intTypePromotion=1
zunia.vn Tuyển sinh 2024 dành cho Gen-Z zunia.vn zunia.vn
ADSENSE
 » 
 » 

Tuyển tập phương trình, bất phương trình - Hệ phương trình hay - Nguyễn Bá Tuấn

Chia sẻ: Pham Van Duy | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:32

Thêm vào BST
Báo xấu
82
lượt xem 9
download
 
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Đến với "Tuyển tập phương trình, bất phương trình - Hệ phương trình hay" của Nguyễn Bá Tuấn các bạn sẽ được tìm hiểu về 35 bài tập về giải phương trình hay có kèm đáp án và lời giải chi tiết để các bạn tham khảo. Cùng tìm hiểu để nắm bắt nội dung thông tin tài liệu.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Tuyển tập phương trình, bất phương trình - Hệ phương trình hay - Nguyễn Bá Tuấn

  1. Nguyễn Bá Tuấn PT – HPT – BPT TUYỂN TẬP P ƢƠ R B P ƢƠ R - H P ƢƠ R A Ơ – Facbook:https://www.facebook.com/NguyenBaTuan.gvToan?fref=ts - Trang | 1 - Group: https://www.facebook.com/groups/luyenthi.toan2016.thaytuan/
  2. Nguyễn Bá Tuấn PT – HPT – BPT  3 y (2 x  y )  x (5 y  4 x )  4 y 3 2 2 2 2 Bài 1. Giải hệ phương trình  ( x, y  R )   2  x  y  1  2  x  y 2 Lời giải Điều kiện: x  2; y  1; y3 (2 x  y)  0;5 y 2  4 x 2  0. Sử dụng bất đẳng thức AM  GM cho hai số không âm ta có: y 2  2 xy  y 2 x 2  5 y 2  4 x 2 5 y 2  3x 2 y 3  (2 x  y )  y 2 (2 xy  y 2 )   xy; x 2 (5 y 2  4 x 2 )   . 2 2 2 5 y 2  3x 2 Vì vậy ta phải có: 4 y 2  3xy   3( x  y )2  0  x  y. 2 Vậy phương trình đầu của hệ tương đương với: x  y. Thay y  x vào phương trình thứ 2 của hệ ta được: 2  x  x  1  2  x  x2 (*). Do 2  x  x  1  0 nên ta phải có: x2  x  2  0  x  1 ( do x  1 ) Khi đó phương trình (*) tương đương với:    x2  x  1  ( x  1  2  x )  ( x  x  1)  0  x 2  x  1 1  1   1   0.  x 1  2  x x  x  1  1 1  x2  x  1  0 ( do 1    0) x 1  2  x x  x  1  1 5 x  (t / m) 1 5 2  x y  1 5 2 x  (l )  2  1 5 1 5  Vậy hệ có nghiệm duy nhất ( x; y )   ;   2 2  Facbook:https://www.facebook.com/NguyenBaTuan.gvToan?fref=ts - Trang | 2 - Group: https://www.facebook.com/groups/luyenthi.toan2016.thaytuan/
  3. Nguyễn Bá Tuấn PT – HPT – BPT Bài 2 (THPT Minh Châu).  2 1 2  ( x  y )  x  y (2 x  y )  y  x(2 x  y ) (1) Giải hệ phương trình:  2( y  4) 2 x  y  3  ( x  6) x  y  1  3( y  2) (2)  Lời giải: x  0  x  0 ĐK  y  0  2 x  y  0 y  0  2 1 2 Nếu y= 0 thì (1)    (vô lý) x x 2 x2 Tương tự x= 0 không thỏa mãn, vậy x,y >0. 2 1 2 Đặt x  ty, t  0, phương trình đầu trở thành:   (1') ( t  1) t  2t  1 1  t (2t  1) 2 1 2 2 2 Ta có    t  2t  1 2t  2 2t  1 (2t  1)  2 2t  1  1 ( 2t  1  1) 2 2 2 1 1 1 (1')       (2) Đặt ( t  1)2 ( 2t  1  1) 2 1  t (2t  1) ( t  1) 2 ( 2t  1  1) 2 1  t (2t  1) a  t  1 1 1  (a, b  0), (2)(2)    (*)  b  2 t  1 (1  a ) 2 (1  b ) 2 1  ab 1 1 1 Bổ đề:   (1  a) (1  b) 1  ab 2 2 Áp dụng BĐT Cauchy-Schawarz ta có: 1 a 1 (1  ab)(a  b)  ( a  ab , b )2  a(1  b)2   . (3) (1  b) 2 ab ab 1 b 1 Tương tự  . (4) (1  a) 2 ab ab Cộng vế với vế ta được đpcm. Dấu “=” xảy ra  a  b (*)  t  2t  1  t  1  x  y. 2( x  4) x  3  ( x  6) 2 x  1  3( x  2)   4( x  4)2 ( x  3)  ( x  6) 2 (2 x  1) 4( x  4) 2 ( x  3)  ( x  6) 2  2( x  4) x  3  ( x  6) 2 x  1    2( x  4) x  3  ( x  6) 2 x  1 3( x  2) Facbook:https://www.facebook.com/NguyenBaTuan.gvToan?fref=ts - Trang | 3 - Group: https://www.facebook.com/groups/luyenthi.toan2016.thaytuan/
