zunia.vn

Tuyển sinh 2024 dành cho Gen-Z

zunia.vn

» Khoa Học Tự Nhiên

Tính giải được và duy nhất của nghiệm tích phân đối với phương trình vi tích phân ngẫu nhiên trung tính có xung và chuyển động Brown bậc phân số

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:10

Báo xấu

24
lượt xem 3
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Trong bài viết này, tác giả chứng minh sự tồn tại và duy nhất nghiệm tích phân của phương trình vi tích phân ngẫu nhiên trung tính có xung và chuyển động Brown bậc phân số.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Tính giải được và duy nhất của nghiệm tích phân đối với phương trình vi tích phân ngẫu nhiên trung tính có xung và chuyển động Brown bậc phân số

No.21_June 2021 |p.52-62 TẠP CHÍ KHOA HỌC ĐẠI HỌC TÂN TRÀO ISSN: 2354 - 1431 http://tckh.daihoctantrao.edu.vn/ THE SOLVABILITY AND UNIQUENESS OF MILD SOLUTION OF IMPULSIVE NEUTRAL STOCHASTIC INTEGRODIFFERENTIAL EQUATIONS DRIVEN BY A FRACTIONAL BROWNIAN MOTION. Nguyen Nhu Quan1,* 1 Electric Power University, Vietnam * Email address: quan2n@epu.edu.vn https://doi.org/10.51453/2354-1431/2021/552 Article info Abstract: In this work, the author studies the solvability and uniqueness of mild solution Recieved: of impulsive neutral stochastic integrodifferential equations driven by a 16/3/2021 fractional Brownian motion. Accepted: 3/5/2021 Keywords: Mild Solution; Stochastic Differential Equations; Fractional Brownian motion; Solvability and Uniqueness.
No.21_June 2021 |p.52-62 TẠP CHÍ KHOA HỌC ĐẠI HỌC TÂN TRÀO ISSN: 2354 - 1431 http://tckh.daihoctantrao.edu.vn/ TÍNH GIẢI ĐƯỢC VÀ DUY NHẤT CỦA NGHIỆM TÍCH PHÂN ĐỐI VỚI PHƯƠNG TRÌNH VI TÍCH PHÂN NGẪU NHIÊN TRUNG TÍNH CÓ XUNG VÀ CHUYỂN ĐỘNG BROWN BẬC PHÂN SỐ. Nguyễn Như Quân1,* 1 Đại học Điện lực, Việt Nam * Địa chỉ email: quan2n@epu.edu.vn https://doi.org/10.51453/2354-1431/2021/552 Thông tin bài viết Tóm tắt Trong bài báo này, tác giả chứng minh sự tồn tại và duy nhất nghiệm tích phân Ngày nhận bài: của phương trình vi tích phân ngẫu nhiên trung tính có xung và chuyển động 16/3/2021 Brown bậc phân số. Ngày duyệt đăng: 3/5/2021 Từ khóa: Nghiệm tích phân, Phương trình vi phân ngẫu nhiên, Chuyển động Brown bậc phân số, Tính giải được và duy nhất. 1. Mở đầu Trong bài báo này ta nghiên cứu lớp phương trình vi tích phân có xung sau: t t d [ x(t )  g (t , xt ,  a1 (t , s, xs )ds]  [ Ax(t )  f (t , xt ,  a2 (t , s, xs )ds)]dt 0 0 (1)  F (t )dB (t ), t  [0, b], t  ti , H Q x(ti )  Ii ( x(ti )), t  ti , i  1, 2,..., (2) x0 (t )   (t )  P C([r ,0], X ), r  t  0, (3) trong đó A là toán tử sinh của nửa nhóm giải tích số, g , f :[0, )  P C X  X , (T (t ))t 0 các toán tử bị chặn trong không gian a1 , a2 :[0, ) [0, )  P C  X , Hilbert X , BQH là chuyển động Brown bậc phân
