Tính giải được đối với phương trình vi tích phân phân thứ nửa tuyến tính dạng Lattice

P-ISSN 1859-3585 E-ISSN 2615-9619 SCIENCE - TECHNOLOGY<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> TÍNH GIẢI ĐƯỢC ĐỐI VỚI PHƯƠNG TRÌNH VI TÍCH PHÂN<br /> PHÂN THỨ NỬA TUYẾN TÍNH DẠNG LATTICE<br /> SOLVABILITY FOR FRACTIONAL SEMILINEAR LATTICE INTEGRO-DIFFERENTIAL EQUATION<br /> Nguyễn Như Quân<br /> <br /> nội dung chi tiết chúng tôi giới thiệu đến đọc giả công<br /> TÓM TẮT<br /> trình của Hale [3].<br /> Trong bài báo này, tác giả nghiên cứu dáng điệu tiệm cận của toán tử giải<br /> Để viết lại hệ phương trình (1) ở dạng tổng quát trong<br /> thức sinh ra bởi một toán tử dạng lattice và nghiên cứu sự tồn tại cũng như tính<br /> duy nhất nghiệm của phương trình vi tích phân phân thứ dạng lattice bằng cách không gian  2 . Với mỗi dãy u  (ui )i , trong  2 , ta đặt:<br /> sử dụng nguyên lí điểm bất động Banach. (Bu)i  ui1  ui ; (B*ui )  ui1  ui<br /> Từ khóa: Sự tồn tại nghiệm, toán tử lattice, nguyên lí điểm bất động Banach.<br /> và<br /> ABSTRACT (A0u)i  ui1  2ui  ui1;<br /> (2)<br /> In this paper, author studies the behavior of α-resolvent operator generated by (Au)i  ui1  2ui  ui1  μui ,<br /> a lattice operator and the existence and unique of solution for fractional semilinear<br /> lattice integro-differential equation by using Banach fixed point theorem. với mỗi i  , μ   .<br /> Keywords: The existence, lattice operator, Banach fixed point theorem. Ta thấy rằng:<br /> A = -A0 - µI; A0 = BB* = B*B; (B*u, v) = (u, Bv)<br /> Trường Đại học Điện lực với mọi u, v   2<br /> Email: quan2n@epu.edu.vn<br /> Khi đó, hệ (1) tương đương hệ sau với u  (ui )i   2 :<br /> Ngày nhận bài: 05/9/2019<br /> Ngày nhận bài sửa sau phản biện: 05/10/2019 t (t  s)α 2<br /> u(t)   Au(s)ds  f (t, u(t)), t  0,<br /> Ngày chấp nhận đăng: 20/12/2019 0 (α  1) (3)<br /> u0  u0<br /> 1. ĐẶT VẤN ĐỀ ở đây f (t, u(t))  fi (t, ui (t)) i .<br />   2. TOÁN TỬ GIẢI THỨC VÀ NGUYÊN LÍ ĐIỂM BẤT ĐỘNG<br /> Trong không gian   (xi )i : (xi )  , với chuẩn<br /> 2 2<br />  i<br />  Kí hiệu (X) là không gian các toán tử tuyến tính bị<br /> chặn trên X. Sau đây là một số khái niệm và các kết quả về<br /> (x i )i   (x ) i<br /> 2<br /> . Chúng tôi xét bài toán sau:<br /> toán tử giải thức liên quan đến vấn đề nghiên cứu trong bài<br /> i <br /> báo này.