhau vμ ma trËn modal M cña nã kh«ng suy biÕn. Khi ®ã sÏ cã: −1 M A M = diag( λ i ) Do øng víi mét gi¸ trÞ riªng λ i cã nhiÒu vector riªng bªn ph¶i a i (chóng phô thuéc tuyÕn tÝnh víi nhau) nªn còng sÏ cã nhiÒu ma trËn modal vμ mét trong c¸c ma trËn modal M ®ã lμ: ⎛ 1 1 1 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ λ1 λ2 λn ⎟ M =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ λ n −1 λ2 −1 n n −1 ⎟ λn ⎠ ⎝ 1 ×n − Cho ma trËn vu«ng A ∈ C n . Khi ®ã c¸c ph¸t biÓu sau lμ t−¬ng ®−¬ng: H a) A = A vμ c¸c gi¸ trÞ riªng λ k , k = 1 , … n cña A lμ nh÷ng sè thùc d−¬ng (gäi lμ ma trËn x¸c ®Þnh d−¬ng), trong ®ã H lμ phÐp tÝnh chuyÓn vÞ vμ lÊy liªn hîp. b) x H A x > 0 víi mäi x ≠ 0 . 2 2 c) 0 < λmin x ≤ x H Ax ≤ λmax x , ∀x ≠ 0 , trong ®ã λmax = max λk , λmin = min λk k k vμ c¸c gi¸ trÞ riªng λ k , k = 1 , … n cña A lμ nh÷ng sè thùc. 243
×n − Ma trËn A ∈ C n víi A H = A ®−îc gäi b¸n x¸c ®Þnh d−¬ng nÕu c¸c gi¸ trÞ riªng λ k , k = 1 , … n cña A lμ nh÷ng sè thùc kh«ng ©m. ChuÈn cña vector vμ ma trËn §Ó so s¸nh (lín h¬n, nhá h¬n) hay ®¸nh gi¸ sai lÖch gi÷a c¸c vector hoÆc gi÷a ¸nh x¹ tuyÕn tÝnh (ma trËn), ng−êi ta ®−a thªm vμo kh«ng gian vector phÐp tÝnh x¸c ®Þnh chuÈn. ChuÈn cña vector ⎛ x1 ⎞ ⎜ ⎟ x x = ( x1 , x2 , … , xn )T = ⎜ 2 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜x ⎟ ⎝ n⎠ ®−îc hiÓu lμ mét sè thùc kh«ng ©m, ký hiÖu bëi x , tháa m·n c¸c tÝnh chÊt sau: − x = 0 khi vμ chØ khi x = 0 = (0,0, … ,0)T − ax = a x víi mäi a∈R − x+ y ≤ x + y C¸c chuÈn x kh¸c nhau cña vector x = ( x1 , x2 , … , xn )T th−êng ®−îc dïng lμ: n p x p = p ∑ xi , p = 1,2, … i =1 Khi p=2, th× x 2 chÝnh lμ modun | x | cña vector x vμ ®−îc gäi lμ chuÈn Euclid, ký hiÖu bëi x E . NÕu p→∞ th× x ∞ ®−îc gäi lμ chuÈn v« cïng vμ x ∞ = max xi 1≤ i ≤ n Trong kh«ng gian vector h÷u h¹n chiÒu th× c¸c chuÈn vector x p vμ x q lu«n t−¬ng ®−¬ng víi nhau, tøc lμ lu«n tån t¹i hai sè thùc d−¬ng a , b ®Ó cã: a x p ≤ x q ≤b x p Ngoμi ra, chóng cßn tháa m·n bÊt ®¼ng thøc Höder: 1 1 xT y ≤ x p y víi + =1 ⇒ x ∞ ≤ x E ≤ x1≤n x ∞ q p q ×n ChuÈn cña ma trËn A =( a ij ) ∈ R m , tøc lμ cña ¸nh x¹: y = Ax , ®−îc hiÓu lμ: y Ax p p A p = sup = sup x≠0 x p x≠0 x p 244