  4. Nguyễn Bá Tuấn PT – HPT – BPT ( Do ĐK x  3 nên x  2  0 ) 2( x  4) x  3  ( x  6) 2 x  1  3( x  2)  (5)  2 x 2  7 x  28 (6) 2( x  4) x  3  ( x  6) 2 x  1   3 Cộng vế (5) với (6) ta được: 2 x 2  7 x  28 4( x  4) x  3   3( x  2)  12( x  4) x  3  2( x  4)( x  12) 3  2( x  4)(6 x  3  x  12)  0  2( x  4)( x  3  6 x  3  9)  0  2( x  4)( x  3  3)2  0 x  4  y  4  x  6  y  6 Vậy hê phương trình đã cho có tập nghiệm T  (4; 4),(6;6) Bài 3 (THPT Phù Cừ).   x  x  y  1. 3 x  y  1  y  1 2 Giải hệ phương trình  ( x, y  )   x  y  1  2 x  y  5 x 2  3 y 2  3 x  7 y Lời giải:  x2  x  y  1  0  ĐK: 2 x  y  0 5 x 2  3 y 2  3x  7 y  0  x  0 Trường hợp 1: x2  x  y  1  0 từ (1)  y  1  0  y  1  x 2  x  0   x  1 x  1 Thử lại vào phương trình (2) thấy  thỏa mãn. Suy ra (1; 1) là nghiệm HPT.  y  1 Trường hợp 2: x2  x  y  1  0 y 1 y 1 (1)  3 x  y  1   3 x  y 1 1  1 x2  x  y  1 x2  x  y  1 x y2 ( x  y  1)( x  y  2)   3 ( x  y  1)  3 x  y  1  1 2 x2  x  y 1  y  1 Ta có: Facbook:https://www.facebook.com/NguyenBaTuan.gvToan?fref=ts - Trang | 4 - Group: https://www.facebook.com/groups/luyenthi.toan2016.thaytuan/
  5. Nguyễn Bá Tuấn PT – HPT – BPT  1 x  y 1   ( x  y  2)   0  3 ( x  y  1) 2  3 x  y  1  1 x 2  x  y  1y  1 x  y  2  0  x  y 1  1   0(*)  3 ( x  y  1) 2  3 x  y  1  1 x2  x  y  1  y  1  1  5  x x  x  y 1  0 2 2 Vì   x 2  x  y  1  2 x  1  x 2  x  1   2 x  y  0  1  5 x   2 Nên y  2 x  1  5  y  1  2  5  0  x  y  1  0. Do đó PT (*) vô nghiệm. Suy ra y  x  2 . Thế vào phương trình (2) ta được: 2 x  1  3x  2  8x2  2 x  2  2 x  1  3x  2  2(2 x  1) 2  2(3x  2)  1 2 2 x  1  a(a  ) Điều kiện x  . Đặt  3 3  3x  2  b(b  0)  Phương trình trở thành: a  b  2a 2  2b2  a 2  2ab  b2  2a 2  2b2  (a  b)2  0  a  b Từ đó ta có x  1 2 x  1  3x  2  4 x  4 x  1  3x  2  4 x  7 x  3  0   2 2 (t / m) x  3  4  ) x  1  y  1 . Thử lại HPT thấy thỏa mãn. 3 5 ) x   y   . Thử lại không thỏa mãn. 4 4 Vậy hệ phương trình có nghiệm ( x; y)  (1; 1).   x  3 xy  x  y  y  5 y  4 2 Bài 4 ( P thanh chƣơng ). Giải hệ phương trình   4 y  x  2  y 1  x 1  2 Facbook:https://www.facebook.com/NguyenBaTuan.gvToan?fref=ts - Trang | 5 - Group: https://www.facebook.com/groups/luyenthi.toan2016.thaytuan/