N.N.Quan/ No.21_Jun 2021|p.52-62 F :[0, )  L0Q (Y , X ) là hàm thích hợp sẽ một số khái niệm và kết quả cần thiết cho việc chứng minh các kết quả nghiên cứu của mình. Mục được định nghĩa sau. Các thời điểm xung ti thỏa 2.2, ta trình bày kết quả chính của bài báo đó là mãn 0  t1  t2  ...  ti  ... , và lim ti   . chứng minh sự tồn tại và duy nhất nghiệm tích phân i  của bài toán (1) – (3), Định lí 2.2.2. Cuối cùng là Ii : X  X , x(ti ) là độ lớn bước nhảy của phần kết luận một số kết quả đã đạt được của bài báo. hàm trạng thái x tại thời điểm ti , được định nghĩa 2. Nội dung bởi x(ti )  x(ti ) - x(ti ) , với x(ti ) và x(ti ) 2.1. Kiến thức chuẩn bị tương ứng là giới hạn phải và giới hạn trái của Ta trình bày một số khái niệm cơ bản liên quan x(ti ) tại ti . P C  { :[r,0]  X , (t ) liên đến chuyển động Brown bậc phân số (fBm) và tích tục hầu khắp nơi trừ một số hữu hạn các điểm t tại phân Wiener tương ứng với fBm. Ta cũng nhắc lại một số kết quả cơ sở về nửa nhóm giải tích làm nền đó  (t  ) ,  (t  ) tồn tại và  ( t  ) =  ( t  )} . tảng cho nghiên cứu của chúng tôi. Khi đó cho một hàm   P C , ta thấy rằng X và Y là hai không gian Hilbert thực Cho ‖  ‖ P C  sup ‖  ( s) ‖   . Với mọi hàm tách được và L( X , Y ) là không gian các toán tử s[  r ,0] tuyến tính bị chặn từ Y đến X . Để thuận tiện, ta liên tục x và mọi t  [0, b] , kí hiệu xt là một sử dụng chung kí hiệu ‖  ‖ là chuẩn trong các phần tử của P C được định nghĩa bởi không gian X , Y và L( X , Y ) . Giả sử xt ( )  x(t   ), r    0. (, F , P ) là không gian xác suất đầy đủ. Kí hiệu Gần đây, các tác giả trong [2] đã nghiên cứu sự E () là toán tử kì vọng toán tương ứng với xác tồn tại nghiệm tích phân của phương trình vi phân ngẫu nhiên trung tính với chuyển động Brown bậc suất P . Toán tử không âm, tự liên hợp được kí hiệu phân số và hiệu ứng xung. Phương trình vi tích là Q  L(Y , Y ) . L0Q là không gian các hàm phân Volterra ngẫu nhiên với chuyển động Brown 1 bậc phân số trong không gian Hilbert đã được   L(Y , X ) sao cho  Q là toán tử Hilbert- 2 nghiên cứu trong [3]. Tuy nhiên, cho tới thời điểm Schmidt với chuẩn được định nghĩa bởi hiện tại, vấn đề nghiên cứu tính giải được đối với 1 hệ phương trình vi tích phân ngẫu nhiên trung tính |  |2L0 (Y , X ) |  Q 2 |2HS  tr ( Q * ) (kí hiệu tr ( A) với hiệu ứng xung và chuyển động Brown bậc phân Q số vẫn là bài toán chưa có lời giải. Do đó, trong bài là vết của toán tử A ). Khi đó,  được gọi là toán báo này ta đặt vấn đề nghiên cứu tính giải được đối tử