Toán học lớp 10: Định lí vi-et (phần 1) - Thầy Đặng Việt Hùng

Chia sẻ: Thành Chung | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:6

Thêm vào BST

Báo xấu

852
lượt xem 123
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tài liệu "Toán học lớp 10: Định lí vi-et (phần 1) - Thầy Đặng Việt Hùng" cung cấp 1 số bài tập ví dụ kèm theo hướng dẫn lời giải. Mời các bạn cùng tham khảo tài liệu sau để ôn tập và bổ sung kiến thức đạt hiệu quả.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Toán học lớp 10: Định lí vi-et (phần 1) - Thầy Đặng Việt Hùng

Khóa h c Toán Cơ b n và Nâng cao 10 – Th y NG VI T HÙNG Facebook: LyHung95 04. Th y NH LÍ VI-ÉT – P1 ng Vi t Hùng [ VH] L I GI I CHI TI T CÁC BÀI T P CÓ T I WEBSITE MOON.VN [Tab Toán h c – Khóa Toán cơ b n và Nâng cao 10 – Chuyên PT và h PT] b   S = x1 + x2 = − a  Khi phương trình ax 2 + bx + c = 0 có hai nghi m phân bi t x1 và x2 thì ta có h th c Vi-ét:  P = x x = c 1 2  a  M t s các k t qu c n lưu ý: 2 x12 + x2 = ( x1 + x2 ) − 2 x1 x2 = S 2 − 2 P 2 3 3 x1 + x2 = ( x1 + x2 ) − 3x1 x2 ( x1 + x2 ) = S 3 − 3SP 3 4 2 x14 + x2 = x12 + x2 ( ) 2 2 − 2 x12 x2 = S 2 − 2 P ( ) 2 − 2P2 ( x1 − x2 )2 = ( x1 + x2 )2 − 4 x1 x2 = S 2 − 4 P Chú ý:  b 2 − 4ac > 0  ∆ > 0 −b  Phương trình có hai nghi m dương phân bi t khi  ⇔  S = x1 + x2 = >0 x1 ; x2 > 0 a   c   P = x1 x2 = a > 0   b 2 − 4ac > 0  ∆ > 0 −b  Phương trình có hai nghi m âm phân bi t khi  ⇔  S = x1 + x2 = 0  Phương trình có hai nghi m trái d u ⇔ ac < 0. Phương trình có hai nghi m phân bi t và u l n hơn α khi  b 2 − 4ac > 0 b 2 − 4ac > 0 ∆ > 0   ∆ > 0  −b −b   ⇔  x1 + x2 > 2α ⇔  S = x1 + x2 = > 2α ⇔  S = x1 + x2 = > 2α  a a  x1 ,x2 > α  x −α x −α >0   )( 2 ) ( 1 b  x1 x2 − α ( x1 + x2 ) + α 2 > 0 c 2   a + α. a + α > 0  Phương trình có hai nghi m phân bi t và u nh hơn α khi  b 2 − 4ac > 0 b 2 − 4ac > 0 ∆ > 0   ∆ > 0  −b −b   ⇔  x1 + x2 < 2α ⇔  S = x1 + x2 = < 2α ⇔  S = x1 + x2 = < 2α  a a  x1 ,x2 < α  x −α x −α >0   )( 2 ) ( 1 b  x1 x2 − α ( x1 + x2 ) + α 2 > 0 c 2   a + α. a + α > 0  ∆ > 0  ∆ > 0  ∆ > 0 Phương trình có hai nghi m phân bi t và u khác α khi  ⇔ ⇔ 2    x1 ; x2 ≠ α  g ( α ) ≠ 0  aα + bα + c ≠ 0 Tham gia khóa Toán Cơ b n và Nâng cao 10 t i MOON.VN có s chu n b t t nh t cho kì thi THPT qu c gia! Khóa h c Toán Cơ b n và Nâng cao 10 – Th y NG VI T HÙNG Facebook: LyHung95 Phương trình có m t nghi m và nghi m này l n hơn α khi  ∆ = 0  ∆ = 