Tính toán dao động của hệ có hữu hạn bậc tự do

KHOA H“C & C«NG NGHª<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> TÈnh to¾n dao ½îng cÔa hè cÍ hùu hÂn bâc tú do<br /> TS. PhÂm V×n Trung<br /> <br /> <br /> Tóm tắt 1. Dao động của hệ có hữu hạn bậc tự do<br /> <br /> Nội dung bài báo giới thiệu Dao động của hệ có hữu hạn bậc tự do là một bài toán có ý nghĩa nhiều<br /> trong thực tế khi thiết kế các công trình cao tầng. Khi phân tích động các<br /> một phương pháp tính toán dao<br /> công trình cao tầng chúng ta thường quy khối lượng về những vị trí tập<br /> động riêng và dao động cưỡng trung nhất định và coi là hệ có hữu hạn bậc tự do. Trong giáo trình ổn định<br /> bức của hệ có hữu hạn bậc tự do và động lực học công trình đã trình bầy kỹ về vấn đề này theo hướng của<br /> trên nền phương pháp chuyển phương pháp lực. Bài báo này giới thiệu một phương pháp tính toán dao<br /> vị của cơ học kết cấu và ngôn động riêng và dao động cưỡng bức của hệ có hữu hạn bậc tự do trên nền<br /> ngữ ma trận thông dụng cho lập phương pháp chuyển vị của cơ học kết cấu và ngôn ngữ ma trận thông<br /> trình tính toán bằng số. dụng cho lập trình tính toán bằng số.<br /> 2. Xây dựng và giải bài toán dao động của hệ có hữu hạn bậc tự do<br /> <br /> Abstract a. Xây dựng hệ phương trình dao động<br /> <br /> Contents of the article introduces Xét hệ có n bậc tự do có n khối lượng tập trung mi ; (i=1, 2, 3, …,n).<br /> a method of calculating its own tương ứng với nó là n chuyển vị độc lập cần xác định yi ( t ) . Chịu n lực tập<br /> oscillations and forced oscillations<br /> trung vào khối lượng Pi ( t ) tác dụng theo phương của chuyển vị. Và n lực<br /> of the system has finite degree of<br /> freedom based displacement method quán tính − mi <br /> yi tương ứng với chuyển vị yi(t ) như hình 1. Nếu thêm số<br /> of textures mechanics and matrix chuyển vị là góc xoay quanh một điểm thì tương ứng với nó ta thay khối<br /> lượng bằng mômen quán tính khối lượng đối với điểm đó.<br /> popular language for programming<br /> calculations by number. Do đó ngoại lực tại điểm i là:<br /> <br /> = yi ;<br /> Ri Pi(t ) − mi  i=1, 2, 3, …,n. (1)<br /> Biểu diễn dưới dạng véc tơ ta có:<br />   <br /> R= P − my; (2)<br /> TS. Phạm Văn Trung Trong đó:<br /> BM Sức bền vật liệu - Cơ học kết cấu, <br /> Khoa Xây dựng<br /> R = { R1 R2 R3 ... Rn }<br /> <br /> ĐT: 0912 288 393 P = { P1 P2 P3 ... Pn } (3)<br /> <br /> m = {m1 m2 m3 ... mn }<br /> <br /> y = { <br />  y1 <br /> y2  yn }<br /> y3 ... <br /> Phương trình cân bằng giữa nội lực và ngoại lực theo có học có dạng:<br />  <br /> 0; (4)<br /> AN + R =<br /> Trong đó: A = {ai , j } ; là ma trận hệ số;<br /> i=1, 2, 3, …,n. j=1, 2, 3,…, m.<br /> m số lượng nội lực trong các phần tử.