Tổng hợp kiến thức về phương trình - Bất phương trình hữu tỉ, vô tỉ, mũ, logarit: Phần 2

Chia sẻ: đời Như Gió Bay | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:107

Thêm vào BST

Báo xấu

204
lượt xem 17
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Nối tiếp nội dung phần 1 tài liệu Phương trình - Bất phương trình hữu tỉ, vô tỉ, mũ, logarit, phần 2 giới thiệu tới người đọc các nội dung: Phương trình, bất phương trình mũ; phương trình, bất phương trình logarit. Mời các bạn cùng tham khảo.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Tổng hợp kiến thức về phương trình - Bất phương trình hữu tỉ, vô tỉ, mũ, logarit: Phần 2

ChUcfng 3. PHtfCfNG TRINH, BAT PHlJdNG TRINH MU A. Tom tit ly thuylt 1. Cac cong thijfc bien doi dai so: Duai day la cac cong thiic h'lkn d6i ca ban \h luy thua, ap dung de bien doi cac phuang trinh mu: , in oam,^ < a a' a vai a , 6 > 0 , m 6 E . ' a'"-b'"=iabr,^ = 1 I— - a"* = _ , ^ a ' " = a " vai a > 0,6 e ! , / « , « e Z \ a 2. Cac npi dung ve giai tick: - • Tap xac dinh va tap gia tri: • - Ham so luy thua y = x'' c6 tap xac dinh nhu sau: Neu a e thi x € M, neu a e Z " u { 0 } thi X G ] R \ { 0 } , ngu a Z thi x e - Ham s6 mvi y ^ vox Q < a ^ \i tap xac dinh la R va tap gia tri la M"". ,^ • Dao ham cua cac ham s6 (x") = x""',{a'')' = a'\na. • Tinh dan dieu cua ham s6: , - Neu a > 1 thi cac ham SO = a"" dong bien. - N6u 0 < a < 1 thi cac ham s6 y = a'' nghich bi6n. • Giai han cua ham so: - V a i a>\, tac6 cac giai han sau lim a" = +oo, lim a" = 0. JC->+-00 - V o i 0 < a < 1 ta CO cac giai han sau lim a" = 0, lim a"" = +oo. 182
3. Cdc dgingphirfftig trlnh ca ban: 5^,;; ; -n, , ? / :i) • Phuongtrinh a" =m vai ni>0, luonc6nghiemduy nhat la x = log„m. • Phuong trinh a^^"^ = a^'-"^ / ( x ) = g{x) do tinh don dieu cua ham s6 mii. • Phuong trinh a^*""' =ft^*""^voi a^b thi tinh logarit ca s6 a true tiSp hai ve, ta duge ~ - log4a^^^') = log4M)«/(x) = g(x)-Iog,6. - Day la cae dang eo ban va noi ehung hau het cae phuong trinh mu va logarit tir ea ban den nang cao deu phai thong qua. Trong goc nhin nay, eon mot so dang pho bien nhu phat hien tinh doi xung de chia va dat §n phu, biSn doi ap dung eong thuc thich hop de dua ve eung ca so, ... 4. Cdc dfing bat phuang trlnh mu ca ban: Tuang ung voi cae dang cua phuong trinh, bat phuong trinh ciing eo eac dang cabannhusau: • Dang a'' > 6 vai 0 < o 7i 1 : ta c6 2 truang hop nhu sau: " ' - N6u 6 < 0 thi bit phuong trinh nghiem dung vai moi x. - Ngu 6 > 0 thi ta CO x> log„h neu a > 1 va A:< log„h neu a
