Bài giảng Chương 3: Đáp ứng tần số và mạch lọc tương tự

Chia sẻ: May Trời Gio Bien | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:67

Thêm vào BST

Báo xấu

246
lượt xem 17
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Bài giảng "Chương 3: Đáp ứng tần số và mạch lọc tương tự" cung cấp cho người đọc các kiến thức: Đáp ứng tần số của hệ LT- TT- BB, giản đồ Bode, thiết kế hệ thống điều khiển dùng đáp ứng tần số, thiết kế mạch lọc dùng vị trí điểm cực và điểm zêrô của hàm H,... Mời các bạn cùng tham khảo.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Bài giảng Chương 3: Đáp ứng tần số và mạch lọc tương tự

CHƢƠNG 3: ĐÁP ỨNG TẦN SỐ VÀ MẠCH LỌC TƢƠNG TỰ Nội dung 7.1 Đáp ứng tần số của hệ LT- TT- BB (LTIC) 7.2 Giản đồ Bode 7.3 Thiết kế hệ thống điều khiển dùng đáp ứng tần số 7.4 Thiết kế mạch lọc dùng vị trí điểm cực và điểm zêrô của hàm H(s) 7.5 Mạch lọc Butterworth 7.6 Mạch lọc Chebyshev 7.7 Biến đổi tần số 7.8 Mạch lọc thỏa điều kiện truyền không méo 7.9 Tóm tắt Tài liệu tham khảo: B.P. Lathi, Signal Processing and Linear Systems, Berkeley-Cambridge Press, 1998 Lọc là lĩnh vực quan trọng trong xử lý tín hiệu. Chương 4 đã trình bày ý niệm lọc lý tưởng. Trong chương này, ta thảo luận về các đặc tính và cách thiết kế mạch lọc thực tế. Các đặc tính lọc của bộ lọc được đặc trưng bởi đáp ứng với sóng sin với các tần số từ 0 đến . Đặc tính này gọi là đáp ứng tần số của bộ lọc. Hảy bắt đầu với việc xác định đáp ứng tần số của hệ LT – TT – BB. Nhắc lại là với h(t ) , ta dùng ý niệm H ( ) cho biến đổi Fourier và H (s) cho biến đổi Laplace. Đồng thời, khi hệ thống là nhân quả và ổn định tiệm cận, tất cả các cực của H (s) đều nằm bên trái mặt phẳng phức. Do đó, vùng hội tụ của H (s) bao gồm trục j, và ta có được biến đổi Fourier H ( ) bằng cách thay s = j vào biến đổi Laplace H (s) tương ứng. Do đó, H ( j ) và H ( ) biểu diễn cùng đặc tính khi hệ thống ổn định tiệm cận. Trong chương này, ta sẽ tìm được lý do thuận tiện khi dùng ý niệm H ( j ) thay cho H ( ) . 7.1 Đáp ứng tần số của hệ LT – TT – BB Phần này tìm đáp ứng của hệ thống với ngõ vào sin. Phần 2.4-3 cho thấy đáp ứng của hệ LT – TT – BB với ngõ vào là hàm mủ không dừng f (t )  e st là hàm mủ không dừng H ( s)e st . Như thế, cặp vào – ra của hệ thống là e st  H (s)e st (7.1) Đặt s   j vào hệ thức trên, ta có: e jt  H (s) e jt (7.2a)  jt  jt e  H ( j ) e (7.2b) Cộng hai hệ thức trên, có: 2 cos t  H ( j)e jt  H ( j)e jt  2 Re[ H ( j)e jt ] (7.3)
Viết H ( j ) theo dạng cực H ( j )  H ( j ) e jH ( j ) (7.4) Thì quan hệ (7.3) thành cos t  H ( j ) cost  H ( j )] Nói khác đi, đáp ứng y(t ) của hệ thống với ngõ vào cost là y(t )  H ( j ) cos[t  H ( j )] (7.5a) Tương tự, đáp ứng với tín hiệu cos(t   ) là y(t )  H ( j ) cos[t    H ( j )] (7.5b) Kết quả này có được khi cho s  j , chỉ đúng khi hệ thống ổn định tiệm cận do quan hệ (7.1) chỉ đúng khi các giá trị s nằm trong vùng hội tụ của H (s) . Trường hợp hệ thống không ổn định hay ở biên ổn định, vùng này không bao gồm trục ảo s  j . Phương trình (7.5) cho thấy khi ngõ vào có tần số theo radian , thì đáp ứng cũng là sin với cùng tần số . Ngõ ra có biên độ dạng sin là H ( j ) nhân với biên độ ngõ vào, và có góc pha là góc pha tín hiệu vào dời đi góc H ( j ) (xem hình 7.1) Thí dụ, hệ thống có H ( j10)  3 và H ( j10)  300 , thì hệ thống đã khuếch đại sóng sin có tần số   10 theo tỉ lệ 3 và làm trễ góc pha đi 30 0 . Đáp ứng với tín hiệu vào 5 cos(10t  500 ) là 3x5 cos(10t  500  300 )  15 cos(10t  200 ) . Rõ ràng thì H ( j ) là độ lợi hệ thống, và