Q-Hilbert-Schmidt từ Y vào X . với hệ phương trình vi tích phân ngẫu nhiên trung Định nghĩa 2.1.1. Hai mặt của một fBm một tính với hiệu ứng xung và chuyển động Brown bậc chiều với tham số Hurst H  (0,1) là một quá phân số (1) - (3) ở trên. trình trung tâm Gauss liên tục Nội dung bài báo này được trình bày như sau: Trong phần tiếp theo mục 2.1, tác giả đề cập đến   { (t ), t  } với hàm hiệp phương sai H H 1 RH (t ,s )  E[  H (t )  H ( s)]  (| t |2 H  | s |2 H  | t  s |2 H ), t , s  . 2 Bây giờ, ta ước lượng tích phân Wiener tương các hàm bước (step function) với giá trị thực xác ứng với fBm một chiều  H . Cố định số thực định trên [0, b]  , nghĩa là,   nếu b  0 . Kí hiệu  là không gian tuyến tính của n 1  (t )   xi [t ,t ] (t ), t  [0, b], i i 1 i 1
N.N.Quan/ No.21_Jun 2021|p.52-62 với 0  t1  t2  ...  tn  b và xi  . Định nghĩa tích phân Wiener của hàm   tương ứng với H bởi n 1  ( s)d  H ( s)   xi (  H (ti 1 )   H (ti ). b 0 i 1 Bây giờ ta kí hiệu không gian Hilbert H là bao đóng của  tương ứng với tích vô hướng   [0,t ] , [0, s ] H  RH (t , s). Khi đó, ta có n 1    xi [t ,t b i 1 i i 1 )  0  ( s)d  H ( s). Ánh xạ trên là một đẳng cự giữa các không gian Ta có  và không gian tuyến tính ( K H*  [0,t ] )(s)  K H (t , s)* [0,t ] (s). span{ H , t [0, b]} , nó có thể mở rộng thành K H* là một đẳng cự giữa  và L2 ([0, b]) và một đẳng cự giữa H với sự hỗn loạn Wiener đầu L2 (  ) có thể mở rộng đến không gian H . Xét tiên của fBm span { , t [0, b]} (xem H W  {W (t ), t [0, b]} , định nghĩa bởi [7]). Tích phân Wiener của  ứng với  H là ảnh W (t )   H (( K H* )1 [0,t ] ). Ta thấy rằng W là của một phần tử   H bởi đẳng cự này. Bây giờ một quá trình Wiener và H có biểu diễn tích chúng tôi đưa ra một mở rộng của tích phân này. phân Wiener sau: Xét hạt nhân t 1 H t H 3 H 1  H (t )   K H (t , s)d W ( s). K H (t , s)  cH s  (  s)  d , t  s, 2 2 2 0 s Và H (2 H  1) với cH  và B là hàm b b   ( s)d  ( s)   ( K H*  )(t )d W (t ), H 1 B (2  2 H , H  ) 0 0 2 Beta. Dễ thấy rằng với mọi  H nếu và chỉ nếu K H*   L2 ([0, b]) . Hơn nữa, kí hiệu K H (t , s) t H 1 H 3 L2H ([0, b])  {  H , KH*   L2 ([0, b])}. Khi  cH ( ) 2 (t  s) 2 . t s 1 H  , ta có L1/ H ([0, b])  L2H ([0, b]) , xem Xét toán tử tuyến tính K :   L ([0, b]) , 2 * 2 H cho bởi [6]. Để chứng minh sự tồn tại nghiệm tích phân của bài toán đặt ra, ta cần sử dụng bất đẳng thúc sau K (t , s) t ( K  )( s)    ( s) H * dt. H s t Bổ đề 2.1.2.([5]) Với   L1/ H ([0, b]) , b b H (2 H  1)   | (v) ||  ( ) || v   |2 H 2 dvd  cH ‖  ‖ 2L1/ H ([0,b]) . 0 0 Giả sử dãy hai mặt của một fBm một chiều { n (t )}n độc lập trên (, F , P ) và xét chuỗi sau H