0  ∆ = 0  ∆ = 0       x1 = x2 = −b > α   x = x = −b > α   x = x = −b > α   x1 = x2 = −b > α  2 2  1 2a   1  2a 2a  2a ⇔  ⇔  ⇔      ∆ > 0    ∆ > 0  ∆ > 0  ∆ > 0  c  b 2  x x − α ( x + x ) + α2 < 0  ( x1 − α )( x2 − α ) < 0   x1 < α < x2   + α. + α < 0 1 2      1 2 a a  Phương trình có m t nghi m và nghi m này nh hơn α khi  ∆ = 0  ∆ = 0  ∆ = 0  ∆ = 0          x = x2 = −b < α  −b  −b −b   x =x =  x =x =  x1 = x2 = 0  ∆ > 0  c b 2  x x − α ( x + x ) + α2 < 0  ( x1 − α )( x2 − α ) < 0   x1 < α < x2   + α. + α < 0  1 2     1 2 a  a Ví d 1: [ VH]. Cho phương trình ( m + 1) x 2 + 4mx + 2m + 3 = 0, (1) a) Gi i và bi n lu n phương trình ã cho. b) Tìm m phương trình có hai nghi m dương phân bi t. c) Tìm m phương trình có hai nghi m phân bi t, và c hai nghi m u nh hơn −1. L i gi i: a) Gi i và bi n lu n phương trình. 5 N u m + 1 = 0 ⇔ m = −1 thì (1) ⇔ −4 x − 5 = 0 ⇔ x = − . 4 N u m + 1 ≠ 0 ⇔ m ≠ −1 thì (1) là phương trình b c hai có ∆′ = 4m 2 − ( m + 1)( 2m + 3) = 2m 2 − 5m − 3 1 + N u ∆′ < 0 ⇔ 2m 2 − 5m − 3 < 0 ⇔ − < m < 3 thì (1) vô nghi m. 2 m = 3 b′ −2m + N u ∆ ′ = 0 ⇔ 2m 2 − 5m − 3 = 0 ⇔  . 1 thì (1) có nghi m kép x = − = m = − a m +1  2 m>3  −2m ± 2m 2 − 5m + 3 . + N u ∆ ′ > 0 ⇔ 2m 2 − 5m − 3 > 0 ⇔  thì (1) có 2 nghi m phân bi t x1;2 = m < − 1 m +1  2 m > 3 2 b) Phương trình (1) có hai nghi m phân bi t khi ∆′ > 0 ⇔ 2m − 5m − 3 > 0 ⇔  ( *) m < − 1  2 G i hai nghi m phân bi t là x1 ; x2 v i x2 > x1. b 4m   x1 + x2 = − a = m + 1  Theo nh lí Vi-ét ta có   x x = c = 2m + 3  1 2 a m +1  −1 < m < 0  4m − >0   m +1  x1 + x2 > 0    m > −1 ⇔ ⇔   vno . → Hai nghi m u dương khi  x1 x2 > 0 2m + 3   m < − 3 >0  m +1   2  c) Hai nghi m ( x1 + 1)( x2 + 1) > 0  u nh hơn −1 khi   x1 + x2 < −2  Tham gia khóa Toán Cơ b n và Nâng cao 10 t i MOON.VN có s chu n b t t nh t cho kì thi THPT qu c gia! Khóa h c Toán Cơ b n và Nâng cao 10 – Th y NG VI T HÙNG Facebook: LyHung95  2 m + 3 4m  −m + 4  −1 < m < 4 − +1 > 0  >0   x1 x2 + ( x1 + x2 ) + 1 > 0  m + 1 m + 1   m +1  ⇔ ⇔ ⇔ m > 1 ⇔ 1 < m < 4.   x1 + x2 < −2   − 4m < −2  4m − 2 > 0   m < −1   m +1 m +1   i chi u v i i u ki n (*) v t n t i hai nghi m phân bi t ta ư c 3 < m < 4 là giá tr c n tìm. Ví d 2: [ VH]. Cho phương trình ( x + 2 ) ( x 2 + mx − 2m + 1) = 0, (1) . a) Tìm m b) Tìm m c) Tìm m phương trình có ba nghi m phân bi t. phương trình có ba nghi m phân bi t, trong ó có hai nghi m âm. 2 2 phương trình có ba nghi m phân bi t x1; x2; x3 th a mãn x12 + x2 + x3 < 7. L i gi i:  x = −2 a) Ta có (1) ⇔  2  g ( x) = x + mx − 2m + 1 = 0, ( 2 )  Phương trình (1) có ba nghi m phân bi t khi phương trình (2) có hai nghi m phân bi t và khác −2.   