Tóm tắt Luận án Tiến sĩ Toán học: Về sự không tồn tại nghiệm của một số phương trình đạo hàm riêng phi tuyến

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:24

Thêm vào BST

Báo xấu

1
lượt xem 0
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Mục đích nghiên cứu của tóm tắt luận án "Về sự không tồn tại nghiệm của một số phương trình đạo hàm riêng phi tuyến" là đưa ra kết quả về sự tồn tại và không tồn tại nghiệm trên yếu không âm không tầm thường của phương trình/hệ phương trình xốp có trọng. Nghiên cứu sự không tồn tại nghiệm ổn định của phương trình elliptic suy biến với hệ số bình lưu. Chứng minh sự không tồn tại nghiệm dương của phương trình Choquard phân thứ phi tuyến. Mời các bạn cùng tham khảo!

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Tóm tắt Luận án Tiến sĩ Toán học: Về sự không tồn tại nghiệm của một số phương trình đạo hàm riêng phi tuyến

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI ——————— * ——————— ĐÀO MẠNH THẮNG VỀ SỰ KHÔNG TỒN TẠI NGHIỆM CỦA MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH ĐẠO HÀM RIÊNG PHI TUYẾN Chuyên ngành: Phương trình vi phân và tích phân Mã số: 9 46 01 03 TÓM TẮT LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC Hà Nội - 2024
Luận án được hoàn thành tại Trường Đại học Sư phạm Hà Nội Tập thể hướng dẫn khoa học: 1. PGS. TS. Dương Anh Tuấn 2. PGS. TS. Đào Trọng Quyết Phản biện 1: GS. TS. Cung Thế Anh - Trường Đại học Sư phạm Hà Nội Phản biện 2: PGS. TS. Vũ Mạnh Tới - Trường Đại học Thủy lợi Hà Nội Phản biện 3: PGS. TS. Đỗ Đức Thuận - Đại học Bách khoa Hà Nội Luận án sẽ được bảo vệ trước Hội đồng chấm luận án cấp trường họp tại Trường Đại học Sư phạm Hà Nội vào hồi ..... giờ.....ngày..... tháng ..... năm ...... Có thể tìm hiểu Luận án tại Thư viện Quốc Gia Hà Nội hoặc Thư viện Trường Đại học Sư phạm Hà Nội
1 MỞ ĐẦU 1. Lịch sử vấn đề và lí do chọn đề tài Phương trình đạo hàm riêng được nghiên cứu lần đầu tiên vào giữa thế kỉ 18 trong các công trình của những nhà toán học như Euler, D’Alembert, Lagrange và Laplace như là một công cụ quan trọng để mô tả các mô hình của Vật lý và Cơ học. Ngày nay, sau hơn hai thế kỉ phát triển, phương trình đạo hàm riêng được sử dụng trong rất nhiều lĩnh vực để mô hình hóa nhiều bài toán trong Vật lý, Cơ học, Hóa học, Sinh học, Kinh tế học. Do tính phức tạp của các bài toán thực tế, mô hình được thiết lập thường là các phương trình đạo hàm riêng phi tuyến. Việc nghiên cứu sự tồn tại và tính chất định tính của nghiệm của các lớp phương trình này là một trong những chủ đề chính của giải tích toán học theo hướng ứng dụng. Một hướng nghiên cứu thu hút sự chú ý của nhiều nhà toán học trong những năm gần đây là xem xét các điều kiện tồn tại hoặc không tồn tại nghiệm thông qua các định lí kiểu Liouville. Chúng đóng vai trò cơ bản và được xem là nền tảng để tiếp cận đến những hiểu biết sâu sắc về cấu trúc tập nghiệm của các bài toán giá trị biên. Các định lí kiểu Liouville đưa đến nhiều hệ quả và ứng dụng đặc biệt quan trọng, chẳng hạn như: ước lượng tiên nghiệm cho bài toán Dirichlet, các ước lượng kì dị và phân rã, định lí kiểu Liouville trên nửa không gian, ước lượng phổ quát, bất đẳng thức kiểu Harnack, tốc độ bùng nổ ban đầu và tốc độ phân rã theo thời gian của bài toán parabolic. . . Chủ đề thứ nhất được nghiên cứu trong luận án là phương trình ut − ∆um = up trong RN × R (1) và hệ phương trình ut − ∆um = v p trong RN × R, (2) vt − ∆v m = uq trong đó p, q > m > 1.