vμ c¸c chuÈn nμy trong kh«ng gian h÷u h¹n chiÒu lμ t−¬ng ®−¬ng, ch¼ng h¹n nh−: 1 A1≤ A 2 ≤ n A1 m 1 A ∞ ≤ A 2 ≤ m A ∞ n max aij ≤ A 2 ≤ mn max aij 1≤ i ≤ m 1≤ i ≤ m 1≤ j ≤ n 1≤ j ≤ n ×n Víi ma trËn vu«ng A =( a ij ) ∈ R n ta cßn cã: ⎛ ⎞n ⎛ n ⎞ A 1 = max ⎜ ∑ aij ⎟ vμ A ∞ = max ⎜ ∑ aij ⎟ 1≤ j ≤ n ⎝ i =1 ⎠ 1≤ i ≤ n j =1 ⎝ ⎠ ×n NÕu ký hiÖu λ k ( A ), k =1,2, … , n lμ c¸c gi¸ trÞ riªng cña ma trËn A∈Rn th×: A 2 = λmax ( AT A ) , trong ®ã λmax ( AT A ) = max λk ( AT A ) 1≤ k ≤ n vμ c¸c gi¸ trÞ σ k = λk ( A A ), k = 1,2, … , n nμy cßn ®−îc gäi lμ c¸c gi¸ trÞ suy biÕn cña T ma trËn A. Ma trËn cã c¸c phÇn tö phô thuéc thêi gian ( ) NÕu ma trËn vu«ng A( t ) = aij ( t ) ∈ R n×n×t víi c¸c phÇn tö a ij ( t ) lμ nh÷ng hμm phô thuéc thêi gian, cã det( A ) ≠ 0 t¹i l©n cËn t th× trong l©n cËn ®ã còng cã ma trËn nghÞch −1 −1 ®¶o A ( t ) . Khi ®ã tõ A ( t ) A ( t )= I , ta cßn cã: dA( t )−1 Θ= d dt ( A( t )−1 A( t ) =) dt A( t ) + A( t )−1 dA( t ) dt dA( t )−1 dA( t ) ⇒ = − A( t )−1 A( t )−1 dt dt dA( t ) ⎛ daij ( t ) ⎞ trong ®ã ®¹o hμm cña ma trËn hμm A ( t ) ®−îc hiÓu lμ =⎜ ⎜ dt ⎟ . ⎟ dt ⎝ ⎠ 3.2 X©y dùng m« h×nh to¸n häc 3.2.1 Ph−¬ng tr×nh tr¹ng th¸i CÊu tróc chung Ngay ë môc 2.2, khi nãi vÒ m« h×nh to¸n häc (cña ®iÒu khiÓn trong miÒn phøc), h×nh 2.16 ®· cho ta mét kh¸i niÖm kh¸c vÒ m« h×nh to¸n häc. §Êy lμ lo¹i m« h×nh mμ tÝnh ®éng häc cña nã ®−îc thÓ hiÖn qua c¸c biÕn tr¹ng th¸i x 1 (t), x 2 (t), … , x n (t) n»m bªn trong hÖ thèng. 245
Nh−ng tr¹ng th¸i cña hÖ thèng lμ g× vμ t¹i sao ta ph¶i quan t©m. LÊy vÝ dô vÒ ®iÒu khiÓn ®éng c¬. Bªn c¹nh tÝn hiÖu ra cña ®éng c¬ lμ tèc ®é quay cßn cã nhiÒu nh÷ng th«ng sè thay ®æi kh¸c cña ®éng c¬ cÇn ph¶i ®−îc quan t©m trong khi thiÕt kÕ bé ®iÒu khiÓn nh− gia tèc ®éng c¬, sù tæn hao n¨ng l−îng … , hoÆc nh− ®iÒu khiÓn cÇn cÈu th× bªn