Tuyển tập bài tập giải tích (Tập III: Tích phân phụ thuộc tham số, tích phân bội, tích phân đường và tích phân mặt - In lần thứ tư): Phần 2

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:173

Thêm vào BST

Báo xấu

5
lượt xem 4
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Nối tiếp nội dung phần 1, phần 2 cuốn "Bài tập giải tích (Tập III: Tích phân phụ thuộc tham số, tích phân bội, tích phân đường và tích phân mặt)" giới thiệu tới người đọc phương pháp giải các bài tập tại phần 1. Mời các bạn tham khảo nội dung chi tiết.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Tuyển tập bài tập giải tích (Tập III: Tích phân phụ thuộc tham số, tích phân bội, tích phân đường và tích phân mặt - In lần thứ tư): Phần 2

Đ Á P S Ố VÀ L Ờ I G I Ả I 1 0 4 4 . V ì h à m d ư ó i d ấ u t í c h p h â n f ( x , y ) = yỊx 2 +y 2 liên tục t h e o h a i b i ế n (x, y ) t r o n g h ì n h c h ữ n h ậ t [ - 1 , 1] X [-S, ô ] , s > 0 n ê n t í c h p h â n l à h à m l i ê n t ụ c t h e o t h a m s ố y. D o đ ó t a c ó : Ì Ì Ì lim +y 2 dx = ị l i m ^ / x + y 2 2 dx = J | x | d x = 1 . -Ì 1045. H à m f ( x , y ) = liên tục trong h ì n h chữ n h ậ t 1+x 2 +y 2 [ 0 , 1] X [ - 5 , 5 ] , ô > 0 , c ò n c á c h à m a ( y ) = y , P(y) = Ì + y l i ê n t ụ c t r ê n đ o ạ n [-Ô, 5], v ì v ậ y t í c h p h â n p h ụ t h u ộ c t h a m s ố l à hàm l i ê n . t ụ c t h e o y t r o n g đ o ạ n [-Ô, ô ] . D o đ ó t a co: 1 + f dxy à 7 T = arctgl = lim f 5 ĩ = 1 ĩ = a r c t s x 2 J y>0 J l +x +y 0 1+X 1046. C h ú ý r ằ n g Ì nêu X> y f(x,y) = sgn(x-y) = 0 nếu X= y -1 nếu X< y V ó i X 6 [0, 1], n ế u y < 0 t h ì X > y do đ ó f ( x , y) = l ^ n ế u y > Ì t h ì X < y , do đ ó f ( x , y ) = - Ì - T ừ đ ó t a c ó : Nếu < 0 F(y) = } l . d x = l 0 Nếu y > l : F(y) =](-!) dx--l 97 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc-tnu.edu.vn
Nếu 0 < y < Ì, Ì y Ì F(y) = j s g n ( x - y ) d x = J(-l)dx + Ị l d x = - y + l - y = l - 2 y 0 0 ý T ừ đó suy r a F(y) l à h à m l i ê n t ụ c v ố i m ọ i y e (-ao, +oo). 1047. Vì f ( t ) l à h à m l i ê n t ụ c t r ê n đ o ạ n [a, b ] n ê n t ồ n t ạ i n g u y ê n h à m F(t) t r ê n đ o ạ n đó. V ố i m ỗ i h c ố đ ị n h , F ( t + h) l à n g u y ê n h à m của h à m f ( t + h), t e [a - h , b - h ] . Theo c ô n g t h ứ c N e w t o n - L e i b n i z , v ớ i I h I đ ủ b é , t a có: |[f(t + h)-f(t)]dt = F(x+h) - F(x) - F(a+h) + F(a). a Vì v ậ y : r „ r f r m _ ,mi^_r F ( x + h ) - F ( x ) .. F(a+h)-F(a) lim— f(t + h)-f(t)]dt = lim — {• —-lim ^ a = f ( x ) - f(a). 