2 Mục tiêu chính của chúng tôi là thiết lập điều kiện không tồn tại nghiệm không tầm thường đối với (1) và (2). Trong những năm gần đây, tính chất Liouville đã được xem như một trong những công cụ mạnh trong việc nghiên cứu tính chất định tính đối với phương trình phi tuyến. Các định lý kiểu Liouville đưa đến một loạt các kết quả, ví dụ như: ước lượng tiên nghiệm; ước lượng kỳ dị và phân rã, ước lượng phổ quát. Phân loại nghiệm trên dương của (1) và (2) trong trường hợp elliptic đã được chứng minh Amstrong-Sirakov (2011). Chính xác hơn, mô hình elliptic của (2) là hệ Lane-Emden −∆um = v p trong RN , (3) −∆v m = uq Hệ này không có nghiệm trên dương khi và chỉ khi 2p/m + 1 2q/m + 1 N − 2 ≤ max , 2 − 1 pq/m2 − 1 . pq/m Đặc biệt, khi p = q , hệ Lane-Emden −∆um = v p trong RN (4) 2 không có nghiệm trên dương khi và chỉ khi N − 2 ≤ p/m−1 . Mặt khác, sự tồn tại và không tồn tại nghiệm dương đối với phương trình (4) đã N +2 được thiết lập trong Gidas-Spruck (1981) với số mũ tới hạn pc (N ) = N −2 . Tuy nhiên, vấn đề tương tự đối với hệ Lane-Emden (3) vẫn chưa được giải quyết hoàn toàn. Nó được gọi là giả thuyết Lane-Emden: Hệ (3) không có nghiệm dương khi và chỉ khi 1 1 2 + >1− . p/m + 1 q/m + 1 N Giả thuyết này đã được chứng minh trong trường hợp số chiều thấp N ≤ 4, xem Souplet (2009). Giả thuyết vẫn chưa chứng minh được trong trường hợp N ≥ 5. Đối với mô hình parabol (1) trong trường hợp nửa tuyến tính khi m = 1, chúng ta đã có kết quả Fujita nổi tiếng về sự không tồn tại nghiệm không âm không tầm thường trong RN × (0, ∞) trong trường hợp 1 < p ≤ NN , +2 xem Fujita (1966). Trong trường hợp p > NN , bài toán (1) đã được giải +2
3 quyết, ở đó một nghiệm trên không âm có dạng 1 2 − p−1 −γ 1+|x| kt e t nếu t > 0, x ∈ RN u(x, t) = (5) N 0 nếu t ≤ 0, x ∈ R , với k, γ được chọn thích hợp. Với hệ (2) khi m = 1, trong Duong-Phan (2021) các tác giả đã chứng minh kết quả tồn tại và không tồn tại nghiệm trên không âm và nghiệm trên dương. Trong Duong-Phan (2021), các tác giả đã chỉ ra rằng hệ (2) khi m = 1 không có nghiệm trên không âm khi và chỉ khi 2(p + 1) 2(q + 1) p, q > 0, pq > 1 và max , ≥ N. (6) pq − 1 pq − 1 Tiếp theo, chúng ta xét các bài toán (1) and (2) trong trường hợp m > 1. Đối với các nghiệm trong RN × (0, T ) của các phương trình kiểu (1), một số kết quả về tính giải được địa phương đã được nghiên cứu. Người