Tóm tắt luận văn Thạc sĩ Khoa học: Nhóm Lie tuyến tính và ánh xạ exponent

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO<br /> ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG<br /> <br /> <br /> ĐỖ THỊ NGUYỆT ÁNH<br /> <br /> NHÓM LIE TUYẾN TÍNH VÀ ÁNH XẠ EXPONENT<br /> <br /> Chuyên ngành : Phương pháp Toán sơ cấp<br /> Mã số<br /> : 60. 46. 40<br /> <br /> TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC<br /> <br /> Đà Nẵng - Năm 2011<br /> <br /> Công trình được hoàn thành tại<br /> ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG<br /> <br /> Người hướng dẫn khoa học : PGS.TS. TRẦN ĐẠO DÕNG<br /> <br /> Phản biện 1 : TS.Nguyễn Ngọc Châu<br /> <br /> Phản biện 2 : TS.Hoàng Quang Tuyến<br /> <br /> Luận văn sẽ được bảo vệ tại Hội đồng chấm Luận văn tốt nghiệp thạc sĩ Khoa học<br /> họp tại Đà Nẵng vào ngày 28 tháng 05 năm 2011<br /> <br /> * Có thể tìm hiểu luận văn tại:<br /> - Trung tâm Thông tin - Học liệu, Đại học Đà Nẵng<br /> - Thư viện trường Đại học Sư phạm, Đại học Đà Nẵng.<br /> <br /> 1<br /> <br /> MỞ ĐẦU<br /> 1.<br /> <br /> Lý do chọn đề tài<br /> Nhóm Lie và đại số Lie là các cấu trúc thể hiện sự giao thoa giữa hình<br /> học đại số và vật lý lý thuyết, là một trong các đối tượng cơ bản của lý<br /> thuyết Lie và lý thuyết cấu trúc.<br /> Bên cạnh đó, lý thuyết Lie còn thể hiện được mối liên hệ biện chứng<br /> giữa cấu trúc của một nhóm Lie G với đại số Lie g tương ứng, trong đó g<br /> được xét như là không gian tiếp xúc của đa tạp G tại phần tử đơn vị. Mối<br /> liên hệ này được khảo sát thông qua một công cụ đặc biệt, đó là ánh xạ<br /> exponent chuyển mỗi vector tiếp xúc X của g thành một phần tử expX<br /> của nhóm Lie G, được hiểu như là một sự mở rộng của ánh xạ exponent<br /> thông thường.<br /> Một tính chất thú vị và quan trọng của ánh xạ exponent là tính toàn<br /> ánh đang được khảo sát cho nhiều lớp nhóm Lie cụ thể, đặc biệt là lớp các<br /> nhóm con đóng của nhóm tuyến tính tổng quát hay còn gọi là các nhóm<br /> Lie tuyến tính. Do đó, với mong muốn tìm hiểu thêm về nhóm Lie và đại<br /> số Lie và được sự gợi ý của thầy giáo PGS. TS. Trần Đạo Dõng, tôi đã<br /> chọn đề tài " Nhóm Lie tuyến tính và ánh xạ exponent" làm đề<br /> tài nghiên cứu cho luận văn này.<br /> 2.<br /> Mục đích nghiên cứu<br /> Mục đích nghiên cứu của đề tài là khảo sát cấu trúc của nhóm Lie tuyến<br /> tính, đại số Lie tương ứng và xác định ánh xạ exponent.<br /> 3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu<br /> Đối tượng và phạm vi nghiên cứu của đề tài là khảo sát ánh xạ exponent<br /> cho các nhóm Lie tuyến tính.<br /> 4. Phương pháp nghiên cứu<br /> - Thể hiện tường minh các kết quả nghiên cứu trong đề tài.<br /> - Trao đổi, thảo luận với giáo viên hướng dẫn.<br /> 5. Ý nghĩa khoa học và thực tiễn của đề tài<br /> - Góp phần làm rõ cấu trúc của các nhóm Lie tuyến tính.