intTypePromotion=3

Bài giảng chuyên đề Phương pháp tính Phần 3

Chia sẻ: Leslie Nguyen | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:8

0
116
lượt xem
53
download

Bài giảng chuyên đề Phương pháp tính Phần 3

Mô tả tài liệu
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Trong nhiêu bài toán kỹ thuật, ta phải tìm các trị yi tại các điểm xi bên trong đọan [a,b], hoặc khi quan hệ gỉai tích y = f(x) đã có sẵn nhưng phức tạp, hoặc cần tìm đạo hàm, tích phân của hàm số,.…Khi dó ta dùng phép nội suy để dễ dàng tính toán mà vẫn đảm bảo độ chính xác theo yêu câu của thực tế.

Chủ đề:
Lưu

Nội dung Text: Bài giảng chuyên đề Phương pháp tính Phần 3

  1. Khoa Xây D ng Th y L i Th y i n B môn Cơ S K Thu t Chương 2 N I SUY (INTERPOLATION) Trong nhi u bài toán k thu t, ta ph i tìm các tr yi t i các i m x i bên trong o n [a,b], ho c khi quan h gi i tích y = f(x) ã có s n nhưng ph c t p, ho c c n tìm o hàm, tích phân c a hàm s ,.…Khi ó ta dùng phép n i suy d dàng tính toán mà v n mb o chính xác theo yêu c u c a th c t . 2.1 a th c n i suy Lagrange Cho b ng các giá tr x x1 x2 x3 .... . .. xn y y1 y2 y3 ... ...yn C n l p a th c: y = f(x) có b c m ≤ n - 1, nh n các giá tr yi cho trư c ng v i các xi : yi = f(xi), v i i = 1, 2, 3,…. ...,n Ký hi u: ϕ(x) = (x - x 1)(x - x2)... ... (x - xn) Ta có ư c ng th c: y1ϕ (x) y 2 ϕ (x) f (x) = + + ... (x - x1 )(x 1 − x 2 )(x1 − x 3 )...(x1 − x n ) (x − x 2 )(x 2 − x 1 )(x 2 − x 3 )....(x 2 − x n ) y n ϕ(x) + (x − x n )(x n − x1 )(x n − x 2 ).......(x n − x n −1 ) n y k ϕ(x ) Hay: f(x)= ∑ k =1 ' ϕ ( x k ).(x − x k ) ây là a th c n i suy Lagrange Ví d : x 0 1 2 3 y 3 4 7 8 Tìm a th c n i suy Lagrange và tìm y khi bi t x=1,5. Ta có: ϕ (x) = (x-x1)(x-x2)(x-x3)(x-x4) = x(x-1)(x-2)(x-3) 3.x.( x − 1).( x − 2).( x − 3) 4.x.( x − 1).( x − 2).( x − 3) ⇒ f(x) = + + x.(−1).(−2).(−3) ( x − 1).1.(−1).(−2) 7.x.( x − 1).( x − 2).( x − 3) 8.x.( x − 1).( x − 2).( x − 3) + ( x − 2).2.1.(−1) ( x − 3).3.2.1 =-1/2(x-1)(x-2)(x-3)+2x(x-2)(x-3)-7/2x(x-1)(x-3)+4/3x(x-1)(x-2) T i x=1,5 th vào f(x) ta có y=5,5 2.2 N i suy Newton Gi s y0 , y1 , y2 , ... là nh ng giá tr nào ó c a hàm y = f(x) tương ng v i các giá tr cách u nhau c a các i s x0 , x1 , x2 ...t c là: x K + 1 - xK = ∆x K = const Bài Gi ng Chuyên Phương Pháp Tính Trang 14
