intTypePromotion=1
ADSENSE

Bài giảng chuyên đề Phương pháp tính Phần 4

Chia sẻ: Leslie Nguyen | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:10

166
lượt xem
52
download
 
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tính gân đúng đạo hàm + Ta biểu diễn hàm f(x) bằng đa thức nội suy: f(x) = P(x), với P(x) là đa thức nội suy (đa thức nội suy tien lợi là spline bậc 3); Tiêp theo ta tính gần đúng do hàm f ’(x) ở đa thức này

Chủ đề:
Lưu

Nội dung Text: Bài giảng chuyên đề Phương pháp tính Phần 4

  1. Khoa Xây D ng Th y L i Th y i n B môn Cơ S K Thu t Chương 3 TÍNH G N ÚNG O HÀM VÀ TÍCH PHÂN NUMERICAL DIFFERENTIATION AND INTEGRATION 3.1 Tính g n úng o hàm + Ta bi u di n hàm f(x) b ng a th c n i suy: f(x) = P(x), v i P(x) là a th c n i suy ( a th c n i suy ti n l i là spline b c 3); Ti p theo ta tính g n úng o hàm f ’(x) a th c n y: f’(x) = P’(x) + Ta cũng có th áp d ng khai tri n Taylor: h2 f(x + h) = f(x) + h f’(x) + f”(c), v i c = x + θh, 0 < θ < 1. 2! f (x + h ) − f (x) T ó ta tính ư c: f’(x) ≈ h 3.2 Tính g n úng tích phân xác nh 3.2.1 Công th c hình thang: Trong t ng kho ng chia (i,i+1), ư ng cong Mi, Mi+1 ư c x p x thành ư ng th ng. i v i tích phân th (i + 1), ta có: x i+1 y yi + yi +1 xi ∫ f ( x )dx = h 2 y1 B b− a y0 V i xi = a + ih, h = , A n i = 1, 2, . . . . . , n; a = x0 , b = xn b x1 x2 xn I= ∫ f (x )dx = ∫ f ( x )dx + ∫ f ( x )dx +........ ∫ f ( x )dx x0 x1 x a x0 x1 x n −1 IT ≅ h [(y0 + y1 ) + ( y1 + y 2 ) + .......+ ( y n−1 + y n )] 2  y + yn  I T ≅ h 0 + y1 + y 2 + .......+ y n−1   2  Bài Gi ng Chuyên Phương Pháp Tính Trang 22
  2. Khoa Xây D ng Th y L i Th y i n B môn Cơ S K Thu t M 2 Sai s : I - IT  ≤ h ( b − a) , v i M = max f”(x), a ≤ x ≤ b 12 Ví d : Dùng công th c hình thang t ng quát v i n=10 tính g n úng: 1 dx I= ∫ 1+ x 0 ánh giá nh ng sai s c a nh ng giá tr g n úng nh n ư c. Gi i: 1− 0 Ta có: h= =0,1 10 K t qu tính toán trong b ng sau: i xi yi 0 0 1,00000 1 0,1 0,90909 2 0,2 0,83333 3 0,3 0,76923 4 0,4 0,71429 5 0,5 0,66667 6 0,6 0,62500 7 0,7 0,58824 8 0,8 0,55556 9 0,9 0,52632 10 1,0 0,50000 ∑ 6,18773 Theo công th c hình thang t ng quát ta có: I 1, 0000 + 0, 50000 ≈ 0,1( +0,90909+0,83333+0,76923+0,71429+0,66667+ 2 0,62500+0,58824+0,55556+0,52632) =0,69377. Sai s R ư c xác nh như sau: M 2 I − IT = h (b − a ) 12 V i M = max f x'' 0
  3. Khoa Xây D ng Th y L i Th y i n B môn Cơ S K Thu t 2 f '' ( x) = (-1)(-2)(1+x)-3= Trong (0,1) M = max f x'' =2 (1 + x ) 3 2.(0,1)2 R ≤ (1 − 0) = 0, 00167 12 3.2.2 Công th c Simpson Bây gi c m i o n cong Mi, Mi+1 ư c x p x b ng ư ng cong b c hai, i qua ba giá tr yi, yi+1 và giá tr y t i x = (xi + xi+1)/2, có nghĩa chia [a,b] thành 2n o n b ng nhau,b i các i m chia xi: a = x0 < x1 < x2 < ...