Tóm tắt Luận văn Thạc sĩ Khoa học: Một số phương pháp xây dựng độ đo và tích phân

Chia sẻ: Na Na | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:26

Thêm vào BST

Báo xấu

128
lượt xem 14
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Ngoài phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo, luận văn được chia làm ba chương. Chương 1 trình bày những kiến thức cơ bản về độ đo, mở rộng độ đo và các kiến thức cơ bản về giải tích hàm làm cơ sở để xây dựng nội dung các chương tiếp theo. Chương 2 trình bày cách xây dựng tích phân của hàm đo được - tích phân Lesbegue, các định lý về chuyển giới hạn dưới dấu tích phân, tích phân Riemann và tích phân Lebesgue trên R và một số tính chất của tích phân. Chương 3 trình bày cách xây dựng tích phân trên Daniell, trung bình Daniell và các tính chất, khái niệm đo được Daniell, sự tương đương giữa khả tích Lebesgue và khả tích Daniell, tính chất maximality của trung bình Daniell.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Tóm tắt Luận văn Thạc sĩ Khoa học: Một số phương pháp xây dựng độ đo và tích phân

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN ------------------- NGUYỄN THỊ HUỆ MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP XÂY DỰNG ĐỘ ĐO VÀ TÍCH PHÂN TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Hà Nội, Năm 2014
ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN ------------------- NGUYỄN THỊ HUỆ MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP XÂY DỰNG ĐỘ ĐO VÀ TÍCH PHÂN Chuyên ngành: Lý thuyết xác suất và thống kê toán Mã số: 60.46.01.06 TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS.TS. PHAN VIẾT THƯ Hà Nội, Năm 2014
Mục lục Mở đầu 3 Lời cảm ơn 5 1 Kiến thức chuẩn bị 6 1.1 Các khái niệm cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.2 Nới rộng độ đo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.2.1 Phương pháp nới rộng độ đo Lebesgue . . . . . . . . . . . . . . 6 1.2.2 Độ đo Lebesgue và độ đo Lebesgue- Stieltjes . . . . . . . . . . . 7 1.2.3 Độ đo Hausdorff trong không gian Metric . . . . . . . . . . . . 7 1.3 Hàm đo được . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.4 Các khái niệm của giải tích hàm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.4.1 Định lý Stone - Weierstrass . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.4.2 Các lớp đơn điệu của hàm số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 2 Tích phân theo quan điểm của lý thuyết độ đo 11 2.1 Tích phân Lebesgue trìu tượng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 2.2 Chuyển giới hạn dưới dấu tích phân Lebesgue . . . . . . . . . . . . . . 12 2.3 Tích phân Riemann và tích phân Lebesgue trên R . . . . . . . . . . . . 13 2.3.1 Một số tính chất của tích phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 3 Tích phân: Cách tiếp cận theo giải tích hàm 15 3.1 Tích phân theo phương pháp Daniell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 3.1.1 Tích phân trên Daniell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 3.1.2 Trung bình Daniell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 3.1.3 Các định lý hội tụ theo trung bình . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1