= 1,«-1 thi ddu cua ham so f{x) khong doi vd triing vai ddu cua mot diem bdt ki thuoc khodng do. Ta ihky rSng k^t qua nay cung tuong tu nhu viec lap bang xet diu cho mot ham so, mot cong viec kha quen thuoc. Khi do, nlu xet mot bit phuomg trinh CO dang / ( x ) < 0 hoac / ( x ) > 0 , ta chi can xet phuong trinh tuong ung la / ( x ) = 0 roi giai no ra de tim cac nghiem, xet ddu cua ham s6 giua cac khoang do (thay cac gia tri cu thI vao) r6i so sanh voi yeu cSu 6k bai la hoan tit. Cach nay giup ta tan dung dugc cac bien doi dudi dang dang thuc cua mot phuong trinh cung nhu han che dugc viec lam dung cac tinh chat cua ham s6 va tinh toan phuc tap. Ngoai ra, ta ciing c6 cac danh gia sau (dang rut ggn cua cac danh gia da neu d tren): - Voi Q
Dat/ = 0,taCO 't = 2 3/^+2/ + l = 0 ' De thay phiromg trinh thu hai v6 nghiem nen phuang trinh tren c6 nghiem la t = 2. Vai t = 2 thi X = 4 nen phuang trinh tren c6 nghiem la x = 4. Vi du 2. Giai phuang trinh 2"' = 1 6 ' ' . L&igidL Ta c6 4-2' _ ^2-" -.2"^ 2'*' = 16'' 2'" = T'' « 2'" = 2 ' " « •>4x 2'^ = T2X + 2 4x = x + 2jc = - . 3 Vay phuang trinh da cho c6 nghiem duy nhat la ^ = " j • 2x-3 V i du 3. Giai phuang trinh 3^"' • 4 ^ = 18. LoigidL *) Dieu kien xac dinh jc 9^ o . Ta c6 2x-3 4x-6 6-3x 3^^-'-4^ =18«3^'-'-2^ = 2 - 3 ' « 3 ^ ' - " =2" Lay logarit ca so 3 hai ve, ta dugc 2 , 6-3x x'-4 = log, 2 « ( x - 2)(x + 2)x + 3(x - 2) logj 2 = 0 (x - 2) + 2) + 3 log3 2] = 0 x-2 =0 x=2 x(x + 2) + 31og32 = 0 (x + 1)' +31og3 2 - l = 0 D I thiy phuang trinh thu hai v6 nghiem nen phuang trinh ban dau c6 nghiem la X = 2. V i du 4. Giai phuang trinh sau 2^"' • 3" = 4^' • 3 6 ^ . L&igidL *) Dieu kien xac dinh: x^-l. 185
2x Taco 2^^'-3'=4^ • 36^^' o 4 • 6" = 4 ' •6^^'o4'-^ =6'^'. Lay logarit ca so 4 hai v l , ta duQfc log4 6 « (1 - x) [(x +1) - X log4 6 = 0 x+1 "l-x = 0 , x=l (x +1)' - x l o g ^ 6 = 0 " [ x ' + x(2 -log4 6) + 1 = 0 D I th4y phuomg trinh thu hai v6 nghiem nen phuomg trinh ban dhu c6 nghiem la x = l . V i du 5. Giai phuong trinh sau ( 5 ^ " ' + ( s ^ = [l"''- 6 • (2"* J. Z,^i^/fl£ Phuomg trinh da cho tuomg duomg voi O 26 • 5^ =26-r « 5' =r o (x' + 3x) log^ 5 = x' + 6x « x[(x + 3) log2 5 - (x + 6)] = 0 "x = 0 ' --i^^ - -- • 6-31og,5 , 64 logjS-l 125 64 Vay phuomg trinh da cho c6 hai nghiem phan biet la x = 0,x = log. 125 V i du 6. Giai bdt phuomg trinh sau 3^^''^' > (DH Bach khoa Ha Noi 1997) X > 2 J- , L&i gidL * ) DiSu kien xac dinh: x^ - 2x > 0 | x - l | < x < = > - x < x - l < 1 > - thi bat phuomg trinh (*) luon dung. ^ , _ 186