<br /> <br /> N = { N1 N2 N 3 ... N n } véc tơ nội lực (5)<br /> Quan hệ giữa chuyển vị và biến dạng<br />    <br /> AT U + λ =0; ⇒ λ =− AT U ; (6)<br /> Trong đó:<br /> <br /> U = { y1 y2 y3 ... yn } véc tơ chuyển vị.<br /> <br /> <br /> <br /> 18 T„P CHŠ KHOA H“C KI¦N TR”C - XŸY D¼NG<br />  p1 sinrt p2 sinrt pi sinrt pn sinrt<br /> EI<br /> m1 m2 mi mn<br /> y1 yn<br /> y2 yi<br /> Hình 1. Mô hình hệ có hữu hạn bậc tự do<br /> <br /> <br /> λ = {λ1 λ2 λ3 ... λn } véc tơ biến dạng.<br /> <br /> AT ma trận chuyển vị của A<br />  <br /> Quan hệ giữa nội lực và biến dạng: N = C λ ; với C là ma trận độ cứng. (7)<br /> Thay (7) vào (6) rồi vào (4) ta được:<br />  <br /> ACAT U = R; (8)<br /> Chú ý thêm đến lực quán tính ta có:<br />   <br /> R; <br /> ACAT U + my = (9)<br /> <br /> <br /> Gọi: ACAT = Ψ = {ξi , j } ; i,j=1, 2, 3, …, n.<br /> Khai triển (9) ta có:<br /> <br /> ξ11 y1 +ξ12 y2 +ξ13 y3 ... +ξ1 j y j ... +ξ1n yn + m1 <br /> y1 P1<br /> =<br /> ξ y +ξ 22 y2 +ξ 23 y3 ... +ξ 2 j y j ... +ξ 2 n yn + m2 <br /> y2 P2<br /> =<br />  21 1<br /> ξ31 y1 +ξ32 y2 +ξ33 y3 ... +ξ3 j y j ... +ξ3n yn + m3 <br /> y3 P3<br /> =<br />  <br />  ... (10)<br /> ξ y +ξi 2 y2 +ξi 3 y3 ... +ξij y j ... +ξin yn + mi <br /> yi Pi<br /> =<br />  i1 1<br />  ...<br /> ξ y +ξ n 2 y2 +ξ n 3 y3 ... +ξ nj y j ... +ξ nn yn + mn <br /> yn Pn<br /> =<br />  n1 1<br /> Mặt khác ta có thể thiết lập (10) theo trình tự như phương pháp chuyển vị.<br /> • Coi mỗi khối lượng tập trung như một nút có chuyển vị thẳng theo phương của lực tác dụng và đặt một liên kết<br /> thanh cản trở chuyển động này ta có hệ cơ bản của phương pháp chuyển vị. Nếu kể đến chuyển vị xoay thì ta tăng<br /> thêm ẩn số là chuyển vị xoay của nút.<br /> <br /> • Hệ phương trình chính tắc với ẩn số là các chuyển vị yi(t ) có dạng<br /> ξ11 y1 +ξ12 y2 +ξ13 y3 ... +ξ1 j y j ... +ξ1n yn = P1 − m1 <br /> y1<br /> ξ y +ξ 22 y2 +ξ 23 y3 ... +ξ 2 j y j ... +ξ 2 n yn = P2 − m2 <br /> y2<br />  21 1<br /> ξ31 y1 +ξ32 y2 +ξ33 y3 ... +ξ3 j y j ... +ξ3n yn = P3 − m3 <br /> y3<br /> <br />  ...<br /> ξ y +ξi 2 y2 +ξi 3 y3 ... +ξij y j ... +ξin yn = Pi − mi <br /> yi<br />  i1 1<br />  ...<br /> ξ y +ξ n 2 y2 +ξ n 3 y3 ... +ξ nj y j ... +ξ nn yn = Pn − mn <br /> yn<br />  n1 1<br /> Cho yi(t ) = 1 và vẽ các biểu đồ Mi ta xác định ξi , j như các hệ số ri , j trong cơ học kết cấu.<br /> b. Xác định tần số và dạng dao động riêng<br /> Để xác định tần số và dạng của dao động riêng ta coi vế phải của (10) bằng không. Đây là hệ phương trình vi phân<br /> <br /> <br /> S¬ 19 - 2015 19<br />  KHOA H“C & C«NG NGHª<br /> <br /> <br /> p1 sinrt p2 sinrt<br /> EI<br /> m1 m2<br /> l l l<br /> <br /> 1 2<br /> <br /> <br /> y1 y2<br /> l l l<br /> Hình 2. Sơ đồ phân tích động và hệ cơ bản<br /> <br /> <br /> cấp hai thuần nhất.