Tóm tắt luận văn Thạc sĩ Toán học: Một số phương pháp xác định dãy số lặp tuyến tính hệ số hằng

Chia sẻ: Huyen Nguyen My | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:27

Thêm vào BST

Báo xấu

31
lượt xem 4
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Mục tiêu nghiên cứu của luận văn này trình bày một số trong những phương pháp ấy. Ý tưởng chủ đạo của phương pháp là làm giảm dần cấp của các dãy số lặp(phương trình sai phân) bằng cách đưa vào những biến đổi thích hợp, có liên quan đến phương trình đặc trưng của các phương trình sai phân. Bằng cách đó đối với các dãy số lặp tuyến tính cấp ba được đưa về dãy cấp hai, dãy số cấp bốn được đưa về dãy số cấp ba, nói chung dãy số cấp cao sẽ được đưa về dãy số cấp thấp hơn.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Tóm tắt luận văn Thạc sĩ Toán học: Một số phương pháp xác định dãy số lặp tuyến tính hệ số hằng

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC THĂNG LONG VŨ THỊ HÀ MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP XÁC ĐỊNH DÃY SỐ LẶP TUYẾN TÍNH HỆ SỐ HẰNG TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Hà Nội-Năm 2019
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC THĂNG LONG VŨ THỊ HÀ MÃ HỌC VIÊN: C01078 MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP XÁC ĐỊNH DÃY SỐ LẶP TUYẾN TÍNH HỆ SỐ HẰNG CHUYÊN NGÀNH: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP MÃ SỐ: 8 46 01 13 TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC TS. NGUYỄN VĂN NGỌC Hà Nội-Năm 2019
Mở đầu. Dãy số lặp tuyến tính trong toán học ở bậc phổ thông bao gồm cấp số cộng, cấp số nhân, cộng-nhân, dãy Fibonacci, dãy Lucas, dãy Lucas- Pell,... Các dãy số trên đây là những dãy số tuyến tính cấp một và cấp hai. Tuy nhiên, công thức tổng quát của các dãy số trên còn ít được biết đến. Vấn đề trên đây là một trong những mục tiêu nghiên cứu của luận văn này bằng cách sử dụng phương pháp quy nạp. Dãy số lặp tuyến tính là cách gọi khác của các phương trình sai phân tuyến tính. Đối với các dãy số tuyến tính cấp hai và cấp cao hơn, để xác định số hạng tổng quát, người ta thường sử dụng kỹ thuật phương trình sai phân. Kỹ thuật này đã được giới thiệu trong chương trình của các lớp chuyên Toán. Tuy nhiên, ở các lớp phổ thông không chuyên, phương trình sai phân không được giới thiệu. Vì vậy cần thiết phải có những tìm tòi các phương pháp giải khác mà kiến thức không vượt quá kiến thức ở bậc THPT. Luận văn này sẽ trình bày một số trong những phương pháp ấy. Ý tưởng chủ đạo của phương pháp là làm giảm dần cấp của các dãy số lặp(phương trình sai phân) bằng cách đưa vào những biến đổi thích hợp, có liên quan đến phương trình đặc trưng của các phương trình sai phân. Bằng cách đó đối với các dãy số lặp tuyến tính cấp ba được đưa về dãy cấp hai, dãy số cấp bốn được đưa về dãy số cấp ba, nói chung dãy số cấp cao sẽ được đưa về dãy số cấp thấp hơn. Trong luận văn còn trình bày phương pháp quy nạp xác định số hạng tổng quát của các dãy số lặp tuyến tính có dạng khá đẹp về hình thức, thông qua dãy số lặp của các hệ số. Bản luận văn gồm phần Mở đầu, ba chương nội dung, Kết luận và Tài 1
