intTypePromotion=1
ADSENSE

Bài giảng chuyên đề Phương pháp tính Phần 8

Chia sẻ: Leslie Nguyen | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:14

120
lượt xem
38
download
 
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Các hien tượng vật lý trong tự nhiên thường rât phức tạp, nên thường phải mô tả bằng các phương trình đạo hàm riêng. Moi lọai phương trình đạo hàm riêng thường đòi hỏi các điều kiện biến tươn gứng để bài toán có nghiệm, phù hợp với hiện tượng vật lý quan sát.

Chủ đề:
Lưu

Nội dung Text: Bài giảng chuyên đề Phương pháp tính Phần 8

  1. Khoa Xây D ng Th y L i Th y i n B môn Cơ S K Thu t Chương 7 GI I G N ÚNG PHƯƠNG TRÌNH O HÀM RIÊNG B NG PHƯƠNG PHÁP S NUMERICAL METHOD FOR PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATIONS Các hi n tư ng v t lý trong t nhiên thư ng r t ph c t p, nên thư ng ph i mô t b ng các phương trình o hàm riêng. M i lo i phương trình o hàm riêng thư ng òi h i các i u ki n biên tương ng bài toán có nghi m, phù h p v i hi n tư ng v t lý quan sát. 7.1 PHÂN LO I PHƯƠNG TRÌNH O HÀM RIÊNG B C 2 TUY N TÍNH T d ng t ng quát: ∂ 2u ∂ 2u ∂ 2u ∂u ∂u A +B +C 2 +D + E + Fu = g( x, y ) (7.1) ∂x 2 ∂x∂y ∂y ∂x ∂y Phân lo i v i chú ý các o hàm b c cao, khi ó (1) ư c vi t l i: ∂ u ∂ u ∂ u + C 2 = f (u x , u y , u , x , y 2 2 2 A +B ) (7.2) ∂x 2 ∂x∂y ∂y ơn gi n (7.2) b ng cách i bi n s : η = η(x , y) , ξ = ξ(x , y) t: ξ = αx + βy , η = γx + δy ∂u ∂u ∂ξ ∂u ∂η ∂u ∂u Hay: = + = ξx + ηx ∂x ∂ξ ∂x ∂η ∂x ∂ξ ∂y Tương t cho các o hàm khác ta ư c: ∂u ∂ 2u ∂u ( Aα 2 + Cβ 2 + Bαβ ) + [2 Aαγ + 2Cβδ + B( βγ + αδ )] + ( Aγ 2 + Cδ 2 + Bδγ ) =f ∂ξ ∂ξ∂η ∂η (7.3) M t cách ơn gi n tìm l i gi i c a phương trình này, là ch n ξ, η sao cho s h ng th nh t và th ba trong phương trình (7.3) tri t tiêu: A α 2 + Bβα + Cβ 2 = 0  2 A γ + Bδγ + Cδ = 0 2 Ta ư c d ng ơn gi n: ∂ 2u [ 2A αγ + 2Cβδ + B(βγ + αδ )] ∂ξ∂η Gi s : β ≠ 0, δ ≠ 0 ta có: A(α/β)2 + B(α/β) + C = 0, A(γ/δ)2 + B(γ/δ) + C = 0 α 1  β = 2A (− B + B − 4AC ) 2  ⇒  γ = 1 (− B − B 2 − 4AC )  δ 2A  K T LU N: B2 - 4AC > 0 : Phương trình Hyporbol B2 - 4AC < 0 : Phương trình Ellip Bài Gi ng Chuyên Phương Pháp Tính Trang 58
  2. Khoa Xây D ng Th y L i Th y i n B môn Cơ S K Thu t B2 - 4AC = 0 : Phương trình Parabol Chú ý: Không phân bi t bi n t, x, y, z 7.2 Các bài toán biên thư ng g p Trong lĩnh v c k thu t, ngư i ta thư ng hay g p các bài toán biên sau: a. Bài toán Dirichlet Tìm hàm u tho mãn phương trình: Γ a(u,v) = (f,v) trong mi n (Ω) và trên biên Γ c a (Ω) cho trư c giá tr c a u (Ω) uΓ = f(v) N u trên biên cho u = 0 thì ta có i u ki n biên Dirichlet thu n