m > −4 + 2 5   2 ∆ g > 0 m2 + 8m − 4 > 0   m < −4 − 2 5  m − 4 (1 − 2m ) > 0 i u ó x y ra khi  ⇔ ⇔ ⇔  (*)  g (−2) ≠ 0 4 − 2m − 2m + 1 ≠ 0 4m ≠ 5    5 m ≠ 4    m > −4 + 2 5   V y v i   m < −4 − 2 5 thì phương trình ã cho có 3 nghi m phân bi t.  5 m ≠ 4  b) Do nghi m x = −2 < 0 nên (1) có 3 nghi m trong ó 2 nghi m âm thì (2) ph i có hai nghi m trái d u. 1 T ó ta có P < 0 ⇔ 1 − 2m < 0 ⇔ m > . 2 Giá tr này th a mãn i u ki n (*) nên là giá tr c n tìm. c) Không m t tính t ng quát, gi s x1 = −2. Khi ó x2 ; x3 là hai nghi m phân bi t c a (2).  x2 + x3 = −m Theo nh lí Vi-ét ta ư c   x2 x3 = 1 − 2m 2 2 Khi ó x12 + x2 + x3 < 7 ⇔ 4 + ( x2 + x3 ) − 2 x2 x3 < 7 ⇔ m 2 − 2 (1 − 2m ) − 3 < 0 ⇔ m 2 + 4m − 5 < 0 ⇔ −5 < m < 1. 2 K t h p v i i u ki n (*) ta ư c −4 + 2 5 < m < 1 là giá tr c n tìm. Ví d 3: [ VH]. Cho phương trình x 2 − 2 x − 15 = 0 có 2 nghi m x1 , x2 . Không gi i phương trình, tính: 4 C = x14 + x2 . L i gi i: Vì a, c trái d u nên phương trình có 2 nghi m x1 , x2 . Ta có: b c S = x1 + x2 = − = 2; P = x1 x2 = = −15 nên : a a 2 2 2 A = x1 + x2 = ( x1 + x2 ) − 2 x1 x2 = 4 + 30 = 34 2 A = x12 + x2 , 3 3 B = x1 + x2 , 3 3 B = x1 + x2 = ( x1 + x2 ) − 3 x1 x2 ( x1 + x2 ) = 8 + 90 = 98 3 4 2 C = x14 + x2 = x12 + x2 ( ) 2 − 2 ( x1 x2 ) = 342 − 2 ( −15 ) = 706 2 2 Ví d 4: [ VH]. Cho phương trình x 2 − 3x − 7 = 0 có 2 nghi m x1 , x2 . Không gi i phương trình, tính: D = x1 − x2 , E= 1 1 + , x1 − 1 x2 − 1 2 F = ( 3 x1 + x2 )( 3 x2 + x1 ) . L i gi i: Ta có : S = x1 + x2 = 3; P = x1 x2 = −7 nên D = x12 + x12 − 2 x1 x2 = S 2 − 4 P ⇒ D = S 2 − 4 P = 37 Tham gia khóa Toán Cơ b n và Nâng cao 10 t i MOON.VN có s chu n b t t nh t cho kì thi THPT qu c gia! Khóa h c Toán Cơ b n và Nâng cao 10 – Th y E= NG VI T HÙNG Facebook: LyHung95 ( x1 + x2 ) − 2 = S − 2 = 1 x2 − 1 + x1 − 1 = ( x1 − 1)( x2 − 1) x1 x2 − ( x1 + x2 ) + 1 P − S + 1 9 2 F = 9 x1 x2 + 3 x12 + x2 + x1 x2 = 3S 2 + 4 P = 1 . ( ) Ví d 5: [ VH]. Cho phương trình b c hai ax 2 + bx + c = 0, a ≠ 0 có 2 nghi m x1 , x2 . Ch ng minh ax 2 + bx + c = a ( x − x1 )( x − x2 ) . Áp d ng phân tích ra th a s : f ( x ) = −2 x 2 − 7 x + 4, g ( x ) = Ta có x1 + x2 = − ( 2 + 1 x2 − 2 ) ( 2 + 1 x + 2. ) L i gi i: b c và x1 x2 = . a a 2 b c    Do ó ax 2 + bx + c = a  x 2 + x +  = a  x 2 − ( x1 + x2 ) x + x1 x2  = a ( x1 − x2 )( x − x2 ) . a a  1 1  Vì f ( x ) có hai nghi m là −4 và nên phân tích thành f ( x ) = −2 ( x + 4 )  x −  = ( x + 4 )(1 − 2 x ) . 