liệu tham khảo. Chương 1: Phương pháp quy nạp xác định dãy số lặp tuyến tính cấp hai hệ số hằng , trình bày về định nghĩa và tính chất một vài dãy số với các số hạng là tổng (hoặc hiệu) của hai hay nhiều số nguyên, trong đó có dãy số liên kết với hai hằng số hoặc liên kết với một dãy số đã cho. Sử dụng phương pháp quy nạp xác định số hạng tổng quát của các dãy số cấp hai liên kết với một hoặc hai hằng số. Chương 2: Phương pháp cấp số xác định dãy số lặp tuyến tính cấp một và cấp hai , trình bày cơ sở lý thuyết của phương pháp đưa dãy số lặp cấp hai hệ số hằng(phương trình sai phân cấp hai) về cấp số nhân(phương trình sai phân cấp một thuần nhất), hay cấp số cộng-nhân(phương trình sai phân cấp một không thuần nhất đặc biệt). Chương 3: Dãy số lặp tuyến tính cấp ba và cấp bốn, trình bày cơ sở lý thuyết của phương pháp đưa dãy số lặp cấp ba và cấp cao hơn về dãy số lặp tuyến tính có cấp thấp hơn. Luận văn được hoàn thành dưới sự giúp đỡ của Thầy: TS. Nguyễn Văn Ngọc. Dù tác giả đã rất cố gắng nhưng không thể tránh khỏi những thiếu sót. Tôi rất mong nhận được những ý kiến góp ý quý báu của các thầy, cô và các bạn đồng nghiệp. Nội dung chính của luận văn được hình thành dựa trên các tài liệu tham khảo [1]-[5]. Luận văn được hoàn thành tại Trường Đại học Thăng Long, 2018-2019. Xin trân trọng cảm ơn! Hà Nội, Tháng 9, Năm 2019 Tác giả Vũ Thị Hà 2
Chương 1 Phương pháp quy nạp xác định dãy số lặp tuyến tính cấp hai hệ số hằng. 1.1 Dãy số tuyến tính cấp hai liên kết với hai hằng số. 1.1.1 Khái niệm. Định nghĩa 1.1. Dãy số Un được gọi là dãy số lặp tuyến tính cấp k hệ số hằng nếu Un+k = aUn+k−1 + bUn+k−2 + ... + cUn + f (n). trong đó a, b, ..., c là các hằng số, f (n) là biểu thức đã biết. Nếu f n) ≡ 0, thì dãy được gọi là thuần nhất, trường hợp còn lại được gọi là không thuần nhất. Ví dụ, dãy cấp số cộng và dãy cấp số nhân, cấp số cộng-nhân Un+1 = Un + b, Un+1 = aUn , Un+1 = aUn + b là những dãy cấp một. Cấp số nhân là dãy số cấp một thuần nhất, cấp số cộng và cấp số cộng-nhân với b 6= 0 là những dãy số cấp một không thuần nhất. Dãy số Fibonacci Fn với bất kỳ n ≥ 1 và F0 = 0, F1 = 1 dạng Fn+1 = Fn + Fn−1 là dãy số tuyến tính cấp hai thuần nhất. 3