  2. Khoa Xây D ng Th y L i Th y i n B môn Cơ S K Thu t Ký hi u: y1 - y0 = ∆y0 ; y2 - y1 = ∆y1 ; ... ... ; yn - yn - 1 = ∆yn - 1 là sai phân c p 1. ∆y1 - ∆y0 = ∆2y0 ; ∆y2 - ∆y1 = ∆2y1 ; ..... là sai phân c p 2. n n n+1 n n n+1 ∆ y1 - ∆ y0 = ∆ y0 ; ∆ y2 - ∆ y1 = ∆ y1 ; ..... là sai phân c p n + 1. Ti n hành các phép th liên ti p, ta nh n ư c: ..., ∆2y0 = y2 - 2y1 + y0 ; ∆3y0 = y3 - 3y2 + 3y1 - y0 ,…. n n ∆ y0 = ∑ (−1) K =0 K CnK yn − K Tương t ta cũng nh n ư c: y1 = y0 + ∆y0 , y2 = y0 + 2∆y0 + ∆2y0 , y3 = y0 + 3∆y0 + 3∆2y0 + ∆3y0 ,… n(n − 1) 2 yn = y0 + n∆y0 + ∆ y0 + ... + ∆ny0 (1) 2! N u trong (1) ta xem n không nh ng là ch là s nguyên dương mà có th là s n = t b t kỳ, ta nh n ư c công th c n i suy Newton: t t (t − 1) 2 t (t − 1)(t − 2) 3 yt = y0 + ∆y 0 + ∆ y0 + ∆ y 0 + ... + ∆t y 0 (2) 1! 2! 3! xn − x0 Do bư c tăng ∆x = const, ta ư c xn = x0 + nh, suy ra n = h x − x0 t x = x0 + t.h, suy ra t = , th vào (2), ta có ư c d ng khác c a (1) h x − x0 ( x − x 0 )(x − x 0 − h ) 2 yn = y0 + ∆y 0 + ∆ y 0 + .... (3) h 2!h 2 Víd : x 1 2 3 4 y 5 7 10 12 Tìm hàm n i suy Newton. Gi i: Ta có: Sai phân c p 1 ∆y0 = y1 - y0 =7-5=2 Sai phân c p 2 ∆ 2 y0 = y2 – 2y1 +y0 = 10-2.7+5=1 Sai phân c p 3: ∆ 3 y0 = y3 - 3y2 +3y1 - y0 = 12-3.10+3.7-5 =-2 ∆x = h = 1 x − x0 ( x − x0 )( x − x0 − h) 2 ( x − x0 )( x − x0 − 2h) 3 ⇒ yn = y0 + ∆y0 + 2 ∆ y0 + ∆ y0 h 2!h 3!h3 x −1 ( x − 1)( x − 1 − 1) ( x − 1)( x − 1 − 2.1) =5+ .2 + 2 .1 + 3 (−2)3 1 2!1 3!1 1 5 19 = - x3 + x 2 − x+6 3 2 6 Bài Gi ng Chuyên Phương Pháp Tính Trang 15
  3. Khoa Xây D ng Th y L i Th y i n B môn Cơ S K Thu t 2.3 N i suy SPLINE y y3 f(x) 3 y2 f(x) 2 y1 f(x) 1 y0 x0 x1 x2 x3 x Phương pháp Spline n i suy b ng cách g n m t s a th c b c th p v i nhau; ây ch nghiên c u n i suy Spline b c 3, vì thư ng áp ng yêu c u trong nhi u bài toán th c t . Hình v bên ch ra n i suy 4 i m b ng cách dùng 3 hàm b c 3(cubic) f1(x), f2(x), f3(x). T ng quát n u có (n + 1) i m, ta c n n hàm Spline b c 3 d ng: fi(x) = A1i + A2i x + A3i x2 + A4i x3 , i = 1,2,3, . . . , n Có 4n h s Aji có th xác nh theo các i u ki n sau: (i) Hàm Cubics ph i g p t t c các i m bên trong: có ư c 2n phương trình fi(xi) = yi , i = 1, . . . n ; fi + 1(xi) = yi , i = 0,1, . . . n - 1 (ii) o hàm b c 1 ph i liên t c t i các i m bên trong, d n n ư c (n – 1) phương trình: f’i(xi) = f’i + 1(xi), i = 1, 2,. . . ,n - 1 (iii) o hàm b c 2 cũng ph i liên t c t i các i m bên trong, thêm ư c (n – 1) phương trình n a: f”i(xi) = f”i + 1(xi), i = 1,2, . . ., n-1 (iv) Hai i u ki n cu i cùng d a vào 2 i m cu i c a ư ng Spline, ây thư ng t f”1(x0) = 0 và f”n(x n) = 0. S p x p l i hàm fi(x), ta ch c n (n-1) phương trình c n thi t gi