nh t. i u ki n biên Dirichlet ư c g i là i u ki n biên c t y u (essential boundary conditions). b. Bài toán Neumann • Tìm hàm u tho mãn phương trình: a(u,v) = (f,v) trong (Ω) và i u ki n biên: ∂u = f (v) ∂n Γ N u f(v) = 0 ta có bài toán Neumann thu n nh t. cho bài toán Neumann có nghi m duy nh t ta ph i t thêm i u ki n g(1) nào ó. i u ki n biên Neumann còn g i là i u ki n biên t nhiên (natural boundary conditions). c. Bài toán h n h p Γo V i bài toán h n h p (mixed boundary conditions) là bài toán mà biên Γ c a nó g m hai ph n Γo và Γ1. Ví d tìm hàm u tho Ω mãn phương trình: a(u,v) = (f,v) trong (Ω) Γ1 V i i u ki n biên: ∂u = f1 ( v ) ; uΓo = fo(v) ∂n Γ1 Trong th c t k thu t, ngư i ta thư ng hay g p i u ki n biên h n h p n y. 7.3 Tư tư ng cơ b n c a các phương pháp g n úng Bài Gi ng Chuyên Phương Pháp Tính Trang 59
  3. Khoa Xây D ng Th y L i Th y i n B môn Cơ S K Thu t Trên th c t vi c tìm nghi m chính xác c a các bài toán biên nói trên là vô cùng khó khăn; toán h c hi n nay ch cho phép gi i các bài toán ó trong m t s trư ng h p th t ơn gi n, còn ph n l n là ph i gi i theo các phương pháp g n úng khác nhau. Tư tư ng c a các phương pháp g n úng (approximation methods) là x p x không gian vô h n chi u c a nghi m b ng m t không gian con h u h n chi u. ∞ a u( x) = 0 + 2 ∑ (a n =1 n cos nx + b n sin nx ) ∞ u( x) = ∑a n=0 n .ϕ n ( x ) Nghi m chính xác c a bài toán có th bi u di n b ng các d ng sau: u(x) = a0 + a1x +a2x 2+a3x3+.. ..+anx n+.. .. (7.4) Rõ ràng nghi m chính xác u(x) có th xem như là m t hàm c a vô h n các h s : a0, a1, a2, .. ..,an,.. .. Trong khi ó gi i theo các phương pháp g n úng ta ch có th tìm ư c nghi m uh c a nó như là hàm c a m t dãy h u h n các h s a0, a1, a2, .. ..,an. nào ó mà thôi. Trong chương n y ta s nghiên c u m t s phương pháp s m nh, thư ng s d ng gi i các bài toán cơ h c: + Phương pháp c trưng (characteristic method) + Phương pháp sai phân (finite difference method) + Phương pháp ph n t h u h n (finite element method) + Phương pháp th tích h u h n (finite volume method) + Phương pháp ph n t biên (Boundary element method) 7.4 Phương pháp c trưng N i dung c a phương pháp c trưng là bi n i phương trình vi phân o hàm riêng v h phương trình vi phân thư ng, và tìm l i gi i bài toán h phương trình vi phân thư ng n y, t ó ta d dàng th y ư c b n ch t v t lý c a hi n tư ng nghiên c u. ∂ 2u 1 ∂ 2u Ví d : Xét phương trình truy n sóng: = (7.5) ∂x 2 c 2 ∂t 2 ∂v ∂u ∂ 2v ∂ 2u Ta t hàm v(x,t) sao cho: = ⇒ = (7.6) ∂x ∂t ∂x∂t ∂t 2 ∂  ∂v  ∂  ∂u  vì  =   ∂t  ∂x  ∂t  ∂t  1 ∂2u ∂ 2u 1 ∂ 2v ∂ 2u T (7.5) ta có: − 2 =0 → 2 − =0 c 2 ∂t 2 ∂x c ∂t∂x ∂x 2 1 ∂v ∂u Và t: − = f (t ) c 2 ∂t ∂x i n h th ng: Bài Gi ng Chuyên Phương Pháp Tính Trang 60