1048. a) G i ả sử y * 0, c h ẳ n g h ạ n y > 0. X é t h ì n h c h ữ n h ậ t [0, 1] X [c, d], sao cho 0 < c < y < d. T r o n g h ì n h c h ữ n h ậ t n à y các đ i ề u k i ệ n đ ể á p d ụ n g q u i t ắ c L e i b n i z t h ỏ a m ã n . Do đ ó : r(y) = — í arctg—thí = í—arctg—dx dy J 0 y ị ty y r - xdx Ì J x +y J 2 , „2v 2 2 9 *" 1 + y 2 2 0 Với y < 0 ta có kết quà tương tự. 98 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc-tnu.edu.vn
b) C h ú ý r ằ n g : l i m s i n x y = y , cho n ê n X = 0 k h ô n g p h ả i l à K-+0 X đ i ể m k ỳ dị của tích p h â n . G i ả sử y l à đ i ể m t ù y ý . T a x é t h ì n h c h ữ n h ậ t [a, b ] X [c, d] 0 sao cho c < y < d. 0 T r o n g h ì n h c h ữ n h ậ t [a, b ] X [c, d] t í c h p h â n 5SSdx Ky) . f . X a+y t h ỏ a m ã n c á c đ i ề u k i ệ n đ ể l ấ y đ ạ o h à m theo t h a m s ố v à t a có: T,/ \ r° Ì i (b+y„).y sin(a + y„).y b+ s n n n Ị (y„) = cosxy dx + - — ^ L L £ J L L Z J L 0 J o — a+y 0 J 0 c) G i ả sử y * 0, c h ẳ n g h ạ n y > 0. X é t h ì n h c h ữ n h ậ t [0,1] X [c,d] sao cho 0 < c < y < d. T r o n g h ì n h c h ữ n h ậ t n à y t a có t h ể á p d ụ n g được c ô n g t h ứ c L e i b n i z v à t a c ó : r (y) =-Ế w< y ) = íl- ( y ) x2 + 2 dx ln x2 + 2 dx d y 0 o^y V 2y ^ _ „ Ì d x = 2arctg— , (y > 0) 0 i x- 0 2 •ý + 2 y T ư ớ n g t ự t a c ũ n g cho r ( y ) = 2 a r c t g v ớ i y < 0. y . T ạ i y = 0 ta k h ô n g t h ể á p d ụ n g qui tắc Leibniz đ ể l ấ y đạo h à m của t í c h p h â n , vì h à m d ư ớ i d ấ u t í c h p h â n k h ô n g bị c h ặ n t r o n g l â n c ậ n c ủ a đ i ể m (0, 0). T r ư ớ c h ế t v ớ i y * 0, b ằ n g c á c h t í n h t í c h p h â n t ừ n g p h ầ n t a có: Ì , Ky) = Jln ( x + y ) dx = l n ( l + y ) - 2 + 2yarctg - 2 2 2 99 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc-tnu.edu.vn
V ố i y = 0: ( 1 V 1 ì 1(0) = j l n x d x = 2 Ị l n x d x = 2 2 x.lnx — X. — dx = - 2 . V 0 Ố , x Ta x é t : Ky)-1(0) lim l i m — l n ( l + y ) - 2 + 2yarctg- + 2 2 y-»0- y y->0 y y ln(l + y ) Ì 2 lim 0 — — + 2arctg- v->0* y y ln(l + y ) 2 lim y + l i m 2.arcta — = n. y-*0* y-*0* y V ậ y : r ( 0 ) = TI. + Chú ý: Ì 2y r (0) = TI * Ị ln(x 2 +y ) 2 dx = dx = 0 1 9 9 + Õ\ y=0 0* y+ v=0 Do đ ó k h ô n g t h ể á p d ụ n g c ô n g t h ứ c L e i b n i z t ạ i đ i ể m y = 0. 