Tóm tắt luận án Tiến sĩ Toán học: Điều kiện tối ưu cho bài toán cân bằng Vectơ dưới ngôn ngữ của đạo hàm tiếp liên

Chia sẻ: Lê Thị Hồng Nhung | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:26

Thêm vào BST

Báo xấu

24
lượt xem 2
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Luận án nhằm nghiên cứu điều kiện tối ưu cho nghiệm hữu hiệu yếu địa phương của bài toán cân bằng Vectơ; điều kiện tối ưu cấp một cho nghiệm hữu hiệu yếu, hữu hiệu Henig; điều kiện tối ưu cấp hai cho nghiệm hữu hiệu yếu, hữu hiệu Henig; áp dụng một số kết quả đạt được vào bất đẳng thức biến phân Vectơ và bài toán tối ưu Vectơ.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Tóm tắt luận án Tiến sĩ Toán học: Điều kiện tối ưu cho bài toán cân bằng Vectơ dưới ngôn ngữ của đạo hàm tiếp liên

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO VIỆN HÀN LÂM KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM HỌC VIỆN KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ ............***............ TRẦN VĂN SỰ ĐIỀU KIỆN TỐI ƯU CHO BÀI TOÁN CÂN BẰNG VECTƠ DƯỚI NGÔN NGỮ CỦA ĐẠO HÀM TIẾP LIÊN Chuyên ngành: Toán ứng dụng Mã số: 62 46 01 12 TÓM TẮT LUẬN ÁN TIẾN SỸ TOÁN HỌC Hà Nội - 2018
Công trình được hoàn thành tại: Học viện Khoa học và Công nghệ - Viện Hàn lâm Khoa học và Công nghệ Việt Nam Người hướng dẫn khoa học 1: PGS. TS. Đỗ Văn Lưu Người hướng dẫn khoa học 2: TS. Nguyễn Công Điều Phản biện 1: . . . . . . Phản biện 2: . . . . . . Phản biện 3: . . . . . . Luận án sẽ được bảo vệ trước Hội đồng chấm luận án tiến sĩ, họp tại Học viện Khoa học và Công nghệ - Viện Hàn lâm Khoa học và Công nghệ Việt Nam vào hồi .... giờ, ngày .... tháng .... năm 2018 Có thể tìm hiểu luận án tại: - Thư viện Học viện Khoa học và Công nghệ - Thư viện Quốc gia Việt Nam
Mở đầu Bài toán cân bằng vectơ có vai trò quan trọng trong giải tích phi tuyến và được quan tâm nghiên cứu nhiều trong thời gian gần đây do phạm vi áp dụng rộng rãi của nó, chẳng hạn, xem Anh (2012, 2015), Ansari (2000, 2001a, 2001b, 2002), Bianchi (1996, 1997), Feng-Qiu (2014), Khanh (2013, 2015), Luu (2014a, 2014b, 2014c, 2015, 2016), Su (2017, 2018), Tan (2011, 2012, 2018a, 2018b), v.v.... Bài toán cân bằng vectơ là một sự mở rộng từ bài toán cân bằng vô hướng được đưa ra lần đầu tiên bởi Blum và Oettli (1994) và điều kiện tối ưu cho các loại nghiệm hữu hiệu của nó là một chủ đề quan trọng cần được quan tâm nghiên cứu, chẳng hạn, xem Luu (2010, 2016, 2017), Gong (2008, 2010), Long-Huang-Peng (2011), Jiménez-Novo- Sama (2003, 2009), Li-Zhu-Teo (2012), v.v.... Luận án của chúng tôi làm theo hướng điều kiện tối ưu cấp một và cấp hai cho bài toán cân bằng vectơ dưới ngôn ngữ đạo hàm tiếp liên và qua trên đạo hàm tiếp liên với hàm ổn định cho điều kiện cấp một và hàm tùy ý cho điều kiện cấp hai. Đạo hàm tiếp liên có vai trò quan trọng trong giải tích và giải tích ứng dụng, và nó được sử dụng trong việc thiết lập điều kiện tối ưu. Aubin (1981) là người đầu tiên đưa ra khái niệm đạo hàm tiếp liên của ánh xạ đa trị và áp dụng chúng để thiết lập điều kiện tối ưu trong tối ưu vectơ bởi Aubin-Ekeland (1984), Corley (1988) và Luc (1991); Jahn-Rauh (1997) đưa ra khái niệm trên đạo hàm tiếp liên của ánh xạ đa trị và dẫn các điều kiện tối ưu tương ứng; Chen- Jahn (1998) đề xuất khái niệm trên đạo hàm tiếp liên tổng quát cho ánh xạ đa trị và áp dụng kết quả cho bài toán cân bằng vectơ đa trị. Đối với hàm đơn trị, chúng ta không chuyển trực tiếp từ kết quả đa trị sang đơn trị mà thiết lập các kết quả mới sâu sắc hơn. Dựa vào định nghĩa của Aubin (1981), Jiménez-Novo (2008) đã chứng minh các quy tắc tính đạo hàm tiếp liên với hàm vững, ổn định, khả vi