Định nghĩa 1.2. Cho các số nguyên a, b và U0 , U1 . Lập dãy số Un dạng Un+1 = aUn + bUn−1 (1.1) với n ≥ 1. Dãy số (Un ) được gọi là dãy số liên kết với hai hằng số a, b sinh bởi U0 , U1 . Cho các số nguyên a, b và G0 = 0, G1 = 1. Dãy số (Gn ) dạng Gn+1 = aGn + bGn−1 (1.2) với n ≥ 1 được gọi là dãy số cơ sở của dãy số Un . Định nghĩa 1.3. Cho các số nguyên a và V0 , V1 . Lập dãy số (Vn ) dạng Vn+1 = aVn + Vn−1 (1.3) với n ≥ 1. Dãy số (Vn ) được gọi là dãy số liên kết loại một với hằng số a sinh bởi V0 , V1 . Cho các số nguyên a và H0 = 0, H1 = 1. Dãy số (Hn ) dạng Hn+1 = aHn + Hn−1 (1.4) với n ≥ 1 được gọi là dãy số cơ sở của dãy số (Vn ). Định nghĩa 1.4. Cho các số nguyên b và Z0 , Z1 . Lập dãy số (Zn ) dạng Zn+1 = Zn + bZn−1 (1.5) với n ≥ 1. Dãy số (Zn ) được gọi là dãy số liên kết loại hai với hằng số b sinh bởi Z0 , Z1 . Cho các số nguyên b và K0 = 0, K1 = 1 thì dãy số (Kn ) dạng Kn+1 = Kn + bKn−1 (1.6) với n ≥ 1 được gọi là dãy số cơ sở của dãy số (Zn ). Mệnh đề 1.1. Cho dãy số Un+1 = aUn + bUn−1 với n ≥ 1, liên kết với hai hằng số a, b sinh bởi U0 , U1 . Xét dãy số (Dn ) được xác định bởi Dn = Un+1 + bUn−1 (1.7) với D0 = 2U1 − aU0 , D1 = aU1 + 2bU0 . Khi đó có công thức Dn+1 = aDn + bDn−1 , (1.8) tức là dãy (Dn ) cũng là dãy số liên kết với hai hằng số a và b. 4
1.1.2 Ví dụ. Ví dụ 1.1. Dãy số Fibonacci Fn với bất kì n ≥ 1 và F0 = 0, F1 = 1 dạng Fn+1 = Fn + Fn−1 (1.9) là dãy số liên kết loại một với hằng số a = 1. Mười số hạng đầu tiên của dãy số này là: F0 = 0, F1 = 1, F2 = 1, F3 = 2, F4 = 3, F5 = 5, F6 = 8, F7 = 13, F8 = 21, F9 = 34, F10 = 55, · · · Dãy số này mang tên nhà toán học người Italia là Leonardo Pisano (khoảng 1170 đến khoảng 1250), nghĩa là Leonardo ở thành phố Pisa. Người Italia cũng gọi ông là Fibonacci, nghĩa là con ông Bonaccio (bố ông lấy biệt hiệu là Bonaccio). Nhiều nhà toán học đã nghiên cứu và đưa ra các hệ thức giữa các số hạng của dãy số Fibonacci như Lucas, Binet, Cassini, Catalan, D’Ocagne,· · · Ví dụ 1.2. Dãy số Lucas Ln với bất kì n ≥ 1 và L0 = 2, L1 = 1 dạng Ln+1 = Ln + Ln−1 (1.10) là dãy số liên kết loại một với hằng số a = 1. Mười số hạng đầu tiên của dãy số này là: L0 = 2, L1 = 1, L2 = 3, L3 = 4, L4 = 7, L5 = 11, L6 = 18, L7 = 29, L8 = 47, L9 = 76, L10 = 123. . . . Dãy số này được nhà toán học người Pháp là Fran¸cois Édouard Anatole Lucas nghiên cứu. Ví dụ 1.3. Dãy số Fibonacci tổng quát Wn với n ≥ 1 và hai số W0 , W1 dạng Wn+1 = Wn + Wn−1 (1.11) là dãy số liên kết loại một với hằng số a = 1. Dãy số Fibonacci Fn là dãy số cơ sở của dãy số Wn . Dãy số Lucas Ln là trường hợp riêng của dãy số Wn khi W0 = L0 = 2, W1 = L1 = 1. 5
Ví dụ 1.4. Dãy số Pell Pn với n ≥ 1 và P0 = 0, P1 = 1 dạng Pn+1 = 2Pn + Pn−1 (1.12) là dãy số liên kết loại một với hằng số a = 2. Mười số hạng đầu tiên của dãy số Pn là: P0 = 0, P1 = 1, P2 = 2, P3 = 5, P4 = 12, P5 = 29, P6 = 70, P7 = 169, P8 = 408, P9 = 985, . . . Ví dụ 1.5. Dãy số Lucas- Pell Qn với n ≥ 1 và Q0 = 2, Q1 = 2 dạng Qn+1 = 2Qn + Qn−1 (1.13) là dãy số liên kết loại một với hằng số a = 2. Chín số hạng đầu tiên của dãy số Qn là: Q0 = 2, Q1 = 2, Q2 = 6, Q3 = 14, Q4 = 34, Q5 = 82, Q6 = 198, Q7 = 478, Q8 = 1154, . . . Ví dụ 1.6. Dãy số Tn với n ≥ 1 và hai số T0 , T1 dạng Tn+1 = 2Tn + Tn−1 (1.14) là dãy số liên kết loại một với hằng số a = 2. Dãy số Pell Pn là dãy số cơ sở của dãy số Tn . Dãy số Lucas- Pell Qn là trường hợp riêng của dãy số Tn khi T0 = Q0 = 2, T1 = Q1 = 2. 