  6. Nguyễn Bá Tuấn PT – HPT – BPT Lời giải:  xy  x  y 2  y  0  ĐK: 4 y 2  x  2  0  y 1  0  Ta có (1)  x  y  3 ( x  y)( y  1)  4( y  1)  0 Đặt u  x  y , v  y  1(u  0, v  0) u  v Khi đó (1) trở thành : u 2  3uv  4v 2  0   u  4v(vn) Với u  v ta có x  2 y  1, thay vào (2) ta được: 4 y2  2 y  3  y 1  2 y  4 y 2  2 y  3  (2 y  1)  ( y  1  1)  0 2( y  2) y2   0 4 y  2 y  3  2 y 1 2 y 1 1  2 1   ( y  2)   0  4 y  2 y  3  2 y 1 2 y  1  1   2 1  y  2 ( vì   0y  1 ) 4 y2  2 y  3  2 y 1 y 1  1 Với y= 2 thì x= 5. Đối chiếu ĐK ta được nghiệm của hệ PT là (5;2). Bài 5 ( P hanh hƣơng ).  3 y  1  5 x  4  3xy  y  3  Giải hệ phương trình:  4( x 2  xy  y 2 ) ( x, y  R )  2x  2 y   2( x  y ) 2 2  3 Lời giải: Từ PT (2) ta có hệ PT có nghiệm khi x  y  0 đặt 4( x 2  xy  y 2 ) a  2 x2  2 y 2 , b  (a, b  0) ,PT(2) trở thành: 3 a  b  0 a  b  2(3b2  a 2 )  (a  b)(3a  5b)  0   3a  5b  0 Với a  b  0  x  y thay vào PT (1) ta được 3 y  1  5x  4  3x 2  x  3(*) Facbook:https://www.facebook.com/NguyenBaTuan.gvToan?fref=ts - Trang | 6 - Group: https://www.facebook.com/groups/luyenthi.toan2016.thaytuan/
  7. Nguyễn Bá Tuấn PT – HPT – BPT 1 ĐK: x   . Khi đó PT (*)  3( x2  x)  [( x  1)  3x  1]  [( x  2)  5x  4]=0 3  1 1   ( x 2  x)  3   0  x  1  3x  1 x  2  5 x  4  x  0  x2  x  0   (t / m) x  1 Với 3a  5b  0  a  b  0  x  y  0 là nghiệm của phương trình. Cách khác: Với x  y  ta có: 2 x 2  2 y 2  ( x  y)2  2 x 2  2 y 2  x  y ( x  y)2 4( x 2  xy  y 2 ) x 2  xy  y 2  ( x  y ) 2  xy  ( x  y ) 2    x y 4 3 4( x 2  xy  y 2 ) 2x2  2 y 2   2( x  y )  PT (2)  x  y 3 Bài 6 (THPT Lý Thái Tổ).  x 2  2 x  2( x 2  x) 3  2 y  (2 y  3) x 2  1  Giải hệ phương trình:  3 2 x 2  x3  x  2  2  3 2y   2x 1 Lời giải: 1 1 3 Điều kiện: x   ,   y  2 2 2 PT (1)  x2  2 x  1  2( x  1) x 3  2 y  x 2 (3  2 y)  0  ( x  1) 2  2( x  1) x 3  2 y  x 2 (3  2 y )  0   2  x 1 x 3  2 y 0  x 3  2 y  x  1 (3) Nhận thấy x  0 không là nghiệm của phương trình  x  0 x 1 1 Suy ra (3)  3  2 y   1 x x 1 3 2 x 2  x3  x  2 1 Thay vào PT (2) ta được: 1    (2 x  1) 1   x  2 3 2 x 2  x3 x 2x 1 x 3  1 1 2 2  1 1 2 2   2   1   1   3 1    1    1   1   3 1  (4)  x x x x  x x x x Xét hàm số f (t )  t 3  t , t  R Facbook:https://www.facebook.com/NguyenBaTuan.gvToan?fref=ts - Trang | 7 - Group: https://www.facebook.com/groups/luyenthi.toan2016.thaytuan/
  8. Nguyễn Bá Tuấn PT – HPT – BPT Ta có: f '(t )  3t 2  1  0t  R  Hàm số f(t) đồng biến trên R  1  2 1 2 Do đó, (4)  f  1    f  3 1    1   3 1  (5)   x   x x x   1 1  2a  0 Đặt a  ( 0)  (5) trở thành: 1  a  3 1  2a   (1  a)  (1  2a) 3 3 x  1 a   2  1  1  a   a    1 5 1 5  2  2  a  a a 3  a 2  a  0 a 2  a  1  0   2 2    1 5 a   2 1 5 5 1 1 5 Với a  x  (3)  3  2 y   0 (l ) 2 2 2 Vậy hệ phương trình đã cho vô nghiệm  ( x  5 y )  2 xy (6  x  5 y )  36 2 2 2 2 2 Bài 7 (THPT Nghèn). Giải hệ phương trình   5 y  x  6 x  2 xy  6 y  4 4 2 2 Lời giải: Điều kiện: xy  0,5 y 4  x 4  0 Xét PT (1) xem x 2  5 y 2 là ẩn chính ta có :   2 ( x 2  5 y 2 )2  2 xy (5 y 2  x 2 )  12 xy  36  0.  xy  6 . Do đó x2  5 y 2  6, x2  5 y 2  2 xy  6 (l ) Thay x 2  5 y 2  6 vào (2) ta có: 5 y 4  x 4   x 2  5 y 2  x 2  y 2   2 xy  5 y 4  x 4   5 y 4  5x 4   4 x 2 y 2  2 xy Xét f (t )  t 2  t , t  0 . Hàm số này đồng biến do đó 5 y 4  x 4  2 xy  x  y Thay vào x 2  5 y5  6 giải ra ta có x  y  1 Vậy hệ đã cho có nghiệm  x, y   1,1   1,  1 Bài 8 ( P hƣ hanh). Giải phương trình 4 5x3  6 x2  2  4 10 x3  8x2  7 x  1  x  13  0 Lời giải: Facbook:https://www.facebook.com/NguyenBaTuan.gvToan?fref=ts - Trang | 8 - Group: https://www.facebook.com/groups/luyenthi.toan2016.thaytuan/