2 Hadamard, khả vi Fréchet và áp dụng chúng để thiết lập điều kiện tối ưu cho bài toán cân bằng vectơ không ràng buộc. Tác giả cũng dẫn điều kiện cần và đủ tối ưu cho bài toán tối ưu đa mục tiêu có ràng buộc đẳng thức và bất đẳng thức dưới ngôn ngữ đạo hàm tiếp liên với hàm ổn định. Một số vấn đề còn tồn đọng trong các kết quả của Jiménez-Novo (2008) là chưa đưa ra được điều kiện cần tối ưu kiểu Fritz John và Karush-Kuhn-Tucker cho nghiệm hữu hiệu yếu địa phương của bài toán cân bằng vectơ có ràng buộc tập, đẳng thức và bất đẳng thức dưới ngôn ngữ đạo hàm tiếp liên và sự áp dụng. Luận án của chúng tôi đã góp phần giải quyết các vấn đề còn tồn tại vừa được đề cập ở trên. Rodríguez-Marín và Sama (2007a, 2007b) nghiên cứu sự tồn tại, tính duy nhất và các tính chất của trên và dưới đạo hàm tiếp liên, các mối liên hệ giữa trên và dưới đạo hàm tiếp liên và đạo hàm tiếp liên với lớp hàm ổn định và ánh xạ đa trị trong trường hợp không gian ảnh hữu hạn chiều. Một số vấn đề còn tồn đọng trong các kết quả của Rodríguez-Marín và Sama (2007a, 2007b) là chưa xem xét sự tồn tại trên và dưới đạo hàm tiếp liên cho lớp hàm đơn trị tùy ý với không gian ảnh là Banach. Về điều kiện tối ưu, Jiménez-Novo và Sama (2009) chỉ dẫn các điều kiện cần và đủ tối ưu cho cực tiểu chặt địa phương cấp một trong tối ưu đa mục tiêu qua ngôn ngữ trên và dưới đạo hàm tiếp liên với hàm mục tiêu ổn định. Trường hợp điều kiện cần và đủ tối ưu cho nghiệm hữu hiệu yếu, hữu hiệu Henig, hữu hiệu toàn cục và siêu hữu hiệu của các bài toán cân bằng vectơ qua ngôn ngữ trên và dưới đạo hàm tiếp liên với các hàm ổn định là không được nghiên cứu trong Jiménez-Novo và Sama (2009) và cũng chưa từng được nghiên cứu bởi các tác giả khác. Luận án của chúng tôi đã nghiên cứu các kết quả tồn tại trên và dưới đạo hàm tiếp liên với các hàm đơn trị tùy ý trong không gian Banach, mối liên hệ của nó với đạo hàm tiếp liên và dẫn các điều kiện cần và đủ tối ưu cho các loại nghiệm hữu hiệu của bài toán cân bằng vectơ không ràng buộc và có ràng buộc qua ngôn ngữ trên đạo hàm tiếp liên với lớp hàm vững trong không gian Banach, và cuối cùng chúng tôi cung cấp một điều kiện đủ tối ưu cho nghiệm hữu hiệu yếu của bài toán cân bằng vectơ không ràng buộc với hàm mục tiêu ổn định làm cơ sở cho việc mở rộng kết quả sang nghiên cứu điều kiện tối ưu cấp hai. Trong một thập niên gần đây, điều kiện tối ưu cấp hai qua ngôn ngữ đạo
3 hàm và trên đạo hàm tiếp liên cho các bài toán cân bằng vectơ và các trường hợp đặc biệt của nó được nhiều tác giả quan tâm nghiên cứu, chẳng hạn như Jahn-Khan-Zeilinger (2005), Durea (2008), Li-Zhu-Teo (2012), Khan- Tammer (2013), v.v... Ta nhận thấy rằng kết quả tồn tại trên và dưới đạo hàm tiếp liên cấp hai với các hàm đơn trị tùy ý trong không gian Banach là chưa được nghiên cứu, các kết quả về điều kiện đủ tối ưu cho nghiệm hữu hiệu yếu qua ngôn ngữ trên đạo hàm tiếp liên cấp hai hiệu chỉnh chỉ được thực hiện cho trường hợp bài toán có ràng buộc tập. Luận án của chúng tôi đã nghiên cứu kết quả tồn tại trên và dưới đạo hàm tiếp liên cấp hai tổng quát với lớp hàm đơn trị tùy ý trong không gian Banach và xây dựng các điều kiện đủ, cần và đủ tối ưu cho các loại nghiệm hữu hiệu của bài toán cân bằng vectơ có ràng buộc qua ngôn ngữ đó. Mục đích chính của luận án nhằm nghiên cứu điều kiện tối ưu cấp một và cấp hai cho các loại nghiệm hữu hiệu của bài toán cân bằng vectơ qua ngôn ngữ đạo hàm và trên đạo hàm tiếp liên, và cụ thể như sau: 1) Nghiên cứu điều kiện tối ưu cho nghiệm hữu hiệu yếu địa phương của bài toán cân bằng vectơ có ràng buộc tập, đẳng thức và bất đẳng thức dưới ngôn ngữ đạo hàm tiếp liên với lớp hàm ổn định trong không gian hữu hạn chiều. 2) Nghiên cứu điều kiện tối ưu cấp một cho nghiệm hữu hiệu yếu, hữu hiệu Henig, hữu hiệu toàn cục và siêu hữu hiệu của bài toán cân bằng vectơ qua ngôn ngữ trên đạo hàm tiếp liên trong không gian Banach với hàm vững, hàm khả vi Hadamard và khả vi Fréchet. 3) Nghiên cứu điều kiện tối ưu cấp hai cho nghiệm hữu hiệu yếu, hữu hiệu Henig, hữu hiệu toàn cục và siêu hữu hiệu của bài toán cân bằng vectơ qua ngôn ngữ trên đạo hàm tiếp liên trong không gian Banach. 4) Áp dụng một số kết quả đạt được vào bất đẳng thức biến phân vectơ và bài toán tối ưu vectơ. Bên cạnh phần mở đầu, phần kết luận và danh mục tài liệu tham khảo, nội dung của luận án gồm bốn chương và các kết quả chính của luận án nằm ở trong Chương 2,3,4. Chương 1 giới thiệu một vài khái niệm từ các loại nghiệm hữu hiệu của (CVEP), nón tiếp liên, tập tiếp liên, đạo hàm tiếp liên, trên và dưới đạo hàm tiếp liên cấp một và cấp hai. Trình bày khái niệm về hàm ổn định,
