Tóm tắt luận văn Thạc sĩ Toán học: Một số bài toán cực trị hình học

Chia sẻ: Huyen Nguyen My | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:28

Thêm vào BST

Báo xấu

31
lượt xem 4
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Mục tiêu nghiên cứu của luận văn này là giới thiệu và phân loại một số dạng bài toán cực trị hình học và phương pháp thường được sử dụng để giải các bài toán này.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Tóm tắt luận văn Thạc sĩ Toán học: Một số bài toán cực trị hình học

BË GIO DÖC V O TO TR×ÍNG I HÅC THNG LONG PHAN THÀ VIT HOA MËT SÈ BI TON CÜC TRÀ HNH HÅC TÂM TT LUN VN THC S TON HÅC H Nëi-N«m 2019
BË GIO DÖC V O TO TR×ÍNG I HÅC THNG LONG PHAN THÀ VIT HOA M HÅC VIN: C - 01030 MËT SÈ BI TON CÜC TRÀ HNH HÅC CHUYN NGNH: PH×ÌNG PHP TON SÌ CP M SÈ: 8 46 01 13 TÂM TT LUN VN THC S TON HÅC NG×ÍI H×ÎNG DN KHOA HÅC TS. NGUYN VN NGÅC H Nëi-N«m 2019
Líi c£m ìn Trong suèt qu¡ tr¼nh l m luªn v«n, tæi ¢ nhªn ÷ñc sü h÷îng d¨n r§t tªn t¼nh v chu ¡o cõa TS Nguy¹n V«n Ngåc. Th¦y ¢ cho tæi nhúng líi khuy¶n quþ b¡u khæng ch¿ v· c¡c v§n · xoay quanh luªn v«n m cán v· ph÷ìng ph¡p håc tªp v nghi¶n cùu khoa håc. Tæi xin gûi ¸n th¦y láng k½nh trång v bi¸t ìn s¥u sc. Tæi công xin b y tä láng bi¸t ìn ch¥n th nh ¸n to n bë c¡c th¦y cæ gi£ng d¤y lîp Cao håc to¡n K6 cõa tr÷íng H Th«ng Long, ¢ cung c§p cho tæi nhúng tri thùc khoa håc quþ b¡u công nh÷ nhúng b i håc cuëc sèng gi£n dà trong suèt thíi gian håc tªp t¤i tr÷íng. Nh¥n dàp n y, tæi xin gûi líi c£m ìn ¸n gia ¼nh, b¤n b± v c¡c çng nghi»p ¢ luæn ëng vi¶n kh½ch l» º tæi ho n th nh luªn v«n n y. Ngo i ra º sû döng cho luªn v«n, tæi ¢ tham kh£o mët sè t i li»u v b i vi¸t, xin c£m ìn c¡c t¡c gi£! H Nëi, Th¡ng 9, N«m 2019 T¡c gi£ Phan Thà Vi»t Hoa ii
Mð ¦u C¡c b i to¡n v· cüc ¤i v c÷c tiºu xu§t hi»n trong nhi·u l¾nh vüc, khæng ch¿ trong khoa håc v kÿ thuªt v nhúng ùng döng cõa chóng m cán trong íi sèng h ng ng y. Trong h¼nh håc, th÷íng g°p c¡c b i to¡n nh÷ t¼m ÷íng i ngn nh§t giúa hai iºm n o â, thäa m¢n c¡c i·u ki»n nh§t ành, ho°c t¼m mët h¼nh câ chu