  9. Nguyễn Bá Tuấn PT – HPT – BPT 5 x3  6 x 2  2  0  + Điều kiện  (*)   10 x 3  8 x 2  7 x  1  0 + Phương trình tương đương với 4 5x3  6 x2  2  4 10 x3  8x2  7 x  1  x  13 Với (*), áp dụng bất đẳng thức Cô-si ta được: (5 x3  6 x 2  2)  1 4 5 x3  6 x 2  2  4 1(5 x3  6 x 2  2)  4 (1) 2 Tương tự ta có (10 x3  8 x 2  7 x  1)  4 4 10 x3  8 x 2  7 x  1  2 4.(10 x3  8 x 2  7 x  1)  2 (2) 2 Từ (1) và (2) ta có VT  4 5x3  6 x2  2  4 10 x3  8x2  7 x  1  4 x2  7 x  9 Mặt khác ta lại có 4 x2  7 x  9  4 x2  7 x  9  4( x  1)2  x  13  VP 5 x3  6 x 2  2  1  + Vậy PT đã cho  10 x3  8 x 2  7 x  1  4  x  1 4( x  1) 2  0  Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất x  1 Bài 9 ( P chuyên ĩnh Phúc )   5 x  2 xy  2 y  2 x  2 xy  5 y  3( x  y ) (1) 2 2 2 2 Giải hệ phương trình:   x  2 y  1  2 12 x  7 y  8  2 xy  x  5  (2) 3 Lời giải: 5 x 2  2 xy  2 y 2  0  + ĐK: 2 x 2  2 xy  5 y 2  0  x  2 y  1  0 x  2 y 1  0  Khi hệ có nghiệm ( x, y)  1 x  y  0 Ta thấy 5x 2  2 xy  2 y 2  2 x  y (*) dấu bằng xảy ra khi x  y thật vậy (*)  5x2  2 xy  2 y 2  (2 x  y)2  ( x  y)2  0 luôn đúng với moi x, y  R Tương tự 2 x 2  2 xy  5 y 2  x  2 y (**) dấu bằng xảy ra x  y Từ (*) và (**)  VT 1  5x2  2 xy  2 y 2  2 x 2  2 xy  5 y 2  3( x  y)  VP1 Dấu đẳng thức xảy ra khi x  y (3) 1 Thế (3) vào (2) ta được: 3x  1  2 3 19 x  8  2 x 2  x  5 (4) đk x   3 Facbook:https://www.facebook.com/NguyenBaTuan.gvToan?fref=ts - Trang | 9 - Group: https://www.facebook.com/groups/luyenthi.toan2016.thaytuan/
  10. Nguyễn Bá Tuấn PT – HPT – BPT (4)  2( x2  x)  ( x  1  3x  1)  2( x  2  3 19 x  8)  0 x2  x x2  x  2( x  x)  2  2. 0 x  1  3x  1 ( x  2) 2  ( x  2) 3 19 x  8  3 (19 x  8) 2    1 1   ( x 2  x)   2   2. 0  x  1  3x  1 ( x  2)  ( x  2) 19 x  8  3 (19 x  8) 2 2 3   x 0   x  0 3 y0  x  x  0  2 (t / m)  x  1   y 1 3 Vậy hệ phương trình đã cho có hai nghiệm ( x, y)  (0,0);( x, y)  (1,1)  ( y  1)  (3x  2)  1  y 3x  2  3xy 2 3 Bài 10. Giải hệ phương trình  ( x, y  R )   x 3  3 x 2  12 x  (3 x  1) y  6  0 Lời giải: 2 ĐK: x   3 (1)  y( y  3x  2)  ( y  3x  2) 3x  2  0  ( y  3x  2)( y  3x  2)  0  y  3x  2   y  3x  2 Với y  3x  2 thay vào (2) ta được x3  3x 2  12 x  (3x  1)(3x  2)  6  0  x3  12 x 2  15 x  4  0  ( x  1)( x 2  11x  4)  0  x  1   x  11  105  2  11  105 29  3 105  Từ đó tìm được các nghiệm ( x, y )  (1,1);( x, y )   ,   2 2  Với y  3x  2 thay vào (2) ta được x3  3x2  12 x  (3x  1) 3x  2  6  0  (3x  2) 3x  2  3(3x  2)  3 3 x  1  1   x3  3x 2  3x  1  ( 3x  2  1)3  ( x  1)3  3x  2   x Facbook:https://www.facebook.com/NguyenBaTuan.gvToan?fref=ts - Trang | 10 - Group: https://www.facebook.com/groups/luyenthi.toan2016.thaytuan/