4 hàm vững, hàm khả vi Hadamard, hàm khả vi Fréchet và một số công thức liên quan đến đạo hàm tiếp liên được cung cấp. Cuối cùng trình bày khái niệm về điểm cực tiểu lý tưởng và Pareto của một tập theo nón. Chương 2 nghiên cứu điều kiện cần tối ưu kiểu Fritz John và Karush- Kuhn-Tucker cho nghiệm hữu hiệu yếu địa phương của bài toán cân bằng vectơ có ràng buộc dưới ngôn ngữ đạo hàm tiếp liên với lớp hàm ổn định trong không gian hữu hạn chiều và trình bày một số ứng dụng đối với bất đẳng thức biến phân vectơ và bài toán tối ưu vectơ. Trong chương này, chúng tôi có đề xuất hai điều kiện chính quy (CQ1) và (CQ2) cho mục đích nghiên cứu điều kiện cần tối ưu kiểu Karush-Kuhn-Tucker và Karush- Kuhn-Tucker mạnh và cung cấp nhiều ví dụ minh họa trong đó có ví dụ thực tế về bài toán sản xuất - vận tải và bài toán cân bằng Nash-Cournot. Chương 3 nghiên cứu sự tồn tại trên đạo hàm tiếp liên và điều kiện cần và đủ tối ưu cho nghiệm hữu hiệu yếu, hữu hiệu Henig, hữu hiệu toàn cục và siêu hữu hiệu của các bài toán cân bằng vectơ qua ngôn ngữ trên đạo hàm tiếp liên với lớp hàm ổn định trong các trường hợp không gian đầu - cuối đều là Banach và không gian đầu Banach và không gian cuối hữu hạn chiều. Phần cuối cùng của chương này nghiên cứu bài toán cân bằng vectơ có ràng buộc dựa trên việc đề xuất điều kiện chính quy kiểu Kurcyusz-Robinson-Zowe (KRZ). Chương 4 nghiên cứu sự tồn tại trên đạo hàm tiếp liên cấp hai và điều kiện đủ tối ưu cấp hai cho nghiệm hữu hiệu yếu, hữu hiệu Henig, hữu hiệu toàn cục và siêu hữu hiệu của bài toán cân bằng vectơ có ràng buộc qua ngôn ngữ trên đạo hàm tiếp liên với lớp hàm tùy ý trong không gian Banach. Phần cuối cùng của chương này chúng tôi giới thiệu Giả thiết 4.1 làm cơ sở để nghiên cứu điều kiện cần và đủ tối ưu cấp hai qua ngôn ngữ trên đạo hàm tiếp liên với lớp hàm tùy ý trong không gian Banach. Các kết quả của luận án được báo cáo tại: • Hội thảo toàn Quốc lần thứ IV về "Ứng dụng Toán học", Trường Đại học Kinh tế Quốc dân, Hà Nội 23-25/12/2015; • Hội nghị về Tối ưu và Tính toán Khoa học lần thứ 14, Ba Vì, Hà Nội 21-23/04/2016; • Seminar Tối ưu, Khoa Toán tin, Trường Đại học Thăng Long, Hà Nội.
Chương 1 Một số kiến thức chuẩn bị Chương 1 của luận án giới thiệu những kiến thức cơ bản nhất phục vụ cho việc trình bày các kết quả nghiên cứu đạt được trong các chương sau của luận án và cụ thể như sau: Mục 1.1 đề cập đến một số khái niệm như: Tập tiếp tuyến, đạo hàm tiếp liên, các hàm ổn định, trên và dưới đạo hàm tiếp liên. • Trong mục 1.1.1 trình bày định nghĩa nón tiếp liên, nón kề, nón tiếp tuyến phần trong, nón tiếp tuyến phần trong theo dãy, nón pháp tuyến, tập tiếp liên cấp hai, tập kề cấp hai, tập tiếp tuyến phần trong cấp hai và một số tính chất của chúng. • Trong mục 1.1.2 trình bày định nghĩa đạo hàm tiếp liên cấp một và cấp hai. • Trong mục 1.1.3 trình bày định nghĩa đạo hàm Hadamard, hàm ổn định, hàm vững và một số tính chất liên quan. • Trong mục 1.1.4 trình bày định nghĩa điểm cực tiểu (cực đại) lý tưởng và Pareto của một tập theo nón và các tính chất của nó; trình bày định nghĩa trên đạo hàm tiếp liên cấp một và cấp hai cùng với một số kết quả tồn tại của chúng. Mục 1.2 đề cập đến bài toán cân bằng vectơ tổng quát và các trường hợp riêng của nó. • Trong mục 1.2.1 trình bày bài toán cân bằng vectơ (VEP), (VEP1 ), (CVEP) và (CVEP1 ) và xây dựng khái niệm nghiệm hữu hiệu yếu (địa phương), hữu hiệu Henig, hữu hiệu toàn cục và siêu hữu hiệu cho (CVEP). •• Định nghĩa các loại nghiệm hữu hiệu cho (CVEP)