N.N.Quan/ No.21_Jun 2021|p.52-62   n 1 H n (t )un , t  0. Ở đây {un }n là cơ sở trực chuẩn đầy đủ BQH  L2 (, Y ) . Tại thời điểm đó, BQH (t ) là Q - trongY . Chuỗi trên không nhất thiết hội tụ trong hình trụ fBm nhận giá trị trong Y với toán tử hiệp không gian Y . Xét quá trình ngẫu nhiên nhận giá phương sai Q . Chẳng hạn, nếu {n }n là dãy số H Y , B (t ) xác định bởi Qun  nun , giả trị trong Q thực không âm bị chặn sao cho sử rằng Q là toán tử hạch trong Y (cụ thể  BQH (t )    nH (t )Q1/2un , t  0.  n 1  n 1 n   ), khi đó quá trình ngẫu nhiên Chuỗi này hội tụ trong Y nếu Q thuộc lớp các toán tử vết không âm tự liên hợp. Rõ ràng, ta có  1  1 B (t )    (t )Q un   (n )  nH (t )un , t  0, H Q H n 2 2 n 1 n 1 được định nghĩa như một Q - hình trụ fBm nhận giá trị trong Y. Cho  :[0, b]  L0Q (Y , X ) sao cho  1 ‖ K n 1 * H (Q un ) ‖ L2 ([0,b ]; X )  . 2 (4) Định nghĩa 2.1.3. Cho  (s), s [0, b] là hàm Wiener của  tương ứng với BQH được định nghĩa số nhận giá trị trong L0Q (Y , X ) . Khi đó, tích phân bởi  1  t 1  ( s)dBQH ( s)     ( s)Q 2 un d  nH    ( K H* (( K H* (Q 2 un ))( s)dW ( s), t  0. t t 0 n 1 0 n 1 0 Lưu ý rằng nếu  1 ‖ Q u n 1 2 n ‖ L1/ H ([0,b ]; X )  , (5) thì (4) được thỏa mãn, điều này suy ra từ Bổ đề 2.1.4. Với mỗi  :[0, b]  L0Q (Y , X ) L1/ H ([0, b])  L2H ([0, b]) . sao cho (5) thỏa mãn, và với mọi  ,  [0, b] Bổ đề sau là mệnh đề quan trọng để chứng minh với  , kết quả của chúng tôi, nó có thể xem như một ứng dụng đơn giản của Bổ đề 2.1.2. Chứng minh của bổ đề này đã được nêu trong [1].    1 E |   ( s)dBQH ( s) |2X  cH (2 H  1)(   ) 2 H 1   | ( s)Q 2 un |2X ds,   n 1  1 ở đây c  c( H ) . Nếu, thêm nữa,  | (t )Q 2 un |X hội tụ đều với t [0, b] , thì n 1   E |   ( s)dBQH ( s) |2X  cH (2 H 1)(   ) 2 H 1  | ( s) |L0 (Y , X ) ds.   Q
N.N.Quan/ No.21_Jun 2021|p.52-62 Tiếp theo, cho A : D( A)  X ( D( A) : miền M   t ‖ ( A) T (t ) ‖  e , t  0,   0. xác định của toán tử A ) là toán tử sinh của một t nửa nhóm giải tích các toán tử tuyến tính bị chặn (T (t ))t 0 trên X . Giả sử rằng tồn tại hằng số Bất đẳng thức tích phân sau cùng là chìa khóa để chứng minh tính ổn định mũ của nghiệm tích M  1 và   sao cho ‖ T (t ) ‖  Met , với phân của hệ trung tính với xung, nó đã được chứng mọi t  0 . Chúng tôi cũng giả thiết rằng minh ở Bổ đề 3.1 trong [8]. (T (t ))t 0 bị chặn đều và là nửa nhóm giải tích sao 2.2. Sự tồn tại và duy nhất nghiệm cho 0   ( A). Ở đây  ( A) là tập giải của A . Trong mục này, ta sử dụng lí thuyết điểm bất Khi đó, ta có thể định nghĩa ( A) với động để chứng minh sự tồn tại và duy nhất nghiệm 0    1 , như là một toán tử tuyến tính đóng với  tích phân của hệ (1) - (3). Trước hết ta