  11. Nguyễn Bá Tuấn PT – HPT – BPT x  0  x  1  2   x  3x  2  0  x  2 Từ đó tìm được các nghiệm là ( x, y) là (1,1),(2, 2) Bài 11 (THPT Hậu Lộc).   1 y2   ( x  1) 2  y 2  2 1   Giải hệ phương trình   x   2 4 y  ( y  x  3x  2)( 2  x  1) 2 3 2 Lời giải: + ĐK: x  0,  2  x  2 PT (1)  x( x  1)2  xy 2  2( x  1  y 2 )  ( x  1)( x 2  x  2)  y 2 ( x  2)  0  ( x  2)( x  1)( x  1)  y 2 ( x  2)  0  ( x  2)( x 2  y 2  1)  0  x  2  0 (l )  2 x  y  1 2 Với x2  y 2  1  x 2  1  y 2 , thay vào PT (2) ta được: 4 y 2  ( y 2  x3  3x  2)( y 2  1  1)  (4 y 2  1  1)  ( y 2  x3  3 x  2)( y 2  1  1)  4( y 2  1  1)( y 2  1  1)  ( y 2  x3  3x  2)( y 2  1  1)  4( y 2  1  1)  y 2  x3  3x  2  x3  3x  2  y 2  4 y 2  1 (3)  0  x  1 1  x  1 2 + Do x  y  1   2 2  0  y  1 1  y  1 2  + Xét hàm số f ( x)  x3  3x  2 trên đoạn [  1,1] Có f '( x)  3x2  3  f '( x)  0  x  1 Do hàm số f(x) liên tục trên đoạn [  1,1] và f (1)  0, f (1)  4 Suy ra min f ( x)  4; max f ( x)  0 x[ 1,1] x[ 1,1] Hay f ( x)  4, x [1,1] (a) + Xét hàm số g ( x)  y 2  4 y 2  1 trên đoạn [  1,1] Facbook:https://www.facebook.com/NguyenBaTuan.gvToan?fref=ts - Trang | 11 - Group: https://www.facebook.com/groups/luyenthi.toan2016.thaytuan/
  12. Nguyễn Bá Tuấn PT – HPT – BPT 4y  y  0  [  1,1] Có g '( y)  2 y   g '( y)  0   y2 1  y   3  [  1,1] Do hàm số g(y) liên tục trên đoạn [  1,1] và g (1)  g (1)  1  4 2 ; g (0)  4 Suy ra min g ( y)  1  4 2 ; max g ( y)  4 x[ 1,1] x[ 1,1] Hay g ( y)  4, y [  1,1] (b) x  1 + Từ (a) và (b) suy ra PT (3)  f ( x)  g ( y)  4   (t / m PT (1)) y  0 Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất ( x, y)  (1, 0)   xy  2  y x  2 2 (1) Bài 12. Giải hệ phương trình  ( x, y  R )  y  2( x  1) x  2 x  3  2 x  4 x  2 2 2 (2) Lời giải: Vì x2  2  x  x 2  x  x  x  0x  R  x 2  2  x  0x  R 2 Nên ta có (1)  y( x 2  2  x)  2  y   x2  2  x x 2 x 2 Thế y  x 2  2  x vào PT (2), ta có: ( x 2  2  x) 2  2( x  1) x 2  2 x  3  2 x 2  4 x  1  x x 2  2  2 x  ( x  1) x 2  2 x  3  0  ( x  1) 1  ( x  1) 2  2   (  x) 1  (  x) 2  2  (*)     Xét hàm số f (t )  t (1  t 2  2) . Ta có: t2 f '(t )  1  t 2  2   0, t  R  f (t ) đồng biến trên R t2  2 1 (*)  f ( x  1)  f ( x)  x  1   x  x   2 1 x    y 1 2  1  Vậy hệ có nghiệm ( x, y )    ,1  2  3y 2  x  8 2  x  10y  3xy  12 Bài 13 (Chuyên Hạ Long). Giải hệ phương trình:  5y 2  x  8  6y  xy 2  x 3 2 3 Lời giải: Facbook:https://www.facebook.com/NguyenBaTuan.gvToan?fref=ts - Trang | 12 - Group: https://www.facebook.com/groups/luyenthi.toan2016.thaytuan/