đồ thị H ( j ) theo  là hàm của độ lợi hệ thống theo tần số . Hàm này còn gọi là đáp ứng biên độ. Tương tự, H ( j ) là đáp ứng pha và đồ thị của của H ( j ) theo  là cho thấy phương thức hệ thống thay đổi pha của tín hiệu vào. Hai đồ thị trên, là hàm theo , còn gọi là đáp ứng tần số của hệ thống. Ta thấy H ( j ) có chứa thông tin của H ( j ) và H ( j ) . Do đó, H ( j ) còn được gọi là đáp ứng tần số của hệ thống. Đáp ứng tần số cho thấy phương thức hệ thống đáp ứng với các sóng sin với nhiều tần số khác nhau. Như thế, đáp ứng tần số biểu diễn đặc tính lọc của hệ thống. ■ Thí dụ 7.1: Tìm đáp ứng tần số (đáp ứng biên độ và đáp ứng pha) của hệ thống có hàm truyền s  0,1 H ( s)  s5 Đồng thời, tìm đáp ứng hệ thống y(t ) khi ngõ vào là (a) cos 2t (b) cos (10t – 500). Trong trường hợp này j  0,1 H ( j )  j  5 Viết theo dạng cực  2  0.01    H ( j )  và H ( j )  tan 1    tan 1     25 2  0,1  5
Các đáp ứng biên độ và pha theo  được vẽ trong hình 7.1a. Các đồ thị này cung cấp đầy đủ thông tin và đáp ứng tần số của hệ thống với các ngõ vào sin. (a) Khi tín hiệu vào f (t )  cos 2t ,   2 và (2) 2  0,01 H ( j 2)   0,372 (2) 2  25  2  2 H ( j 2)  tan 1    tan 1    87,10  21,80  65,30  0,1  5 Ta cũng tìm trực tiếp được đáp ứng tần số trong hình 7.1a tương ứng với  = 2. Kết quả này có nghĩa là khi ngõ vào sin có tần số  = 2, thì độ lợi biên độ của hệ thống là 0,372 và góc dịch pha là 65,30. Nói cách khác, biên độ ra là 0,372 lần biên độ vào, và góc pha của ngõ ra là dịch pha của tín hiệu vào với 65,30. Như thế, đáp ứng của hệ thống với ngõ vào cos 2t là y(t )  0,372 cos(2t  65,30 ) Các ngõ ra và ngõ vào tương ứng được vẽ trong hình 7.1b.
(b) Khi tín hiệu vào là cos (10t – 500), thay vì tính các giá trị H ( j ) và H ( j ) như trong phần (a), ta đọc trực tiếp từ đồ thị của đáp ứng tần số vẽ trong hình 7.1a khi  = 10. Các giá trị này là: H ( j10)  0,894 và H ( j10)  260 Như vậy, khi tín hiệu sin với tần số  = 10, biên độ tín hiệu sin ngõ ra là 0,894 lần biên độ tín hiệu vào và góc pha tín hiệu ra dời so với góc pha tín hiệu vào là 26 0. Như vậy, đáp ứng ngõ ra với tín hiệu vào cos (10t – 500) là y(t )  0,894 cos(10t  500  260 )  0,894 cos(10t  240 ) Trường hợp tín hiệu vào là sin (10t – 500), đáp ứng ra sẽ là 0,894sin (10t – 500+ 260 ) = 0,894sin (10t –240 ). ` Đáp ứng tần số trong hình 7.1a cho thấy hệ thống là mạch lọc có đặc tính thông cao, đáp ứng tốt với tín hiệu sin tần số cao ( lớn hơn 5) và triệt các tín hiệu tần số thấp hơn ( thấp hơn 5). ■  Thí dụ C7.1 dùng máy tính s5 Vẽ đáp ứng tần số của hàm truyền H ( s)  s  3s  2 2 num=[1 5]; den=[1 3 2]; w=.1:.01:100; axis([log10(.1)log10(100) -50 50]) [mag, phase, w]=bode(num, den, w); subplot(211), semilogx(w,20*log10(mag)) subplot(211),semilogx(w,phase)  ■ Thí dụ 7.2: Tìm và vẽ đáp ứng tần số (đáp ứng biên độ và đáp ứng pha) của (a) khâu trễ lý tưởng T giây (b) khâu vi phân lý tưởng (c) khâu tích phân lý tưởng (a) Khâu trễ lý tƣởng T giây. Hàm truyền khâu trễ lý tưởng là (phương trình 6-54) H (s)  e  sT  H ( j )  e  jT nên H ( j )  1 H ( j )  T (7.6) Đáp ứng biên độ và đáp ứng pha vẽ trong hình 7.2a. Đáp ứng biên độ là hằng (đơn vị) với mọi tần số. Góc dịch pha tăng tuyến tính theo tần số với độ dốc – T . Kết quả này có thể được giải thích qua ghi nhận là nếu tín hiệu cost qua khâu trễ lý tưởng T giây, thì ngõ ra là cos(t – T). Biên độ ngõ ra giống với biên độ ngõ vào với mọi giá trị của . Do đó, biên độ đáp ứng ra (độ lợi) là đơn vị với mọi tần số. Hơn nữa, ngõ ra cos (t  T )  cos(t  T ) có độ dịch pha – T so với ngõ vào cost. Do đó, đáp ứng pha tỉ lệ tuyến tính với tần số , và độ dốc – T