NSu \x-\\-x>0^x\-2x, binh phuong 2 vS, ta dugc - 2x > 1 - 4x + - 2x +1 < 0, v6 nghiem. Do do, nghiem cua bat phuong trinh da cho la x > 2. : . 4" +2x-4 Vf du 7. Giai bat phuong trinh sau x-1 < 2. (DH Van Hoa Ha Noi 1997) Led giai *) Dieu kien xac dinh x*\. Ta c6 x-\ Ta CO 2 truong hcfp: 4^-2l 1 4^-2>0 f4^>2 x>log42 = - 1 -Neu < 2 o-
Huong din bai tap phan 1 1. Xet phuomg trinh 5" + 5""' + 5^"' = 3" + 3""' + 3""'. Ta c6 5^(1 + 5 + 5') = 3^(1 + 3 + 3') « 5^-31 = 3^-31 «5^=3^« = 1 < » x = 0. .3j Vay phuong trinh da cho c6 nghiem la x = 0. 2. Xet phuomg trinh 5" • 8 ^ = 500. D i l u kien x ^ 0. Ta CO 3(x-l) 3x-3 3-x 2- 5^-2 ' =2'-5'5^-'=2'" - «5^-'=2- Lay logarit co so 2 hai vS, ta c6 3-x 1 X = 3 (X-3) log, 5 = o(x-3) log2 5 + - = 0 X y xj x = -log5 2 Vay phuomg trinh da cho c6 2 nghiem la x = 3 hoac jc = - log, 2. 3. Xet phuomg trinh sau Is"-ll + ls"^^-125 =4-5'*\ Taco 5 ^ - l > 0 » x > 0 va 5 ^ * ^ - 1 2 5 > 0 « 5 ^ > 5 « x > 1. Ta xet cac truomg hop sau: -NSu x
1 x=l 5(jc-2) = - ( x ^ + x + 3 ) « x ^ + 6 x - 7 = 0 x = -7 Vay phuomg trinh da cho c6 2 nghiem \a x = \,x = - 7 . 5. Ta CO 10 + 6V3 = (Vs +1)^ nen phuomg trinh da cho tuomg duomg voi (73 +1)'^'"^ = (73 + if""'' « 6 sin X = 2 sin X • cos X • cos 2x » sin x(cos X • cos 2x - 3) = 0 Do cos X • cos 2x - 3 < 0, Vx nen phuomg trinh nay chi c6 nghiem la sinX = 0 X = kn:,keZ. 6. Xet bit phuomg trinh 243 • 2"'"' > 32 • 7 \ Ta CO 7' • 2"'-' >2' -r 0 2 x>0 3^-3-2^ > 0 2) ^, khong thoa man. 3^-2^ < 0 x
2) Phuong phap dat an phy. Nhan xet: Trong phucmg phdp nay, ta se gap cdc phucmg trinh c6 su xudt hien cua mot bieu thirc ndo do nhieu Idn vd dieu ndy dinh huang cho ta dat bieu thirc do 1dm an phu de bdi todn duac dan gidn di. Chit y rdng khi dat dn phu nhu the, cdn tim mien gid tri cua bieu thirc do de tuang irng suy ra dieu kien xdc dinh ciia phuang trinh vai biin mai. Trong phdn ndy, ta c6 cdc dang dn phu chu yeu nhu: • /(gix)) = 0 thi dat t = g{x), dua vi phuang trinh f (t) = 0. dat t = , dua At^ -\- Bt + C = 0, trong do a^b. ' • A • fl'^+ B • +C • = 0, chia 2 vi cho a'«'^* > 0. ',duavg ^r^+5/ + C = 0 . 