  13. Nguyễn Bá Tuấn PT – HPT – BPT ĐK: 2  x  2 Nhận xét y = 0 không thỏa mãn phương trình (2) 3 2 2   3 (2)  2 x  3 2  x     3   (*)  y  y Xét hàm số f (t )  t 3  3t trên R  hàm số đồng biến trên R 2 (*)  f   2 2  x  f    2  x  thế vào (1) x    y y  2; 2  (1)  3y 2  x  8 2  x  10y  3xy  12  3 2  x  4 2  x 2  x  10  3x  6 2  x  3 2  x  6 2  x  4 4  x 2  3x  10  0(**) Đặt 2  x  2 2  x  t  t 2  10  3x  4 4  x2 t  0 Phương trình (**) trở thành 3t  t 2  0   t  3 6 - Với t  0 : x  ,y  5 5 - Với t  3 : 2  x  2 2  x  3 , phương trình VN vì vế trái  2 Bài 14 ( huyên à ĩnh).  x  (y  y  1) x  2  y  y  2  0 2 2 2 3 Giải hệ phương trình:  (x, y  R).   3 y 2  3  xy 2  2x  2  x  0 Lời giải: ĐK: y2  2  0; xy2  2x  2  0. x2  (y2  y  1) x2  2  y3  y  2  0  ( x2  2  y)(y 2  x2  2  1)  0  y  0  y  x2  2   2 ( Do y2  x2  2  1  0x, y ) y  x  2 2  Thay y2  x2  2 vào PT thứ hai của hệ ta được pt sau với ĐK: x  3 2 Facbook:https://www.facebook.com/NguyenBaTuan.gvToan?fref=ts - Trang | 13 - Group: https://www.facebook.com/groups/luyenthi.toan2016.thaytuan/
  14. Nguyễn Bá Tuấn PT – HPT – BPT 3 x 2  1  x 3  2  x  0  ( 3 x 2  1  2)  x  3  x 3  2  5  x3  (x  3)(x 2  3x  9)  (x  3)   1   3 (x 2  1)2  2 3 x 2  1  4  x3  2  5 x  3   x3 x 2  3x  9 1 (*)  3 (x 2  1)2  2 3 x 2  1  4 x 3  2  5  Ta thấy: x 2  3x  9 )  2  x 2  3x  1  2 x 3  2  (x 2  3x  1) 2  4(x 3  2) x 2 5 3  (x 2  x)2  (x  3)2  5x 2  0x x3 )  1  2  3 (x 2  1)2  2 3 x 2  1  1  x(**) 3 (x 2  1)2  2 x 2  1  4 3 Đặt t  3 x2  1,t  0 . Khi đó (**) trở thành t 2  2t  1  t 3  1  (t 2  2t  1)2  t 3  1  t 4  3t 3  6t 2  4t  0 Đúng t  0. Suy ra (*) vô nghiệm Vậy hệ có nghiệm duy nhất (x; y)  (3; 11). Bài 15 ( P hu ăn An) 4 2 Giải bất phương trình: 3(x2  2)   x( x  1  3 x 2  1). x x1 2 Lời giải: ĐK: x  1. Với điều kiện đó 8 2 BPT  6(x2  2)   2 x2  x  6 x x2  1  0 2 x x1  4 2   3( x2  1  x)2  ( x2  x  1)2  2   x 2  x  5   0.  2   x x1  4 2 2 2 Xét hàm số f(t)   t  5 với t  0. Ta có f '(t)  1  . t 1 (t  1) t  1 - f '(t)  0  t  1. - Bảng xét dấu x 0 1  f '(x)  0  Suy ra f(t)  f(1),  t  0;    f(t)  0,  t  0;   . Dấu “=” xảy ra  t  1. Facbook:https://www.facebook.com/NguyenBaTuan.gvToan?fref=ts - Trang | 14 - Group: https://www.facebook.com/groups/luyenthi.toan2016.thaytuan/
  15. Nguyễn Bá Tuấn PT – HPT – BPT Do x2  x  0, x  0;     x2  x  5  0, x  0;   . 4 2 2 x x 1 1 5 Dấu “=” xảy ra khi x2  x  1  x  . 2 Khi đó:  4 2  3( x2  1  x)2  ( x2  x  1)2  2   x2  x  5   0  2   x x1    x2  1  x  0  1 5   x2  1  1  0 x .  2  4 2   x2  x  5  0  x  x  1 2 1  5   Tập nghiệm của bất phương trình đã cho là: S  1;   \  .  2    Bài 16 (THPT Hàn Thuyên Bắc Ninh Lần 1) 8x3  y  2  y y  2  2x Giải hệ phương trình  3 ( y  2  1) 2x  1  8x  13(y  2)  82x  29 Lời giải  1 2x  1  0 x   ĐK:   2 y  2  0 y  2    2 Phương trình 8x3  y  2  y y  2  2x  (2x)3  2x  y2  y2 Xét hàm đặc trưng f(t)  t 3  t ,f '(t)  3t 2  1  0t Hàm số f(t) liên tục và đồng biến trên R. Suy ra 2x  y  2 Thế 2x  y  2 vào phương trình thứ hai ta được: (2x  1) 2x  1  8x 3  52x 2  82x  29  0  (2x  1) 2x  1  (2x  1)(4x 2  24x  29)  (2x  1)( 2x  1  4x 2  24x  29)  0 1  2x  1  0  x   y  3 2 Hoặc 2x  1  4x2  24x  29  0 Giải phương trình 2x  1  4x2  24x  29  0 Đặt t  2x  1, t  0  2x  t2  1 Facbook:https://www.facebook.com/NguyenBaTuan.gvToan?fref=ts - Trang | 15 - Group: https://www.facebook.com/groups/luyenthi.toan2016.thaytuan/