  4. Khoa Xây D ng Th y L i Th y i n B môn Cơ S K Thu t  ∂v ∂u  ∂v   ∂v   ∂x − ∂t = 0  1 0   ∂x   0   − 1   0   ∂t     ⇒    ∂u  +  1   =  0  ∂u   1 ∂v − ∂u = f ( t ) 0 − 1    c 2     f (t )   c 2 ∂t ∂x   ∂x     ∂t      1 0 0 − 1 t A=  , B= 1 0  0 −1 c2   Phương trình c trưng ư c suy t : λ 1 1 1 det(Aλ - B) = 0 → − 1 −λ = 0 → λ2 = 2 → λ = ± 2 e c c dx x = ct + a T ó ta có ư ng cong c trưng: = ±c →  dt x = −ct + b 7.5 Phương pháp sai phân D a trên khai tri n Taylor, m t cách g n úng ta thay các t vi phân b ng t sai phân. ∂c Ví d : Tìm o hàm ∂x x  ∂c  ∆x 2  ∂ 2c  Ta có: C(x + ∆x) = C(x) + ∆x   +  2  + .....  ∂x  (7.7)  ∂x  x 2!  x ∂C C( x + ∆x ) − C(x ) ∆x  ∂ 2 C  → = −   + ...... ∂x x ∆x 2  ∂x 2  x    ∂c  ∆x 2  ∂ 2 c  Tương t : Có C(x - ∆x) = C(x) - ∆x   +   − ..... (7.8)  ∂x  x 2!  ∂x 2  x   L y (7.7) - (7.8) suy ra sai phân trung tâm: ∂c C( x + ∆x ) − C( x − ∆x ) ∆x 3  ∂ 3C  = −   + ...... ∂x x 2∆x 3!  ∂x 3  x   Có th khai tri n: ∂c ∆x 2 ∂ C 2 C( x + 2∆x ) = C(x) + 2∆x + 4. . 2 + ....... (7.9) ∂x x 2! ∂x x L y (7.7) nhân v i 4 r i tr cho (7.9), ta có: ∂c − 3C ( x ) + 4C ( x + ∆x ) − C ( x + 2∆x ) 4∆x 2 ∂ 3C = + ∂x x 2 ∆x 3! ∂x 3 L y (7.7) c ng (7.8) ta ư c: Bài Gi ng Chuyên Phương Pháp Tính Trang 61
  5. Khoa Xây D ng Th y L i Th y i n B môn Cơ S K Thu t ∂ 2C C ( x + ∆x ) − 2C ( x) + C ( x − ∆x) ≈ + 0( ∆x 2 ) (7.10) ∂x x 2 ∆x 2 ∂ 2φ ∂ 2φ Áp d ng các sai phân n y vào gi i phương trình Laplace: + =0 ∂x 2 ∂y 2 ∆x i = ∆X Ch n  (7.11) ∆y i = ∆Y Thay (7.10) vào (7.11), ư c: φi+1, j − 2φij + φi−1, j φi , j+1 − 2φij + φ1, j−1 + =0 ∆X 2 ∆Y 2 ơn gi n ch n ∆x = ∆y, ta ư c: φi , j = 1 (φi+1, j + φi−1, j + φi, j +1 + φi, j−1 ) 4 i,j+1 i+1,j+1 ∆y i+1,j i,j ∆x Time • SƠ HI N - SƠ N (Explicit - Implicit Scheme) φ k +1i , j ∂ 2 φ ∂ 2 φ S ∂φ t+ 1 Xét phương trình: + = ∂x 2 ∂y 2 T ∂t ∂φ φ K +1 − φ K φki,j Sai phân ti n: = t ∂t t = ∆t .K ∆t K −1 y ∂φ φ −φK Sai phân lùi: = t- φ k −1i , j ∂t t = ∆t .K ∆t 1 x Bài Gi ng Chuyên Phương Pháp Tính Trang 62
  6. Khoa Xây D ng Th y L i Th y i n B môn Cơ S K Thu t ây (∆t)K = ∆t = const t= ∑ ( ∆t ) j , φ K ≡ φ t = K . ∆t K + Sai phân ti n theo th i gian t c a phương trình trên, ta ư c: φiK−1, j − 2φiK, j + φiK+1, j φiK, j−1 − 2φiK, j + φiK, j+1 S φiK, j+1 − φK, j + = i ( ∆x ) 2 ( ∆y ) 2 T ∆t t T phương trình n y ta tìm ư c ngay φiKj+1 , khi bi t các φ iK−1, j , φ iK, j φ iK+ j , j φ iK, j −1 φ iK, j +1 nên g i là sơ k+1 hi n. k x ∆x ∆x + Sai phân lùi theo th i gian t ta có: φK−+,1j − 