vi, hay di»n t½ch, thº t½ch nhä nh§t, t¼m iºm t¤i â biºu thùc h¼nh håc câ gi¡ trà cüc ¤i hay c÷c tiºu,... C¡c b i to¡n h¼nh håc v· cüc ¤i v cüc tiºu th÷íng gn vîi c¡c b§t ¯ng thùc h¼nh håc v¼ º gi£i c¡c b i to¡n n y chóng ta th÷íng ph£i chùng minh mët ho°c nhi·u b§t ¯ng thùc h¼nh håc t÷ìng ùng n o â. B§t ¯ng thùc v cüc trà h¼nh håc l chuy¶n möc khâ trong l¾nh vüc To¡n håc Phê thæng, nh÷ng l¤i câ sùc h§p d¨n ký l¤, bði v¼ c¡c b§t ¯ng thùc n y khæng ch¿ câ þ ngh¾a v· nëi dung m cán kh¡ µp v· h¼nh thùc v ái häi nhi·u s¡ng t¤o. Ngo i ra, c¡c b i to¡n v· b§t ¯ng thùc v cüc trà h¼nh håc câ nhi·u ùng döng trong quang håc v thüc ti¹n, nh÷ t¼m ÷íng i ngn nh§t, t¼m ki¸m mä, v.v.. Luªn v«n n y ÷ñc h¼nh th nh chõ y¸u tø nhúng t i li»u nh÷ s¡ch v c¡c b i b¡o khoa håc b¬ng ti¸ng Anh cõa c¡c chuy¶n gia n÷îc ngo i v trong n÷îc. C¡c b i to¡n chõ y¸u li¶n quan ¸n iºm, ÷íng th¯ng, tam gi¡c, tù di»n, h¼nh trán v h¼nh c¦u. H¦u h¸t c¡c b i to¡n câ ë khâ cao v mîi so vîi c¡c b i to¡n kh¡c trong nhi·u t i li»u b¬ng ti¸ng Vi¶t. Chóng ÷ñc ph¥n lo¤i theo t½nh ch§t hay °c iºm cõa ph÷ìng ph¡p nghi¶n cùu. Möc ti¶u cõa luªn v«n n y l giîi thi»u v ph¥n lo¤i mët sè d¤ng b i to¡n cüc trà h¼nh håc v ph÷ìng ph¡p th÷íng ÷ñc sû döng · gi£i c¡c b i to¡n nâi tr¶n. Luªn v«n gçm câ ph¦n Mð ¦u, ba ch÷ìng, K¸t luªn v Danh möc c¡c t i li»u tham kh£o. Ch÷ìng 1: Ph÷ìng ph¡p h¼nh håc tr¼nh b y ph÷ìng ph¡p bi¸n êi h¼nh håc v ph÷ìng ph¡p t¥m t cü gi£i mët sè b i to¡n v· cüc trà h¼nh håc, nh÷ ÷íng i ngn nh§t giúa hai iºm, chu vi nhä nh§t cõa c¡c a gi¡c, x¡c ành iºm cüc trà cõa c¡c biºu thùc h¼nh håc. Ph÷ìng ph¡p bi¸n êi h¼nh håc l ph÷ìng ph¡p ÷a mët b i to¡n phùc t¤p 1
v· b i to¡n ìn gi£n hìn t÷ìng ùng düa tr¶n mët sè ph²p bi¸n êi h¼nh håc ìn gi£n, nh÷ ph²p tành ti¸n, èi xùng, ph²p quay, ph²p và tü, v.v.. T¥m t cü l kh¡i ni»m mð rëng kh¡i ni»m v· trång t¥m cõa c¡c h¼nh ¢ ÷ñc ÷a v o ch÷ìng tr¼nh h¼nh håc 10. T¥m t cü li¶n h» mªt thi¸t vîi c¡c bë trång sè gåi l tåa ë t cü cõa c¡c iºm nhí x¡c ành mët h¼nh håc cì sð thæng qua c¡c ¤i l÷ñng v²c tì. Nâ l c¦u nèi, thº hi»n mèi quan h» mªt