1.2 Xác định các dãy số liên kết tuyến tính cấp hai bằng phương pháp quy nạp. 1.2.1 Dãy số {Kn }. • Xét dãy số được cho bởi công thức K1 = K2 = 1, Kn+1 = Kn + bKn−1 (n ≥ 2). (1.15) 6
• Thực hiện tính toán chúng ta có các công thức sau đây: K1 = 1, K2 = 1, K3 = 1 + b, K4 = 1 + 2b, K5 = 1 + 3b + b2 , ....................... •Để tiện tính toán các số Kn ta lập quy tắc tính các hệ số của bm dưới đây: Trong bảng số hình tam giác ghi các hệ số knm của bm ở cột m hàng n (n > m ≥ 0), trong đó cột m ghi số mũ của b, hàng n ghi thứ tự của Kn . Các hệ số này được sắp xếp theo các quy luật ghi số như sau: m Q1. kn0 = k2m+1 = 1 với mọi n ≥ 1, m ≥ 1, tức là số ở cột 0( b0 ) và số ở cột m (bm ) hàng 2m +1 đều là số 1. 1 Q2. kn+2 = n với mọi n ≥ 1, tức là số ở cột 1( b1 ) là dãy số nguyên dương liên tiếp kể từ n = 1. m+1 m+1 Q3. knm + kn+1 = kn+2 với mọi n ≥ 2m + 2. Định lý 1.1. Có các hệ thức sau đây 1 2 2 n−2 n−2 n−1 n−1 K2n = 1 + k2n b + k2n b + . . . + k2n b + k2n b , (1.16) 1 2 K2n+1 = 1 + k2n+1 b + k2n+1 b2 + . . . + k2n+1 n−1 n−1 b n + k2n+1 bn , (1.17) trong đó knm + kn+1 m+1 m+1 = kn+2 (1.18) 1.2.2 Dãy số {Hn }. • Xét dãy số {Hn } được xác định theo công thức H1 = 1, H2 = a, Hn+1 = aHn + Hn−1 , n ≥ 2. 7
• Thực hiện tính toán chúng ta có các công thức sau đây: H1 = 1, H2 = a, H3 = a2 + 1, H4 = a3 + 2a, H5 = a4 + 3a2 + 1, ....................... • Quy ước về các hệ số. Ký hiệu hm m n là hệ số của a trong Hn . HQ1. hnn+1 = 1, HQ2. h02n+1 = 1, m+1 m+1 HQ3. hm n + hn−1 = hn+1 . Định lý 1.2. Có các hệ thức sau đây H2n = a2n−1 + h2n 2n−3 2n−3 a + h2n−5 2n a 2n−5 + ... + h32n a3 + h12n a, (1.19) H2n+1 = a2n + h2n+1 2n−2 2n−2 a + h2n−4 2n+1 a 2n−4 + ... + h22n+1 a2 + 1, (1.20) trong đó hm m+1 m+1 n + hn−1 = hn+1 . (1.21) 1.2.3 Dãy số {Gn }. • Xét dãy số {Gn } được xác định theo công thức G1 = 1, G2 = a, Gn+1 = aGn + bHn−1 , n ≥ 2. • Thực hiện tính toán chúng ta có các công thức sau đây: G1 = 1, G2 = a, G3 = a2 + b, G4 = a3 + 2ab, G5 = a4 + 3a2 b + b2 , ....................... 8
Định lý 1.3. Có các hệ thức sau đây G2n = a2n−1 + k2n 1 2n−3 a 2 2n−5 2 b + k2n a n−2 3 n−2 b + . . . + k2n ab n−1 n−1 + k2n ab (1.22) = a2n−1 + h2n 2n−3 2n−3 a b + h2n−5 2n a 2n−5 2 b + . . . + h32n a3 bn−2 + h12n abn−1 , (1.23) G2n+1 = a2n + k2n+1 1 a2n−2 b + k2n+1 2 a2n−4 b2 + . . . + k2n+1 n−1 2 n−1 ab n + k2n+1 bn (1.24) = a2n + h2n−2 2n+1 a 2n−2 b + h2n−4 2n+1 a 2n−4 2 b + . . . + h22n+1 a2 bn−1 + h02n+1 bn . (1.25) trong đó các hệ số knm thỏa mãn các quy ước KQ1-KQ3, còn các hệ số hm n thì thỏa mãn các quy ước HQ1-HQ3. 