Tóm tắt Luận văn Thạc sĩ Khoa học: Hệ phương trình elliptic tuyến tính cấp hai

Chia sẻ: Na Na | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:25

Thêm vào BST

Báo xấu

48
lượt xem 3
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Mục tiêu của luận văn là trình bày sự mở rộng các kết quả về tính giải được của bài toán Dirichlet cho một phương trình elliptic tuyến tính cấp hai sang trường hợp hệ phương trình elliptic tuyến tính cấp hai. Sau đây là tóm tắt của luận văn.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Tóm tắt Luận văn Thạc sĩ Khoa học: Hệ phương trình elliptic tuyến tính cấp hai

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN ----------------------- PHẠM LAN PHƯƠNG HỆ PHƯƠNG TRÌNH ELLIPTIC TUYẾN TÍNH CẤP HAI Chuyên ngành: GIẢI TÍCH Mã số: 60.46.01.02 LUẬN VĂN THẠC SỸ KHOA HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS.TS. HÀ TIẾN NGOẠN Hà Nội – Năm 2015
Mục lục Mở đầu 3 1 Một số kiến thức chuẩn bị 5 1.1 Không gian Sobolev . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.1.1 Không gian Lp (Ω), 1 ≤ p < +∞ . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.1.2 Không gian W l,p (Ω) (1 ≤ p < +∞; l ∈ N) . . . . . . . . . . . 5 1.1.3 Không gian W0l,p (Ω) (1 ≤ p < +∞; l ∈ N) . . . . . . . . . . . 6 1.2 Không gian Holder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.2.1 Định nghĩa không gian C(Ω), C l (Ω) . . . . . . . . . . . . . . 6 1.2.2 Định nghĩa không gian C 0,α (Ω) . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.2.3 Định nghĩa không gian C l,α (Ω) . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.3 Các định lý nhúng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.3.1 Định lý nhúng vào Lp (Ω) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.3.2 Định lý nhúng của không gian W l,p (Ω) . . . . . . . . . . . . 7 1.4 Một số bất đẳng thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.4.1 Bất đẳng thức Young . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.4.2 Bất đẳng thức Holder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.4.3 Bất đẳng thức Poincare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.5 Định lý Fredholm đối với phương trình tuyến tính . . . . . . . . . 8 1.5.1 Định lý Fredholm trong không gian Banach . . . . . . . . . 8 1.5.2 Định lý Fredholm trong không gian Hilbert . . . . . . . . . 9 2 Bài toán Dirichlet cho hệ phương trình elliptic 10 2.1 Nghiệm suy rộng của bài toán Dirichlet . . . . . . . . . . . . . . . 10 2.1.1 Hệ phương trình elliptic và bài toán Dirichlet . . . . . . . . 10 2.1.2 Nghiệm suy rộng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 2.2 Bất đẳng thức cơ bản thứ nhất. Sự tồn tại và duy nhất của nghiệm suy rộng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 2.2.1 Bất đẳng thức cơ bản thứ nhất . . . . . . . . . . . . . . . . 11 2.2.2 Sự tồn tại và duy nhất của nghiệm suy rộng . . . . . . . . 14 2.3 Các tính chất định tính của nghiệm suy rộng . . . . . . . . . . . . 15 2.3.1 Đánh giá max |u| . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 Ω 2.3.2 Đánh giá |u|α,Ω . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1