trình bày miền xác định D( A) tương ứng với chuẩn khái niệm nghiệm tích phân cho bài toán đang xét ‖  ‖  . Kí hiệu X  ( 0    1 ) là không gian Định nghĩa 2.2.1. Một X - quá trình ngẫu D( A) với chuẩn ‖  ‖  , ta có bổ đề sau nhiên x(t ), t [r , b] được gọi là nghiệm tích Bổ đề 2.1.5. [4] Giả sử có các giả thiết trên phân của bài toán Cauchy tổng quát (1) – (3) nếu (1) Nếu 0    1 , thì X  là một không (1) x()  P C([r, b], L2 (, X )) ; gian Banach. (2) Nếu 0     , thì phép nhúng (2) Với t [r ,0], x(t )   (t ) ; X   X  liên tục. (3) Với t [0, b], x(t ) thỏa mãn phương (3) Tồn tại hằng số M   0 sao cho với trình tích phân sau mọi 0    1 , ta có t t s x(t )  T (t )[ (0)  g (0,  , 0)]  g (t , xt ,  a1 (t , s, xs )ds)   AT (t  s) g ( s, xs ,  a1 ( s,  , x )d )ds 0 0 0  T (t  t ) I ( x(t t s   T (t  s ) f ( s, xs ,  a2 ( s, , x )d )ds  i i i  )) 0 0 0ti t t   T (t  s ) F ( s )dBQH ( s ) P  a.s. (6) 0 Để đạt được các kết quả trong phần này, chúng X thỏa mãn 0   ( A) . Do đó, từ Bổ đề 2.1.5, tôi đưa ra các giả thiết sau: tồn tại các hằng số M , M1  sao cho (H1) A là toán tử sinh của một nửa nhóm giải tích (T (t ))t 0 các toán tử tuyến tính bị chặn trên M1  ‖ T (t ) ‖  M và ‖ ( A)1  T (t ) ‖  , với mọi t [0, b] . t1  (H2) Ánh xạ g :[0, )  P C X  X mãn điều kiện. Tồn tại hằng số k1  0 , sao cho với mãn điều thỏa kiện Lipschitz sau  1 , 2 P C (i) Hàm a1 :[0, )  [0, )  P C  X thỏa t  [a (t, s, )  a (t, s, 0 1 1 1 2 )]ds  k1  1  2 , t [0, b].
N.N.Quan/ No.21_Jun 2021|p.52-62 1 nhận giá trị trong X  và thỏa mãn với mọi    1 và k2  0 sao (ii) Tồn tại hằng số 2 t [0, b] cho với  j ,  j  P C , j  1, 2 , sao cho hàm g ‖ ( A)  g (t , 1 , 1 )  ( A)  g (t , 2 , 2 ) ‖  k2 ‖  1  2 ‖  ‖ 1  2 ‖  . Ngoài ra, đặt  k1  b sup ‖ a1 (t , s,0) ‖ , k2  sup ‖ ( A) g (t ,0,0) ‖  (C.1) ‖ FQ n 1 1/2 un ‖ L2 ([0,b ]; X )   . 0  s t b t[0,b ]  và k  k2 (1  k1 ) . (C.2) Với t  [0, b], |F (t )Q n 1 1/2 un | X (H3) Ánh xạ f :[0, )  P C X  X hội tụ đều. thỏa mãn điều kiện Lipschitz. (H6) Hàm xung Ii (i  1, 2, ...) thỏa mãn điều (i) Với t [0, b] , hàm kiện Lipschitz sau đây. Tồn tại các số không âm a2 :[0, )  [0, )  P C  X thỏa mãn điều di (i  1, 2, ...) sao cho kiện sau. Tồn tại hằng số l1  0 , sao cho với ‖ Ii ( 1 )  Ii ( 2 ) ‖  di ‖  1  2 ‖ và  1 , 2 P C , ta có ‖ Ii (0) ‖  0 , với mọi  1 , 2 P C và t   [a (t, s, )  a (t, s, 2 1 2 2 )]ds  l1  1  2 . d i 1 i  . 0 Định lí sau đây chứng minh sự tồn tại và tính (ii) Với t  [0, b] , tồn tại hằng số l2  0 duy nhất nghiệm của hệ (1)-(3) nhờ vào các giả thiết trên. Đây là kết quả chính của bài báo này sao cho với  j ,  j  P C , j  1, 2 Định lí 2.2.2. Nếu các giả thiết (H1)-(H6) thỏa mãn với mọi   P C, b  0 , thì hệ (1)-(3) có nghiệm tích phân duy nhất trên [r , b] với điều ‖ f (t , 1 ,1 )  f (t, 2 , 2 ) ‖  l2 ‖  1  2 ‖  ‖ 1  2 ‖  kiện  . 