(b) Khâu vi phân lý tƣởng: có hàm truyền (xem phương trình (6.55) H (s)  s  H ( j)  j  e j / 2 , do đó H ( j )   H ( j )   / 2 (7.7) Đáp ứng biên độ và đáp ứng pha vẽ trong hình 7.2b. Đáp ứng biên độ tăng tuyến tính theo tần số, và đáp ứng pha là hằng (/2) với mọi tần số. Kết quả này được giải thích từ nhận xét là nếu tín hiệu cost qua bộ vi phân lý tưởng, thí ngõ ra là   sin t   cost   / 2. Do đó, biên độ sóng ra là  lần biên độ tín hiệu vào, tức là biên độ đáp ứng (độ lợi) tăng tuyến tính theo tần số . Hơn nữa, sóng ra có dịch pha /2 so với sóng vào cost. Do đó, đáp ứng pha là hằng (/2) với tần số. Bộ vi phân lý tưởng, có biên độ đáp ứng (độ lợi) tỉ lệ với tần số [ H ( j )   ], nên các thành phần tần số cao được tăng cường (hình 7.2b). Mọi tín hiệu thực tế đều bị nhiễm nhiễu, là tín hiệu có bản chất có băng thông rộng, nên tín hiệu có các thành phần có tần số rất cao. Mạch vi phân có thể làm tăng phi tuyến biên độ nhiễu so với tín hiệu có ích, nên trong thực tế không dùng được bộ vi phân lý tưởng. (c) Bộ tích phân lý tƣởng: có hàm truyền là (phương trình (6.56)) 1 1  j 1  j / 2 H ( s)   H ( j)    e , do đó s j   1  H ( j )  H ( j )    2 Đáp ứng biên độ và đáp ứng pha vẽ ở hình 7.2c. Đáp ứng biên độ tăng tỉ lệ nghịch với tần số, còn độ dịch pha là hằng (–/2) theo tần số. Kết quả này có thể giải thích với nhận xét là khi tín hiệu cost qua khâu tích phân 1 1   lý tưởng, ngõ ra là sin t  cos t   . Do đó, đáp ứng biên độ tăng tỉ lệ nghịch    2 với , và đáp ứng pha là hằng số (–/2) theo tần số.
Do có độ lợi là 1/, bộ tích phân lý tưởng triệt các thành phần tần số cao nhưng lại tăng cường các thành phần tần số thấp có  < 1. Do đó, các tín hiệu nhiễu (nếu không chứa các thành phần tần số rất thấp) sẽ bị bộ tích phân loại bỏ. ■  Bài tập E 7.1 Tìm đáp ứng tần số của hệ LT – TT – BB đặc trưng bởi d2y dy df 2  3  2 y (t )   5 f (t ) dt dt dt khi ngõ vào là sóng 20 sin(3t  350 ) Đáp số 10,23 sin(3t  61,910 ) .  7.1-1 Đáp ứng xác lập với ngõ vào là tín hiệu sin nhân quả Từ trước, ta chỉ mới bàn về đáp ứng của hệ thống LT – TT – BB với ngõ vào sin không dừng (bắt đầu từ t   ). Trong thực tế, ta cần quan tâm đến các ngõ vào là sóng sin nhân quả (sóng sin bắt đầu từ t  0 ). Xét ngõ vào e jt u (t ) , bắt đầu từ t  0 , thay vì t   . Trường hợp này F (s)  1 /( s  j) . Hơn nữa, phương trình (6.51) cho H (s)  P(s) / Q(s) trong đó Q(s) là đa thức đặc tính cho bởi Q(s)  (s  1 )(s  2 ) (s  n ) . Do đó P( s ) Y ( s)  F ( s) H ( s)  ( s  1 )(s  2 )  ( s  n )(s  j ) Khai triển đa thức cho vế phải, gọi các hệ số tương ứng với n thừa số (s  1 )(s  2 ) (s  n ) là k1 , k 2 , . . ., k n . Hệ số tương ứng thừa số cuối (s  j ) là P(s) / Q(s) s j  H ( j ) . Do đó, n ki H ( j ) Y ( s)    , i 1 s  i s  j n Và y(t )   ki e it u (t )  H ( j )e jt u (t ) (7.9) i 1 = thành phần quá độ ytr (t ) + thành phần xác lập yss (t ) Đối với hệ ổn định tiệm cận, các thừa số chế độ e it giảm theo thời gian, do đó, gồm thành phần thường được gọi là thành phần quá độ. Thừa số cuối H ( j )e jt tồn tại mãi mãi, còn được gọi là thành phần xác lập của đáp ứng, được cho bởi: yss (t )  H ( j )e j t u(t ) Từ phương pháp tìm phương trình (7.5a), ta thấy khi hệ có ngõ vào sin nhân quả cos t , đáp ứng xác lập được cho bởi: yss (t )  H ( j ) cos[t  H ( j )]u(t ) (7.10) Tóm lại, H ( j ) cos[t  H ( j )]u(t ) là đáp ứng tổng với ngõ vào là sóng sin không dừng cos t , và còn được gọi là đáp ứng xác lập với cùng ngõ vào tại t  0 .