thi¸t giúa h¼nh håc v ¤i sè. T¥m t cü câ nhi·u ùng döng trong h¼nh håc, nh÷ chóng minh ¯ng thùc, b§t ¯ng thùc, c¡c iºm çng quy, th¯ng h ng, v.v.. Luªn v«n n y ch¿ tr¼nh b y ùng döng t¥m t cü trong c¡c b i to¡n cüc trà ë d i v²c tì v têng b¼nh ph÷ìng cõa c¡c væ h÷îng Ch÷ìng 2: Ph÷ìng ph¡p ¤i sè v gi£i t½ch tr¼nh b y ph÷ìng ph¡p vªn döng c¡c b§t ¯ng thùc kinh iºn èi vîi d¢y sè v ph÷ìng ph¡p ¤o h m t¼m cüc trà cõa mët sè b i to¡n h¼nh håc sì c§p. B¬ng ph÷ìng ph¡p sû döng c¡c b§t d¯ng thùc kinh iºn ¢ x²t c¡c b i to¡n v· cüc trà h¼nh håc èi vîi tam gi¡c, tù di»n, h¼nh trán hay m°t c¦u. èi vîi ph÷ìng ph¡p gi£i t½ch ¢ tr¼nh b y b i to¡n li¶n quan ¸n ành luªt khóc x¤ ¡nh s¡ng Snel v nhi·u b i to¡n lþ thó kh¡c. Ch÷ìng 3: C¡c b i to¡n chån låc, tr¼nh b y c¡c b i to¡n ti¶u biºu v· ¯ng cü, iºm cüc trà, b i to¡n Malfatti, h¼nh tê hñp, trong â °c bi»t quan t¥m l c¡c b i to¡n v· ¯ng cü v iºm cüc trà. B i to¡n ¯ng cü trong h¼nh håc ph¯ng câ li¶n quan ¸n ành lþ nêi ti¸ng sau ¥y [5]: èi vîi h¼nh ph¯ng b§t ký, di»n t½ch A, ÷ñc giîi h¤n bði chu tuy¸n k½n chi·u d i L câ b§t ¯ng thùc: L2 ≥ 4πA. ¯ng thùc ch¿ x£y ra khi L l ÷íng trán. Cæng thùc tr¶n ¥y ¢ ÷ñc chùng minh b¬ng sü trñ gióp cõa ph²p t½nh vi ph¥n v bi¸n ph¥n. Tuy nhi¶n èi vîi a gi¡c lçi L. Fejes To'th [6] ¢ chùng minh cæng thùc tr¶n b¬ng ph÷ìng ph¡p ho n to n sì c§p. Cö thº â l cæng thùc Lhuilier [6] π P 2 ≥ 4Sn tan , n trong â P v S t÷ìng ùng l chu vi v di»n t½ch cõa h¼nh n-a gi¡c lçi. Công trong ch÷ìng n y tr¼nh b y v· c¡c iºm cüc trà, chõ y¸u l iºm Lemoine trong tam gi¡c v nhúng iºm mîi kh¡c. Mët sè b i to¡n v· v§n · n y ¢ xu§t hi»n trong ch÷ìng 1, â l iºm Torricelli. Ch÷ìng n y công tr¼nh b y mët sè b i to¡n d¤ng Malfatti v· ct mët h¼nh ph¯ng ra th nh mët sè h¼nh trán, sao cho têng di»n t½ch cõa chóng l lîn nh§t. B i to¡n Malfatta hi»n nay v¨n ÷ñc ti¸p töc nghi¶n cùu [8]. Ch÷ìng n y cán 2
tr¼nh b y mët sè b i to¡n v· h¼nh håc tê hñp, v§n · quan t¥m cõa nâ l sè cüc ¤i hay cüc tiºu c¡c iºm cõa mët h¼nh câ t½nh ch§t n o â. Nëi dung ch½nh cõa luªn v«n ÷ñc h¼nh th nh düa tr¶n c¡c t i li»u tham kh£o [1]-[8], °c bi»t l c¡c t i li»u [6] v [7]. Luªn v«n ÷ñc ho n th nh t¤i Tr÷íng ¤i håc Th«ng Long, 2018-1019. H Nëi, th¡ng 9 n«m 2019 T¡c gi£ Phan Thà Vi»t Hoa 3