< x2n =b, nghĩa là: xi = a +ih V i h = (b – a)/2n, v i: i = 0, 1,2,….,2n Dùng a th c n i suy b c 2 x p x theo Newton, ta có công th c tính g n úng tích phân theo Simpson: t ( t + 1) 2 x2 x2 2 ∫ x0 f ( x ) dx ≈ ∫ x0 p 2 ( x ) dx = ∫ h( y 0 0 + t∆ y 0 + 2 ∆ y 0 ) dt x2 h ∫ x0 f ( x) dx ≅ 3 ( y 0 + 4 y1 + y 2 ) x2i+ T ng quát : 2 h ∫ x2 f ( x ) dx ≅ 3 (y 2i + 4 y 2 i+1 + y 2i+ 2 ) i V y: b h ∫ a f ( x ) dx ≅ 3 [( y 0 + 4 y 1 + y 2 ) + ( y 2 + 4 y 3 + y 4 ) + .... + ( y 2 n − 2 + 4 y 2 n −1 + y 2 n )] h I ≅ [( y 0 + y 2 n ) + 4 ( y 1 + y 3 + ... + y 2 n −1 ) + 2 ( y 2 + y 4 + ... + y 2 n − 2 )] 3 Sai s : h4 I − I S ≤ M (b − a ) 180 V i: M = max | fiv(x) |, a ≤ x ≤b. Ví d : Dùng công th c Simpson t ng quát v i n=10 tính g n úng: Bài Gi ng Chuyên Phương Pháp Tính Trang 24
  4. Khoa Xây D ng Th y L i Th y i n B môn Cơ S K Thu t 1 dx I= ∫ 1+ x 0 ánh giá nh ng sai s c a nh ng giá tr g n úng nh n ư c. 3.2.3 Công th c c a Gauss 3.2.3.1Liên h gi a các h to t ng th và h to a phương Trong nhi u trư ng h p ta c n tính tích phân s v i chính xác r t cao, như trong phương pháp ph n t h u h n (PTHH), mi n tính toán Ω ư c chia nh thành nhi u mi n con, phương pháp bi n phân tr ng s xây d ng trên các mi n con này. Do ó d n n tích phân hàm d ng trên mi n con. 3 x = ∑ N i xi = N1 x1 + N 2 x2 + N 3 x3 i =1 N u tích phân hàm d ng b c cao v i s d ng h to t ng th (x,y,z, global coordinate) thì thông thư ng s xu t hi n các bi u th c i s r t ph c t p khi ph n t là hai, ba chi u (Irons and Ahmad, 1980). Thay vào ó n u chúng ta th c hi n chúng trong h to a phương (ξ,η,ζ, local coordinate) hay còn g i là to chu n hay to t nhiên (normal coordinate hay natural coordinate) thì s ơn gi n hơn r t nhi u [Taig, 1961]; b i l nó thu n l i trong vi c xây d ng hàm n i suy, tích phân s dùng ư c cách thi t l p c a Gauss-Legendre (ph bi n nh t). Ph n t chi u y Ph n t th c τe η Xk 0,1 1→ x i 3 2→ x j v r 3→ x k xi ve 1 2 0,0 ξ Xj 1,0 x Hình 3.3: Bi u th ph n t chi u Vr vào ph n t th c Ve V i ph n t ng tham s (isoparametric), ta có th vi t công th c bi n i to cho ph n t t giác tuy n tính có b n i m nút như sau: 4 y = ∑ N j x j = N 1 x1 + N 2 x 2 + N 3 x3 + N 4 x 4 (3.10) j =1 Bài Gi ng Chuyên Phương Pháp Tính Trang 25
  5. Khoa Xây D ng Th y L i Th y i n B môn Cơ S K Thu t V i ph n t tam giác tuy n tính có ba i m nút: 3 y = ∑ N j y j = N1 y1 + N 2 y 2 + N 3 y 3 (3.11) j =1 ây Ni, Nj là hàm d ng hay còn g i là hàm n i suy (shape function hay interpolation function). T lu t o hàm o hàm riêng ph n, ta có:  ∂   ∂x ∂y   ∂  ∂  ∂ξ   ∂ξ ∂ξ   ∂x   ∂x       =    =   J  (3.12)  ∂   ∂x ∂y   ∂  ∂  ∂η   ∂η ∂η   ∂y        ∂y    ∂  ∂   ∂x   ∂ξ      Hay: ∂ = J −1   (3.13)   ∂   ∂y     ∂η    ây J là ma tr n Jacobian bi n i to . nh th c c a ma tr n n y, det J , cũng ph i ư c ư c lư ng b i l nó ư c dùng trong các tích phân bi n i như sau: + Cho ph n t t giác tuy n tính: 1 1 ∫∫ dxdy = ∫ ∫ det J dξ dη −1 −1 (3.14) ωe + Cho ph n t tam giác tuy n tính: 1 1−ξ ∫∫ dxdy = ∫ ∫ det J dη dξ (3.15) ω e 0 0 2 2 3 3 4 4 1 1 Hình 3.4: Ph n t t giác có ma tr n Jacobian không xác nh Bài Gi ng Chuyên Phương Pháp Tính Trang 26