  16. Nguyễn Bá Tuấn PT – HPT – BPT Ta được phương trình: t  (t 2  1)2  12(t 2  1)  29  0  t 4  14t 2  t  42  0  (t  2)(t  3)(t 2  t  7)  0 t  2   t  3(l)    t  1  29 (l)  2  1  29 t   2 3 Với t  2  x   y  11 2 1  29 13  29 103  13 29 Với t  x y 2 4 2 1  3   13  29 103  13 29  Vậy hệ phương trình đã cho có ba cặp nghiệm  , 3  ;  ,11 ;  ,  2  2   4 2  Bài 17(chuyên Đ inh lần 3 2015) Giải phương trình 8x2  10x  11  14x  8  11(1) Lời giải 11 ĐK: x   10 (1)  4(2x2  x  1)  ( 10x  11  2x  3)  ( 14x  18  2x  4)  0 2(2x2  x  1) 2(2x 2  x  1)  4(2x2  x  1)   0 10x  11  2x  3 14x  18  2x  4  x  1  2x2  x  1  0   (t / m) x  1  2 1 1 f(x)  2   0 10x  11  2x  3 14x  18  2x  4 11  11 Ta có f '(x)  0x    f(x) đồng biến trên   10 ,   10   11  Từ đó f(x)  f     0 nên trường hợp này vô nghiệm  10   1 Đáp sô: S  1,   2 Lưu ý: Facbook:https://www.facebook.com/NguyenBaTuan.gvToan?fref=ts - Trang | 16 - Group: https://www.facebook.com/groups/luyenthi.toan2016.thaytuan/
  17. Nguyễn Bá Tuấn PT – HPT – BPT 1 + Học sinh chỉ tìm được 1 nghiệm cho điểm 4 1 + Học sinh tìm được 2 nghiệm mà không chứng minh được phần còn lại vô nghiệm cho điểm 2  Có thể CM f(x)  0 như sau: 11  11  4 x  10x  11  2x  3  2     3  10  10  5  11  9 14x  18  2x  4  2     4   10  5 5 5  f(x)  2    0 4 9  Có thể nhẩm nghiệm và tách thành tích: (1)  (x  1)(2x  1)h(x)  0 rồi CM h(x) vô nghiệm Bài 18 (chuyên Đ inh lần 4 2015) Giải phương trình 4  x2  2 3 x4  4x3  4x2  (x  1)3  1  x Lời giải *) Điều kiện : 4  x2  0  2  x  2 Phương trình đã cho tương đương với   2 x  4  x2  x2  2x  2 3 x2  2x 2 1 Ta có  x  4  x2  = 4  2 x 4  x2  4 , với mọi x  2; 2 .   Suy ra x  4  x2  2 , với mọi x  2; 2 (2) Dấu đẳng thức ở (2) xảy ra khi và chỉ khi x  0,x  2 Đặt 3 x2  2x  t .Dễ dàng ta có được t    1; 2  , với mọi x  2; 2 Khi đó vế phải của (1) chính là f(t)  t 3  2t 2  2, t    1; 2  t  0 Ta có f '(t)  3t 2  4t  0   t  4  3 4 22 Hơn nữa , ta lại có f(1)  1,f(0)  2,f    ,f(2)  2  3  27 Suy ra f(t)  2 ,với mọi t  1; 2 Do đó Facbook:https://www.facebook.com/NguyenBaTuan.gvToan?fref=ts - Trang | 17 - Group: https://www.facebook.com/groups/luyenthi.toan2016.thaytuan/
  18. Nguyễn Bá Tuấn PT – HPT – BPT   2 x2  2x  2 3 x2  2x  2  2 ,với mọi x  2; 2 (3) Dấu đẳng thức ở (3) xảy ra khi và chỉ khi x  0,x  2 Vậy phương trình đã cho có nghiệm x  0,x  2 Bài 19 (THPT Trần ƣng Đạo) 2 y  2  3 y  2  x 3  4  x Giải hệ phương trình  (1)  2 2 2  (y  4)(2y  12)  8  x  y  (x  2)(x  y) (2) Lời giải  y   3 4 ĐK:  2 x  y + Từ PT (2) ta có: (y  4)(2y  12)  8  x 2  y  (x 2  2)(x 2  y)  x2  8  y  (y  4)(2y  12)  (x 2  2)(x 2  y)  0  2(x2  8  y)  2 (y  4)(2y  12)  2 (x 2  2)(x 2  y)  0  2y  8  y  6   2 2  x 2  x y   y  2  y  2  0   2   x2  2  x2  y   0 2  2y  8  y  6   + Thay vào PT (1) ta được: 2 y  2  3 y  2  x3  4  x  y  2  3 y  2  x3  4  x   3  3 y2  4  3 y  2  x3  4  x + Xét hàm số f(t)  t  t 3  4 , t  R ta có: 3t 2 f '(t)  1   0(t  R) 2 t3  4 f3  f(x)  y2   3 y2 x Facbook:https://www.facebook.com/NguyenBaTuan.gvToan?fref=ts - Trang | 18 - Group: https://www.facebook.com/groups/luyenthi.toan2016.thaytuan/