Ch÷ìng 1 Ph÷ìng ph¡p h¼nh håc 1.1 Ph÷ìng ph¡p bi¸n êi h¼nh håc 1.1.1 C¡c b i to¡n l¥u íi Ph÷ìng ph¡p bi¸n êi h¼nh håc l ph÷ìng ph¡p ÷a mët b i to¡n phùc t¤p v· b i to¡n ìn gi£n hìn t÷ìng ùng düa tr¶n mët sè ph²p bi¸n êi h¼nh håc ìn gi£n, nh÷ ph²p èi xùng, ph²p quay, ph²p và tü, v.v.. Tr÷îc h¸t chóng ta bt ¦u b¬ng b i to¡n nêi ti¸ng sau ¥y: B i to¡n 1.1. (B i to¡n Heron) Tr¶n m°t ph¯ng cho ÷íng th¯ng l v hai iºm A, B ð v· còng b¶n èi vîi l. T¼m tr¶n l iºm X, sao cho AX + XB câ ë d i nhä nh§t. H¼nh 1.1 Líi gi£i. Gi£ sû B0 l iºm èi xùng vîi iºm B qua ÷íng th¯ng l(H¼nh 1.1). Do t½nh èi xùng ta câ XB = XB 0 vîi måi iºm X tr¶n l, nh÷ vªy XA + XB = AX + XB 0 ≥ AB 0 . Gi£ sû AB 0 ct ÷íng th¯ng l t¤i iºm X0 (v¼ A v B 0 ð v· hai ph½a b¶n cõa l). Nh÷ vªy, vîi måi iºm X ∈ l, ta câ AX + XB ≥ AB 0 = AX0 + X0 B. iºm X0 l líi gi£i duy nh§t cõa b i to¡n. 4
Chó þ r¬ng B i to¡n Heron câ nguçn gèc tø nhúng nghi¶n cùu cõa Heron v· sü ph£n x¤ ¡nh s¡ng [7]. B i to¡n 1.2. Trong khæng gian cho ÷íng th¯ng l v hai iºm A, B sao cho chóng khæng còng trong mët m°t ph¯ng. T¼m iºm X tr¶n l sao cho ÷íng g§p khóc AXB câ ë d i nhä nh§t. Líi gi£i. B i to¡n n y rã r ng t÷ìng tü nh÷ b i to¡n 1.1. H¼nh 1.2 B i to¡n 1.3. Cho iºm M b¶n trong gâc BAC. [ Mët ÷íng th¯ng qua M ct c¡c c¤nh cõa gâc t¤i D v E . Vîi và tr½ n o cõa ÷íng th¯ng qua M th¼ tam gi¡c ADE câ di»n t½ch nhä nh§t? B i to¡n 1.4. Cho iºm M b¶n trong gâc BAC. [ Mët ÷íng th¯ng qua M ct c¡c c¤nh cõa gâc t¤i D v E . Vîi và tr½ n o cõa ÷íng th¯ng qua M th¼ tam gi¡c ADE câ chu nhä nh§t? 1.1.2 C¡c b i to¡n d¤ng Steiner v iºm Torricelli B i to¡n ti¸p theo ÷ñc gåi l B i to¡n tam gi¡c Steiner. B i to¡n 1.5. (B i to¡n Steiner). T¼m mët iºm X trong m°t ph¯ng cõa tam gi¡c ABC ¢ cho sao cho têng t(X) = AX + BX + CX l tèi thiºu. Líi gi£i cõa b i to¡n kh¡ d i n¶n xin ÷ñc khæng tr¼nh b y ð ¥y. K¸t qu£ cõa líi gi£i l : n¸u t§t c£ c¡c gâc cõa 4ABC nhä hìn 120o , th¼ t(X) l tèi thiºu khi X tròng vîi iºm Torricelli cõa 4ABC . N¸u mët trong c¡c gâc cõa 4ABC khæng nhä hìn 120o , th¼ t(X) l tèi thiºu khi X tròng vîi ¿nh cõa gâc â. B i to¡n sau ¥y l sü kh¡i qu¡t hâa b i to¡n Steiner. 5