3.2 Mở rộng tích phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 3.3 Tính đo được Daniell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 3.3.1 Tính đo được . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 3.3.2 Tính đo được trên không gian mêtric . . . . . . . . . . . . . . . 20 3.4 Sự tương đương giữa khả tích Daniell và khả tích Lebesgue-Caratheodory 20 3.5 Tính chất Maximality . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 Tài liệu tham khảo 24 2
Mở đầu Lý thuyết độ đo và tích phân là nền tảng xây dựng cho nhiều môn khoa học chuyên ngành như: Lý thuyết xác suất, giải tích hàm . . . . Ở chương trình đào tạo đại học, cao học đã bước đầu nghiên cứu về lý thuyết độ đo, tích phân. Trong luận văn này sẽ sử dụng các kết quả cơ bản về độ đo và tích phân ở bậc Đại học và Cao học để nghiên cứu sâu hơn về Tích phân theo quan điểm độ đo. Ngoài ra, luận văn tập trung nghiên cứu về cách tiếp cận tích phân theo quan điểm của giải tích hàm. Ta đã biết rằng lớp hàm khả tích Riemann rất hẹp bao gồm các hàm số mà tập các điểm gián đoạn có thể bỏ qua đựơc. Còn các hàm số đo được tổng quát thì nói chung có thể không khả tích Riemann (ví dụ như hàm số Dirichlet). Để vượt qua được sự hạn chế ấy, Lebesgue đã chia miền lấy tích phân thành các tập nhỏ, mỗi tập bao gồm những điểm ứng với giá trị gần nhau của f (x), theo quan điểm cơ bản đó Lebesgue đã xây dụng một khái niệm tích phân tổng quát hơn, áp dụng cho tất cả các hàm số đo được và bị chặn. Ngoài ra, khi chuyển giới hạn dưới dấu tích phân của tích phân Lebesgue không cần đòi hỏi khắt khe về điều kiện hội tụ đều như tích phân Riemann, từ đó đưa ra được nhiều kết quả quan trong như tính hội tụ đơn điệu, hội tụ bị chặn. . . . Tuy nhiên, nếu muốn mở rộng định nghĩa tích phân vào những lĩnh vực phức tạp hơn như xét tính tuyến tính, tích phân trên không gian Banach. . . thì tích phân Lebesgue gặp khó khăn. Do đó, luận văn tập trung nghiên cứu phương pháp tiếp cận tích phân bằng giải tích hàm, sử dụng tính tuyến tính và cấu trúc liên tục của tích phân sơ cấp để xây dựng tích phân trên Daniell I ∗ (f ) = inf I ∗ (h) : h ∈ E ↑ , f ≤ h 3
Khi đó I ∗ có được các tính chất như: I ∗ là hàm không giảm; I ∗ là tuyến tính; I ∗ là hàm σ - cộng tính dưới. Ngoài ra, tương ứng với tích phân trên I ∗ là trung bình Daniell Ω k.k∗ : R → [0, ∞] cho bởi f 7→ I ∗ (|f |) với các tính chất cơ bản như tính thuần nhất tuyệt đối, tính cộng tính dưới đếm được. Các đinh lý hội tụ đơn điệu, hội tụ bị trội theo trung bình ... cũng dễ dàng được chứng minh. Điều đặc biệt của tích phân Daniell là xây dựng tích phân trước