1049. Ta có: F(x)= Jf(y)dy+2xf(x) ố F"(x) = f(x) + 2f(x) + 2xf'(x) = 3f(x) + 2xf(x). 1050. Áp dụng tích phân từng phần ta nhận được: Ì Ì 112 1 F ( y ) = =• f l n ( x + y ) d x = ^ x l n ( x 2 2 2 +y ) 2 - [—-— dx 7 ỉ 2 2 0 0 X +y =-ln(l + y )-l + yarctg-, vóiy*0. 2 2 y 100 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc-tnu.edu.vn
I F(0)= jìnxdx = -l. T ừ đ ó t a có : r. (0). lim SỂ=m. li Ì ln(l + y ) 2 Ì 71 y-»cr V y-»(T i V±Z2 + arctg- 2 2 y y M ặ t k h á c t a l ạ i có Va J ^ l n V x 2 + y 2 d x = í ã y 2 dx• T ừ đ ó t a suy r a : FV(0) = f * ì ệ l n V ^ ? dx= 0. y=0 V ậ y k h ô n g t h ể á p dụng công thức Leibniz để t í n h đạo h à m õV của F(y) t ạ i đ i ể m y = 0. D ễ d à n g t h ấ y r ằ n g — f ( x , y ) = ỡy X +y không liên tục tại điểm (0, 0), có nghĩa là điều kiện để áp dụng qui tắc Leibniz không thỏa mãn. 1051. Đổi biến t = X + y + z, ta có : h h+x+y F(x) = 4 r j d y Ị f(t)dt, 0 x+y h F(x) = \ J [ f ( h + x + y ) - f ( x + y)]dy 0 2h+x x+h ị f(y)dy- Jf(y)dy h 2 h+x loi Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc-tnu.edu.vn
F"(x) = \ [f ( 2 h + x ) f ( h + x ) f ( h + x ) + f ( x ) ] = \ [ĩ ( 2 h + x ) 2 f ( h + x ) + f ( x ) ] . h I 1 0 5 2 . Á p d ụ n g c ô n g t h ứ c L e i b n i z t a có : n/2 ì « ' 2 , , 2 -_2 _ ì k sin
Vậy: F ( k ) = JSS• m (2) k(l-k ) 2 k T ừ (1) t a có F(k) = E(k) - kE'(k). Do đó: F(k) = E'(k) - E'(k) - kE"(k), hay F(k) = -kE"(k) (3) So s á n h (2) v à (3) t a n h ậ n được E(k) E(k) - kE'(k) -k.E"(k) " k(l-k ) k 2 Từ đó: E"(k) + - E ' ( k ) + ^ - E ( k ) —Ì = 0 1-k 2 hay E"(k) + f E'(k) + — ! — E ( k ) = 0 . k 1-k 2 1053. Á p d ụ n g q u i t ắ c L e i b n i z t a có Ì71 J n ( x ) = 3 í s i n (n
71 Ì — í cos (nq> X s i n q>).(n xeo Síp) d(p 71 0 Ì * l í — í cos (nép X s i n cp) d(ncp X s i n (p) = s i n ( n t p X s i n
T a có: 3 dĩ — = 2 Í ( a + b x x ) d x = 2 2a + 4b 2 ca ị V 3 ) Ổi ^ 26 ^ 2j(a +bx-x )xdx = 2 2 ab 3 Đ ể t ì m cực t i ể u c ủ a h à m I ( a , b) t a t ì m đ i ể m d ừ n g : G i ả i h ệ — = 0 , — = 0 , t a n h ậ n được : a = - Ị ỉ , b = 4 . da ổb 3 TT Ổ I , a i _ _ a i 2 2 2 52 Hớn nữa : = 4, = 8, -^r = . da' õaôb T ừ đó: d I = 4da +16dadb + — d b 2 2 2 = 4(da + 2 d b ) + - d b 2 2 >0. 