i, có d ng: y = fi(x) = f " ( xi −1 )( xi − x) 3 f " ( xi )( x − xi −1 ) 3  yi −1 f " ( xi −1 ) ∆xi   y f " ( xi )∆xi  = + +  ∆x − ( x i − x ) +  i −   ∆x ( x − xi −1 )  6∆xi 6∆xi  i 6   i 6  V i ∆xi = xi - x i – 1, v i i = 1,2,….,n (d ng sai phân lùi). o hàm phương trình này và áp d ng i u ki n liên t c v o hàm b c nh t ta ư c:  ∆y ∆y  ∆xif”(xi - 1) + 2(∆x i + ∆xi + 1).f”(xi) + ∆x i + 1. f”(xi + 1) = 6  − i + i +1   ∆x  i ∆x i +1   Bài Gi ng Chuyên Phương Pháp Tính Trang 16
  4. Khoa Xây D ng Th y L i Th y i n B môn Cơ S K Thu t V i ∆yi = yi – yi-1, v i i = 1,2, . . . .n - 1 i u này tương ương v i h phương trình tuy n tính có n là o hàm b c 2 t i các i m bên trong c a ư ng cong n i suy:  f ( x 1 )  " 2( ∆x 1 + ∆x 2 ) ∆x 2 0 K0  K0  "   ∆x 2 2(∆x 2 + ∆x 3 ) ∆x 3  f ( x 2 )   . =  0 ∆x 3 2(∆x 3 + ∆x 4 ) K0  M    0 0 K  f " ( x )  2(∆x n −1 + ∆x n )  n −1   ∆y1 ∆y 2  − ∆x + ∆x   1 2   ∆y 2 ∆y 3  − +  6.  ∆x 2 ∆x 3  M     ∆y n−1 ∆y n  − ∆x + ∆x   n −1 n  Gi i h i tuy n n y ta tìm ư c f”(x i), v i i = 1,2, . . . , n-1 c ng v i hai i u ki n biên 2 u: f”(x0) = f”(x n) = 0, ư ng cong n i suy s hoàn toàn xác nh. Ví d : x 1 2 2,2 3 4 y 5 7 ? 10 12 Tìm y=f(x) theo phương pháp n i suy spline b c 3 và tính y(x=2,2)=? Gi i: Ta có ∆x1 = ∆x2 = ∆x3 = 1 ∆y1 = 2; ∆y2 = 3; ∆y3 = 2  2 3 2(1 + 1)1  f '' ( x1 )    − +    .  ''  = 6.  1 1 1 2(1 + 1)  f ( x2 )    − 3 + 2   1 1    " "  4 f ( x1 ) + f ( x2 ) = 6  "  f (x ) = 2 ⇔  " " ⇒ " 1  f ( x1 ) + 4 f ( x2 ) = −6   f ( x2 ) = −2  y = f(x) = y = fi(x) = f " ( x1 )( x 2 − x) 3 f " ( x2 )( x − x1 ) 3  y1 f " ( x1 )∆x2   y f " ( x 2 )∆x 2  = + +  ∆x − ( x 2 − x ) +  2 −   ∆x ( x − x1 )  6∆x2 6∆x2  2 6   2 6  Bài Gi ng Chuyên Phương Pháp Tính Trang 17
  5. Khoa Xây D ng Th y L i Th y i n B môn Cơ S K Thu t T i x=2,2 ⇒ y = 7,8 2.4 Phương pháp bình phương c c ti u (Least squares method) G a s có hai i lư ng x và y có liên h ph thu c nhau, theo m t d ng ã bi t: y = a+b.x, hay y = a+b.x+c.x 2, hay y = a.ebx,.... Nhưng chưa bi t giá tr các tham s a,b,c. Mu n xác nh chúng, ngư i ta tìm cách có ư c b ng thí nghi m, o c,... m t s c p (x i,yi) r i áp d ng phương pháp bình phương c c ti u. (a) Trư ng h p y = a + bx Ta có: yi- a- bx i = ε i , v i i =1,2,..,n ây ε i sai s t i xi. Do ó S = Σ( y i − a − bx i ) 2 là t ng các bình phương c a các sai s . S ph thu c a và b, còn x i, yi ta ã bi t r i. M c ích c a phương pháp bình phương c c ti u là xác nh a và b sao cho Sai s nh nh t: S → Smin. ∂S ∂S Như v y: = 0 và =0 ∂a ∂b Ta có ư c h phương trình: na + b ∑ x i = ∑ y i  a ∑ x i + b ∑ x i = ∑ x i y i 2 Gi i h này tìm ư c a,b. Câu h i: 1. Ưu như c i m c a các phương pháp n i suy Lagrange, Newton, spline ? 