zunia.vn

Tuyển sinh 2024 dành cho Gen-Z

zunia.vn

» Kỹ Thuật - Công Nghệ

» Kiến trúc - Xây dựng

Bài giảng chuyên đề Phương pháp tính Phần 5

Chia sẻ: Leslie Nguyen | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:6

Báo xấu

148
lượt xem 39
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Giải gần đúng phương trình. Để tìm nghiệm gần đúng của phương trình f(x) = 0, ta phải tách nghiệm. Giả sử trong khoảng [a,b] hàm f(x) liên tục cùng với các do hàm f’(x), f”(x), của nó. Các giá tr_ f(a), f(b) là giá trị của hàm tại các điểm mút của đoạn này f(a).f(b)

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Bài giảng chuyên đề Phương pháp tính Phần 5

Khoa Xây D ng Th y L i Th y i n B môn Cơ S K Thu t Chương 4 GI I G N ÚNG PHƯƠNG TRÌNH VÀ H PHƯƠNG TRÌNH PHI TUY N ROOTS OF NONLINEAR EQUATIONS 4.1 Gi i g n úng phương trình tìm nghi m g n úng c a phương trình f(x) = 0, ta ph i tách nghi m. Gi s trong kho ng [a,b] hàm f(x) liên t c cùng v i các o hàm f’(x), f”(x), c a nó. Các giá tr f(a), f(b) là giá tr c a hàm t i các i m mút c a o n này f(a).f(b) < 0 và f’(x) gi nguyên d u trên o n [a , b]. ôi khi cho thu n l i, vi t l i: f(x) = 0 ⇔ ϕ (x) = ψ(x). Nghi m th c c a phương trình f(x) = 0 là giao i m c a th các hàm y = ϕ (x) và y = ψ(x). 4.1.1 Phương pháp dây cung Thay cung AB c a y = f(x) b i dây cung AB, l y x 1 t i giao i m P c a dây cung v i tr c hoành làm giá tr g n úng c a nghi m chính xác α. Phương trình dây y cung AB: Y − f (a ) X−a = f ( b) − f ( a ) b − a B T i P ta có: Y = 0, X = x 1, f (a ) x −a nên: − = 1 f ( b ) − f (a ) b − a a P X1 α (b − a )f (a ) af ( b) − bf (a ) O b x Suy ra: x 1 = a - = f (b ) − f (a ) f (b) − f (a ) A Sau khi tính ư c x1 ta xét ư c kho ng phân li nghi m m i là [a,x1] hay [x1,b] r i ti p t c áp d ng phương pháp dây cung vào kho ng phân li m i, ti p t c ta ư c x2, x3, x 4 → ngày càng g n n nghi m chính xác α. f (a).f ( b) f " (x ) Sai s ư c lư ng: α − x 1 < − max 2 [ f ' (x )] 3 Ví d : Tìm nghi m trong kho ng (1,1;1,4) c a phương trình: f(x)= x3-0,2x 2-0,2x-1,2 =0 B ng phương pháp l p dây cung(V i 2 l n l p) Gi i: f ( xo )( xo − 1,4) f (1,1)(1,1 − 1,4) (−0,331)(−0,3) x1 = x 0- =1,1- =1,1- = 1,18254 f ( x0 ) − f (1,4) f (1,1) − f (1,4) − 0,331 − 0,872 f(x1)=f(1,18254)=-0,06252 f ( x1 )( x1 − 1,4) (−0,06252)(1,18254 − 1,4) x2 = x 1- =1,18254- = 1,19709 f ( x1 ) − f (1,4) − 0,06252 − 0,872 Bài Gi ng Chuyên Phương Pháp Tính Trang 32
Khoa Xây D ng Th y L i Th y i n B môn Cơ S K Thu t 4.1.2 Phương pháp Newton-Raphson Còn g i là phương pháp Newton hay phương pháp ti p tuy n. Xét phương trình f(x) = 0 Khai tri n Taylor hàm f(x) t i lân c n x0: f(x) = f(x0) + (x - x0) f’(x0) + (x − x 0 )2 (x − x 0 ) n n (x − x 0 ) n+1 n+1 f " (x 0 ) + ....+ f (x 0 ) + f (C) 2! n! (n + 1)! V i: C = x0 + θ(x - x0), v i: 0 < θ < 1, có nghĩa: x0 < C < x Bây gi ta ch l y s h ng b c 1 c a chu i Taylor: f(x0) + ( x - x0).f’(x0) = 0 (4.1) f (x 0 ) G i x1 là nghi m c a (4.1), ta có: x1 = x 0 - f ' (x 0 ) f ( x1 ) f (x n ) Tương t : x2 = x1 - ,…, xn + 1 = xn - , v i x0 ∈ [a,b] f ' ( x1 ) f ' (x n ) Vì (4.1) dùng thay cho phương trình f(x) = 0, nó tuy n tính i v i x nên phương pháp Newton cũng g i là phương pháp tuy n tính hóa, f’(x0) chính là h s góc c a y = f(x) t i x0 . T i B(x0, f(x0)). Y - f(x0) = f’(x0).