7.2 Giản đồ Bode Giúp vẽ đáp ứng tần số dễ dàng hơn khi dùng tỉ lệ logarithm. Đồ thị đáp ứng biên độ và pha là hàm theo  theo trục logarithm được gọi là giản đồ Bode. Từ tính tiệm cận của đáp ứng biên độ và pha, ta vẽ được các giản đồ này dễ dàng hơn, hay cả với hàm truyền bậc cao. Xét hệ thống có hàm truyền K ( s  a1 )( s  a2 ) H ( s)  (7.11a) s( s  b1 )( s 2  b2 s  b3 ) Trong đó thừa số bậc hai (s 2  b2 s  b3 ) được giả sử là nghiệm phức liên hợp. Sắp xếp lại (7.11a) theo dạng: s  s    1  1 Ka a H ( s)  1 2  a1  a2  (7.11b) b1b3  s  s 2 b2  s  1  s  1  b1  b3 b3   j  j  1  1   H ( j )  Ka1a2  a 1  a 2  (7.11b) b1b3  j  b2 j ( j ) 2  j  1   1  b  b    b1  3 3  Phương trình cho thấy là H ( j ) là hàm phức theo . Đáp ứng biên độ H ( j ) và đáp ứng pha H ( j ) là: j j 1 1 Ka1a2 a1 a2 H ( j )  (7.12a) b1b3 j b2 j ( j ) 2 j 1  1  b1 b3 b3 Và  j   j   j   b2 j ( j ) 2  H ( j )  1     1  a   j  1  b   1  b  b  (7.12b)       a1   2   1   3 3  Phương trình (7.12b) cho thấy hàm pha gồm chỉ tổng của 3 dạng thừa số: (i) góc j pha của j, lệch pha 900 với mọi giá trị của . (ii) pha của thừa số bậc một 1  , và a (iii) pha của các thừa số bậc hai.  b2 j ( j ) 2  1     b3 b3  Ta có thể vẽ đồ thị ba hàm pha cơ bản của  trong tầm từ 0 đến , rồi dùng các đồ thị, ta dựng được hàm pha của bất kỳ hàm truyền nào từ phép cộng các đáp ứng cơ bản. Chú ý là nếu thừa số nằm ở tử số, thì góc pha mang dấu cộng, còn khi nằm ở mẫu số thì
góc pha mang dấu trừ. Điều này cho phép vẽ dễ dàng hàm pha H ( j ) theo . Phép tính H ( j ) bao gồm các phép tính nhân và chia nhiều thừa số khác nhau. Khi chuyển việc vẽ H ( j ) sang vẽ log H ( j ) , ta chuyển được các phép nhân, chia thành các phép tính cộng và trừ. Có thể vẽ theo trục logarithm với đơn vị là decibel (dB), thí dụ giá trị log của biên độ là 20 log10 H ( j ) (dB). Các đồ thị (log biên độ và pha) dựng theo phương pháp gọi là giản đồ Bode. Hàm truyền trong phương trình (7.12a) là biên độ theo log là: Ka1a2 j j 20 log H ( j )  20 log  20 log 1   20 log 1   20 log j b1b3 a1 a2 j b2 j ( j ) 2  20 log 1   20 log 1   (7.13) b1 b3 b3 Thừa số 20 log( Ka1a2 / b1b3 ) là hằng số. Ta thấy biên độ log là tổng của bốn dạng thừa số cơ bản là (i) hằng số, (ii) cực hay zêrô ở gốc ( 20 log j ), (iii) cực hay zêrô bậc một 20 log[1  j / a] , và (iv) cực hay zêrô ở dạng phức 20 log[1  jb / b3  ( j) 2 / b3 ] . 2  Ta vẽ được bốn dạng cơ bản này theo  rồi dùng chúng để dựng đồ thị biên độ log của hàm truyền bất kỳ. Hảy thảo luận với từng thừa số: 1. Hằng số ka1a2 / b1b3 Biên độ log của thừa số này cũng là hằng số, 20 log( Ka1a2 / b1b3 ) . Góc pha trong trường hợp này là zêrô 2. Cực (hay zêrô) ở gốc Biên độ theo log Cực dạng này tăng theo thừa số  20 log j , có thể viết thành  20 log j  20 log  Hàm này được vẽ theo . Tuy nhiên, có thể đơn giản hơn khi dùng tỉ lệ log cho biến . Định nghĩa biến mới u theo u  log  (7.14) Vậy  20 log   20u (7.15a) Hàm biên độ log  20u được vẽ theo u trong hình 7.3a. Đây là đường thẳng có độ dốc  20 và qua trục u tại u = 0. Tỉ lệ của  (u = log) cũng xuất hiện trong hình 7.3a. Đồ thị dạng semilog được dùng để vẽ, nên ta có thể vẽ trực tiếp  trên giấy semilog. Tỉ lệ 10 được gọi là decade và tỉ lệ 2 gọi là octave. Ta thấy là tỉ lệ 2 (octave) theo tỉ lệ  là bằng 0,3010 (là log10 2 ) theo tỉ lệ của u. Chú ý là khi u tăng đồng đều, tương đương với tăng đồng đều tỉ lệ . Do đó, một đơn vị theo trục u tương đương với một decade trong tỉ lệ . Tức là đồ thị biên độ có độ dốc  20dB / decade hay  20(0,3010)  6,02dB / octave (thường gọi là 6dB/octave). Tuy nhiên, đồ thị biên độ qua trục  tại  = 1, do u  log10   0 khi  = 1.