<br /> - Thể hiện một số tính chất của ánh xạ exponent cho các nhóm Lie<br /> <br /> 2<br /> <br /> tuyến tính.<br /> 6.<br /> Cấu trúc luận văn<br /> Luận văn được trình bày trong 3 chương:<br /> • Chương 1: Kiến thức cơ sở.<br /> • Chương 2: Nhóm Lie tuyến tính và đại số Lie tương ứng.<br /> • Chương 3: Ánh xạ exponent của nhóm Lie tuyến tính.<br /> Trong chương 1, chúng tôi giới thiệu các khái niệm cơ bản có liên quan<br /> đến đề tài. Trong chương 2, chúng tôi nghiên cứu cấu trúc của nhóm Lie<br /> tuyến tính, nhóm đẳng cự Affine, nhóm Lorentz và từ đó xác định đại số<br /> Lie tương ứng của chúng. Chương 3 tập trung khảo sát ánh xạ exponent<br /> của một số nhóm Lie tuyến tính và mở rộng các kết quả cho trường hợp<br /> nhóm đẳng cự Affine và nhóm Lorentz.<br /> <br /> Chương 1<br /> KIẾN THỨC CƠ SỞ<br /> 1.1. Nhóm Lie<br /> 1.1.1. Đa tạp<br /> 1.1.1.1. Đa tạp tô pô<br /> 1.1.1.2. Đa tạp khả vi<br /> 1.1.1.3. Ánh xạ khả vi<br /> 1.1.1.4. Đa tạp con<br /> 1.1.2. Nhóm Lie<br /> 1.1.2.1. Định nghĩa<br /> Nhóm Lie là một đa tạp khả vi G được trang bị một cấu trúc nhóm<br /> sao cho các ánh xạ µ : G × G −→ G, (x, y) 7−→ xy và ι : G −→ G,<br /> x 7−→ x−1 là khả vi. Số chiều của đa tạp được gọi là số chiều của nhóm<br /> Lie.<br /> 1.1.2.2. Ví dụ<br /> 1.1.2.3. Bổ đề [4]<br /> 1.1.2.4. Bổ đề [4]<br /> Cho G là một nhóm Lie và xét H ⊂ G là nhóm con vừa là đa tạp con<br /> của G. Khi đó H là một nhóm Lie.<br /> <br /> 3<br /> <br /> 1.1.2.5. Ví dụ<br /> 1.1.2.6. Định nghĩa<br /> Cho G, H là các nhóm Lie.<br /> 1) Một đồng cấu nhóm Lie từ G vào H là một ánh xạ khả vi ϕ : G −→<br /> H sao cho ϕ là một đồng cấu nhóm.<br /> 2) Một đẳng cấu nhóm Lie từ G vào H là một đồng cấu nhóm Lie ϕ<br /> sao cho ϕ là một song ánh và ánh xạ ngược cũng là một đồng cấu nhóm<br /> Lie.<br /> 1.1.2.7. Nhận xét [4]<br /> 1.1.2.8. Định lý [4]<br /> Cho G là một nhóm Lie và H là một nhóm con của G. Khi đó các điều<br /> kiện sau tương đương:<br /> a) H là đóng theo nghĩa tô pô.<br /> b) H là một đa tạp con.<br /> Một nhóm con đồng thời là một tập đóng của nhóm Lie G được gọi là<br /> nhóm con đóng của G. Từ Định lý 1.1.2.8 và áp dụng Bổ đề 1.1.2.4 ta suy<br /> ra hệ quả sau.<br /> 1.1.2.9. Hệ quả [4]<br /> Cho G là một nhóm Lie. Khi đó mỗi nhóm con đóng của G là một nhóm<br /> Lie.<br /> 1.1.2.10. Hệ quả [4]<br /> Cho ϕ : G −→ H là một đồng cấu nhóm Lie. Khi đó ker ϕ là một<br /> nhóm con đóng của G. Đặc biệt, ker ϕ là một nhóm Lie.<br /> 1.1.2.11. Ví dụ<br /> 1.1.2.12. Nhận xét [4]<br /> Cho G là một nhóm Lie. Xét H và K là các nhóm con đóng của G.<br /> Khi đó H ∩ K là nhóm con đóng của G nên là một nhóm Lie.<br /> 1.2. Ánh xạ exponent của nhóm Lie<br /> 1.2.1. Đường cong tích phân<br /> Cho X là một đa tạp trơn, v là trường véc tơ lớp C p , p ≥ 1. Cho trước<br /> x ∈ X và I là một khoảng mở chứa 0. Khi đó, một đường cong tích phân<br /> của v với điểm gốc x được định nghĩa là một ánh xạ khả vi c : I −→ X<br /> <br />