3M 2 ( di ) 2 Ngoài ra, l : l2 (1  l1 ) , i 1  1. (7) (1  k )2 l1  b sup ‖ a2 (t , s, 0) ‖ , l2  sup ‖ f (t , 0, 0) ‖ 0  s t b t[0,b ] . Ở đây k ‖ ( A)  ‖ k . (H4) Hàm( A)  g liên tục bậc hai. Với mọi Chứng minh  j ,  j  P C , j  1, 2 , Xét tập b : P C([r , b], L (, X )) , đây là 2 một không gian Banach các hàm liên tục từ [r , b] vào L2 (, X ) với chuẩn lim E ‖ ( A) g (t , 1 , 1 )  ( A)  g ( s, 2 , 2 ) ‖ 2  0 t s ‖  ‖ 2b  sup (E ‖  ( s) ‖ 2 ) và b  0 cố định. . s[  r ,b ] (H5) Hàm F :[0, )  L0Q (Y , X ) thỏa mãn Bây giờ ta xét tập con đóng của  b được kí hiệu bởi ˆ  {x  : x( )   ( ), [r,0] với  b b t  ‖ F (s) ‖ ds  , t  [0, b] . ‖  ‖ 2b . Ta chuyển bài toán (1)-(3) thành bài 2 0 L0Q chuẩn Với cơ sở trực chuẩn đủ {un }n trong Y , ta có toán điểm bất động. Định nghĩa toán tử ˆ  L : ˆ bởi b b
N.N.Quan/ No.21_Jun 2021|p.52-62 t t s (L x)(t )  T (t )[ (0)  g (0,  , 0)]  g (t , xt ,  a1 (t , s, xs )ds )   AT (t  s ) g ( s, xs ,  a1 ( s,  , x )d )ds 0 0 0  T (t  t ) I ( x(t t s   T (t  s ) f ( s, xs ,  a2 ( s, , x )d )ds  i i i  )), t  [0, b] 0 0 0ti t t   T (t  s ) F ( s )dBQH ( s ), 0 và (L x)(t )   (t ), t [r,0]. Để chứng Trước tiên, chúng tôi chỉ ra rằng t (L x)(t ) minh sự tồn tại nghiệm của bài toán (1)-(3) ta sẽ là liên tục trên đoạn [0, b]. Thật vậy, lấy chứng minh toán tử L có điểm bất động và để ˆ ,0  t  b và 0    x đủ nhỏ, ta có b chứng minh tính duy nhất ta sử dụng định lí điểm bất động Banach. E ‖ (L x)(t   )  (L x)(t ) ‖ 2  6E ‖ (T (t   )  T (t ))[ (0)  g (0,  , 0)] ‖ 2 5  6 E ‖ Fj (t   )  Fj (t ) ‖ 2 . j 1 Bằng cách sử dụng tính chất nửa nhóm, ta có E ‖ (T (t   )  T (t ))[ (0)  g (0,  ,0)] ‖ 2  E ‖ (T (t )T (  )  T (t ))[ (0)  g (0,  ,0)] ‖ 2 . Sử dụng giả thiết (H1) và tính liên tục mạnh của T (t ) , ta có E ‖ (T (t   )  T (t ))[ (0)  g (0,  ,0)] ‖ 2  2M 2 E ‖  (0)  g (0,  ,0) ‖ 2 . Nhờ định lí hội tụ trội Lebesgue cùng với tính liên tục mạnh của T (t ) , ta có ngay lim E ‖ (T (t   )  T (t ))[ (0)  g (0,  ,0)] ‖ 2  0 .  0 Do toán tử ( A)  là bị chặn nên tử giả thiết (H4) ta có lim E ‖ F1 (t   )  F1 (t ) ‖ 2  0 .  0 Tiếp theo, sử dụng giả thiết (H1), (H2) và bất đẳng thức Holder, ta có E ‖ F2 (t   )  F2 (t ) ‖ 2 t s  2E ‖  [(T ( )  I )( A)1  T (t  s)( A)  ]g ( s, xs ,  a1 ( s, , x )d )ds ‖ 2 0 0 t s 2E ‖  ( A)1  T (t    s)( A)  g (s, xs ,  a1 (s, , x )d ) ‖ 2 . t 0 Bây giờ ta sẽ đánh giá các thành phần trong vế phải của bất đẳng thức trên s 2 [(T (  )  I )( A)1  T (t  s)( A)  ]g (s, xs ,  a1 (s, , x )d )ds 0 2 M 1  ‖ T ( )  I ‖ 2  k2 (1  k1 ) ‖ xs ‖ 2 k2 k1  k2  (t  s) 2(1  )   s 2 và ( A)1  T (t    s)( A)  g ( s, xs ,  a1 ( s, , x )d ) 0 2 M 1    k2 (1  k1 ) ‖ xs ‖ 2 k2 k1  k2  . (t    s)2(1  )   Sử dụng định lí hội tụ trội Lebesgue và các bất T (t ) , ta có E ‖ F2 (t   )  F2 (t ) ‖ 2  0 khi đẳng thức trên cùng với tính liên tục mạnh của