2 2  Vì g ( x ) có hai nghi m là g ( x) = ( 2 nên phân tích thành 2 +1  2  2 +1 x − 2  x =  = x − 2  2 +1 x − 2 .     2 +1  2 và )( ) ( )( ) Ví d 6: [ VH]. 2 x 2 − 2 x − 12 x 4 − 9 x 2 + 20 a) ơn gi n A = 2 , B= 4 x + x − 12 x − 10 x 2 + 24 b) Phân tích thành nhân t P ( x, y ) = 4 x 2 − x 2 y 2 + 2 x 2 y − x 2 + 2 xy − 2 x − 1 a) A = 2 x − 2 x − 12 2 ( x + 2 )( x − 3) 2 ( x + 2 ) = = ,x≠3 x+4 x 2 + x − 12 ( x − 3)( x + 4 ) 2 L i gi i: x2 − 4 x2 − 5 x 4 − 9 x 2 + 20 x2 − 5 B= 4 = 2 = 2 , x ≠ ±2 x − 10 x 2 + 24 x −6 x − 4 x2 − 6 ( ( )( )( ) ) b) Ta có th vi t thành tam th c b c hai theo y P ( x, y ) = − x 2 y 2 + 2 x 2 + x y + 4 x 4 − x 2 − 2 x − 1 . Bi t s ∆ ' = x 2 + x y1 = 2 3 2 3 ( ) ( ) 2 + x 2 4 x 4 − x 2 − 2 x − 1 = 4 x 6 nên ( ) −x − x − 2x −x − x + 2x . y2 = . V y P ( x, y ) = − xy − x − 1 − 2 x 2 2 2 −x −x ( )( xy − x − 1 + 2 x ). 2 Ví d 7: [ VH]. Tìm các giá tr c a m 2 phương trình : 3 3 a) x − 4 x + m − 1 = 0 có nghi m là x1, x2 mà x1 + x2 = 40 . b) x 2 + ( 4m + 1) x + 2 ( , −4 ) = 0 có 2 nghi m và hi u s gi a nghi m l n và nghi m bé b ng 17. L i gi i: a) i u ki n có nghi m là ∆ = 4 − ( m − 1) = 5 − m ≥ 0 hay m ≤ 5 . 3 3 Khi ó x1 + x2 = 4 và x1 x2 = m − 1 . Ta có : x1 + x2 = ( x1 + x2 ) − 3 x1 x2 ( x1 + x2 ) = 43 − 12 ( m − 1) = 76 − 12m nên 3 3 3 x1 + x2 = 40 ⇔ 76 − 12m = 40 ⇔ 12m = 36 ⇔ m = 3 (th a mãn). b) ∆ = ( 4m + 1) − 8 ( m − 4 ) = 16m 2 + 33 > 0, ∀m, 2 2 2 Ta có x1 + x2 = − ( 4m + 1) , x1 x2 = 2 ( m − 4 ) . Gi s x1 > x2 thì x1 − x2 = 17 ⇔ ( x1 − x2 ) = 289 ⇔ ( x1 + x2 ) − 4 x1 x2 = 289 ⇔ 16m 2 + 33 = 289 ⇔ m 2 = 16 ⇔ m = ±4. Ví d 8: [ VH]. Cho phương trình b c hai ( m + 2 ) x 2 − 2 ( m − 1) + 3 − m = 0 . Tham gia khóa Toán Cơ b n và Nâng cao 10 t i MOON.VN có s chu n b t t nh t cho kì thi THPT qu c gia! Khóa h c Toán Cơ b n và Nâng cao 10 – Th y NG VI T HÙNG Facebook: LyHung95 2 a) Tìm m phương trình có hai nghi m x1 , x2 và th a mãn h th c x12 + x2 = x1 + x2 . b) Tìm m t h t th c gi a x1 , x2 không ph thu c vào m. x −1 x −1 c) L p phương trình b c hai có các nghi m: X 1 = 1 , X 2 = 2 . x1 + 1 x2 + 1 L i gi i: 2 2 2 a) x1 + x2 = x1 + x2 ⇔ ( x1 + x2 ) − 2 x1 x2 = x1 + x2 hay S 2 − 2 P = S 2 i u ki n phương trình có 2 nghi m x1 , x2 và th a mãn h th c x12 + x2 = x1 + x2 là : 5  2m2 − 3m − 5 ≥ 0 5  m < −1 hay m > 2 ∆ ' ≥ 0   m < −1 hay m >  ⇔   m − 1 2 . 