2. Hãy ch ra nh ng trư ng h p c th và cách ch n phương pháp n i suy nào thích h p nh t ? 3. Phương pháp bình phương c c ti u thư ng ư c áp d ng khi nào ? T i sao ngư i ta nói phương pháp n y mang tính ch quan c a ngư i s d ng tính toán ? M t cách chính xác có g i phương pháp n y là n i suy ư c không ? Bài t p: N i suy Lagrange 1)Xây d ng a th c n i suy Lagrange c a hàm s y=f(x) cho dư i dang b ng sau x 0 2 3 5 y 1 3 2 5 2) Cho b ng giá tr c a hàm s y=f(x) x 321,0 322,8 324,2 325,0 y 2,50651 2,50893 2,51081 2,51188 Bài Gi ng Chuyên Phương Pháp Tính Trang 18
  6. Khoa Xây D ng Th y L i Th y i n B môn Cơ S K Thu t Tính g n úng f(323,5) b ng a th c n i suy Lagrange. 3) Thành l p a th c n i suy Lagrange t b ng s sau: x 2 4 6 8 10 y 0 3 5 4 1 4) Hãy ánh giá sai s nh n ư c khi x p x hàm s y=sinx b ng a th c n i suy Lagrange b c 5: L5(x), bi t r ng a th c này trùng v i hàm s ã cho t i các giá tr x b ng: 0 0, 50, 100, 15 0, 20 0, 25 0. Xác nh giá tr c a sai s khi x=12030’. 5) Tìm a th c n i suy b c 2 c a hàm y=3x trên o n [− 1,1] , t ó suy ra gia tr g n úng c a 3 áp s : 62 3 13 1) 1+ x + x3- x2 15 10 6 2) 2,50987 1 4 3) f(x)= ( x − 26 x 3 + 220 x 2 − 664 x + 640) 32 1 π π π π 5π 4) sin( x) − L5 ( x) ≤ x( x − )( x − )( x − )( x − )( x − ) , khi x=12030’ 6! 36 18 12 9 36 thì sin(12 0 30'−L5 (12 0 30' ) < 2,2.10 −9 5) ư c a th c n i suy b c 2 thì c n 3 m c: ây ta ch n x0=-1;0;1 thì y=3x 1 ≈ ( 4 x 2 + 8 x + 6) trên o n [− 1,1] , và 3 ≈ 1,8 6 N i suy Newton: 1) Cho b ng giá tr c a hàm s y=f(x) x -1 0 3 6 7 y 3 -6 39 822 1611 a) Xây d ng a th c n i suy Newton ti n xu t phát t nút x0 = -1 c a hàm s y=f(x) b) Dùng a th c n i suy nh n ư c, tính g n úng f(-0,25). 2) Cho b ng giá tr c a hàm s y = sinx x 0,1 0,2 0,3 0,4 y 0,09983 0,19867 0,29552 0,38942 a) Dùng a th c n i suy ti n xu t phát t nút x0 = 0,1 tính g n úng sin(0,14) b) Dùng a th c n i suy lùi xu t phát t nút x0 = 0,4 tính g n úng sin(0,46) 3) Xây d ng a th c n i suy Newton ti n xu t phát t b ng s (x0=0). x 0 2,5069 5,0154 7,5270 Bài Gi ng Chuyên Phương Pháp Tính Trang 19