B i to¡n 1.6. . Gi£ sû ABC l tam gi¡c khæng tò v cho m, n v p l c¡c sè d÷ìng cho tr÷îc. T¼m mët iºm X trong m°t ph¯ng cõa tam gi¡c sao cho têng s(X) = mAX + nBX + pCX l tèi thiºu. Sü t÷ìng tü cõa c¡c b i to¡n 1.7 v 1.8 cho hìn 3 iºm chc chn r§t thó và. Tuy nhi¶n, nâi chung chóng kh¡c nhi·u hìn. C¡c t½nh ch§t kh¡c nhau t«ng ¡ng kº khi ta xem x²t c¡c b i to¡n t÷ìng tü trong khæng gian. Ð ¥y chóng ta s³ xem x²t mët tr÷íng hñp °c bi»t cõa b i to¡n t÷ìng ùng cho 4 iºm trong khæng gian. B i to¡n 1.7. Cho ABCD l tù di»n ·u trong khæng gian. T¼m c¡c iºm X trong khæng gian sao cho têng s(X) = AX + BX + CX + DX l tèi thiºu. B i to¡n 1.8. Trong m°t ph¯ng cõa tam gi¡c ABC vîi trång t¥m G t¼m iºm P º biºu thùc AP.AG + BP.BG + CP.CG l nhä nh§t. Biºu di¹n ¤i l÷ñng nhä nh§t n y qua c¡c c¤nh cõa tam gi¡c ABC. K¸t qu£ líi gi£i cõa b i to¡n l : c¡c ¯ng thùc tr¶n ¥y chùng tä iºm P n¬m tr¶n GA, GB, GC, ngh¾a l P tròng G. 1.1.3 C¡c b i to¡n kh¡c B i to¡n ti¸p theo l mët b i to¡n kinh iºn, ÷ñc gåi l B i to¡n tam gi¡c Schwarz (cán ÷ñc gåi l B i to¡n Fagnano). B i to¡n 1.9. T¼m mët tam gi¡c câ chu vi tèi thiºu trong mët tam gi¡c nhån cho tr÷îc. B i to¡n 1.10. Mët ng÷íi l½nh ph£i kiºm tra c¡c mä trong mët khu vüc câ d¤ng tam gi¡c ·u. B¡n k½nh ho¤t ëng cõa m¡y dá m¼n b¬ng mët nûa ë cao cõa tam gi¡c. Gi£ sû r¬ng ng÷íi l½nh bt ¦u t¤i mët trong c¡c ¿nh cõa tam gi¡c, t¼m con ÷íng ngn nh§t anh ta câ thº sû döng º thüc hi»n nhi»m vö cõa m¼nh. 6
Cho ¸n nay, chóng ta ch¿ sû döng t½nh èi xùng èi vîi mët ÷íng th¯ng. Trong mët sè b i to¡n sau ¥y, chóng ta s³ ¡p döng mët sè bi¸n êi h¼nh håc kh¡c. Chóng ta chuyºn sang mët b i to¡n ÷ñc gåi l ành lþ Pompeiu. B i to¡n 1.11. (ành lþ Pompeiu). Cho ABC l tam gi¡c ·u v P l mët iºm trong m°t ph¯ng cõa nâ. Chùng minh r¬ng tçn t¤i mët tam gi¡c câ c¡c c¤nh b¬ng c¡c o¤n th¯ng AP, BP v CP . Tam gi¡c