6 Cho X, Y, Z và W là các không gian Banach thực với C là một tập con không rỗng trong X; Q và S lần lượt là các nón lồi trong Y và Z; F : X × X → Y là một song hàm vectơ; g : X → Z và h : X → W là các ràng buộc, và K = {x ∈ C : g(x) ∈ −S, h(x) = 0} tập chấp nhận được của bài toán cân bằng vectơ. Bài toán cân bằng vectơ có ràng buộc ký hiệu (CVEP) và được phát biểu như sau: tìm vectơ x ∈ K sao cho F (x, y) 6∈ −intQ (∀ y ∈ K). (1.1) Vectơ x được gọi là nghiệm hữu hiệu yếu của bài toán (CVEP). Nếu tồn tại một lân cận U của x sao cho (1.1) thỏa mãn với mọi y ∈ K ∩ U thì x được gọi là nghiệm hữu hiệu yếu địa phương của bài toán (CVEP). Nếu bài toán (CVEP) chỉ có ràng buộc tập, ta ký hiệu (VEP) và được gọi là bài toán cân bằng vectơ không ràng buộc. Nếu X = Rn , Y = Rm , Z = Rr , W = Rl và các nón Q = Rm r + , S = R+ , bài toán (CVEP) được gọi là bài toán (CVEP1 ) và bài toán (VEP) được gọi là bài toán (VEP1 ). Gọi Y ∗ là không gian đối ngẫu tôpô của không gian Banach Y. Ký hiệu Q+ là nón đối ngẫu của nón Q ⊂ Y, nghĩa là Q+ = {y ∗ ∈ Y ∗ : hy ∗ , yi ≥ 0 ∀ y ∈ Q}. Tựa phần trong của Q+ là Q] được định nghĩa bởi Q] = {y ∗ ∈ Y ∗ : hy ∗ , yi > 0 ∀ y ∈ Q \ {0}}. Cho B là một cơ sở của nón Q, ký hiệu Q∆ (B) = {y ∗ ∈ Q] : ∃ t > 0 thỏa mãn hy ∗ , bi ≥ t ∀ b ∈ B}. Sử dụng một định lí tách các tập lồi rời nhau {0} và B, ta suy ra tồn tại y ∗ ∈ Y ∗ \ {0} thỏa mãn r = inf {hy ∗ , bi : b ∈ B} > hy ∗ , 0i = 0. Xét một lân cận lồi mở cân đối VB của gốc 0 trong Y r VB = {y ∈ Y : | hy ∗ , yi | < }. 2 Ký hiệu VB sẽ được sử dụng xuyên suốt luận án. Dễ dàng thấy rằng r inf {hy ∗ , yi : y ∈ B + VB } ≥ , 2
7 và với mọi lân cận lồi U của gốc 0 với U ⊂ VB , ta có B + U là một tập lồi và 0 6∈ cl(B + U ). Do đó, cone(B + U ) là một nón lồi nhọn và chứa Q \ {0} trong phần trong của nó. Dựa theo cách mô tả trên, Gong (2008, 2010) đã xây dựng các định nghĩa nghiệm hữu hiệu toàn cục, hữu hiệu Henig và siêu hữu hiệu cho (CVEP) như sau. Định nghĩa 1.1 Vectơ x ∈ K được gọi là nghiệm hữu hiệu toàn cục của (CVEP) nếu tồn tại nón lồi nhọn H ⊂ Y với Q \ {0} ⊂ intH thỏa mãn F (x, K) ∩ (−H) \ {0} = ∅. Định nghĩa 1.2 Vectơ x ∈ K được gọi là nghiệm hữu hiệu Henig của (CVEP) nếu tồn tại lân cận lồi cân đối U của 0 với U ⊂ VB thỏa mãn cone F (x, K) ∩ − int cone(U + B) = ∅. Định nghĩa 1.3 Vectơ x ∈ K được gọi là nghiệm siêu hữu hiệu của (CVEP) nếu với mỗi lân cận V của 0, tồn tại lân cận U của 0 thỏa mãn cone F (x, K) ∩ U − Q ⊂ V. Gọi L(X, Y ) là không gian tất cả các ánh xạ tuyến tính bị chặn từ X vào Y. Ta viết hh, xi giá trị của h ∈ L(X, Y ) tại x ∈ X. Khi đó, bài toán bất đẳng thức biến phân vectơ có ràng buộc ký hiệu (CVVI) và được xác định bởi F (x, y) = hT x, y − xi , ở đây T là một ánh xạ từ X vào L(X, Y ). Trong trường hợp này các khái niệm nghiệm của (CVEP) cũng là các khái niệm nghiệm của (CVVI), tương tứng. Tương tự cho bài toán tối ưu vectơ có ràng buộc (CVOP) thỏa mãn F (x, y) = f (y) − f (x) với f là một ánh xạ từ X vào Y. • Trong mục 1.2.2 trình bày bài toán tối ưu vectơ bao gồm nghiệm hữu hiệu yếu địa phương và cực tiểu chặt địa phương cấp m (m ∈ N) và các điều kiện tối ưu dưới ngôn ngữ đạo hàm tiếp liên của chúng. • Trong mục 1.2.3 trình bày bài toán bất đẳng thức biến phân vectơ và một số vấn đề liên quan.
Chương 2 Điều kiện tối ưu cho bài toán cân bằng vectơ dưới ngôn ngữ đạo hàm tiếp liên Chương này nghiên cứu điều kiện cần tối ưu kiểu Fritz John và Karush- Kuhn-Tucker cho nghiệm hữu hiệu yếu địa phương của bài toán (CVEP1 ) và một số áp dụng vào bất đẳng thức biến phân vectơ (CVVI1 ), bài toán tối ưu vectơ (CVOP1 ), bài toán sản xuất-vận tải và bài toán cân bằng Nash-Cournot. Nội dung của chương này dựa vào các công trình [1] và [5] trong phần Danh mục các công trình đã công bố. 2.1. Điều kiện cần tối ưu kiểu Fritz John cho nghiệm hữu hiệu yếu địa phương của (CVEP1 ) Xét bài toán (CVEP1 ) được định nghĩa như trong Chương 1. Ký hiệu I = {1, 2, . . . , r}, J = {1, 2, . . . , m} và L = {1, 2, . . . , l}. Với mỗi x ∈ K, ta gán F = (F1 , F2 , . . . , Fm ), Fx (.) = F (x, .), Fk,x (.) = Fk (x, .) (∀ k ∈ J), và tập chấp nhận được của (CVEP1 ) có dạng: K = {x ∈ C : gi (x) ≤ 0 (∀ i ∈ I), hj (x) = 0 (∀ j ∈ L)}. Ta ký hiệu Ker∇h(x) = {v ∈ X : h∇h(x), vi = 0}, I(x) = {i ∈ I : gi (x) = 0}.
