Vận dụng định lý giá trị trung bình giải một số bài toán phép tính vi phân và tích phân

TẠP CHÍ KHOA HỌC<br /> Khoa học Tự nhiên và Công nghệ, Số 10 (9/2017) tr 30 - 38<br /> <br /> VẬN DỤNG ĐỊNH LÝ GIÁ TRỊ TRUNG BÌNH<br /> GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN PHÉP TÍNH VI PHÂN VÀ TÍCH PHÂN<br /> Nguyễn Hữu Thận1, Đỗ Văn Lợi24<br /> 1<br /> Trường THPT Hàm Rồng - Thanh Hóa<br /> 2<br /> Trường Đại học Hồng Đức<br /> Tóm tắt: Bài báo này trình bày một vài ứng dụng quan trọng của các định lý giá trị trung bình trong việc<br /> giải quyết một lớp các bài toán vi phân và tích phân. Việc xây dựng một số bài toán tổng quát cũng như việc ứng<br /> dụng định lý giá trị trung bình trong việc giảng dạy toán học ở bậc THPT đã được chỉ ra trong bài báo.<br /> Từ khóa: Định lý giá trị trung bình, phép tính tích phân, phép tính vi phân.<br /> <br /> 1. Mở đầu<br /> Trong giải tích, định lý giá trị trung bình khẳng định rằng: Cho một cung phẳng, trơn<br /> nối hai điểm phân biệt, khi đó tồn tại một điểm trên cung mà tiếp tuyến của cung tại điểm này<br /> song song với đường thẳng nối hai đầu cung.<br /> Định lý này được sử dụng đe chứng minh các kết quả toàn cục về một hàm trên một<br /> khoảng xuất phát từ các giả thuyết địa phương về đạo hàm tại các điểm của khoảng đó. Chính<br /> xác hơn, nếu một hàm số liên tục trên khoảng đóng  a; b với a  b và khả vi trên khoảng<br /> mở  a; b  thì tồn tại một điểm c   a,b  sao cho:<br /> f 'c <br /> <br /> f (b)  f (a)<br /> ba<br /> <br /> Một trường hợp đặc biệt của định lý này được mô tả lần đầu tiên bởi Parameshvara<br /> (1370 - 1460). Định lý giá trị trung bình ở dạng hiện đại của nó được phát biểu sau đó<br /> bởi Augustin Louis Cauchy (1789-1857). Nó là một trong những kết quả quan trọng của phép<br /> tính vi phân, cũng như một trong những định lý quan trọng của giải tích toán học và được sử<br /> dụng để chứng minh định lý cơ bản của giải tích. Định lý giá trị trung bình có thể được suy ra<br /> từ một trường hợp đặc biệt của nó là Định lý Rolle và có thể được sử dụng để chứng minh<br /> một kết quả tổng quát hơn là Định lý Taylor (với phần dư dạng Lagrange). Các định lý về giá<br /> trị trung bình có liên quan chặt chẽ với phép tính vi phân và tích phân, một lĩnh vực rất quan<br /> trọng trong lịch sử phát triển của toán học.<br /> Có thể nói, các bài toán về phép tính vi phân và tích phân không còn quá xa lạ với nhiều<br /> sinh viên ngành Toán, nhất là với các bạn yêu thích môn học này. Tuy nhiên, không phải bất<br /> kỳ sinh viên nào cũng có thể giải quyết được một số lượng lớn các bài toán có liên quan đến<br /> phép tinh vi phân và tích phân, bởi lẽ đây là một lớp bài toán khá phong phú và đa dạng. Nó<br /> 4<br /> <br /> Ngày nhận bài: 26/5/2017. Ngày nhận kết quả phản biện: 28/7/2017. Ngày nhận đăng: 20/9/2017<br /> Liên lạc: Đỗ Văn Lợi, e - mail: dovanloi@hdu.edu.vn<br /> 30<br /> <br /> đòi hỏi người học cần có một tư duy linh hoạt, biết kết hợp một cách thành thạo giữa các giả<br /> thiết cũng như điều kiện trong từng bài toán cụ thể trong khi chưa có một phương pháp tối ưu<br /> nào để có thể giải được tất cả các bài toán này.