ỨNG DỤNG SỰ BIẾN THIÊN

Chia sẻ: Nguyen Cong Tuan Anh | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:4

Thêm vào BST

Báo xấu

128
lượt xem 40
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tham khảo tài liệu 'ứng dụng sự biến thiên', tài liệu phổ thông, ôn thi đh-cđ phục vụ nhu cầu học tập, nghiên cứu và làm việc hiệu quả

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: ỨNG DỤNG SỰ BIẾN THIÊN

ỨNG DỤNG SỰ BIẾN THIÊN Tìm điều kiện phương trình, bất phương trình có nghiệm Nguyễn Lái GV.THPT Chuyên Lương Văn Chánh A.PHƯƠNG TRÌNH. PHƯƠNG PHÁP .Cho phương trình có chứa tham số m : h(x,m) = g(x,m). ⎧ y = f ( x ) ( a) Biến đổi phương trình về dạng f(x) = m (1) ⇒⎨ (2) ⎩y = m (b) Số nghiệm phương trình (1) là số giao điểm của hai đồ thị (a) và (b). Lập bảng biến thiên của đồ thị (a) suy ra kết quả. +Nhiều khi cần đặt ẩn phụ t = α (x ) ïrồi đưa về phương trình dạng (1) kèm theo điều kiện . Tìm điều kiện để phương trình mới có nghiệm là tìm giá trị của hàm số t = α (x ) . Có ba phương pháp cơ bản để tìm giá trị : 1) Dùng bảng biến thiên; 2)Dùng bất đẳng thức ; 3)Dùng điều kiện p/t có nghiệm . Các bài tập minh hoạ. Bài 1. Chứng minh rằng phương trình sau đây có ba nghiệm phân biệt : x3 -3x2+3 = 0 . HD :Cách 1. Phương trình trên là phương trình hoành độ giao điểm của trục hoành y = 0 và đường cong y = x3 -3x2 + 3 là một hàm số xác định trong tập R có đạo hàm y’ = 3x2 – 6x khi y’ = 0 thì x = 0 ; x = 2 x −∞ 0 2 +∞ y’ + 0 - 0 + y 3 +∞ −∞ -1 Dựa vào bảng biến thiên ta nhận thấy đồ thị cắt trục hoành tại ba điểm nên phương trình trên có ba nghiệm. Cách 2 .Đặt f(x) = x3 -3x2 + 3 là một hàm số xác định trong tập R có đạo hàm f’(x) = 3x2 – 6x khi f’(x) = 0 ⇒ x = 0 ; x = 2 và f min . f max = f(0).f(2) =-3 < 0 Suy ra phương trình luôn có ba nghiệm phân biệt. Bài 2 :Chứng minh đường cong y = (m+1)x3 – (3m – 1)x2 – x +3m luôn qua ba điểm cố định. HD :Phương trình hàm số viết lại :m(x3-3x2+3) = y – x3 +x2 + x. ⎧ 3 2 ⎪ x − 3x + 3 = 0 Để đường cong qua điểm cố định thì thỏa ⎨ ⎪y = x 3 − x 2 − x ⎩ Đặt f(x) =x3-3x2+3 . Ta chứng minh phương trình này có ba nghiệm .(theo cmt) Bài 3 : Định m để phương trình : x3 -3x2 + 3 – m = 0 có ba nghiệm phân biệt, trong đó có đúng hai nghiệm lớn hơn 1 . ⎧y = x 3 − 3x 2 + 3 HD :Phương trình trên tương đương x3-3x2+1 = m ⇔ ⎨ ⎩y = m Số nghiệm phương trình trên là số giao điểm của đồ thị y = x 3 − 3 x 2 + 3 và đồ thị y = m Ta có y(1) = 1, dựa vào bảng biến thiên suy ra kết quả – 1 < m < 1 . Bài 4 : Định tham số k để phương trình sau đây có đúng một nghiệm 27x - 32x+1+ 2 – k = 0 . HD : Phương trình tương đương 27x-3.9x+2 = k Đặt t = 3x (đk t > 0 ) . Phương trình trở thành t3 -3.t2 +2 = k .Lập bảng biến thiên ⇒ kết quả. Bài 5 .Định a để phương trình sau đây có hai nghiệm trong khoảng ( 0 ; 1800) 3sinx – sin3x + 6cos2x +6 – a = 0.
HD : Phương trình tương đương 3sinx – 3sinx +4sin3x+6 – 12sin2x +6 = a a ⇒ sin3x – 3sin2x + 3 = .Đặt t = sinx . Vì x thuộc ( 0 ; 1800) nên 0 < t
