Tuyển tập bài tập giải tích (Tập III: Tích phân phụ thuộc tham số, tích phân bội, tích phân đường và tích phân mặt - In lần thứ tư): Phần 1

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:97

Thêm vào BST

Báo xấu

11
lượt xem 5
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Cuốn sách "Bài tập giải tích (Tập III: Tích phân phụ thuộc tham số, tích phân bội, tích phân đường và tích phân mặt)" giới thiệu tới người đọc các kiến thức cơ bản và bài tập về tích phân phụ thuộc tham số, tích phân bội, tích phân đường và tích phân mặt. Mời các bạn cùng tham khảo nội dung chi tiết.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Tuyển tập bài tập giải tích (Tập III: Tích phân phụ thuộc tham số, tích phân bội, tích phân đường và tích phân mặt - In lần thứ tư): Phần 1

T Ậ P I U TÍCH P H Â N PHỤ T H U Ộ C T H A M s ố - TÍCH P H Â N BỘI TÍCH P H Â N Đ Ư Ờ N G V À TÍCH P H Â N MÁT NGUYÊN lọc LIỆU l i KỊ Hà NỘI NHÀ XUẤT BẢN ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRẦN ĐỨC LONG - NGUYÊN ĐÌNH SANG - HOÀNG QUỐC TOÀN B À I T Ậ P G I A I T Í C H Tập MI TÍCH PHÂN PHỤ THUỘC THAM số - TÍCH PHÂN BỘI TÍCH P H Â N Đ Ư Ờ N G VÀ TÍCH PHÂN MẶT (In lần thứ tư có sửa chữa và bổ sung) ĐẠI H Ọ C T H A I NGUYÊN TRUNG TÂM HÓC LIỆU NHÀ X U Ấ T B Ả N ĐẠI H Ọ C Q U Ố C GIA HÀ N Ộ I Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc-tnu.edu.vn
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc-tnu.edu.vn
MỤC LỤC Trang Chương lo. T Í C H P H Â N P H Ụ T H U Ộ C T H A M s ố 5 § 1 . Tích p h â n p h ụ thuộc t h a m số cận h ữ u h ạ n 5 § 2 . T í c h p h â n s u y r ộ n g p h ụ t h u ộ c t h a m số. 17 Chương li. TÍCH PHÂN BỘI 35 §1. Định nghĩa 35 §2. Cách t í n h tích p h â n bội 37 §3. Công thức giá trị trung b ì n h 40 §4. T í n h diện tích v à t h ể tích 51 Chương 12. T Í C H P H Â N Đ Ư Ờ N G V À T Í C H P H Â N M Ặ T 55 §1. Tích p h â n đường 55 §2. Tích p h â n m ặ t 68 § 3 . Sự liên h ệ giữa tích p h â n đường, tích p h â n m ặ t v à t í c h p h â n b ộ i . C ô n g t h ứ c G r e e n , Stokes, Ostrogradski 76 §4. ứ n g d ụ n g của tích p h â n đường v à m ặ t vào lý t h u y ế t t r ư ờ n g 93 Đ Á P SỐ VÀ L Ờ I G I Ả I 97 PHỤ LỤC 249 3 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc-tnu.edu.vn
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc-tnu.edu.vn
C h ư ơ n g 10 TÍCH P H Â N P H Ụ T H U Ộ C T H A M s ố § 1 . TÍCH PHÂN PHỤ THUỘC T H A M s ố CẬN HỮU HẠN 1. Giả sử f(x, y) là hàm số xác định vói X e [a, b] và y thuộc một t ậ p h ợ p s ố t h ự c Y n à o đ ó , sao cho v ớ i m ỗ i y c ố đ ị n h t h u ộ c Y h à m f(x,y) k h ả t í c h t r o n g đ o ạ n [a,b]. K h i đó b I(y)= Jf(x,y)dx (1) a l à m ộ t h à m s ố x á c đ ị n h t r ê n t ậ p Y v à được g ọ i l à t í c h p h â n p h ụ t h u ộ c t h a m s ố của h à m f(x, y) t r ê n đ o ạ n [a,b]. 