c¹nh qu·ng ®−êng mμ hμng ®−îc cÈu ®· ®i ®−îc ta cßn ph¶i quan t©m tíi tèc ®é vËn chuyÓn, ®é l¾c cña hμng trong qu¸ tr×nh vËn chuyÓn … . NÕu kh¸i niÖm tr¹ng th¸i hÖ thèng ®−îc miªu t¶ nh− vËy th× cã sù kh¸c biÖt g× gi÷a tr¹ng th¸i víi tÝn hiÖu ®Çu ra vμ t¹i sao kh«ng xem lu«n tr¹ng th¸i nh− nh÷ng tÝn hiÖu ra ®−îc bæ sung thªm. C©u tr¶ lêi lμ kh¸i niÖm biÕn tr¹ng th¸i ph¶i ®−îc hiÓu réng h¬n kh¸i niÖm tÝn hiÖu ra. NÕu ®· lμ tÝn hiÖu ra th× ng−êi ta ph¶i trùc tiÕp ®o ®−îc nã (nhê c¸c bé c¶m biÕn) cßn ë biÕn tr¹ng th¸i th× kh«ng nh− vËy. Cã thÓ ng−êi ta chØ x¸c ®Þnh ®−îc mét sè biÕn tr¹ng th¸i th«ng qua c¸c tÝn hiÖu ®o ®−îc kh¸c. XÐt mét hÖ thèng víi cÊu tróc cho ë h×nh 2.16 vμ: − m tÝn hiÖu vμo u 1 (t), … , u m (t), ®−îc viÕt chung l¹i thμnh vector u(t)∈ R m − r tÝn hiÖu ra y 1 (t), … , y r (t), viÕt chung l¹i thμnh vector y( t ) ∈ R r − n biÕn tr¹ng th¸i x 1 ( t ), … , x n ( t ), viÕt chung l¹i thμnh x ( t ) ∈ R n M« h×nh tr¹ng th¸i mμ ta quan t©m ë ®©y lμ lo¹i m« h×nh to¸n häc cã d¹ng: ⎧ dx ⎪ = Ax + Bu ⎨ dt (3.1) ⎪ y = Cx + Du ⎩ trong ®ã: ×n − Ma trËn A∈ R n lμ ma trËn hÖ thèng. n×m − Ma trËn B∈ R lμ ma trËn ®iÒu khiÓn. r×n ×m − Hai ma trËn C∈ R vμ D∈ R r lμ c¸c ma trËn ®Çu ra. Tr−êng hîp m« h×nh (3.1) cã c¸c ma trËn A, B, C, D ®Òu lμ nh÷ng ma trËn h»ng (c¸c phÇn tö lμ h»ng sè thùc) th× nã ®−îc gäi lμ m« h×nh tr¹ng tham sè h»ng. Ng−îc l¹i, nã ®−îc gäi lμ m« h×nh tr¹ng th¸i tham sè biÕn ®æi. M« h×nh tr¹ng th¸i cã tham sè biÕn ®æi ®−îc dïng ®Ó m« t¶ hÖ cã tham sè thay ®æi theo thêi gian (hÖ kh«ng dõng) hoÆc thay ®æi theo kh«ng gian (hÖ tham sè r¶i). Cã thÓ thÊy ®−îc ngay −u ®iÓm næi bËt cña lo¹i m« h×nh (3.1) nμy so víi hμm truyÒn ë ch−¬ng 2 lμ nã dïng ®−îc cho c¶ nh÷ng hÖ cã nhiÒu tÝn hiÖu vμo vμ ra (hÖ MIMO, Multi Input − Multi Output) mμ kh«ng ph¶i thay ®æi cÊu tróc, còng nh− kh«ng cÇn ph¶i cã gi¶ thiÕt r»ng hÖ cã tÊt c¶ c¸c tr¹ng th¸i ®Çu b»ng 0. Ngoμi ra, m« h×nh tr¹ng th¸i (3.1) cßn gióp ta kh¶ n¨ng kh¶o s¸t trùc tiÕp ®−îc tr¹ng th¸i