N.N.Quan/ No.21_Jun 2021|p.52-62 |  | 0. Lí luận tương tự ta có Sử dụng các giả thiết (H1), (H6) ta có: E ‖ F3 (t   )  F3 (t ) ‖ 2  0 khi |  | 0. E ‖ F4 (t   )  F4 (t ) ‖ 2  2E ‖  (T ( )  I )T (t  t ) I ( x(t 0ti t i i i  )) ‖ 2 2E ‖   T (t    t )I (x(t t ti t  i i i  )) ‖ 2 . 2 Mặt khác ta có: (T (  )  I )T (t  ti ) I i ( x(ti ))  ‖ T (  )  I ‖ 2 M 2 di ‖ x(ti ) ‖ 2  2 và T (t    ti ) Ii ( x(ti ))  M 2  di ‖ x(ti ) ‖ 2  .Vì vậy, ta có E ‖ F4 (t   )  F4 (t ) ‖ 2  0 khi |  | 0. Hơn nữa, ta có t E ‖ F5 (t   )  F5 (t ) ‖ 2  2E ‖  [(T (  )  I )T (t  s)]F ( s)dBQH ( s) ‖ 2 0 t 2E ‖  T (t    s) F ( s)dBQH ( s) ‖ 2 : N1  N2 . t Sử dụng Bổ đề 2.1.4 và (H1), ta có t N1  2cH (2 H  1)t 2 H 1  ‖ [(T (  )  I )T (t  s)]F ( s) ‖ 2L0 ds 0 Q t  2cH (2 H  1)t 2 H 1M 2  ‖ (T (  )  I ) F ( s) ‖ 2L0 ds  0 khi |  | 0. 0 Q Từ đó, với mỗi s cố định T (  ) F ( s)  F ( s), ‖ T (  ) F ( s) ‖ L0  M ‖ F (s) ‖ L0 . 2 2 2 Q Q Sử dụng Bổ đề 2.1.4 một lần nữa, ta nhận được t N2  2cH (2 H  1)  2 H 1M 2  ‖ F (s) ‖ 2L0 ds  0 khi |  | 0. t Q Do đó lim E ‖ F5 (t   )  F5 (t ) ‖ 2  0 .  0 Các ước lượng trên dẫn đến lim E ‖ (L x)(t   )  ( L x)(t) ‖ 2  0 . Cho nên, hàm t (L x)(t ) là liên  0 tục trên đoạn [0, b]. Tiếp theo, chúng tôi chứng minh ánh xạ ˆ với b  b . Để làm điều này, giả sử x, y  ˆ và L nén trên  b1 1 b1 với t  [0, b] cố định. Sử dụng các bất đẳng thức cơ bản, ta có E ‖ (L x)(t )  (L y)(t ) ‖ 2 1 t t ‖ (- A) g (t , xt ,  a1 (t , s, xs )ds)  g (t , yt ,  a1 (t , s, ys )ds) ‖ 2 2  (- A)  k 0 0 ‖  (- A)1  T (t  s)(- A)  g (s, xs ,  a1 (s, , x )d )  g ( s, ys ,  a1 ( s, , y )d )  ds ‖ 2 3 t s s  1 k 0  0 0  ‖  T (t  s)  f (s, xs ,  a2 (s, , x )d )  f (s, ys ,  a2 (s, , y )d )  ds ‖ 2 3 t s s  1 k 0  0 0  3  ‖  T (t  ti )  I i ( x(ti ))  I i ( y (ti ))  ‖ 2 . 1  k 0ti t Sử dụng bất đẳng thức Holder và tính Lipschitz của ( A)  g , f , Ii , i  1, 2, ... , ta có
N.N.Quan/ No.21_Jun 2021|p.52-62 3  t 2  1  t E ‖ (L x)(t )  (L y)(t ) ‖ 2  k E ‖ xt  yt ‖ 2  M12  k 2   0 E ‖ xs  ys ‖ ds 1 k  2   1  2 3 3    M 2   di  . t  tM 2 l 2  E ‖ xs  ys ‖ ds  1 k 0 1 k  i 1  Do đó, ta có lim E ‖ (L x)( s)  ( L y)( s) ‖ 2   (t ) sup E ‖ x( s)  y( s) ‖ 2 , s[  r ,t ] s[  r ,t ] 2 3M12  k 2 3M 2 l 2 2 3M 2    với  (t )  k  (1  k )(2  1) t 2  1 k t   di . 1  k  i 1  2      di  2 2 3M 3M 2    Nhờ (7), ta có  (0)  k   di  (1ik1)2   1. 