rồi mới định nghĩa khái niệm độ đo. Khi đó, độ đo Lebesgue đạt được như là tích phân của hàm chỉ tiêu. Các tính chất cơ bản như σ – cộng tính, tính đo được của tập Borel là hệ quả của tích phân. Tính đo được Daniell mô tả cấu trúc địa phương của quá trình khả tích Daniell và sử dụng tích phân Daniell dễ dàng chứng minh được định lý biểu diễn Riesz cho phiếm hàm tuyến tính bị chặn trên không gian C(X) của các hàm liên tục trên không gian tôpô compact X . Ngoài phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo, luận văn được chia làm ba chương: Chương 1: Kiến thức chuẩn bị. Chương này trình bày những kiến thức cơ bản về độ đo, mở rộng độ đo và các kiến thức cơ bản về giải tích hàm làm cơ sở để xây dựng nội dung các chương tiếp theo. Chương 2: Tích phân theo quan điểm độ đo. Chương này trình bày cách xây dựng tích phân của hàm đo được - tích phân Lesbegue, các định lý về chuyển giới hạn dưới dấu tích phân, tích phân Riemann và tích phân Lebesgue trên R và một số tính chất của tích phân. Chương 3: Tích phân: Tiếp cận bằng giải tích hàm. Chương này là phần chính của luận văn, trình bày cách xây dựng tích phân trên Daniell, trung bình Daniell và các tính chất, khái niệm đo được Daniell, sự tương đương giữa khả tích Lebesgue và khả tích Daniell, tính chất maximality. 4
Lời cảm ơn Trước khi trình bày nội dung chính của luận văn tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới PGS.TS. Phan Viết Thư người đã tận tình hướng dẫn tác giả. Cùng toàn thể các thầy cô giáo trong khoa Toán - Cơ - Tin học, thầy cô trong tổ bộ môn "Lý thuyết xác suất và thống kê toán học" trường Đại học Khoa học Tự Nhiên đã tận tình dạy bảo tác giả trong suốt quá trình học tập tại trường. Đồng thời tác giả cũng gửi lời cảm ơn tới các đồng nghiệp trong Khoa Khoa học Cơ bản, ban giám hiệu trường Đại học Sao Đỏ đã giúp đỡ và tạo điều kiện tốt nhất để tác giả hoàn thành khóa học. Nhân dịp này tác giả cũng xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè đã luôn bên tác giả cổ vũ, động viên, giúp đỡ tác giả. Cảm ơn các bạn trong lớp đã góp ý giúp đỡ tác giả trong luận văn này. Do lần đầu mới làm quen với công tác nghiên cứu khoa học và còn hạn chế về ngoại ngữ, thời gian nên khi làm luận văn không tránh khỏi những sai sót. Tác giả mong nhận được sự góp ý và những ý kiến phản biện của quí thầy cô và bạn đọc. Hà nội, tháng 08 năm 2014 Tác giả luận văn Nguyễn Thị Huệ 5
Chương 1 Kiến thức chuẩn bị 1.1 Các khái niệm cơ bản Định nghĩa 1.5. Một hàm cộng tính đếm được µ : F → [0, ∞) trên F được gọi là độ đo nếu với mọi dãy {An } ⊂ F từng đôi không giao nhau thì ∞ [ ∞ X µ( Ak ) = µ (Ak ) k=1 k=1 Bộ ba (Ω, F, µ) được gọi là không gian có độ đo. Nếu µ(Ω) = 1 thì µ được gọi là độ đo xác suất và (Ω, F, µ) gọi là không gian xác suất. 1.2 Nới rộng độ đo 1.2.1 Phương pháp nới rộng độ đo Lebesgue Định nghĩa 1.8. Không Ω là một không gian mẫu. Một độ đo ngoài trên Ω là một hàm µ∗ : P(Ω) → [0, ∞) thỏa mãn: (i) µ∗ (∅) = 0. (ii) Nếu A ⊂ B ∈ Ω thì µ∗ (A) ≤ µ∗ (B) (Tính đơn điệu tăng). ∞ ∞ (iii) µ∗ ( µ∗ (An ) (Tính chất nửa σ - cộng tính dưới). S P An ) ≤ n=1 n=1 6