ta đã 2 chỉ ra rằng khi p ≤ m + N , nghiệm u của (1) trong RN × (0, +∞) với điều kiện ban đầu u0 ̸≡ 0 liên tục, bị chặn không tồn tại toàn cục và bùng nổ trong một thời gian hữu hạn, tức là tồn tại T > 0 sao cho sup u(x, t) → +∞ khi t → T. x∈RN 2 Với điều kiện p ≤ m + N , người ta đã chứng minh được bất kì nghiệm nào của (1) trong RN × (0, T ) đều thỏa mãn ước lượng 1 1 u(x, t) ≤ C(N, m, p) t− p−1 + (T − t)− p−1 . Kiểu ước lượng này sau đó đã được chứng minh trong Ammar-Souplet (2011) cho p lớn, tức là p < p0 (m, N ) với p0 (m, N ) được tính toán cụ thể thỏa mãn 2 m+ < mp0 (m, N ) < mpS với N ≥ 2. N Ở đây, pS là số mũ Sobolev. Trên thực tế, tác giả cho thấy rằng phương trình (1) không có nghiệm yếu không âm trong toàn bộ không gian RN × R khi m < p < p0 (m, N ). Kết quả không tồn tại này được phỏng đoán là đúng trong khoảng m < p < mpS trong Ammar-Souplet (2011). Tuy nhiên, điều này vẫn chưa được chứng minh.
4 Dựa trên các tiến bộ gần đây về nghiên cứu phương trình xốp Ammar- Souplet (2011), Vasquez (2007), chúng tôi nghiên cứu sự tồn tại và không tồn tại nghiệm trên yếu không âm của các bài toán (1) và (2) trên toàn bộ không gian. Chủ đề thứ hai trong luận án là nghiên cứu sự không tồn tại nghiệm ổn định của phương trình eliptic −Gα u + c(z) · ∇α u = h(z)eu , z = (x, y) ∈ RN1 × RN2 = RN , (7) trong đó Gα = ∆x + (1 + α)2 |x|2α ∆y , α > 0, là toán tử Grushin, hàm trọng h(z) là liên tục. Ở đây, c(z) là một trường vectơ khả vi liên tục thỏa mãn |z|G |c (z)| div G c = 0 và β := sup < ∞, (8) RN |∇α |z|G | với chuẩn Grushin 1 2(1+α) 2 2 2(1+α) |z|G = |x| + (1 + α) |y| và gradient Grushin ∇α = (∇x , (1 + α)|x|α ∇y ). Nếu α = 0, c = 0 và h = 1, bài toán (7) sẽ trở thành −∆u = eu trong RN . (9) Phương trình này được gọi là phương trình Gelfand. Gần đây, phân loại nghiệm của phương trình (9) đã thu hút nhiều sự quan tâm của các nhà toán học. Người ta đã chỉ ra rằng (9) không có nghiệm ổn định khi và chỉ khi N ≤ 9, Farina (2007). Gần đây, các bài toán elliptic với hệ số bình lưu đã được nghiên cứu rộng rãi. Trong Cowan (2014), tác giả đã thu được một số phân loại các nghiệm dương ổn định của phương trình −∆u + c · ∇u = up trong RN , ε trong đó c là trường vectơ tự do trơn thỏa mãn |c(x)| ≤ 1+|x| , ε đủ nhỏ. Các kỹ thuật được sử dụng trong Cowan (2014) bao gồm phương pháp hàm thử và bất đẳng thức Hardy suy rộng.