<br /> (t s)α2<br /> t<br /> Định nghĩa 2.1: Cho A là một toán tử tuyến tính, bị<br /> ui(t)   (Au)i (s)ds  fi (t, ui (t)), t [0, T],<br /> 0 (α 1) (1) chặn với miền xác định D(A) trên không gian Banach X. Ta<br /> ui (0)  u0i , i  , nói rằng, A là toán tử sinh của một α-giải thức nếu tồn tại<br /> <br /> ω   và một hàm liên tục mạnh Sα :   (X) sao cho<br /> ở đây hàm chưa biết u(t)  (ui )(t)i   2 , α  (1,2) và A là<br /> {λα : Reλ  ω}  ρ(A) và<br /> toán tử dạng lattice được định nghĩa ở phần sau, hàm phi<br /> <br /> tuyến f  C([0,  )   2 ; 2 ) . Các hệ vi phân dạng lattice λα 1(λα I  A)1 x  e  λt Sα (t)xdt, Reλ  ω, x  X.<br /> được nghiên cứu và có nhiều ứng dụng ở nhiều lĩnh vực<br />  0<br /> <br /> khác nhau trong khoa học cũng như kỹ thuật khi mà cấu Vấn đề nghiên cứu về sự tồn tại của α-giải thức đã được<br /> trúc không gian có đặc tính rời rạc. Có thể kể đến những ví thảo luận trong [1]. Cụ thể, cho A là một toán tử tuyến tính<br /> dụ tiêu biểu như bài toán xử lý hình ảnh [4, 5] bài toán nhận đóng và xác định trù mật. Giả sử rằng, A là một toán tử quạt<br /> dạng [6] phản ứng hóa học [7, 8], kỹ thuật điện [2],…. Mặt π<br /> kiểu (ω, θ), nghĩa là, tồn tại ω  , θ  (0, ), M  0 sao cho<br /> khác, các hệ lattice phát sinh từ việc rời rạc không gian của 2<br /> phương trình đạo hàm riêng. Về vấn đề này, để tìm hiểu các giải thức của nó nằm trong  \ ω, θ và<br /> <br /> <br /> <br /> No. 55.2019 ● Journal of SCIENCE & TECHNOLOGY 115<br />  KHOA HỌC CÔNG NGHỆ P-ISSN 1859-3585 E-ISSN 2615-9619<br /> <br /> M | u || f |  |  f ,u |  |   λI  A  u,u |<br /> ‖( λI  A) 1‖ , λ<br />   ω, θ ,<br /> | λω|  |  λI  A 0  μI  u,u |<br /> ở đây  |  (λ  μ)I  A 0  u,u |<br /> ω,θ  {ω  λ : λ  ,| arg(λ)| θ}.<br />  | ( Re λ  μ) | u |2  | Bu |2 iImλ | u |2 |<br /> Trong trường hợp 0  θ  π(1 α / 2) , Sα(.) tồn tại và có<br />  ( Re λ  μ  | u |2  | Bu |2 )2  (Imλ | u |2 )2<br /> biễu diễn sau:<br /> 1  ( Re λ  μ)2  (Imλ)2 | u |2 | λ  μ || u |2 .<br /> tλ α 1 α 1<br /> Sα ( t ) <br /> 2πi e<br /> γ<br /> λ ( λ I  A ) dλ, t  0,<br /> Vì vậy:<br /> ở đây, γ là đường cong thích hợp nằm ngoài  ω,θ . |f | |f|<br /> | u|   | (λI  A)1 f |<br /> | λ μ| | λμ|<br /> Định lí 2.2. ([1, Theorem 1]) Cho A : D(A)  X  X là<br /> 1<br /> toán tử quạt kiểu (ω, θ) với 0  θ  π(1  α / 2) . Khi đó tồn ‖(λI  A)1‖ .<br /> | λ μ|<br /> tại C > 0 độc lập với t sao cho:<br /> Điều này có nghĩa A là toán tử quạt kiểu (-µ, θ). Áp dụng<br /> C (1 ωt α )e ω1/ α t , ω  0,<br />  Định lí 2.2 ta có điều phải chứng minh.<br /> || Sα ( t ) ||  C<br />  α<br /> , ω  0, Định nghĩa 2.4: Hàm u  C([0, T ]; 2 ) được gọi là một<br />  1 | ω | t nghiệm tích phân của bài toán (1) trên đoạn [0, T] nếu và<br /> với t ≥ 0. chỉ nếu u(0) = u0 và<br /> Một trong những kết quả chính của bài báo này là t<br /> (4)<br /> chứng minh được tính chất liên quan đến dáng điệu của<br /> u( t )  S α ( t )u0  S<br /> 0<br /> α ( t  s) f (s, u(s )) ds,<br /> <br /> Sα(.) sau: với mỗi t  [0, T ] .