<br /> Chính vì lý do đó mà nhiều bài toán khó về phép tính vi phân và tích phân thường dành<br /> cho những học sinh, sinh viên khá và giỏi. Các bài toán này thường xuất hiện nhiều trong các<br /> kỳ thi Olympic Toán sinh viên toàn quốc và đã gây không ít khó khăn cho các bạn sinh viên<br /> tham dự bởi lẽ các bài toán đó thường tương đối khó, đòi hỏi thí sinh không những cần phải<br /> có những hướng đi đúng đắn mà còn cần có những cách giải quyết tinh tế và hợp lý trên cơ sở<br /> nắm chắc bản chất của các định lý về giá trị trung bình.<br /> Bài báo được viết với mục đích khơi dậy niềm đam mê đối với môn toán, cũng như<br /> mong muốn phần nào có thể giúp các bạn sinh viên ngành toán có một cách nhìn tổng quát<br /> khi giải quyết một bài toán khó, từ đó có thể tìm tòi, xây dựng và đặt ra cho mình được những<br /> bài toán khái quát hơn, trừu tượng hơn.<br /> 2. Một số kiến thức liên quan<br /> 2.1. Định lý Rolle<br /> Định lý 1. Nếu f  x  là hàm liên tục trên đoạn  a, b  , có đạo hàm trên khoảng  a, b  và<br /> <br /> f  a   f  b  thì tồn tại c   a, b  sao cho f '  c   0 .<br /> Hệ quả 1: Nếu hàm số f  x  có đạo hàm trên (a;b) và phương trình f  x   0 có n<br /> nghiệm (n là số nguyên dương lớn hơn 1) trên (a;b) thì phương trình f '  x   0 có ít nhất<br /> n  1 nghiệm trên (a; b).<br /> Hệ quả 2: Nếu hàm số f  x  có đạo hàm trên (a;b) và phương trình f '  x   0 vô<br /> nghiệm trên (a;b) thì phương trình f  x   0 có nhiều nhất 1 nghiệm trên (a;b).<br /> Hệ quả 3: Nếu f  x  có đạo hàm trên (a;b) và phương trình f '  x   0 có nhiều nhất n<br /> nghiệm (n là số nguyên dương) trên (a;b) thì phương trình f  x   0 có nhiều nhất n + 1<br /> nghiệm trên (a;b).<br /> Nhận xét 1.<br /> - Các hệ quả trên được suy ra trực tiếp từ Định lý Rolle và nó vẫn đúng nếu các nghiệm<br /> là nghiệm bội (khi f  x  là đa thức).<br /> - Các hệ quả trên gợi ra ý tưởng về việc chứng minh tồn tại nghiệm cũng như xác định<br /> số nghiệm của phương trình. Đồng thời, nếu như bằng một cách nào đó tìm được tất cả các<br /> nghiệm của phương trình (có thể do mò mẫm) thì khi đó phương trình đã được giải.<br /> - Từ Định lý Rolle cho phép chứng minh Định lý Lagrange. Tổng quát hơn, chỉ cần để ý<br /> tới ý nghĩa của đạo hàm (trung bình giá trị biến thiên của hàm số).<br /> 31<br /> <br /> 2.2. Định lý Largrange (Lagrange's Mean Value Theorem)<br /> Định lý 2. Nếu f ( x) là hàm liên tục trên đoạn  a, b , có đạo hàm trên khoảng  a; b  thì<br /> tồn tại c   a, b  sao cho f ' (c) <br /> <br /> f (b)  f (a)<br /> .<br /> ba<br /> <br /> Định lý Rolle là một hệ quả của Định lý Lagrange (trong trường hợp f (a)  f (b) ).