Toán học lớp 10: Phương trình bậc hai- Thầy Đặng Việt Hùng

Chia sẻ: Thành Chung | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:5

Thêm vào BST

Báo xấu

103
lượt xem 32
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tài liệu "Toán học lớp 10: Phương trình bậc hai - Thầy Đặng Việt Hùng" cung cấp 1 số bài tập ví dụ kèm theo hướng dẫn lời giải và một số bài tập tự luyện. Mời các bạn cùng tham khảo tài liệu sau để ôn tập và bổ sung kiến thức đạt hiệu quả.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Toán học lớp 10: Phương trình bậc hai- Thầy Đặng Việt Hùng

Khóa h c Toán Cơ bàn và Nâng cao 10 – Th y NG VI T HÙNG Facebook: LyHung95 03. PHƯƠNG TRÌNH B C HAI Th y ng Vi t Hùng [ VH] L I GI I CHI TI T CÁC BÀI T P CÓ T I WEBSITE MOON.VN [Tab Toán h c – Khóa Toán cơ b n và Nâng cao 10 – Chuyên PT và h PT] Ví d 1: [ VH]. Gi i các phương trình: a) ( 3 x − 5 ) − ( x − 3) = 0 2 2 b) ( 5 − 3 x ) 9 x 2 − 25 = 0 2 c) ( 2 x + 3)( 4 x − 1) = 9 − 4 x ( ) L i gi i: a) Phương trình tương ương: 4 x − 8 = 0 x = 2 ( 3 x − 5 ) + ( x − 3)  . ( 3 x − 5 ) − ( x − 3)  = 0 ⇔ ( 4 x − 8 )( 2 x − 2 ) = 0 ⇔  . ⇔     2 x − 2 = 0 x = 1 V y t p h p nghi m S = {1; 2} . 5  3 x = 5 x = 3 5 − 3 x = 0  5 5 b) ( 5 − 3 x ) 9 x 2 − 25 = 0 ⇔  2 . V y S = − ;  . ⇔  2 25 ⇔  x =  3 3 x = ± 5 9 x − 25 = 0  9   3  ( ) c) ( 2 x + 3)( 4 x − 1) = 9 − 4 x 2 ⇔ ( 2 x + 3)( 4 x − 1) = ( 2 − 3 x )( 3 + 2 x ) ⇔ ( 2 x + 3)( 4 x − 1 − 3 + 2 x ) = 0 3  x = − 2 2 x + 3 = 0  3 2 ⇔ ( 2 x + 3)( 6 x − 4 ) = 0 ⇔  ⇔ . V y S = − ;  .  2 3 x = 2 6 x − 4 = 0  3  Ví d 2: [ VH]. Tìm nghi m g n úng c a phương trình (chính xác n hàng ph n trăm) a) x 2 − 5,60 x + 6, 41 = 0 b) 2 x 2 + 4 3 x − 2 2 = 0 L i gi i: S d ng máy tính, ta tính ư c 2 nghi m g n úng a) x ≈ 4,00; x ≈ 1,60 b) x ≈ 0,38; x ≈ −5, 28 Ví d 3: [ VH]. Gi i và bi n lu n các phương trình: a) x 2 − 4 x + m − 3 = 0 b) ( m − 1) x 2 + 3 x − 1 = 0 L i gi i: a) x − 4 x + m − 3 = 0 có ∆ = 4 − ( m − 3) = 7 − m. Bi n lu n: 2 N u ∆ ' < 0 ⇔ m > 7 thì phương trình vô nghi m N u ∆ ' = 0 ⇔ m = 7 thì phương trình có nghi m kép x1 = x2 = 2 N u ∆ ' > 0 ⇔ m < 7 thì phương trình có hai nghi m phân bi t x = 2 ± 7 − m 1 b) – Khi m = 1 phương trình: 3x − 1 = 0 ⇔ x = 3 – Khi m ≠ 1 phương trình b c 2 có ∆ = 9 + 4 ( m − 1) = 4m + 5 N u m 0 : phương trình có hai nghi m phân bi t: x = . 4 2 ( m − 1) N u m>− Ví d 4: [ VH]. Gi i và bi n lu n các phương trình: Tham gia khóa Toán Cơ bàn và Nâng cao 10 t i MOON.VN có s chu n b t t nh t cho kì thi THPT qu c gia! Khóa h c Toán Cơ bàn và Nâng cao 10 – Th y a) ( k + 1) x − 1 ( x − 1) = 0   NG VI T HÙNG Facebook: LyHung95 b) ( mx − 2 )( 2mx − x + 1) = 0 L i gi i: a) – Xét x = 1 thì phương trình nghi m úng. – Xét x ≠ 1 thì phương trình tương dương ( k + 1) x = 1 . N u k = −1 thì phương trình 0 x = 1 vô nghi m. V y phương trình ã cho có nghi m phương trình x = 1 . 