bªn trong cña hÖ thèng x ( t ) , do ®ã hiÓu kü, hiÓu s©u h¬n b¶n chÊt ®éng häc cña hÖ thèng, ®iÒu mμ víi m« h×nh hμm truyÒn, ta chØ cã thÓ thùc hiÖn gi¸n tiÕp th«ng qua viÖc quan s¸t c¸c tÝn hiÖu vμo ra. Tuy nhiªn b»ng viÖc rêi bá hμm truyÒn vμ sö dông m« h×nh tr¹ng th¸i, ta còng ®· rêi bá 246
mét m«i tr−êng to¸n häc ®¬n gi¶n víi c¸c phÐp tÝnh to¸n ®¹i sè ®Ó chÊp nhËn sö dông mét m«i tr−êng kh¸c phøc t¹p h¬n víi c¸c phÐp tÝnh vi ph©n vμ tÝch ph©n. Mét c¸ch tæng qu¸t, sau khi ®−a thªm n biÕn tr¹ng th¸i x 1 ( t ), … , x n ( t ) vμo m« h×nh hÖ tuyÕn tÝnh MIMO cã m tÝn hiÖu vμo u 1 ( t ), … , u m ( t ), vμ r tÝn hiÖu ra y 1 ( t ), … , y r ( t ), th× bao giê hÖ tuyÕn tÜnh còng m« t¶ ®−îc b»ng ph−¬ng tr×nh tr¹ng th¸i ë mét trong ba d¹ng c¬ b¶n sau: 1) Tham sè h»ng (3.1) cã phÇn tö c¸c ma trËn A , B , C , D lμ h»ng sè 2) HoÆc tham sè phô thuéc t, cã phÇn tö c¸c ma trËn A , B , C , D lμ hμm sè phô thuéc thêi gian: ⎧ dx ⎪ = A( t ) x + B( t )u ⎨ dt (3.2) ⎪ y = C( t ) x + D( t )u ⎩ 3) HoÆc tham sè r¶i, cã phÇn tö c¸c ma trËn A , B , C , D lμ hμm sè phô thuéc biÕn kh«ng gian (phô thuéc vector tham sè v) ⎧ dx ⎪ = A( v) x + B( v)u ⎨ dt (3.3) ⎪ y = C( v) x + D( v)u ⎩ trong ®ã: ⎛ u1 ⎞ ⎛ y1 ⎞ ⎛ x1 ⎞ ⎛ v1 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ u =⎜ ⎟, y=⎜ ⎟ , x =⎜ ⎟, vector tham sè v = ⎜ ⎟ (3.4) ⎜u ⎟ ⎜y ⎟ ⎜x ⎟ ⎜v ⎟ ⎝ m⎠ ⎝ r⎠ ⎝ n⎠ ⎝ q⎠ VÝ dô 3.4: X©y dùng m« h×nh tr¹ng th¸i tõ ph−¬ng tr×nh vi ph©n m« t¶ quan hÖ vµo−ra XÐt mét hÖ thèng tuyÕn tÝnh SISO cã mét tÝn hiÖu vμo lμ u ( t ) vμ mét tÝn hiÖu ra y ( t ) . Gi¶ sö hÖ ®−îc m« t¶ bëi ph−¬ng tr×nh vi ph©n gi÷a tÝn hiÖu vμo−ra nh− sau: a0 y + a1 y(1) + a2 y(2) + … + an −1 y( n −1) + y( n ) = b0u + b1u(1) + … + bnu( n ) (3.5) dq y d qu trong ®ã y( q ) = q vμ u( q ) = lμ ký hiÖu cña phÐp tÝnh ®¹o hμm. NÕu nh− r»ng bªn dt dt q c¹nh tÝn hiÖu ra y ( t ), bμi to¸n thiÕt kÕ ®iÒu khiÓn cña ta cßn cÇn ph¶i ®Ó ý ®Õn nh÷ng sù −1) thay ®æi cña y ( t ) nh− y(1), … , y(n vμ nhÊt lμ sù ¶nh h−ëng cña c¸c