Trường hợp zêrô tại gốc, thừa số biên độ - log là 20log. Đây là đường thẳng qua   1 và có độ dốc là 20dB/decade (hay 6dB/octave). Đường thẳng này là ảnh phản chiếu qua trục  của đồ thị cực qua gốc vẽ đường gián đoạn trong hình 7.3a. Pha Hàm pha tương ứng với cực tại gốc là  j (xem phương trình 7.12b). Do đó: H ( j )  j  900 (7.15b) Pha là hằng số (- 90 ) với mọi , vẽ trong hình 7.3b. Khi zêrô ở gốc, góc pha là 0 j  900 . Đây là ảnh phản chiếu của giản đồ pha khi có cực ở gốc và vẽ thành đườn gián đoạn trong hình 7.3b. 3. Cực (hay zêrô) bậc một Biên độ log j Biên độ log do có cực bậc một tại – a là  20 log 1  . Ta hảy tìm hiểu về tác a động tiệm cận của hàm này với các giá trị cực trị của  (a). (a) Khi 
(b) Với >>a, ta có j    20 log 1   20 log  (7.17a) a a  20 log   20 log a (7.17b)  20u  20 log a Đây là đường thẳng (khi vẽ theo u, là log của ) với độ dốc là  20dB / decade (hay  6dB / octave ). Khi   a , biên độ log là zêrô (phương trình 7.17b). Do đó, đường thẳng đi qua trục  tại   a , vẽ trong hình 7.4a. Chú ý là các đường tiệm cận trong (a) và (b) gặp nhau tại   a . Biên độ log chính xác của cực này là 1 j  2 2  2   20 log 1   20 log1  2   10 log1  2  (7.18) a  a   a 
Hàm log chính xác còn được vẽ trong hình 7.4a. Quan sát thấy đồ thị thực và đồ thị tiệm cận rất gần nhau. Sai số 3dB xuất hiện tại   a . Tần số này gọi là tần số góc hay tần số gãy. Sai số tại các điểm khác đều nhỏ hơn 3dB. Đồ thị sai số theo  vẽ trong hình 7.5a. Hình này cho thấy sai số tại một octave phía trên hay dưới tần số góc là 1dB là sai số tại hai octave là 0,3dB. Tìm đồ thị thực bằng cách cộng đồ thị sai số với đồ thị tiệm cận. Đáp ừng biên độ là zêrô tại – a (đường gián đoạn trong hình 7.4a) tương tự với trường hợp của cực tại – a với sự thay đổi dấu, và là ảnh phản chiếu (qua đường 0dB) của đồ thị biên độ của cực tại – a. Pha Pha của cực bậc một tại – a là  j  1    H ( j )  1     tan    a  a Tiếp tục khảo sát đáp ứng tiệm cận của hàm. Khi  > a,    tan 1    900 a Đồ thị thực cùng tiệm cận được vẽ trong hình 7/4b. Trường hợp này, ta dùng ba đoạn đồ thị thẳng tiệm cận để có độ chính xác cao. Các tiệm cận là (i) góc pha 0 0 khi   a / 10 , (ii) góc pha  900 khi   a / 10 , và đường thẳng có độ dốc  450 / decade nối hai đoạn
thẳng (từ  = a/10 đến 10a) đi qua trục  tại  = a/10. Hình 7.4b cũng cho thấy là tiệm cận rất gần đường cong và sai số lớn nhất là 5,7 0 . Đồ thị sai số theo  vẽ trong hình 7.4b. Đồ thị thực có được từ cách cộng đồ thị tiệm cận và sai số. Hàm pha cho trường hợp cực tại – a được vẽ trong hình 7.4b. Trường hợp có zêrô tại – a (đường gián đoạn trong hình 7.4b) giống trường hợp cực tại – a, nhưng nghịch dấu, và do đó là ảnh phản chiếu (theo đường 0 0 ) của đồ thị pha trong trường hợp cực tại – a. 4. Cực (hay zêrô) bậc hai Xét trường hợp cực bậc hai trong phương trình (7.11a). Mẫu số là s 2  b2 s  b3 có dạng chuẩn là s 2  2n s  n2 , thì hàm biên độ log hệ bậc hai trong phương trình (7.13) viết thành: 2      20 log 1  2 j  (7.19a) n  n  Và hàm pha       2  1  2 j   (7.19b)  n  n    Biên độ log Cho bởi 2     Biên độ log =  20 log 1  2 j  (7.20) n  n  Khi  > n, biên độ log thành 2     Biên độ log  20 log    40 log   (7.22a)  n   n   40 log   40 log n (7.22b)  40u  40 log n (7.22c) Hai tiệm cận là (i) zêrô khi   n và (ii)  40u  40 log n khi   n . Tiệm cận thứ hai là đường thẳng có độ dốc là  40dB / decade (hay  6dB / octave ) được vẽ theo trục log. Bắt đầu từ   n (xem phương trình (7.22b). Các tiệm cận vẽ trong hình 7.6a. Biên độ log chính xác cho bởi (xem phương trình 7.20) 1    2  2 2   2    Biên độ log =  20 log 1      4    (7.23)    n    n    2  Rõ ràng, biên độ log trong trường hợp này bao hàm tham số , với từng giá trị của , ta có các đồ thị khác nhau. Trường hợp có cực phức liên hợp,  < 1. Do đó, ta phải vẽ họ các đường cong có  thay đổi trong tầm từ 0 đến 1, và vẽ trong hình 7.6a. Sai số giữa
đáp ứng thực và các tiệm cận vẽ trong hình 7.7. Tìm đồ thị thực từ phép cộng sai số và đồ thị tiệm cận. Trường hợp các zêrô bậc hai (dạng phức liên hợp), đồ thị là ảnh phản chiếu (qua đường 0-dB) của đồ thị vẽ trong hình 7.6a. Chú ý hiện tượng cộng hưởng của các cực phức liên hợp. Hiện tượng này bé khi  > 0,707 và trở nên đáng kể khi   0.