5 Trong trường hợp hàm phi tuyến dạng mũ, bằng cách khai thác kỹ thuật trong Cowan (2014), các tác giả trong Lai-Zhang (2017) đã thiết lập sự không tồn tại nghiệm ổn định đối với phương trình −∆u + c · ∇u = eu trong RN (10) khi 3 ≤ N ≤ 9 và c thỏa mãn các điều kiện tương tự như trong Cowan (2014). Với một sự giảm nhẹ về điều kiện của hệ số bình lưu, các tác giả trong Duong-Nguyen-Nguyen (2019) đã chứng minh rằng phương trình (10) không có nghiệm ổn định khi 3 ≤ N ≤ 9 và c là trường vectơ tự do ε trơn thỏa mãn |c(x)| ≤ 1+|x| với 0 < ε < (N − 2)(10 − N ). Tiếp theo chúng ta xét các bài toán elliptic chứa toán tử Grushin. Nhắc lại rằng Gα là elliptic với x ̸= 0 và suy biến trên đa tạp {0}× RN2 . Toán tử này đã thu hút sự chú ý của nhiều nhà toán học. Việc phân loại nghiệm ổn định của phương trình elliptic có sử dụng toán tử Grushin phi tuyến loại lũy thừa đã được nghiên cứu trong Duong-Nguyen (2017). Đối với phương trình Gelfand chứa toán tử Grushin, một số kết quả không tồn tại nghiệm ổn định đã được chứng minh. Chủ đề thứ ba được nghiên cứu trong luận án là phương trình Choquard phân thứ phi tuyến 1 (−∆)s u = ∗ up up−1 , (11) |x|N −2s ở đây 0 < s < 1, p ∈ R và “ ∗ ” là tích chập của hai hàm, tức là 1 p up (y) ∗u = dy. |x|N −2s RN |x − y|N −2s Trong trường hợp s = 1, phương trình (11) trở thành 1 −∆u = ∗ up up−1 (12) |x|N −2 Phương trình trên thuộc lớp các phương trình Choquard tĩnh 1 −∆u + V (x)u = ∗ up up−1 . |x|N −2 Liên quan đến việc phân loại nghiệm dương của phương trình (12), Lei (2018) đã chứng minh rằng phương trình (12) không có nghiệm dương với
6 điều kiện 1 ≤ p < N +2 . Gần đây, Le (2020) đã tìm được một kết quả N −2 mạnh hơn, đó là phương trình (12) không có nghiệm dương khi N ≤ 2 hoặc N ≥ 3 và −∞ < p < N +2 . Một trong những đóng góp trong Le N −2 (2020) là sự không tồn tại các nghiệm dương vẫn đúng với p ≤ 1. Trong trường hợp không địa phương, tức là 0 < s < 1, sự không tồn tại các nghiệm dương của (11) đã được chứng minh khi 1 ≤ p < N +2s . N −2s Bên cạnh các kết quả đã được thiết lập cho phương trình Lane-Emden hay phương trình Gelfand, việc phân loại nghiệm ổn định của phương trình Choquard vẫn còn khiêm tốn. Chúng tôi đề cập đến một số kết quả cho (7) với s = 1, xem Lei (2018), Zhao (2018) về phân loại nghiệm ổn định dương và Le (2020) về phân loại nghiệm ổn định đổi dấu. Kỹ thuật được sử dụng trong các bài báo này là sự kết hợp giữa phương pháp hàm thử và ước lượng tích phân phi tuyết xuất phát từ ý tưởng của Farina (2007). Kết quả sau đây được chứng minh trong Lei (2018). Định lý A. Cho s = 1 và N ≥ 3. Giả sử p > 1 và 4(1 + p2 − p) N