2. Các tỉnh chất a. Tính liên tục: N ế u h à m f ( x , y ) x á c đ ị n h v à l i ê n t ụ c t r o n g h ì n h c h ữ n h ậ t a>= [a, b ] X [c, d] t h ì t í c h p h â n p h ụ t h u ộ c t h a m s ố I ( y ) l à m ộ t h à m s ố l i ê n t ụ c t r ê n đ o ạ n [c, d ] . Ịf.Tính khổ vi: Giả thiết: i) H à m f(x,y) là h à m số xác định trong h ì n h chữ nhật Cữ = [a, b ] X [c, d] v à l i ê n t ụ c t h e o b i ế n x e [a, b ] vôi m ỗ i y c ố đ ị n h t h u ộ c đ o ạ n [c, d ] ; 5 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc-tnu.edu.vn
ũ ) H à m f ( x , y ) có đạo h à m r i ê n g ( x ' y ) là một h à m liên tục trong hình chữ nhật
b.Tính khả vi: Giả thiết: i) H à m f ( x , y ) x á c đ ị n h t r o n g h ì n h c h ữ n h ậ t , l i ê n t ụ c t h e o X t r ê n [a,b] v ớ i m ỗ i y c ố đính t h u ộ c đ o ạ n [c,d]; - ổf(x y) ũ ) H à m f ( x , y ) có đ a o h à m r i ê n g — liên túc trong h ì n h ày c h ữ n h ậ t ; i i i ) C á c h à m a(y),P(y) k h ả v i t r o n g [c,d]. K h i đ ó t í c h p h â n (2) I ( y ) l à h à m k h ả v i t r o n g đ o ạ n [c,d] v à t a có * ' ' ' r ( y ) = ị Ẽ Ị ^ p . + f[p(ỵ),y].p'(y).f[a(y),y].a'(y), a(y) °y (ye[c,d]). 4. Tích p h â n i(y) =Jf( y).g(x)dx X ) t r o n g đ ó f ( x , y ) l à h à m x á c đ ị n h t r o n g h ì n h c h ữ n h ậ t 0 0 Giải : Gọi [c,d] là đoạn bất kì chứa điểm y = 0. Khi đó hàm f ( x , y ) = x c o s x y l i ê n t ụ c t r o n g h ì n h c h ữ n h ậ t
v ậ y t í c h p h â n p h ụ t h u ộ c t h a m số Ky) = í X cosxydx là h à m liên 2 0 t ụ c t h e o y t r o n g đ o ạ n [c,d]. D o đ ó 2 2 g l i m I ( y ) = 1(0) = í X c o s x . 0 d x = 1 x d x = ^ 2 2 ỉ 0 3 1039. X é t t í n h l i ê n t ụ c của h à m s ố F ( y ) = ị - ^ L a x J x +y 0 2 2 t r o n g đó f(x) l à h à m l i ê n t ụ c v à d ư ờ n g t r ê n đ o ạ n [0,1]. Giải: Xét y„* 0 bất kỳ. G i ả s ử y > 0. K h i đ ó t ồ n t ạ i s ố c > 0 sao cho 0 < c < y„< d, 0 trong đó d là số dường n à o đó. Kí h i ệ u Ó) l à h ì n h c h ữ n h ậ t [0,1] X [c,d]. TÍieo g i ả t h i ế t f(x) l i ê n t ụ c t r o n g [0,1], n ê n h à m d ư ớ i d ấ u tích p h â n ỵ * ( \ l i ê n t ú c t r o n g D. x Do đó h à m F(y) l i ê n tục x +y 2 z t r o n g đ o ạ n [c,d], v ì v ậ y F ( y ) l i ê n t ụ c t ạ i y . 0 T ư ơ n g t ự t a c ũ n g c h ứ n g m i n h được r ằ n g : F(y) l i ê n t ụ c t ạ i y 0 . 8 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc-tnu.edu.vn
V ó i y c ố đ ị n h , h à m (p(x) = k h ả t í c h t r o n g [0,1], c ò n X 2 +y 2 h à m f(x) l i ê n t ụ c v à d ư ơ n g t r ê n đ o ạ n đó, vì t h ế á p d ụ n g đ ị n h lý trung bình suy rộng ta có: F(y) = f(c(y)) } —dx = f(c(y)). arctg ị , í - - y 0X + y 2 2 y vói y * 0, 0 < c(y) < 1. T ừ đó v ố i y * 0 1 1 1 = | f ( c ( y ) ) | . arctg — > m. arctg — y y 71 C h o y - » 0, m a r c t g — m - , do đ ó F ( y ) -4> F ( 0 ) k h i y 0. y 2 Đ i ề u đ ó c h ứ n g t ỏ r ằ n g F ( y ) g i á n đ o ạ n t ạ i y = 0. 