3 3 Vậy tại điểm dừng a = -—, b = 4 hàm I(a, b) nhận giá trị í 3 cực t i ể u , đ i ề u đ ó có n g h ĩ a l à h à m t u y ế n t í n h c ầ n t ì m l à : ' Ã ' l i y = 4x . ' 3 1055. T a c h ứ n g m i n h b ằ n g q u i n ạ p . X X V ố i n = Ì , đ ẳ n g thức đ ú n g : ị f (t) dt = Ị ĩ (t) d t . a a G i ả sử đ ẳ n g t h ứ c đ ú n g v ớ i n , t a h ã y c h ứ n g m i n h đ ẳ n g t h ứ c đ ú n g v ố i n + 1. Ký hiệu : I (x) = j-^ị J(x~tr*f(t)dt n Khi đó : I (x) = -^}(x-t) f(t)dt. n+1 n ni * 105 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc-tnu.edu.vn
Đ ạ o h à m h a i v ế đ ẳ n g t h ứ c n à y t h e o X, t a n h ậ n đ ư ợ c r„ i « = —. Ịn(x-t)- f(t)dt = I„(x) + l n! J a T ừ đ ó l ấ y t í c h p h â n h a i v ế t h e o b i ế n t , t a có : n Ịl (t )dt =I (x)-I (a) = ịl (t )dt . n+1 n n n+1 n+1 n n n a a C h ú ý r ằ n g I ( a ) = 0 v ó i m ọ i n , t a n h ậ n được đ ẳ n g t h ứ c n X I n + i(x) = jl (t )dt n D n a Theo g i ả t h i ế t qui n ạ p : In(t ) = /dt _ ]dt„_ ... jf(t)dt n t n 1 2 a a ->.- Ì •£ B ằ n g c á c h t h a y I ( t „ ) b ơ i b i ế u t h ứ c c ủ a n ó , t a có : n I„ ,(x) = Jl„(t )dt =}dt J dt _ ... Jf(t)dt. + n n n , n 1 a a Đ i ề u n à y có n g h ĩ a đ ẳ n g t h ứ c c ầ n c h ứ n g m i n h đ ú n g vái n + 1. 1056. T a có: ^ = ị[f'(x-at) + f*(x+at)]+ ^l[F(x + at) - F(x-at)] ^ = ~[f'(x+at) - f(x-at)]+ I[F(x+at) + F(x-at)J Ị± = ị[f"(x-at) + f"(x+at)] + J-[F(x + at) - P(x-at)] 106 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc-tnu.edu.vn
~ = ^ [ f " ( x + at) + f ( x - a t ) ] + | [ F ( x + at) - P(x-at)]. Từ đó suy ra hàm u(x, t) thỏa mãn phương trình dao động ỠU2 a u 2 của dãy = a 2 vối điểu k i ệ n ban đ ầ u u ( x , 0) = f ( x ) , •Ớt u\(x,0) = F(x) 1+acosx Ì 1057. Đ ặ t f ( x , a ) = I n la < 1. 1-acosx cosx Chú ý rằng : 2a c o s x ,. 2acosx Ì _ lim f(x,a) = l i m l n 1 + -= lim . = 2a 71 n 1-acosx c o s x ,,_,!! Ì - a c o s x c o s x X-> — x->— 2 2 V ì t h ế n ế u b ổ s u n g t h ê m g i á t r ị c ủ a h à m f ( x , a) t ạ i X = — 2 71 bằng cách đặt f = 2a t h ì f ( x , a) l à h à m l i ê n t ụ c t r o n g \* ỉ miên [- a ,a ] trong đó a là sốbất kỳ sao cho 0 < a < 1. 0 c Q 0 af(x,a) 2 Hơn nữa cũng là h à m liên tục trong òa 1-a 2 cos X 2 h ì n h c h ữ n h ậ t n ó i t r ê n . V ì v ậ y á p d ụ n g c ô n g t h ứ c L e i b n i z t a có: f dx -7 dt TI r(a) = 2 2 2 =2 = la cos x |ĩ^77 /ĨI^ A T ừ đó I(a) = Ttarcsina + c , Ia ị< a Q < Ì. Vì 1(0) = 0, ta suy ra c = 0, và I(a) = 7rarcsína, |a |