1  k  i 1  Do đó tồn tại 0  b1  b sao cho [2] Dung, N.T. (2014). Neutral stochastic differential equations driven by a fractional ˆ . Vì 0   (b1 )  1 và toán tử L là nén trên  b1 Brownian motion with impulsive effects and vậy nó có duy nhất một điểm bất động trên đoạn varying-time delays, J. Korean Statist. Soc, 43: 599-608, Vietnam. [0, b1 ] , đó chính là nghiệm tích phân của bài toán [3] Dung, N.T. (2015). Stochastic Volterra (1) – (3). Rõ ràng, nghiệm này có thể được tiếp tục integro-differential equations driven by fractional kéo dài trong các khoảng thời gian liên tiếp và quá Brownian motion in a Hilbert space, Stochastics, trình này có thể được lặp lại trong toàn bộ khoảng 87: 142-159, Vietnam. [−r, b] sau hữu hạn bước tương tự. Định lí được [4] Mishura, Y. (2008). Stochastic Calculus for chứng minh. Fractional Brownian Motion and Related Topics, 3. Kết luận in: Lecture Notes in Mathematics, 1929. Trong bài báo này chúng tôi sử dụng các kiến [5] Nualart, D. (2006). The Malliavin Calculus thức liên quan đến lí thuyết phương trình vi phân and Related Topics, Second Edition, Springer- ngẫu nhiên, chuyển động Brown bậc phân số, lí Verlag, Berlin. thuyết nửa nhóm… và nguyên lí điểm bất động để [6] Pazy, A. (1983). Semigroups of Linear thu được một kết quả mới về tính giải được và tính Operators and Applications to Partial Differential duy nhất nghiệm đối với lớp phương trình vi tích Equations. In: Applied Mathematical Sciences, 44. phân ngẫu nhiên trung tính có xung và chuyển động Springer-Verlag, New York. Brown bậc phân số chứa trễ hữu hạn, Định lí 2.2.2. [7] Tindel, S., Tudor, C.A., Viens, F. (2003). REFERENCES Stochastic evolution equations with fractional [1] Caraballo, T., Garrido-Atienza, M.J., Brownian motion, Probability Theory and Related Fields, 127: 186-204. Taniguchi, T. (2011).The existence and exponential behavior of solutions to stochastic delay evolution [8] Yang, H., Jiang, F. (2013). Exponential stability of mild solutions to impulsive stochastic equations with a fractional Brownian motion, neutral partial differential equations with memory, Nonlinear Analysis, 74: 3671-3684. Advances in Difference Equations.

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

THÔNG TIN

TRỢ GIÚP

HỖ TRỢ KHÁCH HÀNG

Theo dõi chúng tôi

Chịu trách nhiệm nội dung:

Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA

LIÊN HỆ

Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM

Hotline: 093 303 0098

Email: support@tailieu.vn

Giấy phép Mạng Xã Hội số: 670/GP-BTTTT cấp ngày 30/11/2015 Copyright © 2022-2032 TaiLieu.VN. All rights reserved.