1040. Tính đạo hàm theo tham số của tích phân" n 2 I(a)= | l n ( a - s i n x ) d x , 2 2 ( a > l ) T ừ đó t ứ ứ i t í c h p h â n I(a). Giải: Hàm f(a,x) = ln(a - sin x )dx liên tục trong miền a > Ì 2 2 71 v à X e [ 0 , — ] v à có đ ạ o h à m r i ê n g t h e o a 2 ổf 2a , a > Ì òa a 2 - sin X 2 c ũ n g l à h à m l i ê n t ụ c t r o n g m i ề n đ ó . V ì t h ế t a có t h ể đ ạ o hàm theo công thức Leibniz: 9 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc-tnu.edu.vn
đx ^ a ) = J , 2 •l 2 „ 2 2 2 d x = 2 a ỉ ổ (a - 1 ) + cos^ X 0 a - sin X Đ ổ i b i ế n t = t g x , t a có dt I ' ( a ) = 2a ị J 0 a +(a -l)t z 2 2 arctg ĩ — — t ỉ a -l 2 T ừ đ ó , b ằ n g c á c h l ấ y t í c h p h â n t h e o a, t a n h ậ n đ ư ợ c I(a) = f • da = 7ĩlnfa + Ja lì + c 71 2 Đê xác định c,ta viết tích phân I(a) dưới dạng: I(a) = Ị I n 2í, . 2 , ; dx = 1 a. \ 1 - — - s i n X i 2 Va J 2 í = Tthxa + ịìnị Ì - 2 SUI X dx T ừ ( Ị ) v à (2) t a s u y r a r = f i ( i _ _ L• 2 L 1_ a + V a - l 2 c = 1 In Ì - s i n X d x - Ttln " V a Cho a - > + 00 v à c h ú ý r ằ n g i í ì N In ì 2 A h i . - > 0 (a - > + oo) Ì — — sin X a y 2 la 2 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc-tnu.edu.vn
" r í Ì ^ t a có dx = 0 lim í In Ì—-5-sin X 2 , a+yá -ì 2 ; và lim In í- = ln2. a-++°0 a Vậy: c = - 7tln2. Thay c = - 7tln2 vào biểu thức của I(a), ta có I ( a ) - « l n f a + V a - l ) - « l n 2 = Trln 2 1041. B ằ n g cách lấy tích p h â n dưối dấu tích p h â n h ã y t í n h tích phân sau đây: a + b sin X che K = Jln , (a>b>0). a-bsinx sinx Giải: H à m d ư ớ i d ấ u t í c h p h â n có t h ể v i ế t d ư ớ i d ạ n g Ì , a + bsinx , f dy n In—~ = 2 bJ — a sinx a-bsinx ị a - b y sin 2 2 2 2 x ày Do đó K = 2 a b J dx ị 0 J 0 a -b y sừi x 2 2 2 2 Ì Hàm f ( x , y ) =" liên tục trong h ì n h chữ n h ậ t a 2 -b y 2 2 sin X2 D = |(x y): 0 < x < - , 0 < y < l Ị , (a > b > 0) n ê n có t h ể t h a y đ ổ i t h ứ t ự l ấ y t í c h p h â n v à t a n h ặ n được Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc-tnu.edu.vn
71 2 K = 2ab Ị ày Ị ị a -b y 2 2 2 sin x z B ằ n g p h é p đ ổ i b i ế n t = t g x , t a có ỊỊ Ĩ dx 7 dt n ị a 2 -b y 2 2 sin X 2 = ị a 2 +(a 2 -b y )t 2 2 2 2a v ^ b * Vậy nên Ì dy _ b K = Tít).Ị - = 7rarcsin — y ln(l + xy) 1042. Cho t í c h p h â n F ( y ) = ỉ K y ỉ đx. Tính F(y). ó * Giải: T a có - y dx , ln(l+y ) _ 2 21n(l+y ) 2 F(y) = 1-5 iố i1 +x y + : y y 1043. T ì m đ ạ o h à m theo t h a m s ấ y c ủ a t í c h p h â n f (x)dx y Ky) = ĩ ỉ Vy-X' t r o n g đó f ( x ) l à h à m l i ê n t ụ c c ù n g v ố i đ ạ o h à m f'(x) c ủ a n ó t r o n g đ o ạ n [0, a] v à 0 < y < a. Giải: Ta c h ú ý rằng, vì h à m dưới d ấ u tích p h â n k h ô n g b ị c h ặ n t r o n g l â n c ậ n của đ ư ờ n g t h ẳ n g y = X, do đ ó k h ô n g t h ể á p d ụ n g trực t i ế p q u i tắc Leibniz đ ể t í n h đạo h à m của t í c h p h â n I(y). D ù n g p h é p t h ế b i ế n X = y t / t a đ ư a t í c h p h â n đ ã cho v ề d ạ n g 12 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc-tnu.edu.vn