<br /> Mệnh đề 2.3: Cho A là toán tử được định nghĩa (2) và<br /> 0  θ  π(1 α / 2) . Khi đó, tồn tại C > 0 độc lập với t sao cho: Xét  : C([0, T ]; 2 )  C([0, T]; 2 ) , xác định bởi<br /> t<br /> C  (u)(t )  Sα ( t )u0  (5)<br /> || S α (t) ||<br /> 1  μt α<br /> với t ≥ 0. S<br /> 0<br /> α ( t  s ) f (s, u(s )) ds, t  [ 0, T ].<br /> <br /> Khi đó, u là một nghiệm tích phân của (1) nếu nó là một<br /> Chứng minh<br /> điểm bất động của toán tử nghiệm  .<br /> Lưu ý rằng A là một toán tử bị chặn, tự liên hợp do đó<br /> Định nghĩa 2.5. Cho (X, d) là một không gian metric.<br /> σ(A) tập giải của A là tập các số thực compact.<br /> Khi đó ánh xạ T: X → X được gọi là một ánh xạ co trên X nếu<br /> Trước hết, ta chứng minh rằng tồn tại q  [0,1) sao cho:<br /> {λ   : Re λ μ}  ρ(A) .<br /> d(T (x), T (y))  qd(x, y ) ,<br /> Lấy x  2 sao cho (λI  A)x  0 . Ta có: với mọi x, y  X.<br /> 0  (λI  A)x, x Định lí 2.6. (Nguyên lí ánh xạ co Banach): Cho (X, d)<br />  (λI  A 0  μI)x, x là một không gian metric đủ và T: X → X là một ánh xạ co.<br /> Khi đó T có điểm bất động duy nhất x* trong X (nghĩa là<br />  ( Re λ  μ) | x |2  |Bx |2 iImλ | x |2 .<br /> T(x*) = x*). Hơn nữa, có thể tìm x* như sau: bắt đầu bằng một<br /> Điều này dấn đến ( Re λ  μ)| x |2  |Bx |2  0  x  0 và phần tử bất kì x 0  X và định nghĩa dãy xn bởi xn = T(xn-1),<br /> Ker(λI  A)  {0} . Vì vậy, λI - A là một đơn ánh và λ  ρ(A) . khi đó xn → x*.<br /> Tiếp theo, ta cần chứng minh rằng tồn tại một hằng số 3. SỰ TỒN TẠI NGHIỆM<br /> M sao cho: Để nghiên cứu sự tồn tại và duy nhất nghiệm của bài<br /> M toán (1), tác giả đưa ra giả thiết sau:<br /> ‖(λI  A)1‖ , λ  C, Re λ  μ.<br /> | λ  ω| (F) Hàm phi tuyến f :   2   2 thỏa mãn:<br /> 2 ‖f (t, u)  f (t, v)‖ 2  m(t)‖u  v‖2 với hàm m(t)  L1loc (  )<br /> Lấy λ  , Re λ μ . Với u 2 tồn tại f   sao cho<br /> là hàm không giảm.<br />  λI  A 1 f  u . Định lí 3.1: Giả sử giả thiết (F) được thỏa mãn. Khi đó,<br /> Ta có: bài toán (1) có nghiệm duy nhất u  C([0, T ]; 2 ) với điều<br /> kiện<br /> <br /> <br /> <br /> 116 Tạp chí KHOA HỌC & CÔNG NGHỆ ● Số 55.2019<br /> P-ISSN 1859-3585 E-ISSN 2615-9619 SCIENCE - TECHNOLOGY<br /> <br /> t [5] L.O. Chua, Y. Yang, 1988. Cellular neural networks: theory, IEEE Trans.<br /> sup ‖S α (t  s)‖m(s)ds  1 .<br />  (6) Circuits Systems 35 1257–1272.