1.2.4 Nhận xét. • Viết các số hạng đầu tiên Kn , Gn và Hn ở dạng "tam giác cân "sau đây : Hàng n Kn+1 = Kn + bKn−1 Gn+1 = aGn + bGn−1 Hn+1 = aHn + Hn−1 1 1 1 1 2 1 a a 2 2 3 1+b a +b a +1 3 4 1+2b a + 2ab a3 + 2a 5 1 + 3b + b2 a4 + 3a2 b + b2 a4 + 3a2 + 1 6 1 + 4b + 3b2 a5 + 4a3 b + 3ab2 a5 + 4a3 + 3a ... ........... ..................... ............ • Các hệ số của a và b trong biểu thức của Hn , Gn , Kn giống nhau, trong Kn thì số mũ của b tăng dần theo dãy số tự nhiên, trong Hn thì số mũ của a giảm dần theo dãy số tự nhiên chẵn hoặc theo dãy số tự nhiên lẻ, còn trong Gn thì các số mũ của b tăng giống của Kn và giảm giống của Hn . 9
Chương 2 Phương pháp cấp số xác định dãy số lặp tuyến tính cấp một và cấp hai. 2.1 Dãy cấp số. 2.1.1 Dãy cấp số cộng. Xét dãy số Un+1 = Un + b, n = 0, 1, ..., b 6= 0, U0 đã biết. (2.1) Bằng phương pháp quy nạp ta có công thức xác định số hạng tổng quát của cấp số cộng: Un = U0 + (n − 1)b, n = 1, 2, ... (2.2) 2.1.2 Dãy cấp số nhân. Xét dãy số Un = aUn−1 , n = 1, ..., a 6= 0, U0 đã biết (2.3) Bằng phương pháp quy nạp ta có công thức xác định số hạng tổng quát của cấp số cộng: Un = U0 an , n = 0, 1, 2, ... (2.4) 2.1.3 Dãy số cộng - nhân. Xét dãy số được xác định bởi công thức Un = aUn−1 + b, n = 1, ..., a 6= 1, b 6= 0, U0 đã biết (2.5) 10
Bằng phương pháp quy nạp dễ dàng có được công thức xác định số hạng tổng quát Un = U0 an + bSn (a). (2.6) trong đó  n, nếu a = 1, Sn (a) = 1 − an (2.7) , nếu a 6= 1. 1−a  Nhận xét 2.1. Khi a = 1, b 6= 0 dãy số cộng-nhân trở thành dãy cấp số cộng, còn khi a 6= 0, b = 0 dãy số cộng-nhân là dãy cấp số nhân. 2.1.4 Các bài toán. Bài toán 2.1. Xác định công thức tổng quát của dãy số Un = aUn−1 + bn + c, a, b, c 6= 0, U0 = d. b b+c Kết quả: Un = an−1 (ad − b − c) − n + . a a Bài toán 2.2. Xác định công thức tổng quát của dãy số Un = 2Un−1 + an2 + bn + c, a, b, c 6= 0, U0 = d. Kết quả: Công thức của số hạng tổng quát là Un = 2n (6a − 2b + c + d) − an2 + (b − 4a)n − 6a + 2b − c. Bài toán 2.3. Xác định công thức tổng quát của dãy số Un = aUn−1 + bcn , a, b, c 6= 0, c 6= a, U0 = d. Kết quả: Công thức số hạng tổng quát của dãy số là n dc − da − bc bcn+1 Un = a + . c−a c−a Bài toán 2.4. Xác định công thức tổng quát của dãy số Un = aUn−1 + ban , a, b 6= 0, U0 = d. Kết quả: Un = an (nb + d). 11
2.2 Phương pháp cấp số biểu diễn dãy số tuyến tính cấp hai hệ số hằng thuần nhất. 2.2.1 Công thức biểu diễn. Mục này trình bày phương pháp xác định dãy số Un+1 = aUn + bUn−1 , n ∈ N (2.8) theo các giá trị đầu U0 , U1 , biến số n và các hệ số a, b. Chúng ta luôn luôn giả sử rằng U0 , U1 , Un , a và b là các số thực. Định lý 2.1. Hệ thức (2.8) tương đương với hệ thức Un+1 − xUn = (a − x)(Un − xUn−1 ) + (b + ax − x2 )Un−1 , (2.9) trong đó x là một số tùy ý(thực hoặc phức). Chứng minh. Thật vậy, khai triển vế phải của (2.9) rồi ước lượng các số hạng đồng dạng ta nhận được hệ thức (2.8). Định nghĩa 2.1. Phương trình x2 − ax − b = 0 (2.10) được gọi là phương trình đặc trưng của hệ thức (2.8). Ký hiệu α, β là các nghiệm của phương trình đặc trưng (2.10). Chúng ta có công thức Viet α + β = a, (2.11) αβ = −b Định lý 2.2. Cho dãy số tuyến tính cấp hai liên kết với các hằng số a, b và hai số nguyên U0 , U1 cho trước dạng (2.8) với n ≥ 1. 