Giả sử (X1, X2,…, Xn) là mẫu ngẫu nhiên độc lập từ phân phối f(x, hợp lí. Thống kê được gọi là ước lượng cực đại của nếu L (X/ (X) L(X/ ) với mọi
AMBIENT/
Chủ đề:
Nội dung Text: Ước lượng hợp lí cực đại
- 1. Phương pháp hợp lí cực đại
Định nghĩa 1.1. Giả sử (X1, X2,…, Xn) là mẫu ngẫu nhiên độc lập từ
phân phối f(x, ), Î U. Hàm L(X/ ) = f(X1, )f(X2, ) … f(Xn, ) được gọi là hàm
hợp lí.
Định nghĩa 1.2. Thống kê được gọi là ước lượng hợp lí cực đại của
nếu
L(X/ (X) L(X/ ) với mọi .
*(X) = được gọi là ước lượng hợp lí cực đại của hàm tham số t( ).
Ø Trường hợp một tham số.
Để tìm ước lượng hợp lí cực đại, ta có thể sử dụng phương pháp tìm cực đại hàm
L(X/ ) mà chúng ta đã từng quen biết. Ta biết rằng để cho hàm L(X/ ) có cực trị địa
phương tại = điều kiện cần là . Giải phương trình này, tìm các
nghiệm của nó sau đó ta xét dấu của đạo hàm hạng nhất hay hạng hai để tìm cực đại
hàm L(X/ ).
Ví dụ 1.3. Giả sử (X1, X2,…, Xn) là mẫu ngẫu nhiên độc lập từ phân phối Poisson với
tham số > 0. Tìm ước lượng hợp lí cực đại của .
Giải. Phân phối của Xi là
P[Xi = xi] = ; xi = 0, 1, 2,…
Hàm hợp lý
- => lnL(X, ) = (ln ) -n - ln =>
Vậy nếu =>
Ta lại có
" .
Vậy tại thì tức là hàm L(X, ) đạt cực đại. Từ đó suy ra
là ước lượng hợp lý cực đại của .
Ø Trường hợp tham số là một vectơ =( 1,…, )
r
Làm tương tự như trường hợp 1 tham số. Ta giải hệ phương trình
(*)
Giải hệ này ta tìm được
Đặ t . Nếu ma trận
- là xác định không âm thì tại = 0 hàm hợp lí L(X, ) đạt cực đại.
Ví dụ 1.4. Giả sử (X1, X2,…, Xn) là mẫu ngẫu nhiên từ phân phối chuẩn N(a; 2
). Tìm
ước lượng hợp lí cực đại của (a; 2
).
Giải. Ta có
2
=> Lnf(Xi, a, )=
=> và
Thay vào hệ (*) ta có
=> là ước lượng hợp lí cực đại của (a; 2
).
2. Ước lượng khoảng
- Định nghĩa 2.1. Khoảng ( 1(X), 2(X)) được gọi là khoảng ước lượng của tham số
với độ tin cậy 1 - nếu
P[ 1 (X) < < 2(X)] = 1- .
Khoảng ( 1 (X), 2 (X)) được gọi là khoảng tin cậy. Giá trị 1- gọi là độ tin cậy.
Hiệu 1- 2 gọi là độ chính xác của ước lượng.
Chú ý: Thông thường người ta chọn ( 1, 2) sao cho là nhỏ nhất.
a. Khoảng ước lượng của xác suất p trong phân phối nhị thức
Giả sử k là số lần xuất hiện biến cố A trong dãy n phép thử Bernoulli. Giả thiết xác
suất biến cố A xuất hiện trong mỗi phép thử là p. Xét xác suất;
.
với 1 - là độ tin cậy cho trước. Biến đổi ở vế trái của đẳng thức trên ta có
Đặ t x = và thay ở biểu thức dưới căn bậc hai p bằng thì
(1)
Mặt khác, theo Định lí Laplace ta có
- Trong đó
Suy ra
Từ đó ta có .
Vậy nếu cho ta tính được và tra bảng phân phối chuẩn N(0;1) ta tìm được x
.