7 hoặc ut − Aum = f (x, u, v) (15) vt − Av m = g(x, u, v), ở đây m ≥ 1, A là toán tử Laplace hoặc Grushin, B 2 = A, f và g là các hàm phi tuyến. Và nghiên cứu sự không tồn tại nghiệm ổn định của phương trình Choquard phân thứ phi tuyến 1 (−∆)s u = ∗ up up−1 , (16) |x|N −2s ở đây 0 < s < 1, p ∈ R và “ ∗ ” là tích chập của hai hàm, tức là 1 p up (y) ∗u = dy. |x|N −2s RN |x − y|N −2s 3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu: Nghiên cứu một số phương trình đạo hàm riêng phi tuyến. Phạm vi nghiên cứu: Nội dung 1: Thiết lập điều kiện tối ưu để phương trình/hệ phương trình xốp không có nghiệm trên yếu không âm không tầm thường trong RN × R: ut − ∆um = up và ut − ∆um = v p vt − ∆v m = uq với p, q > m > 1 Nội dung 2: Tìm điều kiện tốt nhất có thể để bài toán elliptic không có nghiệm ổn định: −Gα u + c(x) · ∇α u = h(x)eu , x = (x, y) ∈ RN1 × RN2 = RN , với Gα = ∆x + (1 + α)2 |x|2α ∆y , α > 0, là toán tử Grushin, hàm trọng h(x) liên tục, c(x) là trường véctơ trơn thỏa mãn |x||c (x)| div G c = 0 và β := sup < ∞, RN |∇α |x||
8 với chuẩn Grushin 1 2(1+α) 2 2 2(1+α) |x| = |x| + (1 + α) |y| và gradient Grushin ∇α = (∇x , (1 + α)|x|α ∇y ). Nội dung 3: Tìm điều kiện để phương trình Choquard phân thứ phi tuyến không có nghiệm dương ổn định: 1 (−∆)s u = ∗ up up−1 , |x|N −2s ở đây 0 < s < 1, p ∈ R và “ ∗ ” là tích chập của hai hàm, tức là 1 p up (y) ∗u = dy. |x|N −2s RN |x − y|N −2s 4. Phương pháp nghiên cứu Để chứng minh kết quả tối ưu về sự không tồn tại nghiệm trên cho lớp phương trình parabolic, đề tài sử dụng phương pháp hàm thử và các ước lượng tích phân. Ngoài ra, để chỉ ra sự tối ưu, đề tài xây dựng nghiệm tường minh trong trường hợp trên tới hạn. Để thiết lập sự không tồn tại nghiệm của bài toán elliptic, chúng tôi sử dụng phương pháp được đề xuất bởi Farina (2007) bao gồm việc đánh giá tích phân phi tuyến và ước lượng phiếm hàm năng lượng. Để thiết lập sự không tồn tại nghiệm của phương trình Choquard phân thứ phi tuyến, chúng tôi sử dụng phương pháp hàm thử và các ước lượng năng lượng từ ý tưởng của Farina (2007). 5. Cấu trúc của luận án Ngoài các phần Lời cảm ơn, Mở đầu, Danh sách kí hiệu, Tài liệu tham khảo, Danh mục các công trình khoa học liên quan đến luận án, Kết luận, Chỉ mục, luận án được chia thành bốn chương có nội dung chính như sau: Chương 1: Nhắc lại một số kiến thức chuẩn bị. Chương 2: Đưa ra kết quả về sự tồn tại và không tồn tại nghiệm trên yếu không âm không tầm thường của phương trình/hệ phương trình xốp có trọng.
9 Chương 3: Nghiên cứu sự không tồn tại nghiệm ổn định của phương trình elliptic suy biến với hệ số bình lưu. Chương 4: Chứng minh sự không tồn tại nghiệm dương của phương trình Choquard phân thứ phi tuyến. Các Chương 2, 3 và 4 dựa trên các bài báo [P1], [P2] và [P3].
