Trần Mậu Quý - http://quyndc.blogspot.com
ĐỀ THI CHỨNG CHỈ CAO HỌC
CƠ SỞ GIẢI TÍCH HIỆN ĐẠI - KHÓA 15
Thời gian làm bài: 150 phút
Câu I. Cho (X, T)là một không gian tôpô. Chứng minh rằng
1. Với mỗi tập Atrù mật trong Xvà mỗi tập mở U⊂Xta có
U=U∩A.
2. Với mỗi tập đóng F⊂Xvà mỗi tập A⊂Xta có
int(F∪intA) = int(F∪A).
3. Với mỗi tập A⊂Xta có X\A=X\intA.
Câu II. Kí hiệu X=R, F ={1
k|k∈Z∗}. Với mỗi n∈N∗, mỗi x∈X, ta đặt
Vn(x) = (x−1
n, x +1
n)và
B(x) = ({Vn(x)|n∈N∗}nếu x6= 0
{Vn(x)\F|n∈N∗}nếu x= 0
Chứng minh rằng họ {B(x)|x∈X}xác định một tôpô trên Xsao cho B(x)
là một cơ sở lân cận của điểm x, và với tôpô này Xlà T2−không gian nhưng
không phải là T3−không gian.
Câu III. Cho X={x= (xn)∞
n=1 |xn∈Rvới mọin∈N∗}.
1. Với mỗi n∈N∗ta đặt pn(x) = |xn|với mọi x∈X. Chứng minh rằng
P={pn|n∈N∗}là họ các nửa chuẩn trên Xvà tách. Suy ra Xvới tôpô
Tsinh bởi họ nửa chuẩn Plà lồi địa phương.
2. Với x= (xn)n,y= (yn)n∈Xta đặt
d(x, y) =
∞
X
n=1
2−n|xn−yn|
1 + |xn−yn|
Chứng minh rằng (X, d)là một không gian mêtric.
3. Gọi T∞là tôpô sinh bởi mêtric d. Chứng minh rằng mọi dãy trong Xhội tụ
theo T∞thì hội tụ theo tôpô T. Hai tôpô Tvà T∞có tương đương không?
Câu IV. Cho µlà một độ đo và flà một hàm khả tích ứng với độ đo µ. Với
mỗi tập đo được Eta đặt
ν(E) = Z
E
fdµ.
Chứng minh νlà một độ đo có dấu và liên tục tuyệt đối đối với µ.
——————————————————————————————–
Ghi chú: Học viên được sử dụng tài liệu khi làm bài.
Trần Mậu Quý - http://quyndc.blogspot.com
BỘ GIÁO DỤC &ĐÀO TẠO ĐỀ THI CHỨNG CHỈ CAO HỌC - K15
ĐẠI HỌC HUẾ Môn thi: MAPLE - L
A
T
EX
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM Thời gian làm bài: 120 phút
Câu I. Cho đa thức f=x3−5x2+ 4x+ 5 ∈Q[x]
1. Dùng Maple để chứng tỏ fbất khả quy
2. Gọi αlà một nghiệm của f. Tìm dạng nhân tử hóa của ftrong Q(α)[x]
3. Chứng tỏ fcó 3 nghiệm thực. Xác định 3 nghiệm thực đó.
Câu II. Viết ít nhất một thủ tục bằng Maple được chọn trong bảng các đề tài
lập trình đã cho. Nộp file .mws chạy trong Maple 9.5.
Câu III. Soạn thảo văn bản ở trang 2 bằng L
A
T
EX. Nộp file tex chạy trong
MikTex, dùng gói tiếng Việt
\usepackage[tcvn]{vietnam}
Câu IV. Trình chiếu văn bản ở trang 2 bằng định dạng pdf. Nộp file pdf.
————————————————Hết————————————————
Ghi chú: Sinh viên được sử dụng tài liệu khi làm bài.
1
Trần Mậu Quý - http://quyndc.blogspot.com
1ĐA TẠP AFIN
1.1 ĐỊNH LÍ KHÔNG ĐIỂM HILBERT
Định lí 1 (Không điểm Hilbert, dạng 2). Cho mở rộng trường K⊂Lvà l
đóng đại số. Khi đó mọi iđêan J⊂K[x1, x2, ..., xn], ta có I(Z(J)) = √J.
Chứng minh. Ta chứng minh rằng định lí trên tương đương với (7). Ta đa biết
√J⊂I(Z(J)). Với f∈I(Z(J)) và f6= 0. Xét iđêan J1của K[x1, x2, ..., xn, t]sinh ra
bởi Jvà ft−1. Nếu có (a1, a2, ..., an, t)∈An+1
Lthuộc Z(J1)thì (a1, a2, ..., an)∈Z(J)
và do đó t0f(a1, a2, ..., an)−1 = −1. Mặt khác, do (a1, a2, ..., an, t0)∈Z(J1)ta có
t0f(a1, a2, ..., an)−1 = 0. Vô lí. Vậy Z(J1) = ∅. Suy ra J1= (1). Tồn tại biểu diễn
1 =
n
X
i=1
gifi+ (tf −1)g, với fi∈J, g, gi∈K[x1, x2, ..., xn, t]
Xét ánh xạ
β:K[x1, x2, ..., xn, t]−→ K(x1, x2, ..., xn, t)
xi7−→ xi
t7−→ 1
f
Khi đó 1 =
n
P
i=1
β(gi)fi. Đặt β(gi) = hi
fnivới hi∈K[x1, x2, ..., xn]và r=max{n1, n2, ..., nm}.