9 Đầu tiên chúng tôi cung cấp giả thiết sau làm cơ sở để phát biểu điều kiện tối ưu cho bài toán (CVEP1 ). Giả thiết 2.1 Fx (x) = 0; các hàm Fx , g liên tục trong một lân cận của x; các hàm h1 , . . . , hl khả vi Fréchet tại x với các đạo hàm Fréchet ∇h1 (x), . . . , ∇hl (x) độc lập tuyến tính. Các điều kiện cần tối ưu kiểu Fritz John cho nghiệm hữu hiệu yếu địa phương của (CVEP1 ) có thể được phát biểu như sau. Định lí 2.1 Cho x là một nghiệm hữu hiệu yếu địa phương của (CVEP1 ). Giả sử rằng Giả thiết 2.1 được thỏa mãn và các hàm Fx , g vững tại x ∈ K. Giả sử thêm rằng với mọi v ∈ Ker∇h(x) ∩ IT (C, x) tồn tại z ∈ Dc g(x)v sao cho zi < 0 (∀ i ∈ I(x)). Khi đó, với mọi v ∈ Ker∇h(x) ∩ IT (C, x) và (y, z) ∈ Dc (Fx , g)(x)v, tồn tại (λ, µ) ∈ Rm × Rr , λ ≥ 0, µ ≥ 0 với (λ, µ) 6= (0, 0) sao cho hλ, yi + hµ, zi ≥ 0, µi gi (x) = 0 (∀ i ∈ I). Định lí 2.2 Cho x là một nghiệm hữu hiệu yếu địa phương của (CVEP1 ). Giả sử rằng Giả thiết 2.1 được thỏa mãn và các hàm Fx , g vững tại x ∈ K. Thêm nữa, với mọi v ∈ Ker∇h(x) ∩ IT (C, x) tồn tại z ∈ Dc g(x)v sao cho zi < 0 (∀ i ∈ I(x)). Khi đó, (i) Với mọi v ∈ IT (C, x), tồn tại λk ≥ 0 (∀ k ∈ J), µi ≥ 0 (∀ i ∈ I), và γj ∈ R (∀ j ∈ L), không đồng thời bằng 0, thỏa mãn X X X 0∈ λk Dc Fk,x (x)v + µi Dc gi (x)v + γj h∇hj (x), vi , (2.1) k∈J i∈I j∈L µi gi (x) = 0 (∀ i ∈ I). (2.2) (ii) Với mọi v ∈ Ker∇h(x) ∩ IT (C, x), tồn tại λk ≥ 0 (∀ k ∈ J), µi ≥ 0 (∀ i ∈ I) với (λ, µ) 6= (0, 0) thỏa mãn X X 0∈ λk Dc Fk,x (x)v + µi Dc gi (x)v, (2.3) k∈J i∈I µi gi (x) = 0 (∀ i ∈ I).
10 Nhận xét 2.1 Định lí 2.2 được áp dụng để thiết lập điều kiện tối ưu cần cho nghiệm hữu hiệu yếu địa phương của mô hình bài toán sản xuất vận tải (Ví dụ 2.2 trang 41, 42) và mô hình bài toán cân bằng Nash-Cournot (Ví dụ 2.3 trang 43, 44). Nhận xét 2.2 Định lí 2.1 và Định lí 2.2 đã giải quyết được trường hợp bài toán tối ưu đa mục tiêu có ràng buộc tập, trong khi tác giả Jiménez-Novo (2008) chưa giải quyết được. Tác giả chỉ nghiên cứu điều kiện cần tối ưu cho bài toán (CVEP1 ) có ràng buộc đẳng thức và bất đẳng thức. Ngoài ra, nếu C = Rn thì Định lí 2.1 trùng với kết quả của Jiménez-Novo (2008). Trường hợp C = Rn , Định lí 2.2 dẫn tới hệ quả trực tiếp sau. Hệ quả 2.1 Cho C = Rn và x là một nghiệm hữu hiệu yếu địa phương của (CVEP1 ). Giả sử rằng Giả thiết 2.1 được thỏa mãn và các hàm Fx , g vững tại x ∈ K. Thêm nữa, với bất kỳ v ∈ Ker∇h(x) tồn tại z ∈ Dc g(x)v sao cho zi < 0 (∀ i ∈ I(x)). Khi đó, (i) Với mọi v ∈ Rn , tồn tại λk ≥ 0 (∀ k ∈ J), µi ≥ 0 (∀ i ∈ I), và γj ∈ R (∀ j ∈ L), không đồng thời bằng 0, thỏa mãn X X X 0∈ λk Dc Fk,x (x)v + µi Dc gi (x)v + γj h∇hj (x), vi , (2.4) k∈J i∈I j∈L µi gi (x) = 0 (∀ i ∈ I). (2.5) (ii) Với mọi v ∈ Ker∇h(x), tồn tại λk ≥ 0 (∀ k ∈ J), µi ≥ 0 (∀ i ∈ I) với (λ, µ) 6= (0, 0) thỏa mãn X X 0∈ λk Dc Fk,x (x)v + µi Dc gi (x)v, k∈J i∈I µi gi (x) = 0 (∀ i ∈ I). Trường hợp các hàm Fk,x (k ∈ J) và gi (i ∈ I) khả vi Hadamard tại x, ta cũng có một hệ quả trực tiếp khác từ Định lí 2.2 như sau. Hệ quả 2.2 Cho x là một nghiệm hữu hiệu yếu địa phương của (CVEP1 ). Giả sử rằng Giả thiết 2.1 được thỏa mãn và các hàm Fx , g khả vi Hadamard và vững tại x ∈ K. Thêm nữa, với bất kỳ v ∈ Ker∇h(x) ∩ IT (C, x), dgi (x; v) < 0 (∀ i ∈ I(x)). Khi đó,
11 (i) Với mọi v ∈ IT (C, x), tồn tại λk ≥ 0 (∀ k ∈ J), µi ≥ 0 (∀ i ∈ I), và γj ∈ R (∀ j ∈ L), không đồng thời bằng 0, thỏa mãn X X X λk dFk,x (x; v) + µi dgi (x; v) + γj h∇hj (x), vi = 0, (2.6) k∈J i∈I j∈L µi gi (x) = 0 (∀ i ∈ I). (2.7) (ii) Với mọi v ∈ Ker∇h(x) ∩ IT (C, x), tồn tại λk ≥ 0 (∀ k ∈ J), µi ≥ 0 (∀ i ∈ I) với (λ, µ) 6= (0, 0) thỏa mãn X X λk dFk,x (x; v) + µi dgi (x; v) = 0, k∈J i∈I µi gi (x) = 0 (∀ i ∈ I). Nhận xét 2.3 Kết quả trong tiểu mục này được áp dụng vào bài toán bất đẳng thức biến phân vectơ có ràng buộc (CVVI1 ) (Định lí 2.5), bài toán tối ưu vectơ có ràng buộc (CVOP1 ) (Định lí 2.8), mô hình bài toán sản xuất-vận tải và bài toán cân bằng Nash-Cournot. 2.2. Điều kiện cần tối ưu kiểu Karush-Kuhn-Tucker cho nghiệm hữu hiệu yếu địa phương của (CVEP1 ) Để dẫn điều kiện cần tối ưu kiểu Karush-Kuhn-Tucker cho các nghiệm hữu hiệu yếu địa phương của (CVEP1 ), chúng tôi đưa vào các điều kiện chính quy sau: (CQ1) Tồn tại s ∈ J, v0 ∈ IT (C, x) thỏa mãn (i) yk < 0 (∀yk ∈ Dc Fk,x (x)v0 , ∀ k ∈ J, k 6= s); zi < 0 (∀zi ∈ Dc gi (x)v0 , ∀i ∈ I(x)); (ii) h∇hj (x), v0 i = 0 (∀ j ∈ L). (CQ2) Tồn tại s ∈ J, v0 ∈ IT (C, x) sao cho với mọi λk ≥ 0 (∀ k ∈ J, k 6= s); µi ≥ 0 (∀ i ∈ I(x)), không đồng thời bằng 0, và γj ∈ R (∀ j ∈ L), ta có X X X 0 6∈ λk Dc Fk,x (x)v0 + µi Dc gi (x)v0 + γj h∇hj (x), v0 i . k∈J,k6=s i∈I(x) j∈L Mệnh đề 2.1 (CQ1) kéo theo (CQ2).