10 Chương 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Trong chương này, chúng tôi nhắc lại một số bất đẳng thức, toán tử Grushin và toán tử Laplace phân thứ. 1.1. Một số bất đẳng thức 1.2. Toán tử Grushin 1.3. Toán tử Laplace phân thứ
11 Chương 2 Về sự không tồn tại nghiệm của phương trình, hệ phương trình vật liệu xốp có trọng Trong chương này, chúng tôi thiết lập một số kết quả về sự không tồn tại nghiệm trên yếu, không âm, không tầm thường trong toàn bộ không gian của phương trình/hệ phương trình xốp có trọng. Đồng thời, chúng tôi cũng xây dựng một số ví dụ để thể hiện sự tối ưu kết quả của chúng tôi. Chương này được viết dựa trên bài báo [P1] trong danh mục công bố. 2.1. Đặt vấn đề và các kết quả chính 2.1.1. Đặt vấn đề Xét phương trình/hệ phương trình vật liệu xốp có trọng ut − ∆um = up trong RN × R (2.1) và ut − ∆um = v p m q trong RN × R, (2.2) vt − ∆v = u với p, q > m > 1. 2.1.2. Kết quả về sự không tồn tại nghiệm Định lí 2.1. Giả sử p > m > 1. Khi đó phương trình (2.1) không có nghiệm trên yếu không âm không tầm thường (nontrivial nonnegative weak solution) trong RN × R khi và chỉ khi p ≤ mN +2 . N Trong trường hợp p > mN +2 , chúng tôi sẽ xây dựng nghiệm trên yếu N không âm không tầm thường của (2.1). (Xem trong phần cuối cùng của phần chứng minh Định lí 2.1). Định lí 2.2. Giả sử p, q > m > 1. Hệ (2.2) không có nghiệm trên yếu không âm không tầm thường trong RN × R khi và chỉ khi 2(p + 1) 2(q + 1) N ≤ max , . (2.3) p(q + 1) − m(p + 1) q(p + 1) − m(q + 1)
12 2.2. Chứng minh kết quả về sự không tồn tại nghiệm 2.2.1. Đối với phương trình Giả sử u là một nghiệm trên yếu không âm của (2.1). Như vậy, chúng ta suy ra rằng up ψr dxdt B2r 1 p m p (2.4) ≤ Crκ up ψr dxdt + up ψr dxdt . B2r \Br B2r \Br Tiếp theo chúng ta xét hai trường hợp của κ. Trường hợp 1. κ < 0. Dễ dàng thấy rằng điều kiện này tương đương với mN + 2 p< . N Bằng cách rút gọn bất đẳng thức (2.4) và sau đó cho r → +∞, ta có up dxdt = 0. RN ×R Điều này suy ra rằng u là nghiệm trên không âm tầm thường. Trường hợp 2. κ = 0. Như trên, κ = 0 tương đương với mN + 2 p= . N Từ (2.4) chúng ta suy ra rằng up dxdt là hữu hạn. Tuy nhiên, điều RN ×R này dẫn đến thực tế là vế phải của (2.4) tiến đến 0 khi r → +∞. Do đó, một lần nữa chúng ta thu được từ (2.4) rằng up dxdt = 0. RN ×R Điều này là đúng khi và chỉ khi u = 0. Phần còn lại của chứng minh được dành cho kết quả tồn tại. Đối với p > mN +2 , chúng tôi xây dựng một nghiệm trên yếu không âm không tầm N