2φiK, j+1 + φiK++1j φiK, j+1 − 2φiK, j+1 + φiK, j++1 S φK, j+1 − φK, j i 1 1, + −1 1 = . i i ( ∆x ) 2 ( ∆y ) 2 T ∆t Phương trình trên có 5 n s trong 1 phương trình nên ph i thi t l p các phương trình cho t t c các nút khác bên trong mi n bài toán và gi i ng th i các h phương trình n y, thì m i tìm ư c các n c a bài toán bư c th i gian (t+1), nên ta g i sơ n y là sơ n. • S n nh c a sơ i v i sơ n luôn luôn n nh v i m i kho ng th i gian ∆t ch n; Còn sơ hi n ch n nh v i khi: ∆t ≤ ∆t gi i h n. Bài Gi ng Chuyên Phương Pháp Tính Trang 63
  7. Khoa Xây D ng Th y L i Th y i n B môn Cơ S K Thu t 7.5.1 Tính nh t quán c a lư c sai phân. ∂z ∂z Xét phương trình vi phân: + =0 (1) ∂t ∂x Thay các t vi phân b ng các t sai phân: ∂z z j − z j ∂z z j − z j −1 n +1 n n n ∆t ≈ ; ≈ : Th vào 1 và t r = ∂t ∆t ∂x ∆x ∆x Suy ra: z j = (1− r )z j + r.z j−1 n+1 n n (2) Phương trình (còn g i là lư c ) (2) nh n ư c t khai tri n Taylor c a (1) ho c b ng m t lư c khác, ta th xem lư c (2) có nh t quán v i phương trình vi phân (1) hay không ? T khai tri n Taylor ta ư c: ∂z ∂ 2 z ∆t 2 ∂ 3z ∆t 3 z n+1 = z n + ∆t + 2 + + ...... ∆t ∂t ∂t 2! ∂t 3 3! j j t r= ∂z ( −∆x ) ∂ 2 z ∆x 2 ∂ 3z ∆x 3 ∆x z n−1 = z n + + 2 + 3 + ...... ∂x 1! ∂x 2! ∂x 3! j j Thay t t c vào (2), ta ư c: ∂z ∂ 2 z ∆t 2 ∂ 3z ∆t 3 ∂z ∆x ∂ 2 z ∆x 2 zn + ∆t + 2 + 3 + ... = (1 − r )z n + r ( z n + + + ....... (3) ∂t ∂t 2! ∂t 3 ∂x 1 ∂x 2 2! j j j ! ! ∆x 1 Nhân 2 v c a (3) v i r i chuy n v , r i nhân ti p 2 v v i ta ư c: ∆t ∆t ∂z ∂z ∂ 2 z ∆t ∂ 2 z ∆x + =− 2 − ......+ 2 − ... (4) ∂t ∂x ∂t 2! ∂x 2! Khi ∆x, ∆t → 0, v ph i c a (4) → 0, do ó ta th y phương trình (4) ≡ (1) Ta nói lư c (2) nh t quán v i phương trình vi phân. 7.5.2 S n nh c a lư c . Xét phương trình sai phân (còn g i là lư c ): z n +1 = (1 − r)z n + rzn −1 j j j (5) Ta nói: “M t lư c sai phân ư c g i là n nh, n u t p h p vô h n các nghi m tính ư c là b ch n u, ngư c l i g i là không n nh”. Như v y s n nh c a lư c sai phân không liên quan n phương trình vi phân (ch là riêng c a lư c ). Ví d : Lư c (5) có d ng: z n+1 = Az n + Bz n−1 j j j Suy ra: z n +1 = Az n + Bz n−1 j j j G i: z n = max z n , j trong t p j j V y thì: z n+1 ≤ A z n + B z n = ( A + B). z n = z n j j Bài Gi ng Chuyên Phương Pháp Tính Trang 64