<br /> t 0 0<br /> [6] S.N. Chow, J. Mallet-Paret, E.S. Van Vleck, 1996. Pattern formation and<br /> Nhận xét 3.2: Nhờ Mệnh đề 2.2, ta thấy rằng điều kiện<br /> spatial chaos in spatially discrete evolution equations, Random Comput. Dynam. 4,<br /> (6) được thỏa mãn nếu ta chọn hàm m(t) = Ntβ với α - β > 1.<br /> 109–178.<br /> Chứng minh Định lí 3.1<br /> [7] R. Kapval, 1991. Discrete models for chemically reacting systems, J. Math.<br /> Ta thấy rằng toán tử nghiệm  là ánh xạ từ Chem. 6, 113–163.<br /> C([0, T ]; 2 ) vào chính nó. Để áp dụng dụng nguyên lí ánh [8] T. Erneux, G. Nicolis, 1993. Propagating waves in discrete bistable reaction<br /> xạ co Banach ta sẽ chứng minh  là một ánh xạ co. Nhắc diffusion systems, Physica D 67, 237–244.<br /> lại rằng:<br /> t<br />  (u)(t )  Sα ( t )u0  AUTHOR INFORMATION<br /> S0<br /> α ( t  s ) f (s, u(s )) ds, t  [ 0, T ].<br /> Nguyen Nhu Quan<br /> Lấy u, v  C([0, T ]; 2 ) , nhờ giả thiết (F), ta có: Electric Power University<br /> t<br /> ||  (u)(t)   (v)(t) ||||  Sα (t  s)f(s,u(s))  f(s, v(s))ds ||<br /> 0<br /> t<br />   || S (t  s) |||| f(s,u(s))  f(s, v(s)) || ds<br /> 0<br /> α<br /> <br /> t<br />   || S (t  s) ||m(s) || u  v || ds<br /> α 2<br /> 0<br /> t<br />  sup  || S (t  s) ||m(s)ds || u  v ||<br /> α 2<br /> t 0 0<br /> <br /> Do vậy:<br /> ||  (u)   (v) ||  k || u  v || ,<br /> ở đây:<br /> t<br /> k  sup ‖S (t  s)‖m(s)ds  1.<br /> <br /> t0 0<br /> <br /> Vậy,  là một ánh xạ co. Áp dụng Nguyên lí ánh xạ co<br /> Banach suy ra toán tử nghiệm  có điểm bất động duy<br /> nhất u*. Từ đó ta có thể kết luận bài toán (1) có nghiệm<br /> duy nhất.<br /> 4. KẾT LUẬN<br /> Kết quả chính của bài báo này là chứng minh được tính<br /> chất liên quan đến dáng điệu tiệm cận của toán tử giải thức<br /> Sα(t) sinh ra bởi toán tử dạng lattice A. Từ đó, áp dụng<br /> nguyên lí điểm bất động Banach để chứng minh sự tồn tại<br /> và duy nhất nghiệm của bài toán (1).<br /> <br /> <br /> <br /> TÀI LIỆU THAM KHẢO<br /> [1] E. Cuesta, 2007. Asymptotic behaviour of the solutions of fractional<br /> integro-differential equations and some time discretizations, Discrete Contin. Dyn.<br /> Syst. (Supplement) 277-285.<br /> [2] T.L. Carrol, L.M. Pecora, 1990. Synchronization in chaotic systems, Phys.<br /> Rev. Lett. 64 821–824.<br /> [3] J.K. Hale, 1994. Numerical dynamics, Chaotic Numerics, Contemporary<br /> Mathematics, vol. 172, American Mathematical Society, Providence, RI, , pp. 1–<br /> 30.<br /> [4] L.O. Chua, T. Roska, 1993. The CNN paradigm, IEEE Trans. Circuits Systems<br /> 40 147–156.<br /> <br /> <br /> <br /> No. 55.2019 ● Journal of SCIENCE & TECHNOLOGY 117<br />