Pha Hàm pha cho cực bậc hai, vẽ trong hình (7.19b) là     2    1   n   H ( j )   tan (7.24)     2  1       n  
Khi   n H ( j )  00 Khi   n H ( j )  1800 Do đó, pha  1800 khi    . Trường hợp biên độ ta có họ các đồ thị với nhiều giá trị khác nhau của , vẽ trong hình 7.6b. Các đồ thị thích hợp cho pha trong trường hợp có cực phức liên hợp là hàm bước có giá trị 0 0 khi   n và  1800 khi   n . Đồ thị sai số trong trường hợp này vẽ trong hình 7.7 với các giá trị khác nhau của . Đáp ứng pha thực là trị tiệm cận cộng với sai số. Trường hợp có zêrô là phức liên hợp, đồ thị biên độ và pha là ảnh phản chiếu của trường hợp cực phức liên hợp. Xem hai thí dụ dưới đây về ứng dụng của các kỹ thuật vừa nêu. ■ Thí dụ 7.3: Vẽ giản đồ Bode cho hàm truyền 20s( s  100) H ( s)  ( s  2)(s  10) Bước đầu, ta viết hàm truyền theo dạng chuẩn hóa 20 x100 s(1  s / 100) s(1  s / 100) H ( s)   100 (7.25) 2 x10 (1  s / 2)(1  s / 10) (1  s / 2)(1  s / 10) Thừa số hằng số là 100 tức là 40 dB (20log100 = 40). Thừa số này là đường thẳng 40 dB (xem hình 7.8a), tức là ta dời trục ngang lên 40 dB Ngoài ra, còn có hai cực bậc một tại – 2 và – 10, một zêrô tại gốc, và một zêrô tại – 100. Bƣớc 1: Vẽ đồ thị tiệm cận cho từng thừa số (xem hình 7.8a): (i) Với giá trị zêrô tại gốc, vẽ đường thẳng với độ dốc 20dB/decade qua   1 . (ii) Với cực tại – 2, vẽ đường thẳng độ dốc – 20dB/decade (khi   2 ), bắt đầu từ tần số góc   2 . (iii) Với cực tại – 10, vẽ đường thẳng độ dốc – 20dB/decade, bắt đầu từ tần số góc   10 . (iv) Với zêrô tại – 100, vẽ đường thẳng độ dốc 20dB/decade, bắt đầu từ tần số góc   10 0. Bƣớc 2: Cộng tất cả các đồ thị tiệm cận lại (hình 7.8a): Bƣớc 3: Thực hiện các bước hiệu chỉnh sau: (hình 7.5a): (i) Hiệu chỉnh tại   1 là – 1dB. Hiệu chỉnh tại   1 do các tần số góc tại   10 và   100 là nhỏ (xem hình 7.5a) và có thể bỏ qua. Do đó, hiệu chỉnh tại   1 là – 1 dB.