di H à m g(t) = k h ả t í c h ( t u y ệ t đ ố i ) t r ê n đ o ạ n [0, 1] theo vĩt n g h ĩ a s u y r ộ n g , c ò n h à m f ( y t ) l i ê n t ụ c v à có đ ạ o h à m t h e o b i ế n y l i ê n t ụ c t h e o h a i b i ế n (y, t ) . V ì t h ế theo m ụ c 4 §1 t a có t h ể l ấ y đạo h à m theo q u i t ắ c L e i b n i z v à t a có Trỏ lại biến cũ, ta nhận được: 2y oVỹ ^ y oVỹ^ J r J B i ế n đ ổ i tích p h â n t h ứ n h ấ t bằng cách l ấ y tích p h â n từng p h ầ n , t a có: xf(x) r(y) = - f(x) + f(x)dx + } ^ dx y 0 0 0 \y Vỹ 0
1046. C h ứ n g m i n h r ă n g t í c h p h â n F(y)=}f(x,y)dx 0 của hàm gián đoạn f(x, y) = sgn(x - y) là hàm liên tục. 1047. Giả sử f(x) là hàm liến tục trên đoạn [a, b]. Chứng minh rằng! ìX lim - J [ f ( t + h ) - f ( t ) ] d t = f ( x ) - f ( a ) , a < X < b. h->õ h a «1. 1048. Tìm I'(y) nếu; Ì arctg — dx, 0 V y b+y b)I(y)= Ị Ỉ H S d x , X a+y c)I(y)= |ln(x +y )dx. 2 2 0 1049. Tìm F"(x) nếu' F(x)=|(x+y)f(y)dy, 0 trong đó f(y) là hàm khả vi. 1050. Có thể tính đạo hàm theo qui tắc Leibniz của hàm Số F(y)=|lnVx +y dx, 2 2 t ạ i đ i ể m y = 0 được k h ô n g ? 14 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc-tnu.edu.vn
1051. T ì m F"(xj n ế u 1hh F(x) = -L Jdy Jf(x+y + z)dz, (h>0) .. h 0 t r o n g đó f(x) là h à m l i ê n tục. 1052. Tìm đạo hàm của các tích phân eliptic toàn phần: n 2 E(k) = J V l - k s i n ( p 2 2 dq> , 0 li d(p F(k) = sin (p (0 < k < 1) và biểu diễn chúng qua các hàm E(k) và F(k). Chứng minh rằng hàm E(k) thỏa mãn phương trình vi phân E"(k) +-E'(k) + i^ị-= 0. k 1-k 2 1053. Chứng mũih rằng hàm Bessel chỉ số nguyên n Ì* J (x) = — ícos(n(p-xsin(p)d(p 0 ÍT ỉ n thỏa m ã n p h ư ơ n g t r ì n h Besséll , X J' (x) + X J (x) + (X -n )J (x) = 0 . 2 n n 2 2 n 1054. Hãy xấp xỉ hàm f(x) = X trên đoạn [Ì, 3] bằng hàm 2 tuyến tính a + bx sao cho tích phân 3 I(a,b) = J(a + bx-x ) dx 2 2 1 có giá trị bé nhất. 15 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc-tnu.edu.vn
1055. C h ứ n g m i n h đ ồ n g n h ấ t t h ứ c Ị*-1 ĩ » 2 ỉ 'ít)*=T^ỹ Ị(«-*)-' df O a a '^ '" a trong đó f(t) là h à m liên tục. 1056. G i ả sử f ( x ) l à h à m h a i l ầ n k h ả v i , c ò n F ( x ) l à h à m k h ả v i theo đ ố i s ố của n ó . C h ứ n g m i n h rằng* ì ì x + a t u(x,t) = - [ f ( x - a t ) + f ( x + a t ) ] + — í F(z)dz 2 2ci x-at t h ỏ a m ã n p h ư ơ n g t r ì n h dao đ ộ n g c ủ a d â y : a u _ 2 2ÕU 2 ót 2 a ổx ' 2 v ớ i c á c đ i ề u k i ệ n b a n đ ầ u u ( x , 0) = f ( x ) , u ' ( x , 0) = F ( x ) . t 1057. B ằ n g c á c h đ ạ o h à m theo t h a m số, h ã y t í n h t í c h p h â n * K W - Ị h Ị ± S £ ! « ^ ( L | l < 1 ) . • 1 - a c o s x cosx 1 1058. B ằ n g c á c h đ ạ o h à m t h e o t h a m số, h ã y t í n h t í c h p h â n I(r) = Ị In (l-2rcosx + r )dx, (|r| < l) . 2 0 1059. B ằ n g c á c h đ ạ o h à m t h e o t h a m số, h ã y t í n h t í c h p h â n 2 . I(a,b) = Ị I n (a s i n x + b 2 2 2 cos x ) d x , a + b 2 2 2 * 0 . 16 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc-tnu.edu.vn