  8. Khoa Xây D ng Th y L i Th y i n B môn Cơ S K Thu t T c là l p: z j ≤ z j ,.... ⇒ z j ≤ z 0 n n −1 1 mà z0 ã cho trư c biên. n V y các z b ch n u → Ta nói lư c n nh. nh lý Courant: “N u lư c sai phân nh t quán v i phương trình vi phân và b n thân lư c ó là n nh thì nghi m c a phương trình sai phân s h i t n nghi m c a phương trình vi phân’’. 7.5.3 Các ng d ng trong cơ h c: Phương trình vi phân d ng ellip: Ta s g p các phương trình này trong các bài toán truy n nhi t ho c các bài toán th m th u c a cơ h c ch t l ng v i phương trình Poisson. M t d ng khác c a phương trình vi phân o hàm riêng d ng hyperbol; Ta có th g p chúng trong các phương trình dao ng c a dây u=u(x,t) v i x là t a và t là th i gian. Ta còn có th g p các phương trình vi phân o hàm riêng d ng ph c t p hơn như phương trình trong ng l c h c ch t lưu: Phương trình Navier- stocks, hay phương trình dao ng u n c a t m hay d m trên n n àn h i trong các bài toán s c b n v t liêu Ví d : Gi i g n úng phương trình o hàm riêng d ng Elliptic. Cho phương trình vi phân o hàm riêng u xx + u 'yy = xy2 trên hình ch nh t '' ' D= [0;0,6]x[0;0,3] bi t giá tr c a hàm u(x, y) trên biên là u(x,y)=x+3y v i bư c chia ∆x=h=0,2; ∆y= τ =0,1. Gi i: Ta có h=0,2 suy ra n=(0,6-0)/h=3; xi=ih=0,2i τ =0,1 suy ra m=(0,3-0)/τ=3 Cho các i m (0,j); (i,0); (3,j), (i,3) là các i m lư i. Giá tr c a hàm trên các i m lư i là u00=0; u01=0,3; u02=0,6; u0,3=0,9; u10=0,2; u20=0,4; u30=0,6; u31=0,9; u32=1,2; u33=1,5; u10=1,1; u20=1,3. Ta c n tính giá tr c a hàm u t i 4 i m là (1;1), (1;2), (2;1), (2;2). Hàm f(x,y)=xy2 nên f11 = 0,002; f12=0,008; f21=0,004; f22=0,016. Ta có h 4 phương trình i s tuy n tính là:  u21 − 2u11 + u01 u12 − 2u11 + u10  + = 0,002  0,2 2 0,12 Bài Gi ng Chuyên Phương Pháp Tính Trang 65
  9. Khoa Xây D ng Th y L i Th y i n B môn Cơ S K Thu t − 10u11 + 4u12 + u21 = −1,099992  4u11 − 10u12 + u22 = −4,99968  u11 − 10u 21 + 4u22 = −2,499984  u12 + 4u21 − 10u 22 = −6,399936  Gi i h phương trình ta ư c U11=0,499964132; u12=0,79994444; u21=0,699994356; u 22=0,999907868. 7.6 PHƯƠNG PHÁP PH N T H U H N V i phương pháp bi n phân ngư i ta tìm l i gi i x p x trên toàn mi n bài toán; do ó hàm x p x trên toàn mi n bài toán thư ng là r t khó xây d ng; phương pháp ph n t h u h n (PTHH-The finite element method) kh c ph c như c i m n y là chia mi n bài toán thành nhi u mi n con và tìm hàm x p x trên mi n con, còn g i là ph n t (element) v i th a mãn i u ki n cân b ng và liên t c gi a các ph n t . Trong phương pháp PTHH thư ng d a trên các phương pháp bi n phân RAYLEIGH – RITZ và GALERKIN. 7.6.1 PHƯƠNG PHÁP BI N PHÂN RAYLEIGH - RITZ Bài toán [ phương trình o hàm riêng ] ≈ Bài toán [ bi n phân ] φ(x , y, Fx , Fy ) = 0 ≈ I(F) = ∫∫ φ(x, y, F , F )dxdy x y (14) D v i c c ti u phi m hàm φ và tho mãn i u ki n trên biên F = G(s). Gi s ta có F(x,y) → i tìm I(F) c c tr , ta bi u di n hàm F(x,y) như sau: n x F(x,y) ≅ F n(x,y) = C1.ϕ1(x,,y) + C2.