13 thường có dạng 1  − 1 2 + m−1 γ(m−1) |x| +1 t ε− nếu t > 0 và x ∈ RN  p−1 u(x, t) = 2m t2γ , nếu t ≤ 0 và x ∈ RN  0 p−m ở đây ε là một hằng số dương nhỏ, γ = 2(p−1) và t+ = max(t, 0). Sau đó, chúng ta chỉ ra rằng u(x, t) được xây dựng ở trên là một nghiệm trên yếu không âm, không tầm thường của (2.1). 2.2.2. Đối với hệ phương trình Trong phần này, chúng tôi chia chứng minh Định lý 2.2 thành hai phần: kết quả không tồn tại và sự tồn tại nghiệm. Bước 1. Kết quả không tồn tại Giả sử rằng (u, v) là một nghiệm trên yếu không âm của (2.2). Chúng tôi chỉ ra 1 m 1 m q 1 m q A ≤ C rκ1 A + rκ2 A p p + C rκ3 A + rκ4 A p p . (2.5) Chúng ta chứng minh rằng bốn lũy thừa của r ở vế phải của (2.5) là không dương, tức là κi ≤ 0 với i = 1, 2, 3, 4. Sau đó, chứng minh như trong chứng minh Định lý 2.1, từ (2.5) ta có được rằng v p dxdt = 0. RN ×R Do đó, v = 0 và điều này dẫn đến u = 0. Bước 2. Tồn tại nghiệm trên Giả sử rằng (2.3) không đúng, tức là 2(p + 1) 2(q + 1) N > max , . (2.6) p(q + 1) − m(p + 1) q(p + 1) − m(q + 1) Chúng ta sẽ xây dựng một nghiệm trên yếu không âm không tầm thường của (2.2) như sau. Đầu tiên, chúng tôi đặt 1  2 + m−1 ε − γ1 (m−1) |x|2γ+1  −α t nếu t > 0 và x ∈ RN  1 u(x, t) = 2m t 1 nếu t ≤ 0 và x ∈ RN  0
14 và 1  2 + m−1  −α γ2 (m−1) |x| +1 t ε− nếu t > 0 và x ∈ RN  2 v(x, t) = 2m t2γ2 , nếu t ≤ 0 và x ∈ RN  0 ở đó ε, α1 , α2 , γ1 và γ2 là các tham số dương được chọn sau. Đặt χ là hàm đặc trưng của tập hợp γ1 (m − 1) ε Ω := (x, t); (|x|2 + 1) < t2γ2 và t > 1 , 2m 2 tức là 1 trên Ω χ(x, t) = . 0 trong trường hợp ngược lại Đặt U (x, t) = u(x, t)χ(x, t) và V (x, t) = v(x, t)χ(x, t). Do đó, trên miền Ω, ta suy ra rằng p−1 p m − m−1 − m−1 Ut − ∆U ≥ (γ1 N − α1 )ε 2 Vp m q−1 p − m−1 − m−1 q . (2.7) Vt − ∆V ≥ (γ2 N − α2 )ε 2 U Ta chỉ cần chọn ε đủ nhỏ sao cho p−1 p − m−1 − m−1 (γ1 N − α1 )ε 2 >1 và q−1 p (γ2 N − α2 )ε− m−1 2− m−1 > 1. Do đó, chúng ta thu được một nghiệm trên yếu không âm không tầm thường (U, V ) của hệ khi ε đủ nhỏ.
15 Chương 3 Nghiệm ổn định của phương trình elliptic suy biến với số hạng bình lưu Trong chương này, chúng tôi nghiên cứu các phương trình elliptic liên quan đến toán tử Grushin và số hạng bình lưu là một trường vectơ trơn, tự do. Chúng tôi chứng minh sự không tồn tại nghiệm ổn định của Phương trình dưới một số điều kiện về số chiều. Chương này được viết dựa trên bài báo [P2] trong danh mục công bố. 3.1. Đặt vấn đề và kết quả chính 3.1.1. Đặt vấn đề Xét phương trình −Gα u + c(z) · ∇α u = h(z)eu , z = (x, y) ∈ RN1 × RN2 = RN , (3.1) ở đó Gα = ∆x + (1 + α)2 |x|2α ∆y , α > 0 là toán tử Grushin, hàm trọng h(z) liên tục và c(z) là một trường véctơ khả vi liên tục cấp 1 thỏa mãn |z|G |c (z)| div G c = 0 và β := sup < ∞, (3.2) RN |∇α |z|G | với chuẩn Grushin xác định bởi 1 2(1+α) 2 2 2(1+α) |z|G = |x| + (1 + α) |y| và gradient Grushin ∇α = (∇x , (1 + α)|x|α ∇y ). 3.1.2. Sự không tồn tại nghiệm ổn định Định lí 3.1. Giả sử hàm trọng h liên tục và h(z) ≥ C|z|l với l ≥ 0. Nếu G Nα < 10 + 4l và điều kiện (3.2) thỏa mãn với β< (Nα − 2) 10 + 4l − Nα ,