  6. Khoa Xây D ng Th y L i Th y i n B môn Cơ S K Thu t Trong m t s trư ng h p, ví d như Hình 3.4, ph n t t giác có 4 i m nút, n u d ng hình h c như v y, ma tr n Jacobian tr nên không xác nh; nó có giá tr t t, các hình d ng ph n t như c nh và góc c a nó c n ph i u n hơn (ví d tam giác u, t giác u ≡ hình vuông, ây là các d ng ph n t lý tư ng). 3.2.3.2 Tích phân s M t s tích phân c a các lo i bài toán hai chi u (2D), ba chi u (3D), theo phương pháp PTHH có th ư c ư c lư ng b ng gi i tích, nhưng nó không th c d ng cho các hàm s ph c t p , c bi t trong trư ng h p t ng quát khi (ξ ,η ) là to cong. Trong th c hành (3.14), (3.15) ư c ư c lư ng b ng s , g i là tích phân s (numerical integration hay còn g i là numerical quadrature). Dùng tích phân s c a Gauss, v i ph n t t giác, mi n hai chi u ta có: f (ξ , η )dξdη ≅ ∑∑ wi w j f (ξ i ,η j ) 1 1 n n ∫∫ −1 −1 i =1 j =1 (3.16) V i ph n t tam giác: 1 1−ξ ∫∫ f (ξ ,η )dηdξ ≅ 1 n ( ∑ wi f ξ i ,η i 2 i =1 ) (3.17) 0 0 V i ph n t t giác thì wi, wj là h s tr ng s và ξ i ,η j là các v trí to bên trong ph n t , cho B ng 2 (Xem Kopal 1961); còn v i ph n t tam giác, tương t như ph n t t giác, nhưng các i m tích phân là các i m m u (Sampling Points), B ng 1. Thông thư ng ngư i ta mu n các tích phân s t chính xác cao, nhưng có nh ng trư ng h p c bi t l i không c n thi t. tích phân Gauss (3.16), v i n = 2, s chính xác khi hàm f là cubic (b c 3 ), còn tích phân (3.17), n = 1, s chính xác khi a th c f b c nh t, còn n = 3, s chính xác khi a th c f b c hai. B ng 1: i m tích phân cho ph n t tam giác theo công th c (3.17) n ξi ηi wi 1 1/ 3 1/ 3 1 1/ 2 1/ 2 1/ 3 3 1/ 2 0 1/ 3 0 1/ 2 1/ 3 Bài Gi ng Chuyên Phương Pháp Tính Trang 27
  7. Khoa Xây D ng Th y L i Th y i n B môn Cơ S K Thu t B ng 2: Tr ng s và i m tích phân Gauss – Legendre theo công th c (3.16) i m tích phân ξ i S i m tích phân r Tr ng s wi 0.0000000000 M t i m 2.0000000000 ± 0.5773502692 Hai i m 1.0000000000 0.0000000000 Ba i m 0.8888888889 ± 0.7745966692 0.5555555555 ± 0.3399810 435 B n i m 0.6521451548 ± 0.8611363116 0.3478548451 0.0000000000 0.5688888889 ± 0.5384693101 Năm i m 0.4786286705 ± 0.9061798459 0.2369268850 ± 0.2386191861 0.4679139346 ± 0.6612093865 Sáu i m 0.3607615730 ± 0.9324695142 0.1713244924 Ví d 1: Tính tích phân: 1 ∫ x + 2 x 2 dx Tính tích phân Gauss v i n=3 3 −1 Gi i: n = 3 tra b ng ta ư c: a1=0,774 W1≡ H1= 0,555 a2=-0,774 W2≡ H2=+0,555 a3=0,000 W3≡ H3=0,888 1 I= ∫ f (ξ )dξ =H1f(a1)+ H2f(a2)+ H3f(a3) −1 I=0,555 3 0,774 + 2(0,774)2 +0,555 3 − 0,774 + 2(−0,774)2 +0,888 3 0,000 + 2(0,000)2 =1,113 Ví d 2: S d ng b ng tra tích phân c a Gauss (n=2) tính g n úng tích phân. 1 1 ∫ ∫ (x + 2 y )dxdy 2 I= −1 −1 Bài Gi ng Chuyên Phương Pháp Tính Trang 28