Định lý 1.2. Cho Ω là một tập không rỗng. Cho một tập khác rỗng E ⊂ P(Ω), ∅ ∈ E , và một hàm h : E → R+ với h (∅) = 0 định nghĩa X [ µ∗ (A) = inf{ h(An ) : A ⊂ An , An ∈ E} (1.1) n n thì µ∗ là một độ đo ngoài. Định lý 1.3. Cho µ∗ là một độ đo ngoài trên Ω. Tập hợp Mµ ∗ tất cả các tập µ∗ - đo được là một σ - đại số và chứa tất cả các tập µ∗ - bỏ qua được. Ngoài ra (Ω, Mµ ∗, µ∗) là một không gian có độ đo đủ. Định lý 1.4. (Mở rộng của Caratheodory) Giả sử rằng µ là hàm tập không âm cộng tính dưới đếm được trên nửa vành E thỏa mãn µ (∅) = 0. Thì µ được mở rộng thành một độ đo đủ trên σ - đại số Mµ chứa σ (E ). 1.2.2 Độ đo Lebesgue và độ đo Lebesgue- Stieltjes Trong phần này ta sẽ trình bày độ đo trên không gian Borel (Rd , B(Rd )). Cho F : Rd → R là hàm liên tục phải tức là lim+ F (x) = F (a). Với a ≤ b và x→a 10 Hδg (A) cũng là một độ đo ngoài. Định nghĩa 1.11. Một độ đo ngoài µ∗ trên không gian metric thỏa mãn 7
µ∗ (A ∪ B) = µ∗ (A) + µ∗ (B) nếu d (A, B) > 0. được gọi là độ đo ngoài metric. Chú ý: Nếu A, B ⊂ X và d(A, B) = inf {d(x, y) : x ∈ A, y ∈ B} > 0 thì Hδg (A ∪ B) = Hδg (A) + Hδg (B) Định lý 1.8. (Caratheodory) Nếu µ∗ là độ đo ngoài metric thì mọi tập Borel là µ∗ - đo được. 1.3 Hàm đo được Định nghĩa 1.12. (i) Cho các không gian đo (X , S ) và (Y , R). Ánh xạ f : X → Y gọi là ánh xạ đo được nếu với mọi A ∈ R ta có f−1 (A) = {x ∈ X : f (x) ∈ A} ∈ S (ii) Cho không gian có độ đo (X, S, µ). Hàm số f : X → [−∞, +∞] được gọi là µ - đo được nếu với mọi tập Borel B ⊂ R ta có f −1 (B) = {x ∈ X : f (x) ∈ B} ∈ S(µ) Định lý 1.12. (Egorov) Cho (fn ) , f là các hàm đo được sao cho fn → f µ - hầu khắp nơi. Khi đó với mọi ε > 0 tồn tại tập A với µ(Ac ) < ε sao cho fn hội tụ đều tới f trên A. Định lý 1.12. Cho (Ω, F) là không gian đo được và (S , d) là không gian metric. Nếu {fn } ⊂ S Ω dãy hội tụ các hàm đo được thì f = lim fn là hàm đo n được.par 1.4 Các khái niệm của giải tích hàm 1.4.1 Định lý Stone - Weierstrass Định nghĩa 1.14. Cho E và V là họ các hàm thực hoặc phức xác định trên Ω. 8
(i) E gọi là vành thực hoặc phức nếu nó là không gian véctơ thực hoặc phức đối với cộng từng điểm và phép nhân vô hướng và nó là đóng dưới với phép nhân từng điểm. (ii) V là dàn véctơ thực hoặc phức nếu nó là không gian véctơ đối với phép cộng và phép nhân vô hướng theo từng điểm, và f ∧ g := min {f, g} ∈ V ; f ∨ g := max {f, g} ∈ V với mọi hàm thực f, g ∈ V . (iii) Một họ các hàm V gọi là đóng với phép chặt cụt nếu f ∧ 1 ∈ V với mọi hàm thực f ∈ V . Định lý 1.15. Cho E là tập hợp các hàm bị chặn trên một tập nào đó. Nếu E là một vành hoặc một dàn véctơ đóng với phép chặt cụt thì bao đóng đều E của E cũng là vành hoặc dàn véctơ đóng với phép chặt cụt. Định lý 1.16. (Định lý Stone Weierstrass) Giả sử S là một không gian Hausdorff compact và E ⊂ C(S) là một vành hoặc dàn véctơ đóng với phép chặt cụt. Giả thiết rằng E tách các điểm tức là s 6= t trong S thì tồn tại φ ∈ E thỏa mãn φ (s) 6= φ (t) thì ta có: (i) Nếu E không có không điểm chung z ∈ S thì hợp bao đóng đều E = C(S). (ii) Nếu E có không điểm chung duy nhất z ∈ S thì E = {φ ∈ C(S): φ (z) = 0 } . 1.4.2 Các lớp đơn điệu của hàm số Định nghĩa 1.16. Cho Ω là tập không rỗng bất kỳ (i) Một tập V ⊂ RΩ là một lớp đơn điệu (Tương ứng: Lớp đơn điệu bị chặn) nếu nó đóng dưới giới hạn từng điểm của dãy hội tụ đơn điệu (hội tụ bị chặn). (ii) Một tập V của các hàm phức hoặc thực bị chặn là lớp bị chặn nếu nó đóng dưới giới hạn theo từng điểm của dãy hội tụ bị chặn; Khi đó, với {fn } ⊂ V thỏa mãn sup kfn ku < ∞ và f (x) = limn fn (x) với mọi x thì f ∈ V . (iii) Tập hợp M ⊂ RΩ là lớp phép nhân thực nếu nó đóng dưới với hữu hạn phép nhân. 9
(iv) Một tập M ⊂ CΩ hàm phức là lớp các phép nhân phức nếu nó đóng dưới với hữu hạn phép nhân và dưới số phức liên hợp. Định lý 1.18. (Lớp hàm thực đơn điệu). Cho V là không gian véctơ thực của các hàm (Tương ứng: Hàm bị chặn) chứa hàm hằng và nó là lớp đơn điệu (Tương ứng: Đơn điệu bị chặn). Nếu M ⊂ V là lớp nhân của các hàm bị chặn thì V chứa tất cả hàm đo được giá trị thực σ(M). Định nghĩa 1.17. Họ V ⊂ RΩ là dãy đóng nếu giới hạn của một dãy hội tụ trong V cũng thuộc V . Cho họ E ⊂ RΩ , giao của tất cả các dãy đóng chứa E là dãy đóng bé nhất chứa E và được gọi là bao đóng của E , kí hiệu là E Σ . Bổ đề 1.3. Giả sử E là một vành hoặc một dàn đóng với phép chặt cụt. khi đó: (i) E Σ cũng là một vành hoặc một dàn đóng với phép chặt cụt. (ii) Nếu E ∈ RΩ đóng kín đối với các phép toán +, −, ., ∨, ∧, ∧1 hoặc |.| thì E Σ cũng vậy. (iii) Tập hợp R(E) các tập con trong E Σ trùng với σ vành R (E) sinh bởi φ−1 ((r, ∞)) : φ ∈ E, r > 0 . (iv) f ∈ E Σ nếu và chỉ nếu f −1 (I) ∈ R (E) với mọi khoảng trong R\ {0}. Đặt MR (E) là tập hợp các hàm thực đo được của σ(E). 10
Chương 2 Tích phân theo quan điểm của lý thuyết độ đo Trong giải tích cổ điển, ta đã nghiên cứu tích phân Riemann và các ứng dụng của nó. Tuy nhiên, trong nhiều trường hợp có những hàm đo được đơn giản nhưng không khả tích Riemann. Do đó, Lebesgue đã đưa ra phương pháp mới là chia miền lấy tích phân thành các tập hợp nhỏ, mỗi tập bao gồm những điểm ứng với những giá trị gần nhau của f (x). Khi đó, ta có thể dùng những hàm bậc thang để xấp xỉ f (x). 2.1 Tích phân Lebesgue trìu tượng Định nghĩa 2.1. Giả sử rằng s là một hàm đơn giản, đo được không âm, {a1 , a2 , ...an } là tập hợp tất cả các giá trị khác nhau của s. Khi đó s = n ak 1{s=ak } . Với mỗi E ∈ F, tích phân của s trên E đối với độ đo µ xác định P k=1 bởi Z n X sdµ := ak µ (E ∩ Ak ) (2.1) E k=1 Định nghĩa 2.2. Với mọi hàm đo được f : Ω → [0, ∞] thì tích phân của f trên E được cho bởi Z Z f dµ = sup{ sdµ : 0 ≤ s ≤ f với s là hàm đơn giản} (2.3) E E 11