  19. Nguyễn Bá Tuấn PT – HPT – BPT  y  2  0 x   3 4 + Vậy ta sẽ có   (t / m) 3  y  2  x  y  2 Kết luận nghiệm duy nhất của hệ là (x.y)   3 4 , 2   Bài 20 (THPT Lý Thái Tổ) xy  y 2  2y  x  1  y  1  x (1) Giải hệ phương trình  3 6  y  3 2x  3y  7  2x  7 (2) Lời giải ĐK: x  0 ,1  y  6,2x  3y  7  0 (*) x  0 Nhận thấy  không là nghiệm của hệ phương trình y  1  y 1  x  0 Khi đó, PT (1): y 1 x  x(y  1)  (y  1)2  y 1  x y 1 x  (y  1)(x  y  1)  y 1  x  1   (x  y  1)  y  1  0  y  1  x    x y 1 0  y  x  1(do(*)) Thay vào PT (2) ta được: 4 3 5  x  3 5x  4  2x  7 DK :  x  5(**) 5  3 5  x  (7  x)  3( 5x  4  x)  0 4  5x  x 2 3( 4  5x  x 2 )   0 3 5  x  (7  x) 5x  4  x  1 3   ( 4  5x  x 2 )   0  3 5  x  (7  x) 5x  4  x    x 2  5x  4  0(do(**)) x  1  t  2  (t / m (*)(**)) x  4  y  5 Vậy hệ phương trình có nghiệm là (1; 2),(4; 5) . Bài 21 (THPT Quỳnh ƣu 2015) Facbook:https://www.facebook.com/NguyenBaTuan.gvToan?fref=ts - Trang | 19 - Group: https://www.facebook.com/groups/luyenthi.toan2016.thaytuan/
  20. Nguyễn Bá Tuấn PT – HPT – BPT  9x2  9xy  5x  4y  9 y  7 Giải hệ phương trình  2  x  y  2  1  9(x  y)  7x  7y Lời giải  9x2  9xy  5x  4y  9 y  7 (1) Giải hệ phương trình  2  x  y  2  1  9(x  y)  7x  7y (2) ĐK: x  y  0 .Nếu x  y thì (2) vô nghiệm nên x  y (2)  x  y  2  7x  7y  1  3  x  y   0 2 2  6x  6y   (1  3x  3y)(1  3x  3y)  0 x  y  2  7x  7y  2   (1  3x  3y)   (1  3x  3y)  0  x  y  2  7x  7y   2  x  y  0 nên   (1  3x  3y)  0 suy ra 1  3x  3y  0  x  y  2  7x  7y  1 Thay y  x  vào phương trình (1) ta được 3  1  1 1 9x 2  9x  x    5x  4  x    9 x   7  3  3 3 8 1  18x 2  8x  6x  9 x 0 3 3 2  2x(9x  4)  (9x  4)  3( 9x  3  1)  0 3  2 3  4  (9x  4)  2x   0x vi x  0  3 9x  3  1  9 4 1 4 1 Với x  thì y  .Vậy hệ có nghiệm (x, y)   ;  9 9 9 9 Bài 22 (Đặng Thúc Hứa)  (2x2  y2  y  1)y  2x2  1  Giải hệ phương trình  (x, y  R)  2 2 x  y 1  x  1  (1  y) x Lời giải Điều kiện 0  x  1 (1)  (2x2  1)(y  1)  y2 (y  1)  0  (y  1)(2x 2  y 2  1)  0 x  1 Với y  1 ,thay vào (2) ta có x2  1  x2  1  1  x2  1  1  x2   0   ( do 0  x  1 )   x  0 Facbook:https://www.facebook.com/NguyenBaTuan.gvToan?fref=ts - Trang | 20 - Group: https://www.facebook.com/groups/luyenthi.toan2016.thaytuan/
ADSENSE

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

THÔNG TIN
TRỢ GIÚP
HỖ TRỢ KHÁCH HÀNG
Theo dõi chúng tôi

Chịu trách nhiệm nội dung:

Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA

LIÊN HỆ

Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM

Hotline: 093 303 0098

Email: support@tailieu.vn

Giấy phép Mạng Xã Hội số: 670/GP-BTTTT cấp ngày 30/11/2015 Copyright © 2022-2032 TaiLieu.VN. All rights reserved.

 

Đồng bộ tài khoản
2=>2