<br /> Tìm nghiệm tổng quát dưới dạng:<br /> <br /> =yit Ai sin (ωt + ϕ )<br /> (11)<br /> −ω 2 Ai sin (ωt + ϕ )<br /> yit =<br /> <br /> <br /> Thay (11) vào (10) với Pi = 0 , và sin (ωt + ϕi ) ≠ 0 ta có:<br /> <br /> ξ11 A1 +ξ12 A2 +ξ13 A3 ... +ξ1 j Aj ... +ξ1n An − ω 2 m1 A1 0<br /> =<br /> <br /> ξ 21 A1 +ξ 22 A2 +ξ 23 A3 ... +ξ 2 j Aj ... +ξ 2 n An − ω 2 m2 A2 0<br /> =<br /> ξ31 A1 +ξ32 A2 +ξ33 A3 ... +ξ3 j Aj ... +ξ3n An − ω 2 m3 A3 0<br /> =<br /> <br />  ... (12)<br /> ξ A +ξi 2 A2 +ξi 3 A3 ... +ξij Aj ... +ξin An − ω mi Ai<br /> 2<br /> 0<br /> =<br />  i1 1<br />  ...<br /> <br /> ξ n1 A1 +ξ n 2 A2 +ξ n 3 A3 ... +ξ nj Aj ... +ξ nn An − ω 2 mn An 0<br /> =<br /> Hoặc rút gọn nhóm các ẩn số Ai ta có:<br /> <br /> (ξ11 − ω 2 m1 ) A1 +ξ12 A2 +ξ13 A3 ... +ξ1 j Aj ... +ξ1n An 0<br /> =<br /> <br />  ξ 21 A1 + (ξ 22 − ω m2 ) A2<br /> 2<br /> +ξ 23 A3 ... +ξ 2 j Aj ... +ξ 2 n An =0<br /> <br />  ξ31 A1 +ξ32 A2 + (ξ33 − ω 2 m3 ) A3 ... +ξ3 j Aj ... +ξ3n An =0<br /> <br />  ... (13)<br /> <br />  ξi1 A1 +ξi 2 A2 +ξi 3 A3 ... + (ξij − ω 2 mi ) Aj ... +ξin An =0<br /> <br />  ...<br /> <br />  ξ n1 A1 +ξ n 2 A2 +ξ n 3 A3 ... +ξ nj Aj ... + (ξ nn − ω 2 mn ) An =0<br /> Điều kiện để tồn tại dao động là:<br /> <br /> (ξ 11 − ω 2 m1 ) ξ12 ξ13 ξ1 j ξ1n<br /> ξ 21 (ξ 22 − ω 2 m2 ) ξ 23 ξ2 j ξ2n<br /> ξ31 ξ32 (ξ 33 − ω 2 m3 ) ξ3 j ξ3n<br /> D= ... (14)<br /> <br /> ξi1 ξi 2 ξi 3 (ξ ij − ω 2 mi ) ξin<br /> ...<br /> ξ n1 ξn2 ξn3 ξ nj (ξ nn − ω 2 mn )<br /> <br /> Do ý nghĩa vật lý của bài toán, phương trình tần số (14) có n nghiệm thực ω1 ω2 ω3 ... ωi ... ωn .Tần<br /> số nhỏ nhất gọi là tần số dao động cơ bản của hệ.<br /> <br /> <br /> <br /> 20 T„P CHŠ KHOA H“C KI¦N TR”C - XŸY D¼NG<br />  3EI 6EI 6EI<br /> l2 l2 l2<br /> y1=1<br /> 6EI 6EI 3EI<br /> l2 l2 l2<br /> <br /> y2=1<br /> Hình 3. Các biểu đồ mô men đơn vị<br /> <br /> Mọi tổ hợp tần số dao động riêng của hệ được gọi là phổ các tần số của hệ.<br /> c. Dao động cưỡng bức và cộng hưởng với tải trọng điều hòa<br /> <br /> Giả sử tải trọng cưỡng bức có dạng điều hòa: Pi(t ) = Pi sinψ t ; (15)<br /> Thay (15) vào (3.10) và tìm nghiệm dưới dạng<br /> <br /> Bi sinψ t ; → <br /> yit = −ψ 2 Bi sinψ t<br /> yit = (16)<br /> <br /> Bi<br /> Thay (15) và (16) vào (10) và giản ước ta có hệ phương trình xác định<br /> <br /> ξ11 B1 +ξ12 B2 +ξ13 B3 ... +ξ1 j B j ... +ξ1n Bn + ψ 2 m1 B1 P1<br /> =<br /> <br /> ξ 21 B1 +ξ 22 B2 +ξ 23 B3 ... +ξ 2 j B j ... +ξ 2 n Bn + ψ 2 m2 B2 P2<br /> =<br /> ξ31 B1 +ξ32 B2 +ξ33 B3 ... +ξ3 j B j ... +ξ3n Bn + ψ 2 m3 B3 P3<br /> =<br />  (17)<br />  ...<br /> ξ B +ξi 2 B2 +ξi 3 B3 ... +ξij B j ... +ξin Bn + ψ 2 mi Bi Pi<br /> =<br />  i1 1<br />  ...