12 Điều kiện cần tối ưu kiểu Karush-Kuhn-Tucker cho nghiệm hữu hiệu yếu địa phương của (CVEP1 ) có thể được phát biểu như sau. Định lí 2.3 Cho x là một nghiệm hữu hiệu yếu địa phương của (CVEP1 ). Giả sử rằng tất cả các giả thiết của Định lí 2.2 được thỏa mãn và điều kiện chính quy (CQ2) (với chỉ số s ∈ J) đúng. Lúc đó, với mọi v ∈ Ker∇h(x)∩ IT (C, x), tồn tại λs > 0, λk ≥ 0 (∀ k ∈ J, k 6= s), µi ≥ 0 (∀ i ∈ I) thỏa mãn X X 0∈ λk Dc Fk,x (x)v + µi Dc gi (x)v, k∈J i∈I µi gi (x) = 0 (∀ i ∈ I). Một điều kiện cần tối ưu kiểu Karush-Kuhn-Tucker mạnh trong đó tất cả các nhân tử Largange tương ứng với tất cả các thành phần của đối tượng là dương cũng được dẫn dắt. Định lí 2.4 Cho x là một nghiệm hữu hiệu yếu địa phương của (CVEP1 ). Giả sử rằng tất cả các giả thiết của Định lí 2.2 được thỏa mãn và điều kiện chính quy (CQ2) (với tất cả các chỉ số s ∈ J) đúng. Lúc đó, với mọi v ∈ Ker∇h(x) ∩ IT (C, x), tồn tại λk > 0 (∀ k ∈ J), µi ≥ 0 (∀ i ∈ I) thỏa mãn X X 0∈ λk Dc Fk,x (x)v + µi Dc gi (x)v, k∈J i∈I µi gi (x) = 0 (∀ i ∈ I). Để khép lại chương này, chúng tôi cung cấp nhận xét quan trọng sau. Nhận xét 2.4 Ta có các nhận định: (i) Định lí 2.3 và 2.4 vẫn còn đúng nếu ta thay điều kiện chính quy (CQ2) bằng (CQ1). (ii) Điều kiện cần tối ưu kiểu Karush-Kuhn-Tucker cho nghiệm hữu hiệu yếu địa phương của bài toán (CVEP1 ) là chưa từng được nghiên cứu. (iii) Kết quả thu được trong tiểu mục này được áp dụng vào bài toán bất đẳng thức biến phân vectơ có ràng buộc và bài toán tối ưu vectơ có ràng buộc (Định lí 2.6, 2.7, 2.9 và 2.10).
Chương 3 Điều kiện tối ưu cho bài toán cân bằng vectơ qua ngôn ngữ trên đạo hàm tiếp liên Trong chương này, chúng tôi nghiên cứu điều kiện tồn tại trên đạo hàm tiếp liên cùng với một số mối liên hệ giữa trên đạo hàm tiếp liên và đạo hàm tiếp liên cho ánh xạ đơn trị và nghiên cứu điều kiện tối ưu cho các loại nghiệm hữu hiệu của bài toán cân bằng vectơ chỉ có ràng buộc tập và có đầy đủ ràng buộc. Nội dung của chương này dựa vào các công trình [2], [3], [4] và [7] trong phần Danh mục các công trình đã công bố. 3.1. Sự tồn tại và mối liên hệ giữa trên đạo hàm tiếp liên với đạo hàm tiếp liên Cho ∅ = 6 A ⊂ Y là một tập hợp khác rỗng và Q ⊂ Y là một nón. Chúng ta nhắc lại một số ký hiệu của Dinh The Luc (1989) và L. Rodríguez-Marín và M. Sama (2007a, 2007b) như sau. • Tập A được gọi là Q− bị chặn dưới (t.ứ., Q− bị chặn trên), nếu tồn tại y ∈ Y sao cho A ⊂ y + Q (t.ứ., A ⊂ y − Q). • Ánh xạ đa trị F : X ⇒ Y được gọi là có đạo hàm bị chặn dưới, ký hiệu (LBD) tại (x, y) ∈ graphF , nếu Dc F+ (x, y)u là Q− bị chặn dưới với mọi u ∈ L, ở đây L là hình chiếu của T (epi(F ), (x, y)) lên không gian X.