Khi đó fr∈(f1, ..., fm)⊂J. Vậy f∈√J. Ngược lại, từ (9), nều Z(J) = 0 thì ta
có √J=I(∅) = K[x1, x2, ..., xn]. Suy ra J=K[x1, x2, ..., xn]. Vô lí.
Định lí 2 (Không điểm Hilbert). Cho J⊂K[x1, x2, ..., xn]là một iđêan và
f∈I(Z(J)). Khi đó tồn tại r∈Nsao cho fr∈J.
1.2 CHIỀU CỦA (TỰA) ĐA TẠP AFIN
Mệnh đề 3.
(i) Các ánh xạ Ivà Zđảo ngược thứ tự bao hàm.
(ii) Với mọi Y1, Y2⊂An, ta có I(Y1∪Y2) = I(Y1)∩I(Y2).
(iii) Cho Jlà một iđêan tùy ý của K[x1, ..., xn]. Khi đó I(Z(J)) = √J.
(iv) Cho Y⊂An. Khi đó Z(I(Y)) = Y.
2
Trần Mậu Quý - http://quyndc.blogspot.com
BỘ GIÁO DỤC &ĐÀO TẠO ĐỀ THI CHỨNG CHỈ CAO HỌC - K16
ĐẠI HỌC HUẾ Môn thi: MAPLE - L
A
T
EX
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM Thời gian làm bài: 120 phút
Câu I. Cho đa thức f=x3+ 5x2+ 2x−5∈Q[x]
1. Dùng Maple để chứng tỏ fbất khả quy.
2. Chứng tỏ fcó 3 nghiệm thực. Xác định 3 nghiệm thực (gần đúng) đó.
3. Gọi αlà một nghiệm của f, hãy biểu diễn (α2−1)−1∈Q(α)như một đa
thức theo αcó bậc không quá 2.
4. Phân tích fthành tích các nhân tử bậc nhất trong một trwongf mở rộng
của Q.
Sản phẩm nộp là file .mws chạy trong Maple 9.5.
Câu II. Hãy đưa ra vài ứng dụng của Maple trong giảng dạy toán phổ thông và
đại học. Nêu các bình luận về việc sử dụng Maple trong nghiên cứu và giảng dạy.
Câu III. Soạn thảo văn bản sau (đề thi mẫu)1bằng L
A
T
EX. Nộp file tex chạy
trong MikTex, dùng gói tiếng Việt
\usepackage[utf8]{vietnam}
Câu IV. Trình chiếu văn bản sau (đề thi mẫu) bằng định dạng pdf. Nộp file pdf.
———————————————Hết———————————————
Ghi chú: Sinh viên được sử dụng tài liệu khi làm bài.
1Xem văn bản ở trang 4 - C.M.Q
3
Trần Mậu Quý - http://quyndc.blogspot.com
BỘ GIÁO DỤC &ĐÀO TẠO Họ và tên thí sinh:.....................................
ĐẠI HỌC HUẾ Số báo danh: .............................................
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM
ĐỀ THI MẪU
Môn thi: ĐẠI SỐ
Thời gian làm bài: 120 phút
—————————————————————————————————————
Câu I. Trên tập hợp G= [0,1) = {x∈R|0≤x < 1}, xét phép toán ⊕định bởi
∀x, y ∈G, x ⊕y=x+y−[x+y](ở đây [x+y]là phần nguyên của x+y).
Chứng minh:
1) (G,⊕) là một nhóm aben;
2) Ánh xạ f:G−→ C∗định bởi f=cos(2πx) + isin(2πx), là một đồng cấu
nhóm từ G vào nhóm nhân các số phức khác 0.
Câu II. Cho Avà Blà các iđêan của vành R. Vành Rđược gọi là tổng trực tiếp
của các iđêan Avà B, kí hiệu R=A⊕B, nếu R=A+Bvà A∩B={0}. Chứng
minh rằng:
1) R=A⊕Bnếu và chỉ nếu mọi phần tử x∈Rđều biểu thị duy nhất dưới
dạng x=a+btrong đó a∈A, b ∈B.
2) Vành số nguyên Zchỉ có sự phân tích tầm thường, tức là nếu Z=A⊕B
thì A={0}hoặc B={0}.
Câu III. Cho Tlà một phép biến đổi tuyến tính của khôg gian vec tơ Vvà
x∈V. Chứng minh rằng nếu tồn tại số mnguyên dương sao cho Tm(x) = 0 và
Tm−1(x)6= 0 thì hệ (x, T (x), ..., T m−1(x)) độc lập tuyến tính.
Câu IV. Cho A∈M(n, K), với n≥2, là một ma trận vuông cấp nlấy hệ tử
trong trường K. Kí hiệu e
Alà ma trận phụ hợp của A. Chứng minh rằng:
1) Nếu Akhông suy biến thì e
Akhông suy biến.
2) Nếu rank(A) = n−1thì rank(e
A) = 1.
3) Nếu rank(A)≤n−2thì e
A= 0.
Câu V. Cho Alà một ma trận vuông cấp ntrên trường F. Chứng minh rằng:
rank(A)−rank(A2)≥rank(A2)−rank(A3).
Hãy tổng quát hóa kết quả trên.
———————————————————————————————–
Ghi chú: Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
4