(X - x 0) , t i P : x = x 1 ; Y = 0 ó chính là phương trình (4.1) H i t và sai s Ngư i ta s áp d ng phương y pháp l p Newton n u nghi m xn → α khi n → ∞ nh lý: B Gi s [a,b] là kho ng phân ly nghi m α c a phương trình:f(x) = 0, f có o hàm f’, a Mα f” v i f’ liên t c trên [a,b], f’ và f” không O p b x i d u trên (a, b). X p x u x0 ch n là a A hay b sao cho f(x0) cùng d u v i f”. Khi ó x n → α khi n→ ∞ . C th hơn xn ơn i u tăng t i α n u f’.f” < 0, và xn ơn i u gi m t i α n u f’.f” > 0 . f (x n ) , Sai s : α − xn < , v i: 0 < m < f ( xn ) và α ≤ x ≤ b m Bài Gi ng Chuyên Phương Pháp Tính Trang 33
Khoa Xây D ng Th y L i Th y i n B môn Cơ S K Thu t Trư ng H p L p Newton - Raphson Không Có Hi u Qu (hàm 1 bi n) f(x) f(x) xo x2 x1 x x1 x0 x x2 f(x) f(x) O x0 x4 x2 x3 x1 x X0 X1 X ` Ví d : Tìm nghi m dương nh nh t c a phương trình f(x)= 2x -4x B ng phương pháp Newton – Raphson v i 3 l n l p (cho x0 = 0,3) 4.2 Gi i h phương trình phi tuy n ây ta i gi i h phương trình phi tuy n theo phương pháp l p Newton-Raphson T khai tri n Taylor cho bài toán m t bi n: f " (ℑ) f(xi + 1) = f(xi) + f’(x i)(xi + 1- xi) + ( x i+1 − x i ) 2 2! f (x i ) x i+1 = x i − vì f(xi + 1) = 0 f ' (xi ) T ng quát hoá cho bài toán 2 bi n (hàm 2 bi n):  ∂u i ∂u i (4.2a) u i+1 = u i + ( x i+1 − x i ). ∂x + ( y i +1 − y i ). ∂y  i i  v = v + ( x − x ). ∂v i + ( y − y ). ∂v i (4.2b)  i+1  i i +1 i ∂x i i +1 i ∂y i Bài Gi ng Chuyên Phương Pháp Tính Trang 34
Khoa Xây D ng Th y L i Th y i n B môn Cơ S K Thu t  ∂v ∂u  ui i − v i i ∂y ∂y x i +1 = x i − (4.3 ) a  ∂ui ∂v i ∂ui ∂v i . − .   ∂x ∂y ∂y ∂x T (4.2a) và (4.2b) ta có:  ∂u ∂v  v i i − ui i  ∂x ∂x (4.3b) y i +1 = y i − ∂u ∂v ∂u ∂v  i . i − i . i   ∂x ∂y ∂y ∂x M u s c a (4.3a) và (4.3b) g i là nh th c Jacobien (detJ), c a h th ng: ∂ui ∂ui ∂x ∂y det J = det ∂v i ∂v i ∂x ∂y M t cách t ng quát cho phương trình: f(x)=0 V i x = [x1,x 2,....,xn]T và f = [f1,f2,....,f n]T Phương pháp l p Newton-Raphson cho h phương trình n n này là: x(k+1) = x(k) -Fx-1(x(k)).f(x(k)) V i ma tr n Jacobi Fx như sau:  ∂f 1 ∂f 1 ∂f 1   ........   ∂x 1 ∂x 2 ∂x n  Fx=  2 ∂f ∂f 2 ∂f 2   ∂x ......... ∂x 2 ∂x n   1   ∂f n ∂f n ......... ∂f n   ∂x ∂x 2 ∂x n   1  Ví d : Hãy tính l p theo phương pháp Newton- Raphson 1. Cho f(x) = e-x - x , v i x0 = 0 ( i m ban u) e− x − x i i Gi i : Ta có f’(x) = - e - 1 , αx + 1 = xi - -X − e−x − 1 i Ta l p ư c b ng tính: i xi ε (%) 0 0 100 1 0, 5 0 0 0 0 0 0 0 0 11,8 2 0, 5 6 6 3 1 1 0 0 3 0,147 3 0, 5 6 7 1 4 2 1 6 3 0,0000220 4 0, 5 6 7 1 4 3 2 7 0 < 10-8 Bài Gi ng Chuyên Phương Pháp Tính Trang 35