MỤC LỤC 2.3.3 Đánh giá |u|1,α,Ω0 và ||u||W 2,2 (Ω) . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2.4 Đánh giá tiên nghiệm trong không gian Holder C l,α (Ω) . . . . . . 20 2.5 Tính giải được của bài toán Dirichlet trong không gian C l,α (Ω) . 21 Kết luận 23 Tài liệu tham khảo 24 2
MỞ ĐẦU Đối với một phương trình elliptic tuyến tính cấp hai, người ta đã nghiên cứu tính giải được của bài toán Dirichlet. Đối với phương trình elliptic dạng bảo toàn, người ta đã đưa được nghiệm suy rộng trong không gian Sobolev W 1,2 (Ω) và chứng minh được sự tồn tại nghiệm của bài toán. Đối với các phương trình elliptic dạng không bảo toàn, người ta đã đưa vào các lớp nghiệm cổ điển trong không gian Holder C 2,β (Ω) và cũng chứng minh được sự tồn tại và tính trơn của nghiệm. Mục tiêu của Luận văn là trình bày sự mở rộng các kết quả về tính giải được của bài toán Dirichlet cho một phương trình elliptic tuyến tính cấp hai sang trường hợp hệ phương trình elliptic tuyến tính cấp hai. Dưới sự hướng dẫn của PGS. TS Hà Tiến Ngoạn, tác giả đã hoàn thành luận văn với để tài "Hệ phương trình elliptic tuyến tính cấp hai". Luận văn được chia làm hai chương: • Chương 1: Một số kiến thức chuẩn bị. • Chương 2: Bài toán Dirichlet cho hệ phương trình elliptic. Chương 1 trình bày một số kiến thức chuẩn bị như các không gian Sobolev, Holder, các định lý Fredholm về tính giải được của phương trình tuyến tính trong không gian Banach, Hilbert. Chương 2 - nội dung chính của Luận văn, trình bày bài toán Dirichlet cho hệ phương trình elliptic tuyến tính cấp hai. Với hệ phương trình dạng bảo toàn, luận văn trình bày khái niệm lớp nghiệm suy rộng trong không gian Sobolev W 1,2 (Ω), phát biểu và chứng minh tính giải được Fredholm của bài toán Dirichlet trong không gian này. Đối với lớp hệ phương trình dạng không bảo toàn, Luận văn trình bày chứng minh đánh giá tiên nghiệm đối với nghiệm của bài toán, phát biểu tính giải được Fredholm của bài toán Dirichlet trong không gian Holder C 2,β (Ω). Mặc dù có nhiều cố gắng, song do thời gian và trình độ còn hạn chế nên luận 3
MỞ ĐẦU văn khó tránh khỏi những thiếu sót. Vì vậy tác giả rất mong nhận được sự góp ý của các thầy cô và các bạn để luận văn được hoàn thiện hơn. Qua luận văn này, tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến PGS.TS Hà Tiến Ngoạn, người Thầy đã truyền cho tác giả có niềm say mê nghiên cứu toán học. Thầy đã tận tình hướng dẫn, giúp đỡ tác giả trong suốt quá trình học tập và hoàn thiện luận văn này. Tác giả xin chân thành cảm ơn Ban Giám hiệu, Phòng Đào tạo Sau đại học, Khoa Toán-Cơ-Tin, các thầy cô đã tạo điều kiện thuận lợi cho em hoàn thành bản luận văn này. Em xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, ngày 25 tháng 07 năm 2015 Tác giả Phạm Lan Phương 4