14 • Ký hiệu các điểm cực tiểu: IM in(A|Q) = {y ∈ A : A ⊂ y + Q}, M in(A|Q) = {y ∈ A : A ∩ (y − Q) ⊂ y + Q ∩ (−Q)}, IM ax(A|Q) = {y ∈ A : A ⊂ y − Q}, M ax(A|Q) = {y ∈ A : A ∩ (y + Q) ⊂ y + Q ∩ (−Q)}, infQ A = IM ax y ∈ Y : A ⊂ y + Q |Q , supQ A = IM in y ∈ Y : A ⊂ y − Q |Q . Sau đây chúng tôi dẫn một kết quả tồn tại trên đạo hàm tiếp liên trong trường hợp ánh xạ đa trị f+ có tính chất (LBD) tại (x, f (x)) ∈ graphf+ . Mệnh đề 3.1 Cho f : X → Y và x ∈ X. Giả sử f+ : X ⇒ Y có tính chất (LBD) tại điểm (x, f (x)) ∈ graphf+ hay Dc f+ (x, f (x))u là Q− bị chặn dưới với mọi u ∈ L, ở đây L là hình chiếu của T (epif, (x, f (x))) lên X. Các điều kiện sau tương đương: (i) Df (x) tồn tại. (ii) infQ Dc f+ (x, f (x))u ∈ Dc f+ (x, f (x))u ∀ u ∈ L. Sự tồn tại dưới đạo hàm tiếp liên có thể được phát biểu như sau. Mệnh đề 3.2 Cho f : X → Y và x ∈ X. Giả sử Dc f+ (x, f (x))u là Q− bị chặn trên với mọi u ∈ L và nón Q nhọn. Các điều kiện sau tương đương: (i) Df (x) tồn tại. (ii) supQ Dc f+ (x, f (x))u ∈ Dc f+ (x, f (x))u ∀ u ∈ L. Sử dụng khái niệm điểm cực tiểu Pareto, ta thu được một mối liên hệ giữa trên đạo hàm tiếp liên và đạo hàm tiếp liên. Mệnh đề 3.3 Cho f : X → Y và x ∈ X. Giả sử nón Q có cơ sở compact B và Df+ (x, f (x)) tồn tại. Với mọi u ∈ X, ta có M in Df+ (x, f (x))u + Q|Q ⊂ Dc f (x)u. (3.1) Đặc biệt, Df+ (x, f (x))u ∈ Dc f (x)u. (3.2) Từ đây ta có công thức biểu diễn cho trên đạo hàm tiếp liên.
15 Mệnh đề 3.4 Cho f : X → Y và x ∈ X. Giả sử nón Q có cơ sở compact B và u ∈ dom Dc f+ (x, f (x)). Khi đó, nếu Df (x)u tồn tại thì Df (x)u = IM in Dc f (x)u|Q = IM in Dc f+ (x, f (x))u|Q (3.3) = M in Dc f (x)u|Q = M in Dc f+ (x, f (x))u|Q . Nhận xét 3.1 Mệnh đề 3.4 đã giải quyết được trường hợp liên quan đến sự tồn tại trên đạo hàm tiếp liên của ánh xạ đơn trị tùy ý với không gian ảnh là Banach, trong khi Jiménez-Novo và Sama (2009) chỉ thực hiện kết quả cho hàm ổn định với không gian ảnh là hữu hạn chiều. 3.2. Điều kiện tối ưu cho các loại nghiệm hữu hiệu của (VEP) 3.2.1. Trường hợp không gian Banach Các điều kiện cần và đủ tối ưu cho các loại nghiệm hữu hiệu của (VEP) có thể được phát biểu như sau. Bổ đề 3.1 Cho x ∈ K và giả sử rằng (i) Q có một cơ sở compact B; (ii) DFx (x)u tồn tại với mọi u ∈ dom Dc Fx+ (x, Fx (x)); (iii) Fx (K) ⊂ Dc Fx (x)u + Q với mọi u ∈ dom Dc Fx+ (x, Fx (x)). Khi đó, bất đẳng thức sau đúng với mọi u ∈ dom Dc Fx+ (x, Fx (x)) : ξ, DFx (x)u ≤ hξ, Fx (y)i ∀ y ∈ K, ∀ ξ ∈ Q+ . Định lí 3.1 Cho x ∈ K với Fx (x) = 0. Dưới các giả thiết của Bổ đề 3.1 và giả sử thêm rằng ánh xạ Fx vững tại x. Khi đó, vectơ x là một nghiệm hữu hiệu yếu của (VEP) nếu và chỉ nếu với mọi u ∈ A(K, x) ∩ dom Dc Fx+ (x, Fx (x)) tồn tại ξ ∈ Q+ \ {0} thỏa mãn 0 ≤ ξ, DFx (x)u ≤ hξ, Fx (y)i ∀ y ∈ K. (3.4) Đặc biệt, nếu K lồi thì vectơ x là một nghiệm hữu hiệu yếu của (VEP) nếu và chỉ nếu với mọi u ∈ T (K, x)∩dom Dc Fx+ (x, Fx (x)) tồn tại ξ ∈ Q+ \{0} sao cho (3.4) được thỏa mãn.