Từ (1) ta có . Biến đổi suy ra khoảng ước lượng cho p là
Ví dụ 2.2. Trong đợt vận động bầu cử, phỏng vấn 1600 cử tri được biết 960 người
trong số đó sẽ bỏ phiếu cho ứng cử viên A. Với độ tin cậy 95% , tối thiểu ứng cử viên
A sẽ chiếm được bao nhiêu phần trăm phiếu.
Giải. Ta có = và x =1,96. Thay vào công thức trên ta có
Vậy với độ tin cậy 95%, tối thiểu ứng cử viên A chiếm được 57% số phiếu bầu của
cử tri A.
- b. Khoảng ước lượng của kỳ vọng a trong mẫu từ phân phối chuẩn N(a; 2
).
Giả sử (X1, X2,…, Xn) là mẫu ngẫu nhiên độc lập từ phân phối chuẩn N(a; 2
).
• Trường hợp đã biết
Xét xác suất P với 1 - là độ tin cậy đã cho. Ta có
(2)
Vì X1, X2,…, Xn là dãy biến ngẫu nhiên độc lập có phân phối chuẩn như nhau dạng
N(a; 2
) nên cũng có phân phối chuẩn với kỳ vọng E( ) = a và phương sai
. Vì vậy có phân phối chuẩn kỳ vọng bằng 0 và phương sai bằng 1.
Nế u đặ t thì từ (2) ta suy ra
và từ đó .
- Giải ta nhận được khoảng ước lượng của a là
• Trường hợp chưa biết.
Tương tự như trường hợp trên ta xét xác suất . Biến đổi vế trái
(3)
trong đó .
Ta đã biết là độc lập với nhau; có phân phối chuẩn dạng N(0;1)
và có phân phối 2
(n - 1) với n - 1 bậc tự do.
Vì vậy
=
có phân phối Student với n - 1 bậc tự do.
- Nế u đặ t thì từ (3) ta suy ra
hay
Vậy khoảng ước lượng của a với độ tin cậy 1 - là
trong đó t tra ở bảng phân phối Student với n - 1 bậc tự do và mức ý nghĩa .
Khi kích thước mẫu n thì phân phối xác suất của tiến tới phân phối
chuẩn N(0; 1). Vì vậy với n > 30 (ta xem như kích thước mẫu lớn) ta xấp xỉ nó với
phân phối chuẩn dạng N(0; 1) sao cho .
Ví dụ 2.3. Quan sát chiều cao của 100 nam sinh viên trong một khoá học ta có chiều
cao trung bình là với độ lệch mẫu S = 8,25 Chứng minh. Với độ tin cậy
95%, xác định khoảng ước lượng của chiều cao trung bình của nam sinh viên.
Giải. Do n =100 khá lớn nên t được tra bảng chuẩn. Có t = 1,96. Từ đó
- • Khoảng ước lượng của phương sai 2
trong mẫu từ phân phối chuẩn N(a;
2
).
Từ kết quả có phân phối 2
với n - 1 bậc tự do ta tìm khoảng ước
lượng của 2
bằng cách sau: Tìm t1, t2 sao cho
P[t1 £ t1] = 1 - và P[ 2
> t2] = . Khoảng ước lượng của
2
với độ tin cậy 1 - là
Ví dụ 2.4. Để xác định chiều cao trung bình của các cây bạch đàn trong một khu rừng,
tiến hành đo ngẫu nhiên 35 cây và thu được kết quả sau
Chiều cao 6,5 – 7,0 – 7,5 7,5 – 8,0 8,0 – 8,5 8,5 – 9,0 9,0 – 9,5
X (m) 7,0
Số cây (ni) 2 4 10 11 5 3
Giả thiết chiều cao của các cây bạch đàn là đại lượng ngẫu nhiên có phân phối
chuẩn. Với độ tin cậy 95%, xác định khoảng ước lượng cho phương sai DX.
Giải. Ta có và .
Tra bảng tìm được t1 = = 16,8 và t2 = = 47. Từ đó
Thêm vào BST
Báo xấu
Download
Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ
