intTypePromotion=1
zunia.vn Tuyển sinh 2024 dành cho Gen-Z zunia.vn zunia.vn
ADSENSE

Tự ôn toán với các công thức tính đạo hàm giới hạn và vi phân - 2

Chia sẻ: Le Nhu | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:6

504
lượt xem
56
download
 
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tham khảo tài liệu 'tự ôn toán với các công thức tính đạo hàm giới hạn và vi phân - 2', tài liệu phổ thông, ôn thi đh-cđ phục vụ nhu cầu học tập, nghiên cứu và làm việc hiệu quả

Chủ đề:
Lưu

Nội dung Text: Tự ôn toán với các công thức tính đạo hàm giới hạn và vi phân - 2

  1. y y '  lim x  0  x Đạo hàm bên trái: Hàm số f(x) có đạo hàm trên khoảng (a,b) nếu nó có đạo hàm tại mọi điểm - trong khoảng đó, f(x) có đạo hàm trên đoạn [a,b] nếu nó có đạo hàm tại mọi điểm trong khoảng - (a,b), có đạo hàm phải tại a và đạo hàm trái tại b Ví dụ: Tìm đạo hàm của y = x2, y = sinx Đạo hàm của tổng thương tích của hai hàm số: Nếu các hàm số u, v có đạo hàm tại x thì: u + v cũng có đạo hàm tại x và (u + v)’ = u’ + v’ • u.v cũng có đạo hàm tại x và (u.v)’ = u’v + v’u • '  u  u' v  v' u   v2 v u/v cũng có đạo hàm tại x\V(x)0 và  • Đạo hàm của hàm số hợp: Nếu hàm số u = u(x) có đạo hàm theo x, hàm y = f(u) có đạo hàm tương ứng u = u(x) thì hàm số hợp f(u) có đạo hàm theo x và y’(x) = y’(u).u’(x). Đạo hàm của hàm số ngược: Nếu hàm số y = f(x) có đạo hàm tại x, f’(x) ≠ 0 và có hàm số ngược x = f- 1 (y) thì hàm số x = f-1(y) có đạo hàm tại y = f(x): 1 1 ( f 1 )' ( y )   f ' ( x) f '[ f 1 ( y )]
  2. Ví dụ, tìm đạoA hàm của y = arcsinx Đạo hàm các hàm số sơ cấp cơ bản: (c)’ = 0 1 1 (log a x)'  (ln x)'  x ln a x (x)’ = x-1 (ax)’ = axlna 1 1 (arccos x)'   (arcsin x)'  1  x2 1 x2 (ex)’ = ex (sinx)’ = cosx 1 1 (cot gx )'   (arctgx )'  sin 2 x 1 x2 (cosx)’ = -sinx 1 1 (tgx )'  (arc cot gx)'   cos2 x 1  x2 Đạo hàm cấp cao : Nếu hàm số y = f(x) có đạo hàm thì y’ = f’(x) gọi là đạo hàm cấp 1. Đạo hàm, nếu có, của đạo hàm cấp 1 gọi là đạo hàm cấp 2. Ký hiệu: y’’(x), f’’(x) d2y d2 f , dx 2 dx 2 Tương tự, đạo hàm của đạo hàm cấp (n-1) là đạo hàm cấp n. Ký hiệu: f(n)(x), y(n)(x). dny dn f , dx n dx n
  3. Ví dụ: Cho y = x (  R, x > 0), y = kex, tìm y(n) Công thức Leibniz: Giả sử hàm số u, v có đạo hàm liên tiếp đến n. Khi đó ta có: (u + v)(n) = u(n) + v(n) n (uv)( n )   Cn u ( n k ) .v k k k 0 trong đó u(0) = u, v(0) = v 2. VI PHÂN Định nghĩa: Cho hàm số y = f(x) khả vi, ta ký hiệu dy = y’dx (df = f’dx) được gọi  u  vdu  udv d   là vi phân cấp 1 của hàm số f. v2 v Vi phân của tổng, tích, thương: d(u + v) = du + dv d(u.v) = vdu + udv Định nghĩa: Cho hàm số y = f(x) và f(n-1) khả vi, ta ký hiệu d(n)y = y(n)dxn (d(n)f = f(n)dx) được gọi là vi phân cấp n của hàm số f.