gi¸ trÞ ban ®Çu cña chóng tíi ®¸p øng y ( t ) cña hÖ th× c¸c m« h×nh ®· biÕt nh− hμm truyÒn, hμm qu¸ ®é … kh«ng cßn ®−îc phï hîp. Ta cÇn tíi mét m« h×nh m« t¶ ®−îc kh«ng riªng quan hÖ vμo/ra mμ c¶ nh÷ng sù thay ®æi ®ã cña tr¹ng th¸i. dk Ký hiÖu phÐp tÝnh ®¹o hμm lμ pk = th× m« h×nh (3.5) viÕt l¹i ®−îc thμnh: dt k 247
y b0 + b1 p + … + bn pn B( p) G( p ) = = n −1 n = u a0 + a1 p + … + an −1 p +p A( p) §Æt biÕn tr¹ng th¸i u u u x1 = , x2 = p , , xn = pn −1 (3.6) A( p) A( p) A( p) ta cã: px 1 = x 2 , … , px n − 1 = x n vμ A ( p ) x 1 = a 0 x 1 + a 1 x 2 + … + a n − 1 x n + px n = u (3.7) dx1 dxn −1 dxn ⇔ = x2 , … , = xn vμ = − a0 x1 − a1 x2 − − an −1 xn + u dt dt dt VËy m« h×nh tr¹ng th¸i (3.1) t−¬ng ®−¬ng cña nã lμ: ⎛ 0 1 0 0 ⎞ ⎜ ⎟ ⎛0⎞ ⎛ x1 ⎞ ⎜ 0 0 1 0 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ x dx ⎜ = ⎟ x + ⎜ ⎟ u = Ax + Bu víi x = ⎜ 2 ⎟ dt ⎜ ⎟ ⎜0⎟ ⎜ ⎟ ⎜ 0 0 0 1 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜1⎟ ⎜ ⎟ ⎜x ⎟ ⎜ −a − a1 − a2 − an −1 ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ n⎠ ⎝ 0 ⎠ vμ u( b0 + b1 p + … + bn pn ) y= = b0 x1 + b1 x2 + + bn −1 xn + bn pxn A( p) = ( b0 − a0bn ) x1 + ( b1 − a1bn ) x2 + + ( bn −1 − an −1bn ) xn + bnu = ( b0 − a0bn , b1 − a1bn , , bn −1 − an −1bn ) x + bnu = Cx + Du trong ®ã, nÕu so s¸nh víi vÒ d¹ng (3.1) th×: ⎛ 0 1 0 0 ⎞ ⎛0⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ A =⎜ ⎟ , B =⎜ ⎟ ⎜ 0 0 0 1 ⎟ ⎜0⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ −a − a1 − a2 − an −1 ⎟ ⎜1 ⎟ ⎝ 0 ⎠ ⎝ ⎠ C = ( b0 − a0bn , b1 − a1bn , , bn −1 − an −1bn ) vμ D=bn VÝ dô 3.5: X©y dùng m« h×nh tr¹ng th¸i Fc Fm Cho hÖ c¬ gåm mét lß xo cã hÖ sè c, mét vËt víi khèi b u(t) l−îng m vμ bé suy gi¶m tèc cã hÖ sè d ®−îc nèi víi nhau nh− h×nh 3.1 m« t¶. Gäi u ( t ) lμ tÝn hiÖu vμo ®−îc ®Þnh m y(t) nghÜa lμ lùc bªn ngoμi t¸c ®éng lªn vËt vμ tÝn hiÖu ra Fd y ( t ) lμ qu·ng ®−êng mμ vËt ®i ®−îc. a Ký hiÖu: dy( t ) dx1 ( t ) x 1 ( t )= y ( t ) vμ x 2 ( t )= = H×nh 3.1: Cho vÝ dô 3.5. dt dt 248