(ii) Hiệu chỉnh tại   2 do các tần số góc tại   2 là – 3 dB và do tần số góc tại   10 là – 0, 17dB. Do tần số góc tại   100 có thể bỏ qua (xem hình 7.5a). Do đó, hiệu chỉnh tại   2 là – 3,17 dB. (iii) Hiệu chỉnh tại   10 do các tần số góc tại   10 là – 3 dB và do tần số góc tại   2 là – 0, 17dB. Do tần số góc tại   100 là 0,004 dB và có thể bỏ qua. Do đó, hiệu chỉnh tại   10 là – 3,17 dB. (iv) Hiệu chỉnh tại   100 do các tần số góc tại   100 là 3 dB và do các tần số góc khác có thể bỏ qua. (v) Hiệu chỉnh tại   4 và   5 (do các tần số góc tại   2 và   10 ) đều là – 1, 75dB. Dùng các hiệu chỉnh này đồ thị biên độ được vẽ trong hình 7.8a Đồ thị pha Ta vẽ các tiệm cận tương ứng với mỗi trong 4 thừa số (i) Zêrô tại gốc tạo dời pha 90 0 (ii) Cực tại s  2 làm tiệm cận tăng  450 / decade , từ   0,2 tăng đến   20 . Khi   0,2 , tiêm cận là 0 0 , và khi   20 , giá trị tiêm cận là  900 . (iii) Cực tại s  10 có tiệm cận zêrô trong khoảng      1 và độ dốc  450 / decade , từ   1 tăng đến   100 . Giá trị tiệm cận khi   100 là  900 . (iv) Zêrô tại s  100 làm tiệm cận tăng 450 / decade , từ   10 tăng đến   1000 . Khi   10 , tiêm cận là 0 0 , và khi   1000 , giá trị tiêm cận là 90 0 . Các tiệm cận được cộng lại, vẽ trong hình 7.8b. Hiệu chỉnh dùng hình 7.5b, và đồ thị chính xác vẽ ở hình 7.8b. ■ ■ Thí dụ 7.4: Vẽ đáp ứng biên độ và pha (giản đồ Bode) cho hàm truyền  s  1   10( s  100)  100  H ( s)  2  10 (7.26) s  2s  100 s s2 1  50 100 Thừa số hằng là 10, tức là 20dB (20log10 = 20). Ta chỉ cần thêm đường thẳng 20 dB (xem hình 7.9a). Hơn nữa, ta có cực thực tại s  100 và cặp cực phức, viết thừa số bậc hai theo dạng chuẩn: s 2  2s  100  s 2  2n s  n2 Ta có: n  10;   0,1
Bƣớc 1. Vẽ tiệm cận  40dB / decade (  12dB / octave ) bắt đầu từ   10 cho cặp cực phức liên hợp, và vẽ đường tiệm cận khác 20dB / decade , từ   100 cho zêrô (thực). Bƣớc 2. Cộng tất cả các tiệm cận tại   100 Bƣớc 3: Hiệu chỉnh tại tần số góc   100 , với 3dB. Bỏ qua hiệu chỉnh tại tần số góc   10 . Tiếp tục hiệu chỉnh tại   10 , do hiệu chỉnh tại   10 là 13,90 dB (xem hình 7.7a với  = 0,1). Tìm hiệu chỉnh tại các điểm khác. Kết quả vẽ trong hình 7.9a. Đặc tính pha Tiệm cận tại cực phức liên hợp là hàm bước với bước nhảy  900 tại   10 và tiệm cận khi s  100 là đường thẳng có độ dốc là 450 / decade , tại   10 và   100 lần
lượt là 0 0 và 90 0 . Cộng hai tiệm cận cho ta đường răng cưa tại hình 7.9b. Áp dụng hiệu chỉnh từ hình 7.7b và hình 7,5b để có đồ thị chính xác. ■  Thí dụ dùng máy tính C7.2 Giải thí dụ 7.3 và 7.4 dùng m-file trong MATLAB. Có thể vẽ đáp ứng tần số theo nhiều cách khác nhau. Để vẽ giàn đồ Bode, tốt nhất nân dùng bode.m, như trong thí dụ minh họa sau. % Thí dụ C7.2 Num=[20 2000 0]; den=[1 12 20]; bode(num,den) % Thí dụ C7.4 Num=[0 10 1000]; den=[1 2 100]; bode(num,den)  Cực và zêrô bên phải mặt phẳng phức Từ trước đến giờ, ta chỉ mới giả sử là các cực và zêrô đều nằm bên trái mặt phẳng phức. Việc gì xảy ra khi có cực và zêrô nằm bên phải mặt phẳng phức? Nếu có cực bên phải mặt phẳng phức, tích phân trong phương trình (2.49) với s  j không hội tụ, và H ( j ) không có nghĩa. Dù gì thì các hệ thống (không ổn định) này không dùng được trong các ứng dụng về xử lý tín hiệu. Do đó, ta chỉ khảo sát các zêrô năm bên phải mặt phẳng phức. Ta đã chứng minh được là hàm biên độ có zêrô là a năm bên phải mặt phẳng phức thì giống trường hợp zêrô bằng – a nằm bên trái mặt phẳng phức. Lý do là: 1 j j   2  2 1  1  1  2  a a  a  Do đó, đồ thị biên độ log giữ nguyên khi có các zêrô nằm bên phải hay bên trái mặt phẳng phức. Tuy nhiên, góc pha của zêrô nằm bên phải mặt phẳng phức là:    1    ( j  a)    (a  j )    tan 1      tan    a  a Còn pha của cực s  a nên trái mặt phẳng phức là  tan 1 ( / a) . Các zêrô liên hợp nằm bên phải mặt phẳng phức là thừa số s 2  2n s  n2 tăng, tương tự thừa số s 2  2n s  n2 với sự thay đổi dấu của . Do đó, theo các phương trình (7.23) và (7.24) thì biên độ là giống nhau, nhưng góc pha đối dấu nhau giữa hai thừa số.