1 Vi du 1. Giai phucmg trinh 27^ = 9 ^ + 3" - 3. LM gial Ta bien doi nhu sau: (3' )^ = 3 • (3' )^ + 3" - 3. Dat ^ = 3"^ > 0 thi = 3/' + / - 3 « - 3)(/ -1)(/ +1) = 0 /=3 >=3 'x = \ t =\ 3^=1 x =0 Vay phuofng trinh da cho c6 2 nghiem la x = 0, x = 1. x-^ jc-3 3x+l Vi dy 2. Giai phuomg trinh 8^*^ + 2^^^^ = 2 _ 2. L^/^/ai *) Dieu kien jf 7 i - 2 . Ta CO 1 - ^ 3--^ ' . 2 ^+2+2 ^2 _2
-— 1 Dat y^l > o , t a c 6 4 / - 3 ; ; =-1«(:i; + l)(2>'-l)'= 0 7 = - . Do do 2 ^ -1 o = - l « x = 3. 2 da xcho Vay phuomg trinh + 2c6 nghiem la jc = 3. Vi du 3. Tim m dS phuomg trinh sau c6 hai nghiem trai diu: (/M + 3)16"+(2w-l)4'^+7M + l - 0 . / Lei gidl Dat / = 4"^ > 0. Ta c6 phuomg trinh {m + 3)/^ + {2m -1)/ + w +1 = 0. Ta can tim m sao cho phuomg trinh nay c6 2 nghiem t^,t^ thoa man 0 < /, < 1 < ^2 . Tmoc het, ta can tim dieu kien de phuomg trinh nay c6 2 nghiem deu duomg, tucla A>0 (2m-l)^-4(w + l)(m + 3)>0 S > 0 -i 2m-\ m + 7>>0 11_ 20 P>Q m+1 >0 l/n + 3 Dat tilp M = r -1 / = M +1 thi ta dua \k phuong trinh (m + 3)(« +1)^ + {2m - 1)(M + l) + m + l = 0
L&igidL Phuang trinh da cho tuong duong vol 1 1 ^x-\ + m + 2 = 0. ( 2X--'K) 2 1 Dat / = — > 0 , ta thay xe[0;1]/e[1;2]. Ta can tim m sao cho phuong trinh da cho c6 dung 1 nghiem thuoc midn [1;2]: -t + m + 2 = 0. 1 Dat / ( 0 - r - / + 2 vol ^ e M , t a c 6 / ' ( 0 = 2 / - l hay/'(O = 0 o r = | . Ngoai ra, /(1) = 2 , / ( 2 ) = 4 nen lap bang bifin thien, d l dang suy ra / ( 0 = -m CO nghiem duy nhit thuoc [1;2] khi -4
3 « 9 -25- + 16>0 4) 16 Dat / = t> >0 thi 9/^-25/ + 1 6 > 0 < = > ( / - l ) ( 9 / - 1 6 ) > 0 < » 9 . 4, /2 '/'^-^ - Vai r < l , t a c 6 x^+x-6>0 16 -Vai / > —,tac6 -i-Vi7 ^ -1 +
Bai tap phan 2 1. Giai phuomg trinh 9^'"'"' -10- 3^'^^"' + 1 = 0 (Dy bi DH khSi B 2006) 2. Giai phuomg trinh 2' _22+--• =3 (DH khoi D 2003) 3. Giai phucmg trinh 2'^-6-2^-^3i^ + p = l (DH Y Ha Noi 2000) 4. Giai bat phuong trinh 3'' - 8 • 3"^"^ - 9 • 9 ^ > 0 (DHSP Ha Noi 2000) 5. Giai bit phuomg trinh 27'' +12"^ > 2 • 8"^ 6. Giai phuomg trinh ^Jl + ^l-l^" = (l + 2^1-2^^)• 2" 7. Giai bat phuong trinh V9 + 8 - 3 ^ - 9 ^ + 3 ^ > 5 (DH SP Ha Noi 2012) zx-2 8. Giai phuomg trinh ( 6 - + (6 + s[\\y =9A-5' 9. Giai bit phuomg trinh Vl5-2''^'+l > 2^^ -1 + 2"^' (DubikhdiA2003) Huong dan giai bai tap phan 2 1. Xet phuong trinh 9'''^"-' -10-3"'^"-' +1=0. Dat / = 3''""^ > 0 thi phuong trinh da cho viSt lai thanh 't = \ 9 r - 1 0 / + l = 0 1 • 9 x=l -Vdd / = 1 thi 3 ^ ' ^ ' ' - ' = l « x ' + x - 2 = 0 o x = -2" x=0 ^ - V o i t = - thi 3 ' ' " ^ - ' = - « x ' + x = 0 « 9 9 x =- l • Vay phuomg trinh da cho c6 4 nghiem la x = -2, x = -1, x = 0, x = 1. ; , 2. Xet phuomg trinh 2 ' ' - 2'^""^' = 3. . , ^,. v '••:w ^V + £ - ^ Dat / = 2'' >0,tac6 / - y = 3 < » / ^ - 3 / - 4 = 0 « /=4
x=2 Ta chi nhan nghiem t = 4>0 va khi do 2'' = 4 x" - x = 2 x=- l Vay phuong trinh da cho c6 nghiem la x = - l , x = 2. 3. Xet phuang trinh 2'"-6-T + ^ = 1. 2^ Dat / = 2">0 taco 2 ^ 3 _ 6 / - l + l ^ = l « / ^ - 3 . / ^ . - + 3-/- =1 V t 2^ r =- l t — = = lr^-/-2 = 0-» / =2 Ta chi nhan nghiem t = 2>0 va khi do x = log^ 2 1. Vay phuang trinh da cho c6 nghiem duy nhit la x = 1. 4. Xet b i t phuang trinh 3'" - 8 • 3 " ^ ^ - 9 • 9 ^ > 0. 1. Dieu kien xac dinh: x > -4. Bat phucmg trinh da cho tuang duang voi 3^' - 8 - 3 ' .2^-9-3^^ > 0 « 32--2^/^ _ 8 . 3 - - V ^ - 9 > 0. Dat / = 3 " - ^ > 0 thi - 8 / - 9 > 0 (/ + l ) ( / - 9 ) > 0 » / > 9. - Vai / >9x-Vx + 4 >logj9 = 2 o x - 2 > Vx + 4 . Dat dieu kien x > 2, binh phucmg 2 ta dugc x^-4x + 4 > x + 4x^-5x>0x>5. Ket hap lai, ta thay nghiem cua bat phuang trinh da cho la x e (5;+QO). 5. Xet bat phuang trinh 27^ +12^ > 2 • 8 \ / 2 f Ta bien doi nhu sau >2. v2. 2) Dat / = > 0 thi ta CO + / > 2 0 / > 1. v2y Dodo >l«x>0. 195
Vay nghiem cua bat phuang trinh da cho la jc e (0; + 0 0 ) . 6. Xet phuang trinh + = (l + 2^1-2'^) • 2'. DiSu kien 1 - 2^"^ > 0 X < 0. Dat t = yjl-l^' thi 0 < / < 1, suy ra 2^' =\-t^
Chu y r&ig (6 + y/U 6-vrT = 1 nen neu dat / = 6+ViT >0 thi \ '6-VrT t Ta CO phuang trinh r + - = — « 25?^-94t + 25 = 0^t = "^"^ -^^VlT t 25 25 ^ 47+i2Vn ^ , (6+VrT 47 + 12^/^T 0,tac6 V30/ + 1 > | / - l | + 2/. - - - Ta CO 2 truang hap sau: - N g u / > l , t a c 6 V307+T>3f-1. Chiiy rang 3 / - l > 0 vai / > ! nentaco ^ferf 30t + \>i3t-\f ^9t^-36t
V i du 1. Giai phuong trinh 25 • 2^ -10^ + 5^ = 25. L&igidL TabiSn d6i nhu sau 25-2^-2^-5'+5"-25 = 0 « 2^(25 - 5^) + (5^ - 25) = 0 » (2' -1)(5^ - 25) = 0 2^ = 1 x =0 y = 25 x=2 Vay phuong trinh da cho c6 nghiem la jc = 0, x = 2. V i du 2. Giai phuong trinh sau 4x' + 2x.2''^' +3.2"' = x'.V' + 8x +12. Lcfi gidu Phuong trinh da cho tuong duong voi x'(2"'-4) + 2JC(4-2"') + 3(4-2"') = 0 • (2"' - 4)(x' - 2x - 3) = 0 2"' - 4 = 0 V - 2x - 3 = 0 x = ± \ ^ , x = - l , x = 3 Vay phuong trinh da cho c6 cac nghiem la x = ±V2, x = -1, x = 3. V i du 3. Giai phuong trinh ( V 3 - l ) " " ' % x ( V 3 = x ' +1. f r- - L&igidL *) Dieu kienxac dinh: X > 0. Phuong trinh da cho tuong duong voi (nhan them 2 v6 cho (yfs+lf'^''' > 0 ) : (V^+if"[(V3-i)'""+x(V^+if'^] = (V^+i)'"^^(x^+i) " ; \ «2'-'+x(V3+lp"=(V^-flp(x^+l) . - O x + x(V^ + l p " =(V5 + l ) ' " " ( x ^ + l ) s / 1— \21og2J: 21og2Jt X + 1 = V3 + 1 (x^+l)o = -^^ Ta thay dang thuc 'a = b o a b + b = ab + a {a-b)(ab-1) = 0 a ab = \ 198
Ta CO hai tnrcmg hop sau .-N ; - - N6u X = (V3 +1)'°^^'' thi lay logarit co s6 2 hai v l , ta dugc logj jc = log2(>/3 + l).Iog2 X logj X = 0 X = 1, thoa man dieu kien xac dinh. - Neu x(\f3 +1)^°^'" = 1 thi cung lay logarit co s6 2 hai vg, ta duac log2X + log2xlog2(>/3 + l ) = 0 < » l o g 2 X l + log2(>/3+l) =0 log2 X = 0 «> X = 1. ma'! Vay phuang trinh da cho co nghiem duy nhat la x = 1. Vi du 4. Giai phuang trinh 4" - 2"^' + 2(2" -1) sin(2" + -1) + 2 = 0. (Du bi khSi D 2006) L&igidL Phuang trinh da cho tuang duomg voi (2'" - 2.2" +1) + 2(2" -1) sin(2" + -1) +1 = 0 o (2" - 1 ) ' + 2(2" -1) sin(2" + > ' - ! ) + sin' (2" + -1) + cos' (2" + -1) = 0 -l2 2" - 1 + sin(2" +y-1)J' + cos'(2" + 7 - 1 ) = 0 2"+sin(2"+>'-l) = l _ cos(2"+>'-l) = 0 Do cos(2" + -1) = 0 sin(2" + -1) ± 1 . Ta CO hai truong hop sau -Ndu sin(2" + >; -1) - 1 thi 2" = 0, v6 nghiem. -N6u sin(2"+>;-l) = - l thi 2" = 2 < : ^ x = l . • " TT Suy ra sin(j + l) = = -—-\ k27r,k e Z . Vay phuang trinh da cho c6 nghiem la x = l,>' = - — - 1 + kin,k e Vi du 5. Giai bat phuang trinh 2"^'+ (5x'+11) • 2'-" - x ' < 24 - X[1 - ( x ' - 9) • 2^"". LcigiaL Dat r = 2",r > 0, bdt phuang trinh da cho tra thanh: , 10x'+22 2 ^/ ^'-9x 2t + x'
I « 2 / ^ - [ x ^ - x + 24)t + 22 + 9x + \0x^-x^ 0 2-2^-x'-x-2>0 r+ x-ll 0 Xet ham s6 / ( x ) = 2" + x -11 thi / ' ( x ) = 2Mn 2 +1 > 0 nen no dong biSn tren R. Mat khac, / ( 3 ) = 0 nen ta c6 / ( x ) > 0 « x > 3 va / ( x ) < 0 » x < 3. Xet ham s6 g(x) = 2 - 2 " - x ' - x - 2 tren M. Taco g\x) = 2 • 2^ • In 2 - 2x ii> g'Cx) = 2-2^ (In 2f-2=^ g"'(x) = 2 • 2^ (In 2)' > 0 Mat khac g(0) = g(l) = g(2) = 0 nen phuomg trinh g(x) = 0 c6 ba nghiem la X = 0,x = l,x = 2. Lap bang xet ddu ciia ham s6 g(x) tren cac khoang (-oo;0),(0;l);(l;2);(2;+oo), ta c6: • g(x)>0«xe(0;l)u(2;+oo). . g(x)
\g(x)>0 0