1058. T r ư ố c h ế t ta có 1(0) = ị l n l d x = 0 . G i ả sử r 0. T a c h ọ n a > 0 sao cho 0 < |r|
1059. N ế u b = 0, t í c h p h â n có d ạ n g : n n n 2 2 ỉ. 2 I(a,0) = J l n ( a s i n x ) d x = 2 j l n | a | d x + 2 2 Ịlnsinxdx = 7ĩln — . 2 Tương t ự : 1(0, b) = Tĩln G i ả sử a £ 0 v à b * 0. X é t t í c h p h â n n h ư l à h à m p h ụ t h u ộ c tham sốa : I(a,b) = J(a) = j l n ( a 2 sin 2 X+ b 2 cos 2 x)dx Xét [c, d] là đoạn không chứa điểm a = 0 sao cho c < a < d. K h i đó t r o n g h ì n h c h ữ nhật X [c, d ] hàm 2 „„2 dĩ 2asin X 2 f(x,a) = l n ( a sin 2 2 X+ b 2 cos x ) v à 2 2 2 2 2 òa a sin X+ b cos X l à n h ữ n g h à m l i ê n t ụ c t h e o h a i b i ế n (x, a). V ì t h ế có t h ể á p d ụ n g qui tắc Leibniz để t í n h đạo h à m J'(a): ỊỊ 2 2asin X 2 J'(a) = J dx ị a 2 sin 2 X+ b 2 cos X 2 Đ á t t = cotgx, t a được : 109 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc-tnu.edu.vn
dt ỉa Í T h àl _ 2 T _ Ể L J'(a) = 2 a | J 2 . 1-2*2 J ì i (a 2 + b t )(l +t ) 2 2 2 b 2 - a % a + b V J 0 2 í, l+ J t l+oo k arctg—t - arctgt b -a 2 2 va ã N ế u a.b > 0: 71 b 2 -a 2 2 Va ; a+b Khi đó: J(a) = 7 c l n | a + b | + c N ế u a.b < 0: 2a 71 J'(a) = + 1 2 2 b -a l 2) Khi đó: J(a) = 7 c l n | a - b | + c C h ú ý r ằ n g n ế u ab > 0 t h ì I a + b I = | a I + | b | , n ế u ab < 0 thì | a - b | = ịb— a. ị = | a | + | b j . V ì v ậ y t r o n g cả h a i t r ư ờ n g h ợ p t a đ ề u có : I ( a , b ) = J(a) = 7 r l n ( | a | + | b | ) + c (*) N ế u a = b, t a có : 71 2 2 I(b,b) = J l n b d x = 7cln|b|. M ặ t k h á c t h e o c ô n g t h ứ c (*) t a l ạ i có : I ( b , b ) = 7 ĩ l n 2 | b | = 7Tln2 + 7 t l n | b | + c . T ừ đ ó suy r a c = -7tln2. HO Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc-tnu.edu.vn
Vậy a + b I ( a , b ) = 7ĩln 2 2 , a + b *0 C A ú ý: T ừ n h ữ n g t í n h t o á n t r ê n đ â y ta t h ấ y r ằ n g k ế t q u ả n à y v ẫ n đ ú n g cả t r o n g t r ư ờ n g h ợ p a = 0 hoặc b = 0. 1060. a) T a có t h ể x e m a < b m à k h ô n g ả n h h ư ở n g đ ế n k ế t quả. Trước h ế t ta c h ú ý r ằ n g : x b - x a JVdy, 0 < a < b Inx V ì v ậ y t a có t h ể v i ế t : ị i n ( l n i ) . 4 = f l d x 4 d x ịx sin dy. y I a,b) = l ( S 0 v ' O a Ký hiệu f(x,y) = x y sin I n - . V ì l i m f (x, y ) = l i m x y sin I n — = 0, nên nếu ta xác định x->0 x-*0 1 X, t h ê m g i á t r ị f ( 0 , y) = 0 t h ì h à m f ( x , y ) l i ê n t ụ c t r o n g h ì n h c h ữ nhật [0, 1] X [a, b ] . D o đ ó t a có t h ể t h a y đ ổ i t h ứ t ự l ấ y t í c h phân. T a có : I (a,b) = Jdy j x s i n 1 y toi dx a 0 Đổibiếnx = e .Khiđó t b +00 I (a,b) = Jdy | e " 1 t ( 1 + y ) sintdt I U Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc-tnu.edu.vn
t r o n g đó Ịẹ - t ( 1 + v ) sin t d i = ~ ( 1 + y ) s Ị i n t C 0 S * e- ( 1 + y ) t 2 l +(l + y) 0 1+U+yr Vì t h ế : dy I (a,b) = 1 j - a r c t g (b + 1 ) - a r c t g (a +1) + (i + yr b-a = arctg l + ( l + a ) ( l + b) b) T ư ơ n g t ự t a có Ị, ị Ì ^ x - x f f b a í 1^ Iọ(a,b) = ícos In— . dx = í d x í x y cos I n — |dy ỉ 0 l xj lnx ị i l xj - b í ì \ = ị áy ị x cos l n - dx y a Ố Đ ổ i b i ế n X = e \ t a được b +00 I ( a , b ) = Ị ày f e - 2 t ( 1 + v ) costdt = f + ( 1 y , ) d y í í J a l + (l + y) 2 b 2 +2b + 2 = - l n a 2 +2a + 2 1 0 6 1 . T a có : ây 2 2 Ỉ V Ĩ ^ ? Qu Hàm —— l i ê n t ụ c t r o n g h ì n h v u ô n g [0, 1] X [0, l i , còn l + x y 2 hàm , = k h ả t í c h ( t u y ệ t đối) theo n g h ĩ a suy r ộ n g t r ê n [0 1]. i Vì v ậ y ta có t h ể t h a y đ ổ i t h ứ t ự l ấ y t í c h p h â n (4. $1). 112 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc-tnu.edu.vn
T a có : ch ì = K í 0 b(l + x y ) V l - X 2 2 2 Dùng phép thế biến X = sint. Khi đó : dx cos t d t dt -í; o(l + X y ) V l - X 2 2 2 o(l+ y s i n t ) . c o s t J 2 2 ị l+ y sin t2 2 du f d cót g í _ r ịl + y +cotg t ~ í ĩ 2 2 2 2 +00 u arctg í 1 + y* 4 í 1+ y T ừ đó 2 o V i + y ỵ cos X 1069. V ì t r o n g b i ể u t h ứ c f (x) = ———— v a i t r ò của p v à q x + x p q như nhau nên ta có thể giả thiết p > q (trường hợp p < q được xét tương tự). Ta viết tích phân đã cho dưói dạng : +00 +00 xcosx , dx = ĩ ——- cosx Ì dx. 1J x p +x q J xP ( l + x ) ~P1 1 q p f cos X 1 Ta xét tích p h â n J — ý dx 113 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc-tnu.edu.vn
T a có v ớ i m ọ i A > 7Ĩ t h ì : ị cos X dx = I s i n A i < Ì - C ò n nếu > Ì t h ì h à m — Ị — đ ơ n d i ệ u g i ả m đ ế n 0 k h i X - > +0O. Do đ ó theo p-l X cos X Í — d x h ộ i t ụ v ố i p > 1. M ặ t khác vối p > q thì h à m d x đ ơ n đ i ệ u v à b ị chặn l + x-q p vói X > ít. Vì vậy theo dấu hiệu Abel, tích phân đã cho : r cosx dx Ị x p_i 1+X q hội tụ. Xét tương tự, nếu q > p và q > Ì thì tích phân đã cho cũng hội tụ. Vậy nếu max (p, q) > Ì thì tích phân hội tụ. Ta sẽ chứng minh rằng nêu p < Ì và q < Ì tiu tích phân phân kỳ. Trước hết ta chú ý rằng tích phân đã cho hội tụ hoặc phân kỳ cùng vối tích phân : -(2n+3) 0 2 0 cosxdx Í ^ T « * - Ị Ĩ p-1 , q-1 ta J V V n=l n x + x 2 2 2ẳ I ầ "q-l i r t i rs r + t t í-— p-1 114 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc-tnu.edu.vn