Định nghĩa 2.3. Một hàm giá trị phức hoặc giá trị thực mở rộng đo được R f trên Ω là khả tích nếu |f |dµ < ∞. Ω Tập tất cả hàm khả tích trên Ω kí hiệu là L1 (Ω, F, µ). 2.2 Chuyển giới hạn dưới dấu tích phân Lebesgue Trong giải tích và xác suất ta thường phải chuyển giới hạn dưới dấu tích phân. Đối với tích phân Riemann việc chuyển qua giới hạn như thế đòi hỏi nhiều điều kiện khắt khe như điều kiện hội tụ đều. Đối với tích phân Lebesgue vấn đề này sẽ được giải quyết đơn giản hơn. Định lý 2.2. (Hội tụ đơn điệu) Cho {fn }n là dãy các hàm đo được thỏa mãn (i) 0 ≤ ... ≤ fn (ω) ≤ fn+1 (ω) ≤ ... ≤ ∞, ∀ω ∈ Ω. (ii) lim fn (ω) = f (ω) , ∀ω ∈ Ω. n→∞ Thì f là đo được và Z Z lim fn dµ = f dµ (2.6) n→∞ Ω Ω Hệ quả 2.2. (Beppo Levi) Cho fn : Ω → [0, ∞] là dãy các hàm đo được, thì ∞ Z X ∞ Z X fn dµ = fn dµ (2.10) Ω n=1 n=1 Ω Hệ quả 2.3. Giả sử f : Ω → [0, ∞] là hàm đo được và đặt Z ηf (E) = f dµ, E ∈ F (2.11) E thì ηf là một độ đo trên F và với mọi hàm đo được g : Ω → [0, ∞] ta có Z Z gdηf = gf dµ (2.12) Ω Ω Định lý 2.3. (Bổ đề Fatou) Nếu fn : Ω → [0, ∞] là dãy các hàm đo được, thì Z Z lim inf fn dµ ≤ lim inf fn dµ (2.13) n n n n Ω Ω 12
Định lý 2.5. (Hội tụ bị làm trội của Lebesgue) Cho {fn }n và {gn }n là dãy các hàm đo được (thực hoặc phức) hội tụ theo từng điểm µ - h.c.c thỏa mãn f = lim fn µ - h.c.c, g = lim gn µ - h.c.c và n n |fn | ≤ gn µ- h.c.c. (2.16) Giả sử rằng Z Z lim gn dµ = gdµ < ∞ (2.17) n thì f ∈ L1 và Z Z Z lim |fn − f | dµ = 0; lim fn dµ = f dµ < ∞ (2.18) n→∞ n→∞ Ω Ω Ω 2.3 Tích phân Riemann và tích phân Lebesgue trên R Định nghĩa 2.5. Một hàm f : [a, b] → R là khả tích Riemann nếu sup L (f, P ) = inf U (f, P ) (2.19) P ∈P P ∈P Giá trị duy nhất A(f ) trong (1.23) gọi là tích phân Riemann của f trên [a, b]. Định lý 2.8. Giả sử rằng f là khả tích Riemann trên [a, b] và đặt M([a, b]) là σ - đại số Lebesgue. Thì f ∈ L1 ([a, b], M([a, b]), λ) và f là liên tục λ - hầu chắc R chắn. Hơn nữa, A(f ) = f dλ. [a,b] Định lý 2.9. (Lebesgue) Một hàm f là khả tích Riemann trên [a, b] nếu và chỉ nếu f là hàm bị chặn, liên tục λ - hầu chắc chắn trên [a, b]. Khi đó nó khả tích theo nghĩa Lebesgue và hai tích phân bằng nhau. 2.3.1 Một số tính chất của tích phân Cho f là hàm từ E × [a, b] → R. Ta giả thiết rằng hàm x 7→ ft (x) = f (x, t) đo được với mỗi t ∈ [a, b], ft ∈ (ME , B; R, BR ) và ta quan tâm đến tính chất của hàm Z t 7→ f (x, t) dµ (x) E với µ là một đo đo dương trên B. 13
Định lý 2.10. (Tính liên tục) Giả sử lim f (x, t) = l (x) với mọi x ∈ E, t0 ∈ t→t0 [a, b], |f (x, t)| ≤ g (x), g µ – khả tích với mọi t ∈ [a, b]. Khi đó Z Z lim f (x, t) dµ (x) = l (x) dµ (x). t→t0 E E Định lý 2.11. (Tính khả vi) Với các điều kiện sau đây: (i) Tồn tại t0 ∈ [a, b] sao cho x 7→ f (x, t0 ) là µ – khả tích trên E. ∂f (ii) ∂t tồn tại trên E × [a, b].
(iii) Tồn tại hàm g µ – khả tích trên E sao cho:
∂f (x, t)
≤ g (x) với mọi