2⇔  2 3 − m 2 ( m − 1) ⇔  = S − 2P = S 4   m 2 − 3m − 1 = 0  m = 3 ± 13   −2  m+2 m+2  m+2  2  2 ( m − 1) 2 ( m + 2 − 3) 6 3−m 5− 2− m 5 b) S = = =2− ;P= = = −1 + . m+2 m+2 m+2 m+2 m+2 m+2 Kh m ta có 5S + 6 P = 4 ⇔ 5S + 6 P − 4 = 0 hay 5 ( x1 + x2 ) + 6 x1 x2 − 4 = 0. ây là 1 h th c gi a x1 , x2 không ph thu c vào m. c) l p m t phương trình b c hai có các nghi m là X 1 , X 2 ta tính X 1 + X 2 và X 1 X 2 . Ta có : X1 + X 2 = X1 X 2 = x2 − 1 x1 − 1 x1 x2 − ( x1 + x2 ) + 1 P − S + 1 7 − 2m . = = = . x1 + 1 x2 + 1 x1 x2 + ( x1 + x2 ) + 1 P + S + 1 3 + 2m 2 ( x1 x2 − 2 ) x1 − 1 x2 − 1 ( x1 − 1)( x2 + 1) + ( x2 − 1)( x1 + 1) 2P − 2 2 − 4m + = = = = . x1 + 1 x2 + 1 x1 + 1)( x2 + 1) x1 x2 + ( x1 + x2 ) + 1 P + S + 1 3 + 2m ( V y phương trình c n tìm là: X − SX + P = 0 hay ( 3 + 2m ) X 2 − ( 2 − 4m ) X + 7 − 2m = 0. Ví d 9: [ VH]. Cho a, b, c là ba s khác nhau, c ≠ 0. Ch ng minh r ng n u hai phương trình x 2 + ax + bc = 0 và x 2 + bx + ca = 0 có úng m t nghi m chung thì các nghi m còn l i c a chúng th mãn phương trình x 2 + cx + ab = 0. L i gi i: Gi s α là nghi m chung c a hai phương trình x 2 + ax + bc = 0 (1) và x 2 + bx + ca = 0 (2) α 2 + aα + bc = 0  Ta có:  2 ⇒ α ( a − b ) + c ( b − a ) = 0 ⇒ ( α − c )( a − b ) = 0 ⇒ α = c ≠ 0. α + bα + ca = 0  Thay α = c vào (1) ta có c 2 + ac + bc = 0 ⇒ c ( a + b + c ) = 0 ⇒ a + b + c = 0 M t khác, theo nh lý Vi-et phương trình (1) còn có nghi m n a là b, phương tình (2) còn có nghi m n a là a. Theo nh lý Vi-et o, a và b là hai nghi m c a phương trình x 2 − ( a + b ) x + ab = 0 ⇔ x 2 + cx + ab = 0 ( pcm). BÀI T P LUY N T P Bài 1: [ VH]. Cho phương trình x 2 − 2(2m + 1) x + 3 + 4m = 0, (*) a) Tìm m (*) có hai nghi m x1, x2. b) Tìm h th c gi a x1, x2 c l p i v i m. 3 3 c) Tính theo m, bi u th c A = x1 + x2 . d) Tìm m (*) có m t nghi m g p 3 l n nghi m kia. 2 2 e) L p phương trình b c hai có các nghi m là x1 ; x2 . Bài 2: [ VH]. Cho phương trình x 2 − 2(m − 1) x + m 2 − 3m = 0, (*) a) Tìm m (*) có nghi m x = 0. Tính nghi m còn l i. b) Khi (*) có hai nghi m x1, x2 . Tìm h th c gi a x1, x2 c) Tìm m 2 (*) có hai nghi m x1, x2 tho : x12 + x2 = 8. cl p i v i m. Tham gia khóa Toán Cơ b n và Nâng cao 10 t i MOON.VN có s chu n b t t nh t cho kì thi THPT qu c gia!