ϕ2(x,,y) + . . . + Cn.ϕn(x,,y) = ∑ C ϕ ( x , y) i=1 i i Các Ci ph i xác nh sao cho I(Fn) t c c tr . Hàm ϕi (x,y) ư c ch n trư c sao cho th a i u ki n biên. Như v y: I ∗ ( F ) = ∫∫φ ∗ ( x, y, C1 , C2 ,...,Cn ) dxdy = min (15) D ∂φ Các h s Ci ư c xác nh t = 0 , i = 1, 2, 3, . . . , n. ∂ci 7.6.2 PHƯƠNG PHÁP BI N PHÂN GALERKIN N u hàm φ không t n t i phi m hàm, ngư i ta s d ng phương pháp bi n phân Galerkin như sau: Cho phương trình: L(u ) = M ⇔ f D (u, xi ) = 0 (16) ∧ n C n tìm nghi m g n úng: U = ∑ N P .U P trong mi n D P =1 v i U P (P = 1,2,..., n ) là các h ng s ph i xác nh N P (P = 1,2,..., n ) là các hàm t a t ch n. Bài Gi ng Chuyên Phương Pháp Tính Trang 66
  10. Khoa Xây D ng Th y L i Th y i n B môn Cơ S K Thu t ∧ ∧ Ta có: L(U ) − M = f D (U , xi ) = R, R n→∞ = 0 (17) Có nghĩa ph n dư R s tri t tiêu khi n ti n t i vô cùng. ∧ t i u ki n L (U ) − M ph i tr c giao v i ψi trong mi n xác nh D v i ψj (j = 1, 2, . . . , n) là các hàm t a t ch n c l p tuy n tính. Như v y ta có:  ∧    n   ∫  L(U ) − M  Ψ j dD = 0 hay:  L ∑ N P .U P  − M  Ψ j dD = 0 ∫   P=1 D  D   trong trư ng h p U p là h ng s , và Ψ j ≡ N p , ta ư c phương pháp GALERKIN. Tóm l i, phương pháp Galerkin ư c thi t l p có d ng:   n   ∫  L ∑ N p .U P  − M  N p dD = 0 hay ∫ N p .R.dD = 0, D   P =1   D v i p=1,2,…,n (18) 7.6.3 PHƯƠNG PHÁP PH N T H U H N Chia mi n D thành ne (h u h n) mi n con De : ne ne D= ∑D e =1 e , ch n hàm: N P = ∑N e =1 e P (19) e V i N P g i là hàm t a ư c ch n trong mi n con De sao cho tho mãn m t s tính ch t nào ó (xem chương 8), ta có ư c Phương pháp ph n t h u h n. 7.7 PHƯƠNG PHÁP TH TÍCH H U H N k+1 Xét phương trình vi phân: ∂q ∂ F ∂G C + + =0 k (20) ∂t ∂x ∂y Áp d ng phương pháp mi n con cho th tích ABCD, ta có: D B k-1  ∂q ∂F ∂G  ∫  ∂t ∂x + ∂y dxdy = 0 1. + ABCD    (21) n A j+1 Áp d ng nh lý Green ta có: j d dt ∫ qdv + ∫ H .n.dS = 0 (22) ABCD j-1 Ơ ây H = (F, G ) cho trong t a Descartes. H.n.dS = F dy − Gdx Vì phương trình (22) d ng b o toàn v i th tích tùy ý, nên ta có: Bài Gi ng Chuyên Phương Pháp Tính Trang 67
  11. Khoa Xây D ng Th y L i Th y i n B môn Cơ S K Thu t ( ) DΑ Α.q j ,k + ∑ (F .∆y − G∆x ) = 0 d (23) dt AΒ ây, Α là di n tích c a (ABCD), ∆yAB = yB -yA, ∆xAB = xB - xA , nên: FAB = 1 (Fj,k −1 + Fj,k ) , GAB = 1 (G j,k −1 + G j,k ) 2 2 Tương t cho ∆yBC, ∆yCD, ∆yDA, . . . N u Α không ph thu c th i gian t và ∆xi = ∆yi = const, ta ư c: d F j +1,k − F j −1,k G j ,k +1 − G j ,k −1 q j ,k + + Γ2 dt 2∆x 2 ∆y 7.8 Phương pháp ph n t biên Xét ví d bài toán mô t dòng ch y th hai chi u (2 Dimensions) ∇2φ = 0 trong mi n Ω ta có: Γ1 r − n + i u ki n biên ch y u: φ = φ trên biên Γ1 ( k biên Dirichlet) − ∂φ ∂φ − + i u ki n biên t nhiên: q = = = q trên biên Γ2 ( i u ki n biên Neumann) ∂n ∂n V i Γ = Γ1 + Γ2 • D ng bi n phân tr ng s dư nh nghĩa: G i các ph n dư: 2~ R= ∇ φ − R1 = φ − φ − R2 = q - q ~ ~ ~ => ∫ R.