Tự ôn toán với các công thức tính đạo hàm giới hạn và vi phân - 2
lượt xem 56
download
Tham khảo tài liệu 'tự ôn toán với các công thức tính đạo hàm giới hạn và vi phân - 2', tài liệu phổ thông, ôn thi đh-cđ phục vụ nhu cầu học tập, nghiên cứu và làm việc hiệu quả
Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!
Nội dung Text: Tự ôn toán với các công thức tính đạo hàm giới hạn và vi phân - 2
- y y ' lim x 0 x Đạo hàm bên trái: Hàm số f(x) có đạo hàm trên khoảng (a,b) nếu nó có đạo hàm tại mọi điểm - trong khoảng đó, f(x) có đạo hàm trên đoạn [a,b] nếu nó có đạo hàm tại mọi điểm trong khoảng - (a,b), có đạo hàm phải tại a và đạo hàm trái tại b Ví dụ: Tìm đạo hàm của y = x2, y = sinx Đạo hàm của tổng thương tích của hai hàm số: Nếu các hàm số u, v có đạo hàm tại x thì: u + v cũng có đạo hàm tại x và (u + v)’ = u’ + v’ • u.v cũng có đạo hàm tại x và (u.v)’ = u’v + v’u • ' u u' v v' u v2 v u/v cũng có đạo hàm tại x\V(x)0 và • Đạo hàm của hàm số hợp: Nếu hàm số u = u(x) có đạo hàm theo x, hàm y = f(u) có đạo hàm tương ứng u = u(x) thì hàm số hợp f(u) có đạo hàm theo x và y’(x) = y’(u).u’(x). Đạo hàm của hàm số ngược: Nếu hàm số y = f(x) có đạo hàm tại x, f’(x) ≠ 0 và có hàm số ngược x = f- 1 (y) thì hàm số x = f-1(y) có đạo hàm tại y = f(x): 1 1 ( f 1 )' ( y ) f ' ( x) f '[ f 1 ( y )]
- Ví dụ, tìm đạoA hàm của y = arcsinx Đạo hàm các hàm số sơ cấp cơ bản: (c)’ = 0 1 1 (log a x)' (ln x)' x ln a x (x)’ = x-1 (ax)’ = axlna 1 1 (arccos x)' (arcsin x)' 1 x2 1 x2 (ex)’ = ex (sinx)’ = cosx 1 1 (cot gx )' (arctgx )' sin 2 x 1 x2 (cosx)’ = -sinx 1 1 (tgx )' (arc cot gx)' cos2 x 1 x2 Đạo hàm cấp cao : Nếu hàm số y = f(x) có đạo hàm thì y’ = f’(x) gọi là đạo hàm cấp 1. Đạo hàm, nếu có, của đạo hàm cấp 1 gọi là đạo hàm cấp 2. Ký hiệu: y’’(x), f’’(x) d2y d2 f , dx 2 dx 2 Tương tự, đạo hàm của đạo hàm cấp (n-1) là đạo hàm cấp n. Ký hiệu: f(n)(x), y(n)(x). dny dn f , dx n dx n
- Ví dụ: Cho y = x ( R, x > 0), y = kex, tìm y(n) Công thức Leibniz: Giả sử hàm số u, v có đạo hàm liên tiếp đến n. Khi đó ta có: (u + v)(n) = u(n) + v(n) n (uv)( n ) Cn u ( n k ) .v k k k 0 trong đó u(0) = u, v(0) = v 2. VI PHÂN Định nghĩa: Cho hàm số y = f(x) khả vi, ta ký hiệu dy = y’dx (df = f’dx) được gọi u vdu udv d là vi phân cấp 1 của hàm số f. v2 v Vi phân của tổng, tích, thương: d(u + v) = du + dv d(u.v) = vdu + udv Định nghĩa: Cho hàm số y = f(x) và f(n-1) khả vi, ta ký hiệu d(n)y = y(n)dxn (d(n)f = f(n)dx) được gọi là vi phân cấp n của hàm số f.
- 3. CÁC ĐỊNH LÝ VỀ ĐẠO HÀM Định lý Rolle: Nếu f là hàm số liên tục trên [a,b], khả vi trong (a,b) và f(a) = f(b) thì tồn tại c (a,b) sao cho f’(c) = 0. Định lý Lagrange: Nếu f là hàm số liên tục trên [a,b], khả vi trong (a,b) thì tồn tại c (a,b) sao cho f (b) f (a ) f ' (c ) ba Nhận xét: Định lý Rolle là một trường hợp đặc biệt của định lý Lagrange trong trường hợp f(b) = f(a). Định lý Cauchy: Nếu f , g cùng liên tục trên [a,b], khả vi trong khoảng (a,b) và g’(x) ≠ 0, x (a,b) thì tồn tại c (a,b) sao cho f (b) f (a ) f ' (c) g (b) g (a ) g ' (c) Nhận xét: Định lý Lagrange là một trường hợp đặc biệt của định lý Cauchy trong trường hợp g(x) = x. Định lý Taylor: Nếu hàm số f khả vi đến cấp (n+1) trong lân cận D của x0 thì x D, x ≠ x0 thì tồn tại c nằm giữa x và x0 sao cho: f ' ( x0 ) f " ( x0 ) ( x x0 ) 2 ... f ( x) f ( x0 ) ( x x0 ) 1! 2! ( n 1) (n) f ( x0 ) f (c ) ( x x0 ) n 1 ( x x0 ) n ... (n 1)! n!