1060. B ằ n g c á c h l ấ y t í c h p h â n d ư ố i d ấ u t í c h p h â n , t í n h các t í c h p h â n sau đây: I f lì x -xb a a) ì , (a, b ) = Ị s i n l n - dx , a > 0, b > 0. V lnx ố Ì \\ x -xb a b) I ( a , b ) = ị cos I n 2 d x , a > 0, b > 0. lnx 1061. D ù n g công thức arctgx _ Ị dỵ (x*0) = J 0 l+X y 2 2 ' h ã y tính tích p h â n Ị- a r c t g x dx • • í §2. TÍCH PHÂN SUY RỘNG PHỤ THUỘC THAM s ố 1. Sự hội tụ đểu Ta nói tích phân +0 0 • •• I(y)= ị f(x,y)dx , y e Y a hội tụ đều trên tập Y nếu: +0 0 a) V ớ i m ỗ i y 6 Y < ; ố đ ị n h , t í c h p h â n ị ỉ(x, y ) d y h ộ i t ụ , a b) Vs > 0 3A Q = A (e) > a Q ( k h ô n g p h ụ t h u ộ c y ) sao cho V A > A>: < E Vy e Y . í f ( x » 2?y 17 U N G TÂM HÓC n ầ n Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc-tnu.edu.vn
2. T i ê u c h u ẩ n C a u c h y Đ i ề u k i ê n c ầ n v à đ ủ đ ể cho t í c h p h â n I(y)= Jf(x,y)dx, y e Y h ộ i t ụ đ ề u t r ê n t ậ p Y là: VE > 0 3A C = A (e) 0 ( k h ô n g p h ụ t h u ộ c y ) sao cho v ố i m ọ i A ' , A " > Ao : ]f(x,y)dx < e Vy e Y. À" 3. D ấ u h i ệ u W e i e r s t r a s s Giả sử tồn tại một hàm (p(x) không âm trong khoảng [a, +oc] sao cho |f(x,y)| <
a) N ế u t í c h p h â n ] f ( x , y ) d x bị chặn đ ề u v ố i m ọ i A > a và a .•••!•/ y e Y, tức là 3 K = c o n s t sao cho: |f(x,y)dx < K , V A > a, V y e Y , c ò n a g(x) l à h à m đ ơ n đ i ệ u t i ế n đ ế n k h ô n g k h i X - > +00 t h ì t í c h p h â n +0 0 Ị f(x,y).g(x)dx hộit ụ đều trên Y. a b ) N ế u h à m f(x» y ) đ ơ n đ i ệ u t h e o X v à b ị c h ặ n đ ể u t ứ c l à : 3 L = c o n s t sao cho: | f ( x , y ) | < L V x > a, V y e Y , c ò n t í c h p h â n +00 +°° j g ( x ) d x h ộ i t ụ thì tích p h â n ị f(x,y).g(x)dx h ộ i t ụ đều trên Y. a ã 5. Tính chất của tích phân suy rộng phụ thuộc tham số a. Tính liên tạc: Giả sử hàm f(x, y) xác định và liên tục trên t ậ p [a, +oo) X [c, d ] . K h i đ ó n ế u t í c h p h â n +00 I(y)= ị f(x,y)dx, y e [c,d] a h ộ i t ụ đ ề u t r ê n đ o ạ n [c, d ] t h ì I ( y ) l à h à m l i ê n t ụ c t r ê n đ o ạ n đ ó . ò . Tính khả tích: G i ả s ử h à m f ( x , y ) , l à h à m l i ê n t ụ c t r ê n t ậ p +0 0 [a +oo) X [c, dị K h i đó n ế u tích p h â n I(y) = jf(x,y)dx hội tụ a đ ề u t r ê n [c d] t h ì I ( y ) l à h à m k h ả t í c h t r ê n đ o ạ n [c, d] v à t a có c ô n g t h ứ c : d à +6 0 +tx> ả Ị Ky) ày = J d y J f ( x , y ) d x = Ị d x ị í(x, y ) d y . r c a a a 19 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc-tnu.edu.vn