16 thì (3.1) không có nghiệm ổn định. Chú ý rằng, khi l = 0 và α = 0, chúng ta thu được kết quả về sự không tồn tại nghiệm trong Lai-Zhang (2017). 3.2. Chứng minh sự không tồn tại nghiệm ổn định Chúng ta thiết lập   1 t  β2 −  h(z)e(2t+1)u ψR dxdy 2 (3.3) (Nα −2) 2 +1 2 RN 2t+1 2t 1 1 ≤C 1 dxdy R2 R
17 Chương 4 Về sự không tồn tại nghiệm dương của phương trình Choquard phân thứ phi tuyến Trong chương này, chúng tôi quan tâm đến phương trình Choquard phân thứ phi tuyến trên toàn bộ không gian RN . Đầu tiên, chúng tôi chứng minh rằng Phương trình không có nghiệm dương trong trường hợp dưới tuyến tính. Trong trường hợp siêu tuyến tính, chúng tôi thiết lập sự không tồn tại nghiệm dương ổn định của Phương trình. Kết quả này mở rộng kết quả trong Lei (2018) đối với phương trình Choquard phân thứ. Chương này được viết dựa trên bài báo [P3] trong danh mục công bố. 4.1. Đặt vấn đề và các kết quả chính 4.1.1. Đặt vấn đề Xét phương trình sau trên toàn bộ không gian RN s 1 (−∆) u = ∗ up up−1 , (4.1) |x|N −2s với 0 < s < 1 và p ∈ R. Ở đây “ ∗ ” là tích chập của hai hàm, nghĩa là 1 p up (y) ∗u = dy. |x|N −2s RN |x − y| N −2s 4.1.2. Kết quả về sự không tồn tại nghiệm của phương trình Choquard phân thứ phi tuyến Định lí 4.1. Giả sử 0 < s < 1. Khi đó, phương trình (4.1) không có nghiệm dương khi p ≤ 1. Định lí 4.2. Giả sử 0 < s < 1, p > 1 và 4s(1 + p2 − p) N < 6s + . p−1 Khi đó, phương trình (4.1) không có nghiệm dương ổn định (stable positive solution).
18 4.2. Chứng minh sự không tồn tại nghiệm 4.2.1. Chứng minh sự không tồn tại nghiệm dương Trong phần này, chúng ta chứng minh Định lí 4.1. Giả sử phản chứng rằng u là một nghiệm dương của phương trình (4.1). Chúng ta sẽ chỉ ra điều mâu thuẫn như sau. √ Đặt v := cN,s |x|2s−N ∗ up . Khi đó u và v thỏa mãn hệ  (−∆)s u = √ 1 up−1 v cN,s (4.2) (−∆)s v = √ 1 up . cN,s Ước lượng giữa u và v được thể hiện trong mệnh đề sau đây. Bổ đề 4.1. Nếu (u, v) là một nghiệm dương của hệ (4.2) trong toàn bộ không gian RN thì u ≤ v . 4.2.2. Chứng minh sự không tồn tại nghiệm dương ổn định Ta có các đánh giá quan trọng thông qua bổ đề, mệnh đề sau đây. Mệnh đề 4.1. Giả sử u là nghiệm dương ổn định của phương trình (4.1). Khi đó, với bất kì 1 ≤ γ < 2p − 1 + 2 p2 − p, tồn tại hằng số dương C không phụ thuộc u thỏa mãn up+γ ηdx ≤ C, (4.3) RN với N +2s η(x) = (1 + |x|2 )− 2 , x ∈ RN . Tiếp theo, chúng ta có các ước lượng tích phân như sau. Bổ đề 4.2. Tồn tại hằng số dương C không phụ thuộc u thỏa mãn up+γ−1 (x)up (y) η(x)φ2 (x)dxdy R RN RN |x − y|N −2s ≤C U γ+1 |∇(¯ΦR )|2 t1−2s dxdt. (4.4) η RN +1 +