1 1 N u k ≠ 1 thì phương trình x = . V y phương trình ã cho có hai nghi m x = 1; x = . k +1 k +1 b) Phương trình: m ( 2m − 1) x 2 − ( 3m − 2 ) x − 2 = 0 - V i m = 0 phương trình có m t nghi m x = 1 1 - V i m = , phương trình có m t nghi m x = 4 2 1 - V i m ≠ 0 và m ≠ phương trình b c hai có: 2 2 2 ∆ = ( 3m − 2 ) + 8m ( 2m − 1) = 25m 2 − 20m + 4 = ( 5m − 2 ) ≥ 0 2 5 thì phương trình có nghi m duy nh t x = . 5 2 2 2 −1 Xét m ≠ thì phương trình cóhai nghi m phân bi t x = và x = . 5 3 2m + 1 Xét m = Ví d 5: [ VH]. Gi i và bi n lu n các phương trình: a) mx 2 − 2 ( m + 3) x + m + 1 = 0 b) ( a = b ) x 2 − a 2 + b 2 − 4ab x − 2ab ( a − b ) = 0 a) mx − 2 ( m + 3) x + m + 1 = 0 2 ( ) L i gi i: 1 6 - Xét m = 0 phương trình tr thành phương trình b c nh t: −6 x + 1 = 0 ⇔ x = - Xét m ≠ 0 ta có ∆ ' = ( m + 3) − m ( m + 1) = 5m + 9 2 9 m + 3 ± 5m + 9 thì phương trình có 2 nghi m phân bi t x1,2 = 5 m 9 m+3 2 =− N u m = − thì phương trình có nghi m kép x1 = x2 = 5 m 3 9 N u m < − thì phương trình vô nghi m. 5 b) ( a = b ) x 2 − a 2 + b 2 − 4ab x − 2ab ( a − b ) = 0 N u m>− - Xét a = b thì phương trình 2abx = 0 N u a = b = 0 thì nghi m là m i x N u a = b ≠ 0 thì phương trình có nghi m x = 0 - Xét a ≠ 0 thì phương trình b c 2 có bi t th c ∆ = a 2 + b 2 − 4ab 4 ( ) ( ) 2 + 8ab ( a − b ) = ( a − b ) − 2ab  + 8ab ( a − b )   2 2 2 2 2 2 2 = ( a + b ) + 4ab ( a − b ) + 4a 2 b 2 = ( a − b ) + 2ab  > 0   nên phương trình có 2 nghi m phân bi t x1 = a − b; x2 = − 2ab a −b Ví d 6: [ VH]. Gi i và bi n lu n các phương trình sau: a) mx 2 + ( 3m + 4 ) x + 8m + 34 = 0 b) x 2 − x + m = 0 L i gi i: a) Xét m = 0 . Phương trình 4 x + 34 = 0 ⇔ x = − 17 2 Tham gia khóa Toán Cơ bàn và Nâng cao 10 t i MOON.VN có s chu n b t t nh t cho kì thi THPT qu c gia! Khóa h c Toán Cơ bàn và Nâng cao 10 – Th y 2 NG VI T HÙNG Facebook: LyHung95 Xét m ≠ 0 : ∆ = ( 3m + 4 ) − 4m ( 8m + 34 ) = 9m2 + 24m + 16 − 32m 2 − 136m = −23m2 − 112m + 16 - N u ∆ = 0 ⇔ 23m 2 + 112m − 16 = 0 ⇔ m = −56 ± 3504 3m + 4 phương trình có nghi m kép x = − . 23 2m - N u ∆ < 0 ⇔ 23m 2 + 112m − 16 > 0 ⇔ m 2 + ⇔m< 112m 16 56  3504 56 3504  > ⇔ m +  > ⇔ m+ > 23 23 23  529 23 23  2 −56 − 3504 −56 + 3504 ho c m > . Phương trình vô nghi m. 23 23 m ≠ 0  2 - N u ∆ > 0 ⇔ 23m + 112m − 16 < 0 ⇔  −56 − 3504 −56 + 3504 . thì (2) vô nghi m nên (1) vô nghi m. 4 1 1 1 1 N u ∆ = 0 ⇔ m = thì (2) có nghi m kép t = ≥ 0 nên (1) có nghi m x = ⇔ x = ± . 4 2 2 2 1 1 − 1 − 4m 1 + 1 − 4m N u ∆ > 0 ⇔ 1 − 4m > 0 ⇔ m < thì (2) có nghi m t1 = , t2 = >0 4 2 2 V i m = 0 thì t1 = 0, t2 = 1 nên (1) có nghi m x = 0, x = ±1 .  1 + 1 − 4m  V i m < 0 thì t1 < 0 nên (1) có 2 nghi m x = ±  .   2    1 − 1 − 4m   1 + 1 − 4m  V i 0 < m < 1 thì t1 > 0 nên (1) có 4 nghi m : x = ±  ; x = ±  .     2 2     Ví d 7: [ VH]. Bi n lu n s giao i m c a hai parabol: y = − x 2 − 2 x + 3 và y = x 2 − m theo m. L i gi i: S giao i m c a hai parabol úng b ng s nghi m c a hai phương trình hoành giao i m − x2 − 2x + 3 = x2 − m ⇔ 2 x2 + 2 x − m − 3 = 0 ∆ = 2m + 7 . Do ó: N u m < −3,5 thì phương trình vô nghi m, suy ra hai parabol không có i m chung. N u m = −3,5 thì phương trình có m t nghi m (kép), suy ra hai parabol có m t i m chung. N u m > −3,5 phương trình có hai nghi m phân bi t, suy ra hai parabol có hai i m chung. Ví d 8: [ VH]. Ch ng minh phương trình a) ( x − a )( x − b ) + ( x − b )( x − c ) + ( x − c )( x − a ) = 0 luôn có nghi m v i m i a, b, c. b) a 2 x 2 + a 2 + b 2 − c 2 x + b 2 = 0 vô nghi m v i a, b, c là ( ) dài ba c nh c a m t tam giác. L i gi i: a) ( x − a )( x − b ) + ( x − b )( x − c ) + ( x − c )( x − a ) = 0 ⇔ 3x 2 − 2 ( a + b + c ) x + ( ab + bc + ca ) = 0 ∆ ' = ( a + b + c ) − 3 ( ab + bc + ca ) = a 2 + b 2 + c 2 − ab − bc − ca = 2 1  2a 2 + 2b 2 + 2c 2 − 2ab − 2ac − 2ca   2 = 1 ( a − b )2 + ( b − c )2 + ( c − a )2  ≥ 0, ∀ a, b c . V y phương trình luôn có nghi m.   2 b) Ta có: ∆ = a 2 + b 2 + c 2 ( ) 2 − 4a 2b 2 = a 2 + b 2 + c 2 ( ) 2 − ( 2ab ) = a 2 + 2ab + b 2 − c 2 a 2 − 2ab + b 2 − c 2 2 ( )( ) 2 2 = ( a + b ) − c 2  ( a − b ) − c 2  = ( a + b + c )( a + b − c )( a − b + c )( a − b − c )    Vì a, b, c là 3 c nh tam giác nên: Tham gia khóa Toán Cơ bàn và Nâng cao 10 t i MOON.VN có s chu n b t t nh t cho kì thi THPT qu c gia! Khóa h c Toán Cơ bàn và Nâng cao 10 – Th y NG VI T HÙNG Facebook: LyHung95 a + b + c > 0, b + b − c > 0, a − b + c > 0, a − b − c < 0 . Do ó ∆ < 0 . V y phương trình vô nghi m. Ví d 9: [ VH]. Tìm m phương trình a) ( m + 2 ) x 2 + 2 ( 3m − 2 ) x + m + 2 = 0 có nghi m kép. Tìm nghi m kép ó. b) x 2 − 2 ( m + 3) x + m − 1 = 0 có m t nghi m b ng 2 và tìm nghi m kia. L i gi i: a) i u ki n m + 2 ≠ 0 ⇔ m ≠ −2 Phương trình ( m + 2 ) x 2 + 2 ( 3m − 2 ) x + m + 2 = 0 có nghi m kép khi ∆ ' = 0 m = 0 2 ⇔ ( 3m − 2 ) − ( m + 2 )( m + 2 ) = 0 ⇔ 8m 2 − 16m = 0 ⇔  m = 2 − ( 3m − 2 ) Ta có x1 = x2 = . Khi m = 0 thì x1 = x2 = 1; khi m = 2 thì x1 = x2 = −1 . m+2 b) Th x = 2 vào phương trình : 4 − 4 ( m + 3) + m − 1 = 0 ⇔ 3m = −9 ⇔ m = −3 V i m = −3 thì phương trình x 2 − 4 = 0 ⇔ x = ±2 . V y nghi m kia là x = −2 . Ví d 10: [ VH]. Cho hai phương trình b c hai: x 2 + p1 x + q1 = 0; x 2 + p2 x + q2 = 0 có các h s th a mãn i u ki n p1 p2 ≥ 2 ( q1 + q2 ) Ch ng minh r ng trong hai phương trình trên có ít nh t m t phương trình có nghi m. L