Khoa Xây D ng Th y L i Th y i n B môn Cơ S K Thu t u ( x , y) = x 2 + xy − 10 = 0  2. Cho  cho bi t nghi m (x = 2, y = 3) v( x , y) = y + 3xy 2 − 57 = 0  Nghi m ban u cho ( x = 1,5 , y = 3,5 ) Gi i: ∂v 0 ∂v 0 = 1 + 6 xy = 1 + 6(1,5)(3,5) = 3,25 = 2 y 2 = 3(3,5) 2 = 36,75 ∂y 0 ∂x 0 ∂u 0 ∂u 0 = x = 1,5 = 2x + y = 2(1,5) + 3,5 = 6,5 ∂y 0 ∂x 0 V y nh th c Jacobien: det J = 6,5(32,5) - 1,5(36,75) = 156,125 và u0 = (1,5)2 + 1,5(3,5) - 10 = - 2,5 v0 = 3,5 + 3(1,5)(3,5)2 - 57 = 1,625  − 2,5(32,5) − 1,625 3,5) ( x = 1,5 −  156,125 = 2,03603 T ó có:  y = 3,5 − 1,625 6,5) − ( −3,5)(36,75) = 2,84387 (   156,125 Ti p t c các ph n x p x b dư → (x = 2 , y = 3) 3. Cho hàm: f(x) = - 0,9x2 + 1,7x + 2,5, i m ban u x0 = 5, ch n ε0 = 0,01% Câu h i: 1. Phương trình (ho c h phương trình) phi tuy n thông thư ng có nhi u nghi m; gi i nó (ho c chúng nó), bư c u tiên ta ph i làm gì ? 2. Trình bày cách gi i h phương trình phi tuy n theo công th c l p Newton-Raphson? 3. T i sao phương pháp l p Newton – Raphson còn ư c g i là phương pháp ti p tuy n ? 4. Ưu như c i m c a các phương pháp l p gi i phươ ng trình phi tuy n ? Bài t p: 1) Dùng phương pháp dây cung, tìm nghi m g n úng v i chính xác10-2 c a: a) x 3 + 3x + 5=0 b) x 4 -3x +1=0 2) Áp d ng hai l n phương pháp ây cung, tìm nghi m th c g n úng c a phương trình x3-10x+5 trong kho ng phân ly(0;0,6). ánh giá sai s c a ngh m g n úng x 2. π π 3) Cho phương trình x=sin3x, co kho ng phân ly nghi m là( , ). Tìm nghi m 6 3 g n úng trong kho ng ã cho b ng phương pháp dây cung, tính n phép l p th 3 là x3. 4) Tìm nghi m g n úng c a h Bài Gi ng Chuyên Phương Pháp Tính Trang 36
Khoa Xây D ng Th y L i Th y i n B môn Cơ S K Thu t  3 2  x − 2 xy + y = 0  2 x − 2x − y + 2 = 0  B ng phương pháp Niutơn, cho x0=0,7; y0=1,0. 5) Tìm nghi m g n úng c a h b ng phương pháp l p Niutơn. Sinx − y = 1,32   x − cos y = 0,85 V ix px u(x0, y0)=(1,80; -0,33). áp s : 2) α ≈ 0,51 3) x3 ≈ 0,75649 4) (α , β ) = (0,704402;1,087387) 5) (α , β ) = (1,79;0,34) TÀI LI U THAM KH O 1. Ph m Kỳ Anh, Gi i tích s , NXB HQG, Hà N i 1996 2. Phan Văn H p và các tác gi khác, Cơ s phương pháp tính, NXB H-THCN, Hà N i 1970. 3. Nguy n Th Hùng, Giáo trình Phương pháp s , i h c à N ng 1996. 4. inh Văn Phong, Phương pháp s trong cơ h c, NXB KHKT, Hà N i 1999. 5. Lê ình Th nh, Phương pháp tính, NXB KHKT, Hà N i 1995. 6. Lê Tr ng Vinh, Gi i tích s , NXB KHKT, Hà N i 2000. 7. BURDEN, RL, & FAIRES, JD, Numerical Analysis, 5th ed., PWS Publishing, Boston 1993. 8. CHAPRA S.C, Numerical Methods for Engineers, McGraw Hill, 1998. 9. GURMUND & all, Numerical Methods, Dover Publications, 2003. 10.JAAN KIUSAALAS, Numerical Methods in Engineering with Mathlab, Cambridge University Press, 2005. 11.STEVEN T. KARRIS, Numerical Analysis, Using Matlab and Excell, Orchard Publications, 2007. Website tham kh o: http://ocw.mit.edu/index.html http://ebookee.com.cn http://www.info.sciencedirect.com/books http://db.vista.gov.vn http://dspace.mit.edu http://ecourses.ou.edu http://www.dbebooks.com The end Bài Gi ng Chuyên Phương Pháp Tính Trang 37

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

LV.15: Bộ Đồ Án Tốt Nghiệp Chuyên Ngành Cơ Khí

65 tài liệu

2431 lượt tải

THÔNG TIN

TRỢ GIÚP

HỖ TRỢ KHÁCH HÀNG

Theo dõi chúng tôi

Chịu trách nhiệm nội dung:

Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA

LIÊN HỆ

Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM

Hotline: 093 303 0098

Email: support@tailieu.vn

Giấy phép Mạng Xã Hội số: 670/GP-BTTTT cấp ngày 30/11/2015 Copyright © 2022-2032 TaiLieu.VN. All rights reserved.