  8. Khoa Xây D ng Th y L i Th y i n B môn Cơ S K Thu t Câu h i: 1. Khi nào o hàm ư c tính g n úng ư c ch p nh n (sai s n m trong ph m vi cho phép), khi nào nó không ư c ch p nh n. Cho vài ví d ? 2. T i sao tích phân g n úng Gauss t t hơn tích phân g n úng Simpson và Tp g n úng Simpson t t hơn Tp g n úng hình thang ? 3. T i sao tích phân s (g n úng) c a Gauss càng chính xác khi i m tích phân càng nhi u ? Bài t p: 1) Tính g n úng y’(55), y’(60) c a hàm y=lgx d a vào b ng giá tr ã cho sau: x 50 55 60 y 1,6990 1,7404 1,7782 So sánh v i k t qu úng tính o hàm c a hàm s y =lgx. 2) Tính g n úng y’(1) c a hàm y=f(x) t b ng s ã cho: x 0,98 1,00 1,02 y 0,7739332 0,7651977 0,7563321 2 3) Tính g n úng tích phân I= ∫ x dx b ng công th c hình thang t ng quát, 1 l y n=10. ánh giá sai s . 1 4)Tính g n úng I= ∫ e x dx b ng công th c hình thang và Ximxơn b ng cách 2 0 chia o n [0;1] thành 10 o n b ng nhau. 1 dx π 5) Tính g n úng I= ∫ = = 0,78539816 b ng công th c hình thang và 0 1+ x 2 4 Simpson m r ng. V i o n [0;1] chia thành 10 o n b ng nhau. Bài Gi ng Chuyên Phương Pháp Tính Trang 29
  9. Khoa Xây D ng Th y L i Th y i n B môn Cơ S K Thu t 1 6)Tính g n úng tích phân I= ∫ 1 + x 2 dx b ng công th c Simpson t ng quát 0 sao cho t sai s 0,001. áp s : 1) y’(55) ≈ 0,00792; y’(60) ≈ 0,0072 Giá tr úng y’(55) = 0,0079862; y’(60) = 0,0072382 2) y’(1) ≈ -0,4400275. 3) I ≈ I * =1,218; I − I * ≤ 0,02 . 4) Công th c hình thang: I ≈ I * =1,4672; I − I * ≤ 0,0136 . Công th c Simpson: I ≈ I * =1,4627; I − I * ≤ 0,000115 . 5) Công th c hình thang: I ≈ I * =0,78498149 Công th c Simpson: I ≈ I * =0,78539815. TÀI LI U THAM KH O 1. Ph m Kỳ Anh, Gi i tích s , NXB HQG, Hà N i 1996 2. Phan Văn H p và các tác gi khác, Cơ s phương pháp tính, NXB H-THCN, Hà N i 1970. 3. Nguy n Th Hùng, Giáo trình Phương pháp s , i h c à N ng 1996. 4. inh Văn Phong, Phương pháp s trong cơ h c, NXB KHKT, Hà N i 1999. 5. Lê ình Th nh, Phương pháp tính, NXB KHKT, Hà N i 1995. 6. Lê Tr ng Vinh, Gi i tích s , NXB KHKT, Hà N i 2000. 7. BURDEN, RL, & FAIRES, JD, Numerical Analysis, 5th ed., PWS Publishing, Boston 1993. 8. CHAPRA S.C, Numerical Methods for Engineers, McGraw Hill, 1998. 9. GURMUND & all, Numerical Methods, Dover Publications, 2003. 10. HOFFMAN, J., Numerical Methods for Engineers scientists, McGrawHill, Newyork 1992. 11. JAAN KIUSAALAS, Numerical Methods in Engineering with Mathlab, Cambridge University Press, 2005. 12. STEVEN T. KARRIS, Numerical Analysis, Using Matlab and Excell, Orchard Publications, 2007. Bài Gi ng Chuyên Phương Pháp Tính Trang 30
  10. Khoa Xây D ng Th y L i Th y i n B môn Cơ S K Thu t Website tham kh o: http://ocw.mit.edu/index.html http://ebookee.com.cn http://db.vista.gov.vn http://ecourses.ou.edu http://www.dbebooks.com The end Bài Gi ng Chuyên Phương Pháp Tính Trang 31
ADSENSE

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

 

Đồng bộ tài khoản
2=>2