Bài 5.Định tham số m để phương trình sau có nghiệm : sin23x = 4cos4x + m Bài 6.Cho phương trình (cos 3x − 4 cos 2 x + 3 cos x + sin 2 x − 5) 16 − x 2 = m 16 − x 2 . π Tìm tham số m để phương trình có nghiệm thuộc đoạn [0 ; ] . 2 ⎛ ⎛ π ⎞⎞ Bài 7.Cho phương trình: log 2 2 ⎜ cos 2 ⎜ x − ⎟ ⎟ − 4 log 2 (cos x + sin x ) − 2 − 4m = 0. ⎜ ⎝ ⎝ 4 ⎠⎟ ⎠ Định tham số m để phương trình có nghiệm. Bài 8.Tìm m để phương trình :41+x +41-x = (m+1)(22+x – 22-x) + 2m có nghiệm thuộc [0;1] . π Bài 9.Định tham số m để phương trình sin 2 x + 2 2 sin( x − = m có nghiệm. 4 ⎡ π⎤ Bài 10.Tìm m để phương trình cos 2 x = m(cos 2 x ) 1 + tgx có nghiệm thuộc ⎢0; ⎥. ⎣ 3⎦ Bài 11.Định m để phương trình log3(x2+6x+8)+log3(x2+14x+48) = m có 3 nghiệm phân biệt. x −1 Bài 12.Định k để p/t k .( x − 1)log 2 4 = ( x − 1) có hai nghiệm phân biệt thoa :2
HD : Vì nghiệm x ∈ [0;1] ,nên bất phương trình tương đương x 4 + 2 x 2 + 1 + m ≤ x 4 + 2 x 2 . Đặt t = x 4 + 2x 2 , ∀x ∈ [0;1] ⇒ t ∈ [0; 3 ] . Bất phương trình viết lại m ≤ t 2 − t − 1 = f (t ) . Để bất phương trình thỏa ∀x ∈ [0;1] tương đương 1 bất phương trinh m ≤ t 2 − t − 1 = f (t ) có nghiệm ∀t ∈ [0; 3 ] ⇔ m ≤ min f (t ) = f ( ) . t∈[ 0 3 ] 2 1 1 Bài 5 :Tìm m để hàm số y = mx 3 − (m − 1) x 2 + 3(m − 2) x + đồng biến trong khoảng [2 ; + ∞ ). 3 3 HD :Ta có đạo hàm y’=mx2-2(m-1)x+3(m-2) . ycbt ⇔ y' = mx 2 - 2(m - 1)x + 3(m - 2) ≥ 0 ∀x ≥ 2 6 − 2x 2 m ≥ g( x ) = 2 ∀x ≥ 2 ⇔ m ≥ Max g( x ) = g(2) = . x − 2x + 3 x ≥2 3 x − 2ax + 3a 2 2 Bài 6 . Tìm m để hàm số y = nghịch biến trong (1 ; + ∞ ). 2a − x − x 2 + 4ax + a 2 HD : Ta có đạo hàm y ' = ( 2a − x ) 2 Min g( x ) ≥ 0 − x 2 + 4ax + a 2 ⎧g( x ) = x 2 − 4ax − a 2 ≥ 0 ∀x > 1 ⎧ ≥1 ⎪ Ycbt ⇔ y' = ≤ 0 ∀x > 1 ↔ ⎨ ↔⎨ (2a − x ) 2 ⎩2a ≤ 1 ⎪2a ≤ 1 ⎩ ⎧Ming ( x) = g (1) = a − 4a + 1 ≥ 0 ⎪ 2 Xét g’(x)=2(x-2a) suy ra ⎨ x ≥1 ⇔ a ≤ 2− 3. ⎪2 a ≤ 1 ⎩ ⎧ x+ y =3 ⎪ Bài 7 .Tìm a để hệ ⎨ có nghiệm (x;y) thỏa mãn điều kiện x ≥ 4 . ⎪ x+5 + y+3 ≤ a ⎩ HD: Đặt x = t ⇒ y = (t − 3) 2 . Vì x ≥ 4 ⇒ t ≥ 2 . Hệ trên có nghiệm khi bất phương trình f(t)= t 2 + 5 + t 2 − 6t + 12 ≤ a có ít nhất một nghiệm thỏa t ≥ 2 ⇔ min f (t ) ≤ a . t ≥2 t 2t − 6 Ta có f’(t) = + > 0 mọi t thuộc [2; + ∞ ) suy ra hàm số f(t) luôn đồng biến t2 + 5 2 t 2 − 6t + 12 trong [2; + ∞ ) . Do đó min f (t ) = f (2) = 5 ⇒ a ≥ 5 . t ≥2 Bài tập đề nghị : ⎧ 2 ⎪3 x + 2 x − 1 < 0 Bài 1 : Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm ⎨ ⎪ x 3 + 3mx + 1 < 0 ⎩ Bài 2.Định tham số m để bất phương trình sau đây có nghiệm 27x - 32x+1+ 2 – k > 0 . Bài 3.Tìm k để bất phương trình sau đây có nghiệm : x + 2 − k x 2 + 1 < 0 . Bài 4.Định tham số m để bất phương trình (x 2 + 1) + m ≤ x x 2 + 2 + 4 có nghiệm ∀x ∈ [0;1]. . 2 ( ) ( Bài 5. Định m để bất phương trình sau có nghiệm: log 2 2 + 2 x + log 2 1 + 2 x + x − m ≤ 0 2 ) Bài 6.Định k để bất phương trình lg( - 2x2 – x +2) ≥ lg(-x2+x –k) có nghiệm x ≥ 0 . ( Chắc có điều thiếu sót, mong các bạn góp ý trao đổi. Chân thành cảm ơn!)