16 Nhận xét 3.2 Định lí 3.1 đã giải quyết được trường hợp nghiệm hữu hiệu yếu của bài toán cân bằng vectơ chỉ có ràng buộc tập qua ngôn ngữ trên đạo hàm tiếp liên, trong khi Jiménez-Novo và Sama (2009) chưa làm được điều đó, họ chỉ thu được các điều kiện cần và đủ tối ưu cho cực tiểu chặt địa phương cấp một của bài toán tối ưu đa mục tiêu không ràng buộc. Định lí 3.2 Cho x ∈ K với Fx (x) = 0 và các điều kiện (i), (ii) và (iii) trong Bổ đề 3.1 được thỏa mãn. Giả sử Fx vững tại x. Khi đó, vectơ x ∈ K là một nghiệm hữu hiệu Henig (t.ứ., hữu hiệu toàn cục, siêu hữu hiệu) của (VEP) khi và chỉ khi với mọi u ∈ A(K, x) ∩ dom Dc Fx+ (x, Fx (x)) tồn tại ξ ∈ Q∆ (B) (t.ứ., Q] , int(Q+ )) thỏa mãn 0 ≤ ξ, DFx (x)u ≤ hξ, Fx (y)i ∀ y ∈ K. Nhận xét 3.3 Các kết quả nhận được trong Định lí 3.2 là hoàn toàn mới và chúng tôi cũng chưa thấy một nghiên cứu tương tự nào trước đây cho các loại nghiệm hữu hiệu trên có sử dụng ngôn ngữ trên đạo hàm tiếp liên. 3.2.2. Trường hợp hữu hạn chiều Nếu hàm Fx (.) ổn định tại x, một điều kiện đủ tối ưu cho nghiệm hữu hiệu yếu của (VEP) có thể được phát biểu như sau. Định lí 3.3 Giả sử dimY < +∞ và Q ⊂ Y là nón lồi đóng và phần trong của nó khác rỗng. Cho x ∈ K và giả sử Fx : X → Y ổn định tại x với Fx (x) = 0. Giả sử thêm rằng với mỗi u ∈ A(K, x) thỏa mãn Dc Fx (x)u ∩ (−intQ) = ∅, (3.5) và với mọi y ∈ K tồn tại e ∈ Q sao cho DFx (x)u ∈ IM in((Fx (.) ± Q)(y) − e | Q). Khi đó, vectơ x ∈ K là một nghiệm hữu hiệu yếu của (VEP). Nhận xét 3.4 Nếu ta thay điều kiện trong (3.5) bởi một điều kiện khác DFx (x)u 6∈ −intQ thì kết quả thu được của Định lí 3.3 vẫn còn đúng. Định lí 3.3 là một kết quả mới về điều kiện đủ tối ưu cho nghiệm hữu hiệu yếu của bài toán (VEP) với hàm mục tiêu ổn định tại điểm tối ưu x.
17 3.3. Điều kiện tối ưu cho các loại nghiệm hữu hiệu của (CVEP) Xét bài toán (VEPC) trong đó X = Rn , Y = Rm , Z = Rr , W = Rl , các nón có phần trong khác rỗng Q và S trong Rm và Rr có các cơ sở compact B và B 0 tương ứng. Khi đó, ta xem h = (h1 , h2 , . . . , hl ) : Rn → Rl với hk : Rn → R với mọi k = 1 . . . l. Điều kiện chính quy kiểu Kurcyusz- Robinson-Zowe được ký hiệu như (KRZ) và được định nghĩa bởi n o z ∈ Z : (y, z) ∈ cone D(Fx , g)(x) Ker∇h(x) ∩ IT (C, x) + cone S + g(x) = Z. Một số điều kiện cần tối ưu kiểu Fritz John và Kuhn - Tucker cho các loại nghiệm hữu hiệu của (CVEP) có thể được phát biểu như sau. Định lí 3.4 (Điều kiện cần kiểu Fritz John) Cho x ∈ K với Fx (x) = 0. Giả sử Fx , g vững tại x, h liên tục trong một lân cận của x và khả vi Fréchet tại x với hệ ∇h1 (x), . . . , ∇hl (x) độc lập tuyến tính. Lúc đó, nếu x là một nghiệm hữu hiệu yếu của (CVEP) thì với mọi u ∈ Ker∇h(x) ∩ IT (C, x) và (v1 , v2 ) = D(Fx , g)(x)u, tồn tại (λ, η) ∈ Rm × Rr với (λ, η) 6= (0, 0) thỏa mãn λ ∈Q+ , η ∈ N (−S, g(x)), (3.6) hλ, v1 i + hη, v2 i ≥ 0. Định lí 3.5 (Điều kiện cần kiểu Kuhn-Tucker) Cho x ∈ K với Fx (x) = 0. Giả sử Fx , g và h thỏa mãn Định lí 3.4, tập M := D(Fx , g)(x)(Ker∇h(x) ∩ IT (C, x)) lồi và điều kiện chính quy (KRZ) đúng. Khi đó, nếu x ∈ K là một nghiệm hữu hiệu yếu (t.ứ., hữu hiệu Henig, hữu hiệu toàn cục và siêu hữu hiệu) của (CVEP) thì tồn tại (λ, η) ∈ Rm × Rr \ {(0, 0)} thỏa mãn λ ∈ Q+ \ {0} (t.ứ., Q∆ (B), Q] , int(Q+ )), (3.7) η ∈ N (−S, g(x)), (3.8) hλ, v1 i + hη, v2 i ≥ 0 ∀ (v1 , v2 ) ∈ M. (3.9) Nhận xét 3.5 Định lí 3.4 và 3.5 là các kết quả mới về điều kiện cần tối ưu cho các loại nghiệm hữu hiệu của bài toán cân bằng vectơ có ràng buộc đẳng thức, bất đẳng thức và tập qua ngôn ngữ trên đạo hàm tiếp liên.
Chương 4 Điều kiện tối ưu cấp hai cho bài toán cân bằng vectơ qua ngôn ngữ trên đạo hàm tiếp liên Trong chương này, chúng tôi nghiên cứu các kết quả tồn tại trên đạo hàm tiếp liên cấp hai với một hàm đơn trị tùy ý trong không gian Banach và dẫn các điều kiện tối ưu cấp hai cho các loại nghiệm hữu hiệu của bài toán cân bằng vectơ có ràng buộc (CVEP) qua ngôn ngữ trên đạo hàm tiếp liên với các hàm mục tiêu tùy ý trong không gian Banach. Nội dung của chương này dựa vào các công trình [6] và [8] trong phần Danh mục các công trình đã công bố. 4.1. Sự tồn tại và mối liên hệ giữa trên đạo hàm tiếp liên cấp hai với đạo hàm tiếp liên cấp hai Đặc trưng dựa vào điều kiện một nón có cơ sở compact như sau. Mệnh đề 4.1 Cho k : X → Y, x ∈ X và (u, v) ∈ X × Y. Giả sử nón Q có một cơ sở compact B và x ∈ dom Dc2 k+ (x, k(x), u, v). Các điều kiện sau là tương đương: 2 (i) D k(x, u, v)x tồn tại. (ii) IM in Dc2 k(x, u, v)x|Q =6 ∅. Khi đó, 2 D k(x, u, v)x = IM in Dc2 k(x, u, v)x|Q .