<br /> <br /> ξ n1 B1 +ξ n 2 B2 +ξ n 3 B3 ... +ξ nj B j ... +ξ nn Bn + ψ 2 mn Bn Pn<br /> =<br /> Giải hệ phương trình này ta tìm được Bi<br /> Ta nhận thấy khi ψ ≈ ωi là nghiệm của (12) thì D≈0 và biên độ tăng vô hạn xuất hiện hiện tượng cộng hưởng.<br /> <br /> Sau khi giải phương trình tìm được biên độ dao động Bi ta tính được ngoại lực tác dụng lên các khối lượng mi<br /> theo (1)<br /> <br /> Ri =Pi(t ) − mi <br /> yi(t ) =Pi sinψ t + mi .ψ 2 Bi sinψ t ; i=1, 2, 3, …,n. <br /> <br /> Biên độ lớn nhất của tải trọng là khi sinψ t = 1 ; từ kết quả này ta vẽ biểu đồ mô men động của hệ như bài toán<br /> tỉnh.<br /> d. Ví dụ:<br /> Xác định tần số và dạng dao động riêng của hệ cho như hình vẽ, vẽ biểu đồ mômen động cho hệ. Cho biết:<br /> kN kN 1<br /> E 2,1.104<br /> = I 8880cm 4<br /> = m<br /> =1 m=<br /> 2 1, 02 l 2m =<br /> = P1 6kN P<br /> =2 12kN =<br /> r 50.<br /> cm 2 cm 2 s<br /> 3EI 1 -12EI -12EI 2 3EI 12 EI 15 EI<br /> l3 3<br /> l l3 ξ11 = + 3 = 3 ;<br /> l3 l l<br /> ξ11 ξ21<br /> 12 EI 3EI 15 EI<br /> ξ 22 = + 3 = ;<br /> -12EI 1 12EI<br /> l3<br /> 2 -3EI<br /> l3<br /> l3 l l3<br /> l3<br /> 12 EI<br /> ξ12 = ξ 21 = − 3 ;<br /> ξ12 ξ22 l<br /> Phương trình tần số<br /> <br /> ξ11 − mω 2 ξ12<br /> D = 0; : → (ξ11 − mω 2 ) × (ξ 22 − mω 2 ) − ξ 21 × ξ12 =<br /> 0<br /> ξ 21 ξ 22 − mω 2<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> S¬ 19 - 2015 21<br />  KHOA H“C & C«NG NGHª<br /> <br /> <br /> EI<br /> A1 m1 A2 m2<br /> <br /> Hình 4. Dạng dao động thứ nhất<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> m1 A2 EI<br /> A1 m2<br /> <br /> Hình 5. Dạng dao động thứ hai<br /> <br /> <br /> r1=11,0388 r2=17,2938<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> 26,2476 30,4176<br /> Hình 6. Biểu đồ mô men động<br /> <br /> <br /> <br />  3EI<br />  mω12 = 3<br />  15 EI 2   15 EI 2  12 EI 12 EI  l<br />  3 − mω  ×  3 − mω  − 3 × 3 = 0; → <br />  l   l  l l mω 2 = 27 EI<br />  2 l3<br />  3EI 3 × 2,1×10−8 × 8880 ×108<br /> =ω1 = = 82,8<br />  ml 3 1, 02 × 23<br /> Tần số dao động riêng: <br />  3EI 27 × 2,1×10−8 × 8880 ×108<br /> =ω<br />  2 = = 248, 4<br />  ml 3 1, 02 × 23<br /> Dạng dao động riêng:<br /> <br /> 15 EI 3EI<br /> 3EI − 3<br /> ω1 = 82,8; m1ω = 3<br /> 2 ξ11 − m1ω12 3<br /> l= l<br /> Dạng 1: ứng với 2 A1=1; A2<br /> : cho= = 1;<br /> l ξ12 12 EI<br /> l3<br /> 15 EI 27 EI<br /> 27EI − 3<br /> ξ11 − m1ω12 l 3<br /> l<br /> Dạng 2: ứng với ω1 = 248, 4; m1ω22 = : cho A1=1; A2 = = = −1;<br /> l3 ξ12 12 EI<br /> l3<br /> Vẽ biểu đồ mômen động<br /> 15 EI 15 × 2,1×10−8 × 8880 ×108 15 EI 15 × 2,1×10−8 × 8880 ×108<br /> ξ11 =<br /> = = 34965;= ξ 22 = = 34965;<br /> l3 23 l3 23<br /> 12 EI 12 × 2,1×10−8 × 8880 ×108<br /> ξ12 =ξ 21 = 3 = 3<br /> = 27972; mr 2 =1, 02 × 502 = 2550;<br /> l 2<br /> (xem tiếp trang 56)<br /> <br /> <br /> 22 T„P CHŠ KHOA H“C KI¦N TR”C - XŸY D¼NG<br />