1. Giả sử a2 + 4b ≥ 0 và α, β là các nghiệm thực của phương trình x2 − ax − b = 0. Khi đó ta có a) Nếu α khác β thì (U1 − U0 .α)β n − (U1 − U0 .β)αn Un = . (2.12) β−α 12
b) Nếu α = β tức là a2 + 4b = 0 thì Un = nαn−1 U1 − (n − 1)αn U0 . (2.13) 2. Giả sử a2 + 4b < 0 và α, β là các nghiệm phức của phương trình x2 − ax − b = 0. Khi đó ta có ρn sin(n − 1)ϕ ρn−1 sin nϕ Un = − U0 + U1 , (2.14) sin ϕ sin ϕ trong đó ρ và ϕ tương ứng là modul và argument của số phức α ở dạng lượng giác. 2.2.2 Các bài toán. Bài toán 2.5. (Dãy Fibonacci). Xét bài toán: Fn+1 = Fn + Fn−1 , F0 = 0, F1 = 1. Kết quả: số hạng tổng quát Fn được xác định bởi công thức √ √ (1 + 5)n − (1 − 5)n Fn = √ . 2n 5 √ 5+1 Chú ý rằng trong Toán học và thực tế, người ta thường ký hiệu 2 bằng chữ ϕ : √ 5+1 ϕ= ≈ 1, 618 2 và gọi nó là tỷ lệ Vàng, hay tỷ lệ Thần Thánh. Ý nghĩa hình học của tỷ lệ vàng là: tỷ lệ giữa nửa chu vi và cạnh dài của một hình chữ nhật bằng ϕ là tỷ lệ vàng, và hình chữ nhật có tỷ lệ vàng là hình chữ nhật lý tưởng. Bài toán 2.6. (Dãy Lucas). Xét bài toán: Ln+1 = Ln + Ln−1 , L0 = 2, L1 = 1. Kết quả: √ √ (1 + 5)n + (1 − 5)n Ln = . 2n 13
Bài toán 2.7. (Dãy Pell). Xét bài toán: Pn+1 = 2Pn + Pn−1 , P0 = 0, P1 = 1. Kết quả: Công thức số hạng tổng quát của dãy số được cho bởi công thức √ √ (1 + 2)n − (1 − 2)n Pn = √ . 2 2 Bài toán 2.8. Xét bài toán Un+2 = 8Un+1 − 16Un , U0 = 1, U1 = 16. Lời giải. Phương trình đặc trưng x2 − 8x + 16 = 0 có nghiệm kép α = β = 4. Theo công thức (2.13) ta có Un = nαn−1 U1 − (n − 1)αn U0 = n4n−1 16 − (n − 1)4n = (1 + 3n)4n . Bài toán 2.9. Xét bài toán 1 Un+1 = Un − Un−1 , U0 = 1, U1 = . 2 Kết quả: Un = cos nπ/3. 2.3 Dãy không thuần nhất. 2.3.1 Công thức biểu diễn. Mục này trình bày phương pháp xác định dãy số Un+1 = aUn + bUn−1 + f (n), n ∈ N (2.15) theo các giá trị đầu U0 , U1 , biến số n và các hệ số a, b và hàm số f (n). Chúng ta luôn giả thiết rằng U0 , U1 , a, b và f (n) là các số thực. Đối với trường hợp f (n) = c = const ta có các kết quả sau: Định lý 2.3. Cho dãy số tuyến tính cấp hai liên kết với các hằng số a, b, c và hai số nguyên U0 , U1 cho trước dạng (2.15) với n ≥ 1. 14