i gi i: Ta dùng phương pháp ph n ch ng. ∆1 = p12 − 4q1 < 0  2 Gi s hai phương trình u vô nghi m. Suy ra :  ⇒ p12 + p2 < 4 ( q1 + q2 ) 2 ∆ 2 = p2 − 4q2 < 0  2 ⇒ 4 ( q1 + q2 ) > p12 + p2 ≥ 2 p1 p2 ≥ 2.2 ( q1 + q2 ) = 4 ( q1 + q2 ) ⇒ 4 ( q1 + q2 ) > 4 ( q1 + q2 ) : i u này là vô lí. V y ít nh t m t trong hai phương trình ph i có nghi m. Ví d 11: [ VH]. Cho hai phương trình x 2 + x + m + 1 = 0 và x 2 + ( m + 1) x + 1 = 0. Tìm m hai phương trình : a) có m t nghi m chung b) tương ương L i gi i: 2  x0 + x0 + m + 1 = 0 (1)  a) Gi s 2 phương trình có m t nghi m chung x0 thì ta có h phương trình:  2 (2)  x0 + ( m + 1) x0 + 1 = 0  m = 0 Tr phương trình (2) v i (1) v v i v ta có: mx0 − m = 0 ⇔ m ( x0 − 1) = 0 ⇔   x0 = 1 Khi m = 0 thì hai phương trình vô nghi m (lo i). Khi x0 = 1 thì m = −3 . Lúc ó phương trình (1) tr thành x 2 + x − 2 = 0 có 2 nghi m : x1 = 1; x2 = −2 và phương trình (2) tr thành x 2 − 2 x + 1 = 0 có nghi m kép x1 = x2 = 1 . V y m = −3 thì hai phương trình có nghi m chung. b) Theo k t qu trên hai phương trình ch tương ương khi chúng vô nghi m : 3    ∆1 < 0 4m > −3 3 1 − 4m − 4 < 0 4m > −3 m > − ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ − < m 1 ( m + 1) − 4 < 0 ( m + 1) < 4 m + 1 < −2 hay m + 1 > 2   BÀI T P LUY N T P Bài 1: [ VH]. Gi i và bi n lu n các phương trình sau: 2 a) x + 5 x + 3m − 1 = 0. b) 2 x 2 + 12 x − 15m = 0. Bài 2: [ VH]. Gi i và bi n lu n các phương trình sau: Tham gia khóa Toán Cơ bàn và Nâng cao 10 t i MOON.VN có s chu n b t t nh t cho kì thi THPT qu c gia! Khóa h c Toán Cơ bàn và Nâng cao 10 – Th y NG VI T HÙNG Facebook: LyHung95 a) x 2 − 2(m − 1) x + m 2 = 0. Bài 3: [ VH]. Gi i và bi n lu n các phương trình sau: a) (m − 1) x 2 + (2 − m) x − 1 = 0. b) (m + 1) x 2 − 2(m − 1) x + m − 2 = 0. b) mx 2 − 2(m + 3) x + m + 1 = 0. Bài 4: [ VH]. Cho bi t m t nghi m c a phương trình, hãy tìm nghi m còn l i? 3 a) x 2 − mx + m + 1 = 0; x = − . 2 b) 2 x 2 − 3m 2 x + m = 0; x = 1. Bài 5: [ VH]. Cho bi t m t nghi m c a phương trình, hãy tìm nghi m còn l i? a) (m + 1) x 2 − 2(m − 1) x + m − 2 = 0; x = 2. b) x 2 − 2(m − 1) x + m 2 − 3m = 0; x = 0. Bài 6: [ VH]. Cho phương trình (m + 1) x 2 − 2(m − 1) x + m − 2 = 0, (*) Xác nh m : a) (*) có hai nghi m phân bi t. b) (*) có m t nghi m b ng 2. Tính nghi m kia. c) T ng bình phương các nghi m b ng 2. Bài 7: [ VH]. Tìm m phương trình x − x + m = 0 có hai nghi m phân bi t? 2 Bài 8: [ VH]. Cho phương trình mx 2 − 2(m 2 + 4m) x + m 2 (m + 4) = 0 Xác nh m : a) Phương trình có nghi m kép. Tính giá tr nghi m kép ó. b) Phương trình có hai nghi m trái d u và có tr tuy t i b ng nhau. Tham gia khóa Toán Cơ bàn và Nâng cao 10 t i MOON.VN có s chu n b t t nh t cho kì thi THPT qu c gia!