φ .dΩ = − ∫ R1 .q .dΓ + ∫ R2 φ .dΓ Ω Γ1 Γ2 Dùng tích phân t ng ph n hai l n liên ti p, ta có: ~ ~ ~ ~ ~ ∫ (∇ 2 φ )φ .dΩ = − ∫ q .φ .dΓ − ∫ q.φ .dΓ + ∫ q .φ .dΓ + ∫ q .φ . dΓ Ω Γ2 Γ2 Γ2 Γ1 ~ Ta có l i gi i cơ b n cho phương trình Poisson: ∇2 φ + δ (x − x) = 0 V i δ là hàm Dirac. ~ 1 1 L i gi i cho bài toán 2D, khi x ≠ x là: φ = . ln( ) , v i r = x2 + y2 2∏ r V i nh ng i m x n m bên trong Ω , cách thành l p theo phương phá ph n t biên ~ ~ cho bài toán bi u di n b i phương trình Laplace là: φ ( x ) + ∫ φ . q .dΓ = ∫ φ .q.dΓ Γ Γ Bài Gi ng Chuyên Phương Pháp Tính Trang 68
  12. Khoa Xây D ng Th y L i Th y i n B môn Cơ S K Thu t V i nh ng i m x n m trên biên Γ , phương trình vi t cho bài tóan tr thành: ~ ~ c.φ ( x ) + ∫ φ . q .dΓ = ∫ φ .q.dΓ v i c= α (thông thư ng c=1/2) Γ Γ 2. ∏ Ta i r i r c hóa biên Γ c a mi n D; dùng ph n t b c 2 ta ư c: n ~ ~ n (c.φ ) i + ∑ ∫ φ . q .dΓ = ∑ ∫ φ .q.dΓ j =1 Γj j =1 Γj φ1  Hàm d ng φ ư c bi u di n: φ (ξ ) = [ N1 N 2   N 3 ]φ 2  = [ N ]{φ }, q( ξ )=[N]. {q} φ   3 3 ξ=0 Ω 1 ξ = +1 2 Γ ξ = −1 1 1 N1( ξ ) = ξ(ξ − 1) , N2 ( ξ ) = (1 − ξ)(1 + ξ) , N3( ξ ) = ξ(ξ + 1) v i ξ ∈ [−1,1] 2 2 Thi t l p cho m t ph n t trên biên, ta có: φ1  φ1  ~ ~    ∫ φ . q .dΓ = Γ∫ [ N1 N 2 N 3 ]. q .φ2 .dΓ = [h1 h2 h3 ].φ2  Γj φ3  φ     3 j  q1   q1  ~ ~    ∫ φ . q.dΓ = Γ∫ [ N1 N 2 N 3 ]φ .q2 .dΓ = [ g1 g 2 g 3 ].q2  Γj  q3  q     3 j ~ ~ ây: hk= ∫ N k q dΓ và gk = ∫ N k φ dΓ , ∀k = 1,2,3 Γj Γj Chú ý: Ta có Jacobicon bi n i to như sau: h2 2 2  dx   dy  dΓ =   +  ,  dξ   dξ  dξ = G .dξ h2     j+1 1 ho ~ ~ N k (ξ ). q .dΓ = ∫ N K (ξ ) q . G dξ hk= ∫ Γj −1 j 1 h1 ~ ~ gk = ∫ N k (ξ ).φ .dΓ = ∫ N K (ξ )φ . G dξ Γj −1 Cu i cùng th vào phương trình ã r i r c hoá, ta có: Bài Gi ng Chuyên Phương Pháp Tính Trang 69
  13. Khoa Xây D ng Th y L i Th y i n B môn Cơ S K Thu t φ1  φ   q1  ∧ ∧ ∧  2   (cφ ) i + H i1 H i 2 ..... H in ]  = [Gi1 Gi 2 ....Gi 2 N ] q2   ...  q  φ n   2N    ∧ V i H ij là t ng c a s h ng h1 c a ph n t j+1 và h2 c a ph n t j. N u t: ˆ  H ij , i ≠ j  H ij =  N 2N ˆ  H ij + c, i = j  thì ta vi t l i: ∑H i =1 ij .φ j = ∑ Gij .q j j =1 Hay ta có h phương trình: H.U = G.q Gi i h phương trình n y ta s tìm ư c các n c a bài toán trên biên, t ó ta s tìm ư c các n trong mi n D t i nh ng nơi c n thi t. Câu h i: 1. Trình bày ý nghĩa v t lý c a các phương trình lo i Hyperbol, Parabol, Ellip ? Trong th c t có nh ng phương trình lư ng tính, nh t là trong cơ h c lưu ch t; hãy cho vài ví d và gi i thích ? 