Tóm tắt luận văn Thạc sĩ Khoa học: Định lý giá trị trung bình và phương trình hàm liên quan

1<br /> <br /> BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO<br /> ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG<br />

<br /> <br /> TRẦN THỊ YẾN LY<br /> <br /> ĐỊNH LÝ GIÁ TRỊ TRUNG BÌNH<br /> VÀ PHƯƠNG TRÌNH HÀM LIÊN QUAN<br /> <br /> Chuyên ngành: Phương pháp toán sơ cấp<br /> Mã số: 60.46.40<br /> <br /> TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC<br /> <br /> Đà Nẵng – Năm 2012<br /> <br /> 2<br /> <br /> Công trình ñược hoàn thành tại<br /> ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG<br /> <br />

<br /> <br /> Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS. TRẦN ĐẠO DÕNG<br /> <br /> Phản biện 1: TS. Lê Hoàng Trí<br /> Phản biện 2: PGS.TS. Nguyễn Gia Định<br /> <br /> Luận văn ñược bảo vệ tại Hội ñồng chấm<br /> Luận văn tốt nghiệp Thạc sĩ khoa học họp tại<br /> Đại học Đà Nẵng vào ngày 01 tháng 07 năm 2012<br /> <br /> Có thể tìm hiểu luận văn tại:<br /> - Trung tâm Thông tin - Học liệu, Đại học Đà Nẵng<br /> - Thư viện Đại học Sư phạm, Đại học Đà Nẵng.<br /> <br /> 3<br /> <br /> MỞ ĐẦU<br /> 1. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI<br /> Định lý giá trị trung bình Lagrange là một kết quả rất quan trọng trong giải<br /> tích. Nó có nguồn gốc từ ñịnh lý Rolle, ñược chứng minh bởi nhà toán học người<br /> Pháp Michel Rolle (1652-1719) ñối với ña thức vào năm 1691. Xuất phát từ nhu<br /> cầu muốn tìm hiểu về ñịnh lý giá trị trung bình và phương trình hàm, hai vấn ñề<br /> quan trọng trong chương trình THPT, ñặc biệt là dành cho khối chuyên toán,<br /> chúng tôi quyết ñịnh chọn ñề tài với tên gọi: Định lý giá trị trung bình và<br /> phương trình hàm liên quan ñể tiến hành nghiên cứu. Vấn ñề này vẫn mang<br /> tính thời sự trong giải tích. Chúng tôi hy vọng tạo ñược một tài liệu tham khảo<br /> tốt cho những người bắt ñầu tìm hiểu về Các ñịnh lý giá trị trung bình và các<br /> phương trình hàm liên quan ñến chúng và trình bày một số ví dụ minh hoạ ñặc<br /> sắc nhằm góp phần làm phong phú thêm các kết quả trong lĩnh vực này.<br /> 2. MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU<br /> Mục tiêu của ñề tài nhằm nghiên cứu các ñịnh lý giá trị trung bình<br /> Lagrange, Cauchy, Pompeiu, một số suy rộng ñịnh lý giá trị trung bình và các<br /> phương trình hàm xuất phát từ chúng. Có nhiều vấn ñề liên quan ñến ñịnh lý giá<br /> trị trung bình, nhưng ở ñây chỉ ñề cập ñến phương trình hàm có liên quan.<br /> 3. ĐỐI TƯỢNG VÀ PHẠM VI NGHIÊN CỨU<br /> Đối tượng nghiên cứu của ñề tài là ñịnh lý giá trị trung bình và phương<br /> trình hàm liên quan. Phạm vi nghiên cứu của ñề tài là các ñịnh lý giá trị trung<br /> bình Lagrange, Cauchy, Pompeiu, một số suy rộng ñịnh lý giá trị trung bình và<br /> các phương trình hàm liên quan ñến chúng.<br /> 4. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU<br /> 1. Thu thập các bài báo khoa học và tài liệu của các tác giả nghiên cứu liên quan<br /> ñến các ñịnh lý giá trị trung bình và các phương trình hàm liên quan ñến chúng.<br /> 2. Tham gia các buổi seminar của thầy hướng dẫn ñể trao ñổi các kết quả<br /> ñang nghiên cứu.<br /> 5. ĐÓNG GÓP CỦA ĐỀ TÀI<br /> 1. Tổng quan các kết quả của các tác giả ñã nghiên cứu liên quan ñến<br /> Định lý giá trị trung bình và các phương trình hàm liên quan nhằm xây dựng<br /> một tài liệu tham khảo cho những ai muốn nghiên cứu về ñịnh lý giá trị trung<br /> bình và phương trình hàm.<br /> 2. Chứng minh chi tiết và làm rõ một số ñịnh lý, cũng như ñưa ra một số ví dụ<br /> minh hoạ ñặc sắc nhằm làm cho người ñọc dễ dàng tiếp cận vấn ñề ñược ñề cập.<br /> <br /> 4<br /> <br /> 6. CẤU TRÚC CỦA LUẬN VĂN<br /> Luận văn gồm phần mở ñầu, 3 chương, phần kết luận và danh mục tài<br /> liệu tham khảo.<br /> - Chương 1: Hàm cộng tính và song cộng tính.<br /> - Chương 2: Định lý giá trị trung bình Lagrange và các phương trình hàm<br /> liên quan.<br /> - Chương 3: Định lý giá trị trung bình Pompeiu và các phương trình hàm<br /> liên quan.<br /> <br /> CHƯƠNG 1<br /> HÀM CỘNG TÍNH VÀ SONG CỘNG TÍNH<br /> Các khái niệm và kết quả trong chương này có thể tìm thấy trong các tài<br /> liêụ [2] , [5], [6].<br /> Mục ñích của chương này là trình bày một số kết quả liên quan ñến hàm<br /> cộng tính và song cộng tính. Việc nghiên cứu hàm cộng tính có từ A.M. Legendre,<br /> người ñã nỗ lực ñầu tiên xác ñịnh nghiệm của phương trình hàm Cauchy<br /> f ( x + y ) = f ( x) + f ( y )<br /> với mọi x, y ∈ , Cuốn sách của Kuczma (1985) mô tả tuyệt vời về hàm cộng<br /> tính. Hàm cộng tính cũng ñã tìm thấy trong cuốn sách của Aczél (1966, 1987),<br /> Aczél – Dhombres (1989) và Smital (1988). Nghiệm tổng quát của nhiều<br /> phương trình hàm hai hay nhiều biến có thể ñược biểu diễn theo các hàm cộng<br /> tính, nhân tính, logarit hoặc hàm mũ. Các phương trình mà chúng ta sẽ trình bày<br /> ở ñây chỉ liên quan ñến hàm cộng tính, song cộng tính và những biến dạng của<br /> chúng. Nhân tiện, chúng ta sẽ khảo sát nghiệm của một số phương trình khác có<br /> liên hệ với phương trình Cauchy cộng tính.<br /> 1.1. HÀM CỘNG TÍNH LIÊN TỤC<br /> Định nghĩa 1.1.1. Một hàm f : → , trong ñó là tập các số thực, ñược gọi<br /> là một hàm cộng tính nếu nó thỏa mãn phương trình hàm Cauchy.<br /> f ( x + y ) = f ( x) + f ( y )<br /> <br /> (1.1)<br /> <br /> với mọi x, y ∈ . Phương trình (1.1) ñược ñề cập ñầu tiên bởi A. M. Legendre<br /> (1791) và C.F. Gaus(1809), nhưng A.L. Cauchy (1821) là người ñầu tiên tìm ra<br /> nghiệm liên tục tổng quát.<br /> <br /> 5<br /> <br /> Định nghĩa 1.1.2. Một hàm f :<br /> có dạng<br /> <br /> →<br /> <br /> ñược gọi là một hàm tuyến tính nếu nó<br /> <br /> f ( x) = mx ( ∀x ∈<br /> <br /> ),<br /> <br /> trong ñó m là một hằng số bất kì.<br /> Định lý 1.1.1. Cho f : → là một hàm cộng tính liên tục. Khi ñó f là tuyến<br /> tính, nghĩa là, f(x)=mx với m là một hằng số tùy ý.<br /> Định nghĩa 1.1.3. Một hàm f : → ñược gọi là khả tích ñịa phương nếu nó<br /> khả tích trên mỗi khoảng hữu hạn .<br /> Chú ý 1.1.2. Mọi hàm cộng tính khả tích ñịa phương ñều là tuyến tính<br /> Định nghĩa 1.1.4. Một hàm f : → ñược gọi là thuần nhất hữu tỉ nếu<br /> <br /> f ( rx ) = rf ( x ) ,<br /> <br /> (1.2)<br /> <br /> với mọi x ∈ R và mọi số hữu tỉ r.<br /> Định lý 1.1.2. Nếu một hàm cộng tính liên tục tại một ñiểm thì nó liên tục khắp nơi.<br /> 1.2. HÀM CỘNG TÍNH GIÁN ĐOẠN<br /> Trong phần trước, chúng ta ñã chứng tỏ các hàm cộng tính liên tục là tuyến<br /> tính. Thậm chí nếu chúng ta giảm ñiều kiện liên tục về liên tục tại một ñiểm, các<br /> hàm cộng tính vẫn còn tuyến tính. Trải qua nhiều năm, sự tồn tại của hàm cộng<br /> tính gián ñoạn là một bài toán mở. Các nhà toán học không thể chứng minh mọi<br /> hàm cộng tính là liên tục và không ñưa ra ñược một ví dụ về hàm cộng tính gián<br /> ñoạn. Nhà toán học người Đức G. Hamel vào năm 1905 là người ñầu tiên thành<br /> công trong việc chứng minh sự tồn tại các hàm cộng tính gián ñoạn.<br /> Bây giờ chúng ta bắt ñầu nghiên cứu các hàm cộng tính phi tuyến (không<br /> tuyến tính).<br /> Định nghĩa 1.2.1. Đồ thị của một hàm f : → là tập hợp<br /> <br /> G = {( x, y ) / x ∈ , y = f ( x )} .<br /> Dễ dàng thấy rằng ñồ thị G của một hàm f :<br /> <br /> →<br /> <br /> là một tập con của mặt phẳng<br /> <br /> Định lý 1.2.1. Đồ thị của một hàm cộng tính phi tuyến tính f :<br /> <br /> →<br /> <br /> là trù<br /> <br /> mật khắp nơi trong mặt phẳng 2 .<br /> Định nghĩa 1.2.2. Cho S là một tập các số thực và B là một tập con của S. Khi<br /> ñó B ñược gọi là một cơ sở Hamel ñối với S nếu mỗi phần tử của S là một tổ<br /> hợp tuyến tính hữu tỉ ( hữu hạn) duy nhất của B.<br /> Định lý 1.2.2. Cho B là một cơ sở Hamel ñối với . Nếu hai hàm cộng tính có<br /> cùng giá trị tại mỗi phần tử của B thì chúng bằng nhau.<br /> <br /> 2<br /> <br /> .<br /> <br />