<br /> Ý nghĩa hình học: Cho hàm số f ( x) thỏa mãn các giả thiết của Định lý Lagrange. Giả<br /> sử  C  là đồ thị của hàm số f ( x) và A  a, f (a)  , B  b, f (b)  là hai điểm phân biệt tùy ý<br /> thuộc  C  . Khi đó, trên đồ thị  C  tồn tại ít nhất một điểm C  c, f (c)  , c   a; b  sao cho<br /> tiếp tuyến của  C  tại điểm C song song với đường thẳng AB .<br /> Định lý Lagrange cho phép ước lượng tỉ số<br /> <br /> f (b)  f (a)<br /> , do đó nó còn được gọi là Định<br /> ba<br /> <br /> lý Giá trị trung bình (Mean Value Theorem).<br /> 2.3. Định lý Cauchy<br /> Định lý 3. Nếu các hàm số f , g liên tục trên đoạn  a; b , có đạo hàm trên khoảng<br /> <br />  a; b  và<br /> <br /> g '( x) khác không với mọi x   a; b  thì tồn tại c  a; b sao cho:<br />  <br /> <br /> f 'c<br /> <br /> g 'c<br /> <br /> <br /> <br /> f b   f  a <br /> <br /> g b   g  a <br /> <br /> 2.4. Định lý giá trị trung bình của tích phân<br /> Định lý 4. Nếu f ( x) là hàm liên tục trên đoạn  a; b thì tồn tại điểm c  (a; b)<br /> b<br /> <br /> thỏa mãn:  f ( x)dx  f (c)  b  a <br /> a<br /> <br /> Đây là định lý giá trị trung bình thứ nhất của tích phân. Ngoài ra định lý giá trị trung<br /> bình của tích phân còn được phát biểu dưới dạng thứ hai như sau:<br /> Định lý 5. Giả sử f là một hàm số liên tục trên đoạn  a; b và g là một hàm số khả tích<br /> trên đoạn<br /> <br />  a; b .<br /> <br /> Nếu g(x) không đổi dấu trên đoạn<br /> <br /> thực c  (a; b) sao cho:<br /> <br /> b<br /> <br /> <br /> <br />  a; b thì<br /> <br /> tồn tại ít nhất một số<br /> <br /> b<br /> <br /> f ( x) g ( x)dx  f (c)  g ( x)dx<br /> <br /> a<br /> <br /> a<br /> <br /> 3. Một số bài toán tổng quát<br /> Bài toán 1. Cho f là hàm liên tục trên đoạn  a; b và khả vi trên khoảng  a; b <br /> thỏa mãn:<br /> 32<br /> <br /> f a <br /> <br /> a b<br /> ba  ab <br /> ; f b  <br /> ;f<br /> 0<br /> 2<br /> 2<br />  2 <br /> <br /> Chứng minh rằng tồn tại các số thực c1 , c2 , c3   a; b  sao cho: f '  c1  f '  c2  f '  c3   1 .<br /> Lời giải. Xét hàm số g  x   f  x   x <br /> <br /> ab<br /> . Rõ ràng, đây là một hàm số liên tục trên<br /> 2<br /> <br /> đoạn  a; b và khả vi trên khoảng  a, b  . Hơn nữa, g  a  g  b     a  b   0 , nên tồn tại<br /> 2<br /> <br /> ab<br />  x0 . Áp dụng Định lý Lagrange cho hàm<br /> 2<br /> và  x0 ; b  thì tồn tại c1   a; x0  và c2   x0 ; b  sao cho:<br /> <br /> x0   a, b  sao cho g  x0   0 , tức là f  x0  <br /> <br /> f trên các khoảng  a, x0 <br /> <br /> f '  c1  <br /> <br /> f  x0   f  a <br /> x0  a<br /> <br /> <br /> <br /> f  b   f  x0  x0  a<br /> b  x0<br /> <br /> .<br /> và f '  c2  <br /> b  x0<br /> b  x0<br /> x0  a<br /> <br /> Theo giả thiết, f là hàm liên tục trên đoạn  a; b và khả vi trên khoảng  a; b  nên theo<br /> Định lý Lagrange tồn tại c3   a; b  sao cho:<br /> f '  c3  <br /> <br /> f b  f  a <br />  1.