2. T s mô t b n ch t v t lý c a bài toán c a m i lo i phương trình mô t , nên s và lo i i u ki n biên ph i áp ng, hãy cho m i lo i phương trình vài ví d ? 3. Phương pháp c trưng óng m t vai trò quan tr ng trong vi c hi u rõ b n ch t v t lý c a bài toán, vì sao ? 4. Phương pháp sai phân là phương pháp không b o toàn, vì sao ? 5. Nêu các i u ki n sơ sai phân ư c ch p nh n ? 6. Ưu như c i m c a sai phân hi n và sai phân n ? 7. Hãy nêu s gi ng nhau và khác nhau c a các phương pháp Sai phân, Ph n t h u h n, Th tích h u h n, Ph n t biên; ưu như c i m c a chúng ? Bài t p : Bài 11: B ng phương pháp sai phân gi i các phương trình sau  ∂ 2u ∂ 2u  2 = 2 , 0 < x < 2, u ( x,0) = x − 2 x 2  ∂t ∂x 1)  u (0, t ) = − u (2, t ) = sin πt , ∂u = (1 + 0,1.k .π )(2 − x ) .   ∂t t =0 bư c chia theo x là h = 0,5; theo t là k= 0,01.Tính u( x ; 0,03) Bài Gi ng Chuyên Phương Pháp Tính Trang 70
  14. Khoa Xây D ng Th y L i Th y i n B môn Cơ S K Thu t  ∂u ∂ 2 u  = 2 , 0 < x < 1, t > 0  ∂t ∂x  2) u ( x,0 ) = (4 + 0,1.k )(1 − x ) u (0, t ) = u (1, t ) = 0    bư c chia theo x là h = 0,25; theo t là k= 0,025 .Tính u( x ; 0,1) u xx + u yy = −1 + 0,1.k  3) ( x, y ) ∈ G = [0,1] × [0,1] u ( x, y ) = 0, ∀( x, y )  Thu c biên c a G h = k = 0,25 4) Gi i g n úng phương trình o hàm riêng d ng PARAPOLIC phương trình u’t=u’’xx trên hình ch nh t [0;2]x[0;0,3] v i i u ki n biên u(0,t)=u(2,t)=0, u(x,0)=x(2-x); bư c chia theo t là τ=0,1 TÀI LI U THAM KH O 1. Ph m Kỳ Anh, Gi i tích s , NXB HQG, Hà N i 1996 2. Phan Văn H p, Các phương pháp gi i g n úng, NXB H-THCN, Hà N i 1981. 3. Nguy n Th Hùng, Giáo trình Phương pháp s , i h c à N ng 1996. 4. Nguy n Th Hùng, Phương pháp ph n t h u h n trong ch t l ng, NXB Xây D ng, Hà N i 2004. 5. BURDEN, RL, & FAIRES, JD, Numerical Analysis, 5th ed., PWS Publishing, Boston 1993. 6. CHAPRA S.C, Numerical Methods for Engineers, McGraw Hill, 1998. 7. GURMUND & all, Numerical Methods, Dover Publications, 2003. 8. HOFFMAN, J., Numerical Methods for Engineers scientists, McGrawHill, Newyork 1992. 9. JAAN KIUSAALAS, Numerical Methods in Engineering with Mathlab, Cambridge University Press, 2005. 10.STEVEN T. KARRIS, Numerical Analysis, Using Matlab and Excell, Orchard Publications, 2007. Website tham kh o: http://ebookee.com.cn http://dspace.mit.edu http://ecourses.ou.edu The end Bài Gi ng Chuyên Phương Pháp Tính Trang 71
ADSENSE

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

 

Đồng bộ tài khoản
2=>2