7.2-1 Tìm hàm truyền từ đáp ứng tần số Trong các phần trước, ta có trước hàm truyến hệ thống, từ đó phát triển các kỹ thuật để xác định đáp ứng của hệ thống với ngõ vào sin. Ta cũng có thể làm ngược các bước để xác định hàm truyền của hệ thống khi biết được đáp ứng hệ thống với ngõ vào sin. Bài toán này rất hữu ích trong thực tế. Nếu ta có hệ thống trong dạng hộp đen với các ngõ vào và ngõ ra, ta có thể xác định được hàm truyền thông qua đo lường thực nghiệm tại các ngõ vào và ngõ ra. Đáp ứng tần số với ngõ vào sin là một trong những khả năng hấp dẫn do từ bản chất đơn giản của phép đo. Chỉ cần đưa tín hiệu sin vào và quan sát ngõ ra, ta tìm được độ lợi biên độ H ( j ) và dời pha tại ngõ ra H ( j ) (theo ngõ vào sin), với nhiều giá trị của  trong tần từ 0 đến . Thông tin này giúp vẽ đáp ứng tần số theo log  (giản đồ Bode). Từ các đồ thị này, ta xác định được các tiệm cận thích hợp dùng đ85c
tính là độ dốc của các tiệm cận đều là bội số của  20dB / decade khi hàm truyền ở dạng hữu tỷ. Từ các tiệm cần này, tìm được các tần số góc xác định các cực và zêrô của hàm truyền. 7.3 Thiết kế hệ thống điều khiển dùng đáp ứng tần số Hình 7.10a vẽ hệ thống vòng hở dạng cơ bản, có hàm truyền vòng hở là KG(s) H (s) thì hàm truyền vòng kín là (xem phương trình 6.69): KG ( s) T ( s)  1  KG ( s) H ( s) Phương pháp thiếy kế hệ thống điều khiển trong miền thời gian đã được thảo luận trong phần 6.7 chỉ hoạt động được khi biết được hàm truyền của đối tượng điều khiển và có dạng hữu tỷ. Mô tả vào-ra của hệ thống thực tế thường chưa biết và thường không có dạng hữu tỷ. Hệ thống có chứa khâu trễ lý tưởng (khâu chết) là thí dụ của hệ không hữu tỷ. Trong các trường hợp này, ta có thể xác định đáp ứng tần số của hệ vòng hở theo kinh nghiệm và dùng dữ liệu để thiết kế hệ vòng kín. Phần này thảo luận về phương pháp thiết kế hệ thống phản hồi từ mô tả của đáp ứng tần số. Tuy nhiên, phương pháp thiết kế dùng đáp ứng tần số thì cũng không thích hợp như phương pháp thiết kế trong miền thời gian theo quan điểm về các đặc tính sai số quá độ và xác lập. Do đó, phương pháp thiết kế dùng đáp ứng tần số trong phần 6.7 và phương pháp đáp ứng tần số cần được xem là các phương pháp hỗ trợ và bổ sung cho nhau, chứ không cạnh tranh nhau. Thông tin về đáp ứng tần số có thể giới thiệu trong nhiều dạng mà giản đồ Bode là một. Còn dạng thông tin khác như đồ thị Nyquist còn gọi là đồ thị dạng cực hay đồ thị Nichols còn được biết là phương pháp biên độ log theo đồ thị góc. Phần này chỉ thảo luận về kỹ thuật dùng giản đồ Bode và Nyquist. Hình 7.10b vẽ đồ thị Bode cho hàm truyền hệ vòng hở K / s(s  2)(s  4) khi K  24 . Thông tin này còn được vẽ theo dạng cực trong đồ thị Nyquist trong hình 7.10c. Thí dụ, tại   1 , H ( j )  2,6 và H ( j )  130,60 . Ta vẽ một điểm cách trục ngang 2,6 đơn vị với góc là – 130,60. Điểm này là điểm nhận dạng khi   1 (xem hình 7.10c). Ta vẽ các điểm với nhiều tần số từ  = 0 đến  rồi vẽ đường cong mịn qua chúng để có đồ thị Nyquist. Thông tin còn được biểu diễn thành dạng Cartesian trong đồ thị Nichols. Thí dụ, tại   1 , biên độ log là 20log2,6 = 8,3 dB, và pha tại   1 là – 130,60 . Ta vẽ một điểm tại tọa độ x = 8,3, y = – 130,60 và gán điển nhận dạng cho – 130,60 . Thực hiện với nhiều giá trị của  từ  = 0 đến , rồi nối đường cong giữa các điểm này để có đồ thị Nichols. Dùng giản đồ Bode hay Nyquist (hay Nichols) vẽ hàm truyền vòng hở, ta nghiên cứu được tính ổn định của hệ vòng kín tương ứng. 7.3-1 Ổn định tƣơng đối: biên độ lợi và biên pha. Trong hệ thống ở hình 7.10a, phương trình đặc tính là 1  KG(s) H (s)  0 và nghiệm đặc tính là KG(s) H (s)  1 . Hệ thống không ổn định khi quỉ đạo nghiệm xuyên qua bên phải mặt phẳng phức. Giao điểm xuất hiện trên trục ảo với s  j (xem hình 6.43). DO đó, hệ thống ở biên ổn định: KG( j ) H ( j )  1  1e j