1. Giả sử a2 + 4b ≥ 0 và α, β là các nghiệm thực của phương trình x2 − ax − b = 0. Khi đó ta có a) Nếu α khác β thì (U1 − U0 .α)β n − (U1 − U0 .β)αn [Sn (β) − Sn (α)]c Un = + , (2.16) β−α β−α trong đó Sn (α) được xác định theo công thức (2.7). b) Nếu α = β tức là a2 + 4b = 0 thì Un = nαn−1 U1 −(n−1)αn U0 +[(n−1)αn−2 +(n−2)αn−3 +..+3α2 +2α+1]c. (2.17) 2. Giả sử a2 + 4b < 0 và α, β là các nghiệm phức của phương trình x2 − ax − b = 0. Khi đó ta có ρn sin(n − 1)ϕ ρn−1 sin ϕ Un = − U0 + U1 sin ϕ sin ϕ sin ϕ + ρn−1 sin nϕ + ρn sin(n − 1)ϕ + .c (2.18) (1 + ρ2 ) sin ϕ trong đó ρ và ϕ tương ứng là modul và argument của số phức α ở dạng lượng giác. 2.3.2 Các bài toán Bài toán 2.10. Xét bài toán Un+1 = −2Un + 3Un−1 + 4, U0 = 3, U1 = 0. Kết quả: Un = (−3)n + n + 2. Bài toán 2.11. Xét bài toán Un+1 = 6Un − 9Un−1 + 3, U0 = 0, U1 = 1. Kết quả: Un = n.3n−1 + [(n − 1).3n−2 + (n − 2).3n−3 + .. + 3.32 + 2.3 + 1].3 15
Bài toán 2.12. Xét bài toán Un+1 = Un + Un−1 + kn2 + ln + m, U0 = p, U1 = q, trong đó k, l, m, p và q là các số đã cho Bài toán 2.13. Xét bài toán Un+1 = 3Un − 2Un−1 + 3n , U0 = p, U1 = q, trong đó p và q là các số đã cho. Bài toán 2.14. Xét bài toán Un+1 = aUn + bUn−1 + kn2 + ln + m + cn , U0 = p, U1 = q, trong đó a, b, c, k, l, m, p và q là các số đã cho, ngoài ra c 6= 0 và c 6= 1. 16
Chương 3 Dãy số lặp tuyến tính cấp ba và cấp bốn. 3.1 Dãy số lặp tuyến tính cấp ba thuần nhất. Trường hợp phương trình đặc trưng có các nghiệm thực phân biệt. Mục này trình bày phương pháp xác định dãy số Un+2 = aUn+1 + bUn + cUn−1 , n ∈ N (3.1) theo các giá trị đầu U0 , U1 , U2 , biến số n và các hệ số a, b, c. Chúng ta luôn giả thiết rằng U0 , U1 , U2 , a, b, c là các số thực. 3.1.1 Các biến đổi cơ bản. Định lý 3.1. Đẳng thức Un+2 = aUn+1 + bUn + cUn−1 , n ∈ N (3.2) tương đương với Un+2 − xUn+1 = (a − x)(Un+1 − xUn ) + (b + ax − x2 )(Un − xUn−1 ) + (c + bx + ax2 − x3 )Un−1 . (3.3) Định nghĩa 3.1. Phương trình x3 − ax2 − bx − c = 0 (3.4) được gọi là phương trình đặc trưng của dãy (3.1). 17
Tiếp theo, giả sử rằng α, β, γ là các nghiệm của phương trình bậc ba Theo định lý Viet ta có  α + β + γ = a, αβ + βγ +γα = −b, αβγ = c.  Vì phương trình bậc ba với các hệ số thực bao giờ cũng có ít nhất một nghiệm thực, nên không mất tính tổng quát, chúng ta có thể giả thiết rằng α là số thực. Trong (3.4) lần lượt thay x bằng α, β, γ. Đối với x = α ta có Un+2 − αUn+1 = (a − α)(Un+1 − αUn ) + (b + aα − α2 )(Un − αUn−1 ). (3.5) Đặt Vn (α) = Un+1 − αUn . (3.6) Các đại lượng Vn (α), n = 0, 1, 2 được biểu diễn theo các đại lượng đã biết U0 , U1 , U2 . Khi đó hệ thức trong (3.5) được viết ở dạng Un+2 − αUn+1 = Vn+1 (α) = (a − α)Vn (α) + (b + aα − α2 )Vn−1 (α). (3.7) Dãy Vn (α) trong (3.7) là dãy số lặp tuyến tính cấp hai đã được nghiên cứu trong Chương 1. 3.1.2 Công thức biểu diễn h U − (α + γ)U + αγU i αn − β n n 2 1 0 Un = U0 α + β−γ α−β h U − (α + β)U + αβU i αn − γ n 2 1 0 + − . (3.8) β−γ α−γ Đổi chỗ α tương ứng với β và γ ta có các công thức biểu diễn tương ứng. 3.1.3 Các bài toán Bài toán 3.1. Xét bài toán Un+2 = 6Un+1 − 11un + 6Un−1 , U0 = 0, U1 = 1, U2 = 2. 18