<br /> ba<br /> <br /> Vậy nên f '  c1  f '  c2  f '  c3   1 . Từ bài toán tổng quát này có thể đưa ra được nhiều<br /> bài toán khác nhau, chẳng hạn cho a  0; b  1, có bài toán:<br /> Bài toán 1*. Cho f là hàm liên tục trên đoạn  0,1 và khả vi trên khoảng  0,1<br /> thỏa mãn:<br /> <br /> 1<br /> 1<br /> f  0    ; f 1  ;<br /> 2<br /> 2<br /> <br /> 1<br /> f  0<br /> 2<br /> <br /> Chứng minh rằng tồn tại các số thực c1 , c2 , c3   0;1 sao cho:<br /> f '  c1  f '  c2  f '  c3   1<br /> <br /> Bài toán 2. Cho f : 0;1 <br /> <br /> là hàm liên tục sao cho<br /> <br /> 1<br /> <br /> 1<br /> <br /> 0<br /> <br /> 0<br /> <br />  f ( x)dx   x f ( x)dx . Chứng<br /> <br /> minh rằng với mỗi số dương M tùy ý cho trước, luôn tồn tại số c   0;1 sao cho:<br /> M<br /> <br /> f c<br /> c<br /> <br />  f ( x)dx<br /> 0<br /> <br /> x<br /> <br /> Lời giải. Đặt F  x    f (t )dt . Theo giả thiết, có phương trình:<br /> 0<br /> <br /> 33<br /> <br /> 1<br /> <br /> 1<br /> <br /> 0<br /> <br /> 0<br /> <br /> 1<br /> <br /> 1<br /> <br /> 1<br /> <br /> 1<br /> <br /> 0<br /> <br /> 0<br /> <br /> 0<br /> <br /> 0<br /> <br />  x f ( x)dx   xdF ( x)  xF  x  0   F ( x)dx   f ( x)dx   F ( x)dx   f ( x)dx .<br /> 1<br /> <br /> 1<br /> <br /> Do vậy<br /> <br /> x<br /> <br />  F ( x)dx  0 . Xét hàm g  x   e  F (t )dt . Rõ ràng<br />  Mx<br /> <br /> 0<br /> <br /> g là hàm khả vi liên tục<br /> <br /> 0<br /> <br /> trên đoạn  0;1 , hơn nữa g  0   g 1  0 , nên theo Định lý Rolle, tồn tại x0   0;1 sao cho<br /> g '  x0   0 . Lại có:<br /> x0<br /> <br /> <br /> g '  x0   e Mx0  F  x0   M  F (t )dt   0<br /> <br /> <br /> 0<br /> <br /> <br /> x0<br /> <br />  F  x0   M  F (t )dt  0<br /> 0<br /> x0<br /> <br /> x<br /> <br /> 0<br /> <br /> 0<br /> <br /> Suy ra F  x0   M  F (t )dt . Xét hàm số h  x   F  x   M  F (t )dt , có h  0   h  x0   0 .<br /> Hàm h thỏa mãn các điều kiện của Định lý Rolle, do đó tồn tại c   0; x0  sao cho h '  c   0 .<br /> Do đó M <br /> <br /> f c<br /> c<br /> <br /> . Bài toán được chứng minh.<br /> <br />  f ( x)dx<br /> 0<br /> <br /> Với M  2017 , có bài toán:<br /> Bài toán 2*. Cho f : 0;1 <br /> <br /> là hàm liên tục sao cho<br /> <br /> 1<br /> <br /> 1<br /> <br /> 0<br /> <br /> 0<br /> <br />  f ( x)dx   x f ( x)dx . Chứng<br /> <br /> c<br /> <br /> minh rằng luôn tồn tại số c   0;1 sao cho f  c   2017  f ( x)dx .<br /> 0<br /> <br /> Bài toán 3. Giả sử f là hàm số khả vi hai lần trên<br /> <br /> và thỏa mãn điều kiện<br /> <br /> f  0   f 1  M và min f  x   m  M . Chứng minh rằng<br /> x0,1<br /> <br /> max f ''  x   8  M  m <br /> x0,1<br /> <br /> Lời giải. Trước hết, để giải quyết bài toán này cần sử dụng đến bổ đề sau đây:<br /> Bổ đề 1. (Fermat) Giả sử hàm số f đạt cực trị tại x0 . Khi đó, nếu f có đạo hàm tại x0<br /> thì f '  x0   0.<br /> Gọi c  0,1 sao cho f  c   min f  x   m . Dễ thấy c   0;1 , vì nếu c  0 hoặc c  1<br /> 0;1<br /> <br /> thì dẫn đến mâu thuẫn do f  0   f 1  M  m . Hơn nữa, theo Bổ đề 1 có f '  c   0 . Khai<br /> triển Taylor của f  x  trong lân cận của c sẽ được:<br /> 34<br /> <br />