Chương 1 Một số kiến thức chuẩn bị 1.1 Không gian Sobolev 1.1.1 Không gian Lp (Ω), 1 ≤ p < +∞ Định nghĩa 1.1. Lp (Ω) là không gian Banach gồm các hàm đo được u xác định trên Ω và p - khả tích sao cho Z |u(x)|p dx < +∞. Ω Chuẩn của Lp (Ω) được định nghĩa bởi   p1 Z ||u||Lp (Ω) =  |u(x)|p dx , Ω trong đó |u(x)| là trị tuyệt đối hoặc mô đun của u(x). Khi p = +∞, L∞ (Ω) là không gian Banach các hàm bị chặn trên Ω với chuẩn ||u||∞ = sup |u(x)| = ess sup |u(x)| ≡ inf{M ; |u(x)| ≤ M ; hầu khắp nơi trong Ω} Ω Ω Khi p = 2, L2 (Ω) là không gian Hilbert với tích vô hướng Z (u, v)L2 (Ω) = u(x).v(x)dx, Ω Z (u, u) = ||u|| = 2 |u(x)|2 dx. Ω 1.1.2 Không gian W l,p (Ω) (1 ≤ p < +∞; l ∈ N) Định nghĩa 1.2. Với ∀l ∈ N; 1 ≤ p < +∞, ta có W l,p (Ω) = {u(x) ∈ Lp (Ω); Dα u(x) ∈ Lp (Ω), ∀α : |α| ≤ l}, 5
Chương 1. Một số kiến thức chuẩn bị trong đó α = (α1 , α2 , . . . , αn ); αj ∈ N; |α| = α1 + α2 + · · · + αn ; Dα u = D1α1 D2α2 . . . Dnαn ; Dj = ∂ ∂xj . Khi đó, chuẩn của u(x) ∈ W l,p (Ω) được định nghĩa bởi   p1 Z X ||u||W l,p (Ω) =  |Dα u|p dx . Ω |α|≤l 1.1.3 Không gian W0l,p (Ω) (1 ≤ p < +∞; l ∈ N) Định nghĩa 1.3. Không gian W0l,p (Ω) với 1 ≤ p < +∞ là bao đóng của C0∞ (Ω) trong chuẩn của không gian W l,p (Ω). Kí hiệu W0l,p (Ω) = C0∞ (Ω). Khi đó, W0l,p (Ω) = {u(x); u(x) ∈ W l,p (Ω), Dα u|∂Ω = 0; |α| ≤ l − 1}. 1.2 Không gian Holder Cho Ω là một tập mở trong Rn . Ta định nghĩa một số không gian 1.2.1 Định nghĩa không gian C(Ω), C l (Ω) Định nghĩa 1.4. C(Ω) = {u(x); u(x) liên tục trong Ω}, C l (Ω) = {u(x) ∈ C(Ω) : Dα u ∈ C(Ω); ∀|α| ≤ l}, với l ∈ N. Trong không gian C l (Ω) xác định chuẩn X |u|l,Ω = sup Dα u. Ω |α|≤l 1.2.2 Định nghĩa không gian C 0,α (Ω) Định nghĩa 1.5. C 0,α (Ω) là không gian Banach các hàm u(x) liên tục trong Ω với |u|(α),Ω xác định |u(x) − u(y)| C 0,α (Ω) = {u(x) ∈ C 0 (Ω); |u|(α),Ω = sup < +∞}, x,y∈Ω |x − y|α x6=y 6
Chương 1. Một số kiến thức chuẩn bị với 0 < α ≤ 1. Chuẩn của C 0,α (Ω) được định nghĩa bởi |u|α,Ω = max |u| + |u|(α),Ω . Ω 1.2.3 Định nghĩa không gian C l,α (Ω) Định nghĩa 1.6. C l,α (Ω) = {u(x) ∈ C l,α (Ω); Dα u ∈ C 0,α ; ∀|α| = l}. Chuẩn trong C l,α (Ω) X |u|l,α,Ω = |u|l,Ω + |D(l) u|(α),Ω . (l) 1.3 Các định lý nhúng 1.3.1 Định lý nhúng vào Lp (Ω) Định lý 1.1. Giả sử Ω là miền bị chặn và 1 ≤ p < q < +∞. Khi đó, Lq (Ω) ⊂ Lp (Ω) và ánh xạ nhúng j : Lq (Ω) 7→ Lp (Ω) là liên tục. 1.3.2 Định lý nhúng của không gian W l,p (Ω) Định lý 1.2. Cho Ω ⊂ Rn là tập bị chặn. Khi đó, ta có các khẳng định sau 1. Nếu lp < n và np Với q ≤ n−pl , thì W l,p (Ω) nhúng liên tục vào Lq (Ω), np Với q < n−pl , thì W l,p (Ω) nhúng hoàn toàn liên tục vào Lq (Ω). 2. Nếu lp > n và Với β ≤ pl−n l,p β p , thì W (Ω) nhúng liên tục vào C (Ω), Với β < pl−n l,p β p , thì W (Ω) nhúng hoàn toàn liên tục vào C (Ω). 7
Chương 1. Một số kiến thức chuẩn bị 1.4 Một số bất đẳng thức 1.4.1 Bất đẳng thức Young Ta có bất đẳng thức Young |a|p |b|q |ab| ≤ + , (1.1) p q 1 1 trong đó p, q ∈ R; p > 0; q > 0 thỏa mãn p + q = 1. 1.4.2 Bất đẳng thức Holder Với u ∈ Lp (Ω); v ∈ Lq (Ω) và p1 + 1q = 1, ta có bất đẳng thức Holder
  p1   1q
Z
Z Z
uvdx
≤  |u|p dx  |u|q dx = ||u||p ||u||q .