  4. 3. CÁC ĐỊNH LÝ VỀ ĐẠO HÀM Định lý Rolle: Nếu f là hàm số liên tục trên [a,b], khả vi trong (a,b) và f(a) = f(b) thì tồn tại c  (a,b) sao cho f’(c) = 0. Định lý Lagrange: Nếu f là hàm số liên tục trên [a,b], khả vi trong (a,b) thì tồn tại c  (a,b) sao cho f (b)  f (a )  f ' (c ) ba Nhận xét: Định lý Rolle là một trường hợp đặc biệt của định lý Lagrange trong trường hợp f(b) = f(a). Định lý Cauchy: Nếu f , g cùng liên tục trên [a,b], khả vi trong khoảng (a,b) và g’(x) ≠ 0, x  (a,b) thì tồn tại c  (a,b) sao cho f (b)  f (a ) f ' (c)  g (b)  g (a ) g ' (c) Nhận xét: Định lý Lagrange là một trường hợp đặc biệt của định lý Cauchy trong trường hợp g(x) = x. Định lý Taylor: Nếu hàm số f khả vi đến cấp (n+1) trong lân cận D của x0 thì x  D, x ≠ x0 thì tồn tại c nằm giữa x và x0 sao cho: f ' ( x0 ) f " ( x0 ) ( x  x0 ) 2  ... f ( x)  f ( x0 )  ( x  x0 )  1! 2! ( n 1) (n) f ( x0 ) f (c ) ( x  x0 ) n 1 ( x  x0 ) n  ...  (n  1)! n!
  5. Số hạng cuối cùng được gọi là phần dư Lagrang f ( n 1) (c ) ( x  x0 ) n1 Rn ( x)  (n  1)! • Đa thức Taylor: f k ( x0 ) n ( x  x0 ) k Pn ( x)   k! k 0 Khi x0=0 thì công thức Taylor trở thành công thức Maclaurin f ( n) (0) n f ( n1) (c) n1 f ' ( 0) f " ( 0) 2 f ( x )  f ( 0)  x x  ...  x x (n  1)! 1! 2! n! L’Hospital khử dựng vô định khi tìm giới hạn Định lý: Giả sử f, g khả vi trong (a,b), g’(x) ≠ 0 với mọi x  (a,b) f ' ( x) f ' ( x)  lim L lim lim f ( x )  lim g ( x)  0 g ' ( x) x  a g ' ( x) x a x a xa Nhận xét: Qui tắc L’Hospital vẫn đúng nếu: lim f ( x)  lim g ( x)  0 lim f ( x)  lim g ( x )   x  x  x a xa
  6. lim f ( x)  lim g ( x )   x  x Qui tắc L’Hospital có thể áp dụng nhiều lần. • 1. Dạng 0/0, / Ví dụ: Tìm các giới hạn sau (dạng 0/0)  x 3  27 tgx  x x  sin x  arctgx lim lim lim x3 lim 2 x2  4x  3 x  sin x x 0 x 0 x 3 1 x  x Ví dụ: Tìm giới hạn sau (dạng /) xn ln x ln x lim lim lim x   e x x   x n x 0  cot gx 2. Dạng 0.,  - : Chuyển chúng về dạng 0/0, /. Ví dụ: 1  tgx ) lim ( cos x x  / 2 lim x 5 ln x lim (4  x 2 )tg (x / 4) x 0  x2 3. Dạng vô định: 00, 1, 0: Ta xét [f(x)]g(x) = eg(x).ln f(x) (f(x) > 0) Ví dụ: 2 1 lim x 1 x lim (cot gx) ln x x 1 x 1 2 lim x x x 0 
ADSENSE

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

 

Đồng bộ tài khoản
6=>0