t r o n g đó - ( 2 n + l ) < ị a < - ( 2 n + 3 ) , (ỏ đ â y t a đ ã á p d ụ n g đ ị n h l ý Ả 2 t r u n g b ì n h suy rộng). V ì p < Ì v à q < Ì n ê n c h u ỗ i ỏ v ế p h ả i p h â n k ỳ do sô h ạ n g tổng q u á t của chuỗi k h ô n g d ầ n v ề k h ô n g . V ậ y n ế u p < Ì v à q < Ì t h ì tích p h â n p h â n kỳ. 1070.Vớiy = 0: 1(0) = 0. -ì-ao +0 0 Vớiy>0, I ( y ) = Ịye-* âx ÙA = — c J^ y — -e = Ì 0 0 N h ư v ậ y , v ố i y > 0, t í c h p h â n I ( y ) h ộ i t ụ . Để khảo sát tính hội tụ đều của tích phân, ta xét tích phân +00 Jye- dx x y A vói A > 0 bất kỳ. Nếu y = 0 thì tích phân này bằng 0 vối mọi A > 0. Nếu y > 0, ta dùng phép thế biến t = xy. Khi đó: +00 -E H Ị y e - ^ d x = j e - * d t = e- '- A Ấy a) G i ả sử [c, d] l à đ o ạ n b ấ t k ỳ : 0 < c < d. V ố i y e [c, d ] , t a có : e A > < e . V ì t h ế v ố i m ọ i e > 0 cho t r ư ó c A c đ ể cho e - < E, c h ỉ c ầ n c h ọ n A sao cho e A A c < E hay A>-X 115 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc-tnu.edu.vn
ln- N h ư v ậ y , có t h ể l ấ y Ao = — 5 - , k h i đ ó V A > Ao c -Áy < -Ac e V y € [c, d ] , 0 < c < d. e < £ T h e o đ ị n h n g h ĩ a , t í c h p h â n I ( y ) h ộ i t ụ đ ề u t r ê n [c, d ị . b) C h ú ý r ằ n g v ó i m ọ i A > 0, l i m e = 1. V ì t h ế t ồ n t ạ i E , _ A y 0 y->0 V ố i 0 < So < Ì , k h i đ ó đ ể v ố i Ao > 0 b ấ t k ỳ có t h ể c h ọ n y„ đ ủ b é sao cho e A y ° > E . Đ i ề u đ ó có n g h ĩ a l à : 3e >0, ( E < 1 ) V A 3 A > A 3 y e[c,d] c C 0 sao cho : xy Aoy jy Q e~ dx = e~ ° >6 >0. G V ậ y t í c h p h â n I ( y ) h ộ i t ụ k h ô n g đ ề u t r o n g m ọ i đ o ạ n [0, 0. 1 0 7 1 . V ớ i m ọ i t > t > 0, t a có : G e t x x a cosx 1 - W Vì tích phân Ị e ° x d x h ộ i t ụ , n ê n theo d ấ u hiệu _ t x a 0 -Ke Weierstrass, tích p h â n j e ~ x c o s d x h ộ i t ụ đ ề u t r o n g miền t x a t > to > 0. 1072. V ó i m ọ i A„ > Ì t a có dx = e 2x 2 ị —e 2 x 2 Ì — e 2 A ° Ì k h i n -> 3C Vì t h ế v ó i 0 < e < Ì , t ì m được no đ ủ l ò n sao cho 0 116 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc-tnu.edu.vn