- Số hạng cuối cùng được gọi là phần dư Lagrang f ( n 1) (c ) ( x x0 ) n1 Rn ( x) (n 1)! • Đa thức Taylor: f k ( x0 ) n ( x x0 ) k Pn ( x) k! k 0 Khi x0=0 thì công thức Taylor trở thành công thức Maclaurin f ( n) (0) n f ( n1) (c) n1 f ' ( 0) f " ( 0) 2 f ( x ) f ( 0) x x ... x x (n 1)! 1! 2! n! L’Hospital khử dựng vô định khi tìm giới hạn Định lý: Giả sử f, g khả vi trong (a,b), g’(x) ≠ 0 với mọi x (a,b) f ' ( x) f ' ( x) lim L lim lim f ( x ) lim g ( x) 0 g ' ( x) x a g ' ( x) x a x a xa Nhận xét: Qui tắc L’Hospital vẫn đúng nếu: lim f ( x) lim g ( x) 0 lim f ( x) lim g ( x ) x x x a xa
- lim f ( x) lim g ( x ) x x Qui tắc L’Hospital có thể áp dụng nhiều lần. • 1. Dạng 0/0, / Ví dụ: Tìm các giới hạn sau (dạng 0/0) x 3 27 tgx x x sin x arctgx lim lim lim x3 lim 2 x2 4x 3 x sin x x 0 x 0 x 3 1 x x Ví dụ: Tìm giới hạn sau (dạng /) xn ln x ln x lim lim lim x e x x x n x 0 cot gx 2. Dạng 0., - : Chuyển chúng về dạng 0/0, /. Ví dụ: 1 tgx ) lim ( cos x x / 2 lim x 5 ln x lim (4 x 2 )tg (x / 4) x 0 x2 3. Dạng vô định: 00, 1, 0: Ta xét [f(x)]g(x) = eg(x).ln f(x) (f(x) > 0) Ví dụ: 2 1 lim x 1 x lim (cot gx) ln x x 1 x 1 2 lim x x x 0
CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD
-
Tự ôn toán với các công thức tính đạo hàm giới hạn và vi phân - 1
6 p | 551 | 78
-
SKKN: Thiết kế bài tập ôn tập với Hot Potatoes
20 p | 326 | 73
-
Tự ôn toán với các công thức tính đạo hàm giới hạn và vi phân - 3
6 p | 162 | 26
-
Bài giảng Ôn tập về phép cộng và phép trừ - Toán 2 - GV.Lê Văn Hải
13 p | 206 | 25
-
Đề kiểm tra KSCL Toán - Tiểu học Long Phước 1 - Kèm Đ.án
16 p | 214 | 15
-
Hướng dẫn giải bài 1,2,3,4,5 trang 175 SGK Toán 5
3 p | 113 | 11
-
Bài giảng môn Toán lớp 2 sách Cánh diều - Bài 48: Ôn tập về phép cộng, phép trừ trong phạm vi 100
10 p | 144 | 9
-
Giáo án Toán 2 chương 4 bài 1: Ôn tập về phép cộng và phép trừ
7 p | 133 | 8
-
Bài giảng Toán lớp 4: Ôn tập về các phép tính với số tự nhiên
9 p | 22 | 5
-
Bài giảng môn Toán lớp 2 sách Cánh diều - Bài 2: Ôn tập về phép cộng, phép trừ (không nhớ) trong phạm vi 100
16 p | 42 | 4
-
Nội dung ôn tập học kì 2 môn Toán lớp 6 năm 2023-2024 - Trường THCS Thành Công
9 p | 10 | 4
-
Bài giảng môn Đại số lớp 9: Ôn tập chương 1 (Tiết 1)
12 p | 26 | 3
-
Đề thi học kì 2 môn Toán lớp 7 năm 2022-2023 có đáp án - Trường THCS Sương Nguyệt Anh
7 p | 14 | 3
-
Đề thi thử THPT Quốc gia năm 2022 môn Toán có đáp án - Trường THPT Nguyễn Đăng Đạo, Bắc Ninh
31 p | 8 | 3
-
Bài giảng môn Toán lớp 2 sách Cánh diều - Bài 47: Ôn tập về phép cộng, phép trừ trong phạm vi 20
11 p | 78 | 2
-
Giáo án điện tử môn Toán lớp 3 - Bài: Ôn tập bốn phép tính trong phạm vi 100000
11 p | 33 | 2
-
Giải bài tập Ôn tập các số đến 100 (tiếp theo) SGK Toán 1
3 p | 69 | 2
Chịu trách nhiệm nội dung:
Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA
LIÊN HỆ
Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM
Hotline: 093 303 0098
Email: support@tailieu.vn