  7. Khoa Xây D ng Th y L i Th y i n B môn Cơ S K Thu t y 0,3989423 0,3988169 0,3984408 0,39781138 3 2 3x − x x 4) Cho giá tr c a hàm s y = arctg 2 - 3arctgx + (2 ln x − 3) trong d ng b ng s sau: 1 − 3x 4 x 58 58,17 58,34 58,68 59,02 59,36 59,7 y 4303,52 ? 4364,11 4425,17 4486,69 4548,69 4611,16 Xây d ng a th c n i suy Niutơn ti n và tính g n úng giá tr c a y t i x =58,17. áp s : 1) a) x4-3x3+5x2-6 b) -5,6367188 2) a) sin(0,14) ≈ 0,1395434 b) sin(0,46) ≈ 0,4439446 3) f(x) ≈ 0,3989423-0,0000500x-0,0000199x(x-2,5069) 0,47 t (t − 1)(t − 2) t (t − 1)(t − 2)(t − 3) 4) y=4303,52+60,59t+ t(t-1)-0,01 +0,03 - 2! 3! 4! t (t − 1)(t − 2)(t − 3)(t − 4) 0,06 5! x − 58 Trong ó: t= ; y(x=58,17)=4333,75779688 0,34 N i suy spline và phương pháp bình phương c c ti u: 1) D ng hàm spline b c 3, x p x hàm y = 3 x trên o n [− 1;1] , l y v i h=1,t ó suy ra 3 3 . 2) Cho hàm s y = sinx trên o n [0; π ] . Hãy l p hàm spline b c 3 x p x hàm sinx trên π o n ã cho, v i các m c n i suy x0 =0; ; π . 2 3) Cho b ng các giá tr : x 2 4 6 8 10 12 y 7,32 8,24 9,20 10,19 11,01 12,05 Hãy tìm công th c th c nghi m có d ng y=a+bx. 4) Cho b ng giá tr : x 0,78 1,56 2,34 3,12 3,81 y 2,50 1,20 1,12 2,25 4,28 Hãy tìm công th c th c nghi m có d ng y=a+bx+cx2 áp s : 3) y=6,3733333+0,4707143x 4) y= 0,992-0,909 Bài Gi ng Chuyên Phương Pháp Tính Trang 20
  8. Khoa Xây D ng Th y L i Th y i n B môn Cơ S K Thu t TÀI LI U THAM KH O 1. Ph m Kỳ Anh, Gi i tích s , NXB HQG, Hà N i 1996 2. Phan Văn H p, Các phương pháp gi i g n úng, NXB H-THCN, Hà N i 1981. 3. Nguy n Th Hùng, Giáo trình Phương pháp s , i h c à N ng 1996. 4. inh Văn Phong, Phương pháp s trong cơ h c, NXB KHKT, Hà N i 1999. 5. Lê ình Th nh, Phương pháp tính, NXB KHKT, Hà N i 1995. 6. Lê Tr ng Vinh, Gi i tích s , NXB KHKT, Hà N i 2000. 7. BURDEN, RL, & FAIRES, JD, Numerical Analysis, 5th ed., PWS Publishing, Boston 1993. 8. CHAPRA S.C, Numerical Methods for Engineers, McGraw Hill, 1998. 9. GURMUND & all, Numerical Methods, Dover Publications, 2003. 10.HOFFMAN, J., Numerical Methods for Engineers scientists, McGrawHill, Newyork 1992. 11.JAAN KIUSAALAS, Numerical Methods in Engineering with Mathlab, Cambridge University Press, 2005. 12.OWEN T. et al., Computational methods in chemical engineering, Prentice Hall, 1995. 13.STEVEN T. KARRIS, Numerical Analysis, Using Matlab and Excell, Orchard Publications, 2007. Website tham kh o: http://ocw.mit.edu/index.html http://ebookee.com.cn http://www.info.sciencedirect.com/books http://db.vista.gov.vn http://dspace.mit.edu http://ecourses.ou.edu http://www.dbebooks.com The end Bài Gi ng Chuyên Phương Pháp Tính Trang 21

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

Đồng bộ tài khoản