n y bà suy bi¸n khi v ch¿ khi P n¬m tr¶n ÷íng trán ngo¤i ti¸p 4ABC . B i to¡n 1.12. Mët khóc sæng câ hai bí song song. Ð hai b¶n sæng câ hai àa iºm A v B. C¦n ph£i bc mët c¥y c¦u vuæng gâc vîi hai bí sæng ð và tr½ n o º ÷íng i giúa hai l ng qua c¦u l ngn nh§t? H¼nh 1.3 Líi gi£i. Gi£ sû hai àa iºm ð hai b¶n sæng l A v B. Chóng ta tành ti¸n mët trong hai àa iºm v· ph½a sæng mët kho£ng b¬ng b· rëng cõa sæng, cö thº tành ti¸n iºm B th nh iºm B'(h¼nh 1.18). Nèi A vîi B', ct bí sæng b¶n A t¤i M. Düng MN vuæng gâc vîi bí sæng b¶n kia. Ta câ MN l và tr½ cõa c¦u c¦n l m. Thªt v¥y, theo c¡ch düng th¼ MNBB' l h¼nh b¼nh h nh v ÷íng i giúa hai àa iºm qua c¦u câ ë d i b¬ng o¤n AB', do â l ngn nh§t. B i to¡n 1.13. H¼nh tù gi¡c trong h¼nh 1.4 ÷ñc cho bði tåa ë c¡c ¿nh cõa nâ. T¼m ÷íng i ngn nh§t bt ¦u t¤i iºm A (0, 1) v k¸t thóc t¤i C (2, 1) câ c¡c iºm chung vîi c¡c c¤nh li¶n ti¸p a, d, b, d, c cõa tù gi¡c. 7
H¼nh 1.4 1.2 Ph÷ìng ph¡p t¥m t cü 1.2.1 Kh¡i ni»m v· t¥m t¿ cü ành lþ 1.1. Cho h» n iºm A1, A2, . . . , An v n sè thüc k1, k2, . . . , kn thäa m¢n i·u ki»n k1 + k2 + . . . + kn = k 6= 0. (a) Chùng minh r¬ng câ duy nh§t mët iºm G sao cho −−→ −−→ −−→ → − k1 .GA1 + k2 .GA2 + . . . + kn .GAn = 0 . iºm G nh÷ th¸ ÷ñc gåi l t¥m t¿ cü cõa h» iºm Ai gn vîi c¡c h» sè ki . Trong tr÷íng hñp c¡c h» sè ki b¬ng nhau (i = 1, n) v do â câ thº xem c¡c ki ·u b¬ng 1, th¼ G ÷ñc gåi l trång t¥m cõa h» n iºm Ai . (b) Chùng minh r¬ng n¸u G l t¥m t¿ cü nâi ð c¥u a, th¼ måi iºm O b§t k¼ ta câ ¯ng thùc: −→ 1 −−→ −−→ −−→ OG = k1 .OA1 + k2 .OA2 + . . . + kn .OAn k B¥y gií ta s³ sû döng hai k¸t qu£ n y º gi£i c¡c b i to¡n quÿ t½ch v cüc trà h¼nh håc. 1.2.2 Cüc trà ë d i vectì B i to¡n 1.14. (B i to¡n têng qu¡t).Cho h» n iºm A1, A2, . . . , An v n sè thüc k1 , k2 , . . . , kn thäa m¢n k1 + k2 + . . . + kn = k 6= 0 v ÷íng th¯ng d (ho°c m°t
ph¯ng (P )). T¼m iºm M tr¶n ÷íng th¯ng d (ho°c m°t ph¯ng (P )) sao
−−−→ −−−→ −−−→
cho
k1 .M A1 + k2 .M A2 + . . . + kn .M An
nhä nh§t. 8
B i to¡n 1.15.
Cho tam gi¡c ABC
v ÷íng th¯ng d. T¼m iºm M tr¶n ÷íng −−→ −−→ −−→ th¯ng d sao cho