intTypePromotion=1
zunia.vn Tuyển sinh 2024 dành cho Gen-Z zunia.vn zunia.vn
ADSENSE
 » 
 » 

Bài giảng cơ học lượng tử - Nguyễn Văn Khiêm : Bài 11

Chia sẻ: Lê Nam | Ngày: | Loại File: PPT | Số trang:30

Thêm vào BST
Báo xấu
61
lượt xem 9
download
 
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Một trong những đại lượng vật lý mang nhiều thông tin quan trọng về chuyển động là MOMENT ĐỘNG LƯỢNG mà ở đây ta sẽ gọi tắt là MOMENT hay MOMENT QUỸ ĐẠO để phân biệt với MOMENT SPIN mà ta sẽ xét ở các chương sau..

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Bài giảng cơ học lượng tử - Nguyễn Văn Khiêm : Bài 11

  1. Ho ng Duc Unive rs ity 307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam C¬ häc l­îng tö Ng uyÔn V¨n Khiªm
  2. Ho ng Duc Unive rs ity 307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam Ch­¬ng 3: Mo me nt quü ®¹o . Tr­ê ng xuyªn t©m Bµi 11 Mo me nt quü ®¹o
  3. Ho ng Duc Unive rs ity 307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam Mé t tro ng nh÷ng ®¹i l­îng vËt lý mang nhiÒu th«ng tin quan träng vÒ c huyÓn ®é ng lµ mo me nt ®é ng l­îng mµ ë ®©y ta s Ï g äi t¾t lµ mo me nt hay mo me nt quü ®¹o ®Ó ph©n biÖt víi mo me nt s pin mµ ta s Ï xÐt ë c ¸c c h­¬ng s au (c hó ý r»ng tõ “quü ®¹o ” ë ®©y kh«ng ng ô ý r»ng h¹t c huyÓn ®é ng trªn quü ®¹o x¸c ®Þnh). §è i víi ®¹i l­îng nµy c ò ng c ã nhiÒu c ¸c h ®Þnh ng hÜa kh¸c nhau; vµ ë ®©y, ta c ò ng s Ï nªu ®Þnh ng hÜa ë d¹ng ®¬n g i¶n nhÊt, nh­ ®· lµm ban ®Çu tro ng C¬ häc c æ ®iÓn.
  4. Ho ng Duc Unive rs ity 307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam 1.§Þnh ng hÜa m o m e nt q uü ®¹o , c ¸c hÖ thø c g iao ho ¸n ®è i v íi c ¸c thµnh p hÇn c ña m o m e nt q uü ®¹o Nh­ ® nãi, moment quü ® cña h¹t lµ to¸n tö vector: · ¹o ˆ = yp − zp = −i  y ∂ − z ∂  M x ˆ ˆ z ˆˆ y    ∂z ∂y      ˆ [ ˆ ˆ M = r×p ] ˆ = zp − xp = −i  z ∂ − x ∂  M y ˆˆ x ˆ ˆ z    ∂x ∂z  ˆ = xp − yp = − = i  x ∂ − y ∂  M z ˆˆ y ˆˆx    ∂y ∂x   
  5. Ho ng Duc Unive rs ity 307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam  ˆ B© giê ta t× giao ho¸n tö cña hai thµnh phÇn cña y m M Ta cã: [ ˆ ˆ ] ˆ ˆ ˆ ˆ M x , M y = M xM y − M yM x = ( yp z − zp y )( zp x − xp z ) − ( zp x − xp z ) ( yp z − zp y ) ˆ ˆ ˆˆ ˆˆ ˆˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ = yp z zp x − yp z xp z − zp y zp x + zp y xp z − zp x yp z + zp x zp y + xp z yp z − xp z zp y ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆˆ ˆˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆˆ
  6. Ho ng Duc Unive rs ity 307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam [ M , M ] = yˆp zˆp + zˆp xˆp − zˆp yˆp − xˆp zˆp ˆ ˆ x y ˆ ˆ z ˆ ˆ x ˆ ˆ y z ˆ ˆ x z z y = p x yp z z − p x yzp z + p y xzp z − p y xp z z ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆˆˆ ˆ ˆ ˆ ˆ = p x y [ p z , z ] + p y x[ z , p z ] ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ = i ( xp y − ypx ) ˆˆ ˆˆ [ ˆ ˆ ] ˆ M x , M y = i M z ViÕt gän l¹i hÖ thøc nµy cïng hai hÖ thøc t­¬ tù, ta cã: ng [ ˆ ˆ ] ˆ  M y , M z = i M x  [  ˆ ˆ ˆ]  M z , M x = i M y (11.1) [  ˆ ˆ ] ˆ  M x , M y = i M z 
  7. Ho ng Duc Unive rs ity 307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam C¸c hÖ thøc trªn cho thÊy: kh«ng thÓ c ã tr¹ng th¸i mµ hai thµnh phÇn c ña mo me nt ®Òu c ã g i¸ trÞ c ô thÓ. Tuy nhiªn, mçi thµnh phÇn (vµ chØ mét thµnh phÇn) ® cã Òu thÓ ® ® cïng víi b× ph­¬ moment o ­îc nh ng ˆ ˆ2 ˆ2 ˆ M 2 = M x + M y + M z2 ThËt vËy, ta cã:
  8. Ho ng Duc Unive rs ity 307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam [M ˆ ˆ ˆ ˆ ] ˆ ˆ ˆ3 ˆ2 ˆ ˆ ˆ ˆ3 ˆ ˆ2 ˆ ˆ , M x = M 2 M x − M x M 2 = M x + M y M x + M z2 M x − M x − M x M y − M x M z2 2 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ = M 2M − M M 2 + M 2M − M M 2 ˆ ˆ y x x y z x x z ˆ2 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ2 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ = M y M x − M y M x M y + M y M x M y − M x M y + M z2 M x − M z M x M z + M z M x M z − M x M z2 ˆ ˆ ˆ [ ˆ ˆ ˆ ] [ ˆ ˆ ˆ ] ˆ ˆ ˆ = M y M yM x + M yM x M y + M z M z M x + M z M x M z [ ] [ ] [ˆ ˆ ]ˆ  M y , M z = i M x  [  ˆ ˆ ] ˆ  M z , M x = i M y (11.1) [  ˆ ˆ ]ˆ  M x , M y = i M z  ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ = −i M y M z − i M z M y + i M z M y + i M y M z = 0 Tõ ® suy ra r»ng cã nhung tr¹ng th¸i mµˆ ® ® cïng víi M x ã M 2 o ­îc ˆ
  9. Ho ng Duc Unive rs ity 307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam 2. Mo m e nt tro ng to ¹ ®é c Çu Trong nhiÒu bµi to¸n, nhÊt lµ c¸c bµi to¸n vÒ chuyÓn ®éng trong tr­êng ® xøng t© tiÖn lîi h¬ c¶ lµ ta dïng to¹ ® èi m, n é cÇu.  x = r sin θ cos ϕ z   y = r sin θ sin ϕ  z = r cos θ   θ  r = x 2 + y 2 + z 2  r  z x θ = arccos x2 + y2 + z 2 ϕ   ϕ = arctg y  x y
  10. Ho ng Duc Unive rs ity 307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam ViÖc nµy cµng tá ra h÷ hiÖu khi thao t¸c víi to¸n tö moment. u C¸c c«ng thøc cho c¸c thµnh phÇn moment trong to¹ ® cÇu sÏ lµ: é  ˆ  ∂ ∂   M x = i  sin ϕ  + cot gθ cos ϕ    ∂θ ∂ϕ    ˆ  ∂ ∂   M y = i  − cos ϕ  + cot gθ sin ϕ  (11.2)   ∂θ ∂ϕ   ∂ ˆ M z = −i   ∂ϕ M z cã thÓ coi lµ xung l­îng suy réng øng víi to¹ ® ϕ ˆ é
  11. Ho ng Duc Unive rs ity 307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam §iÒu nµy hoµn toµn phï hîp víi quan ®iÓm cña C¬ häc gi¶i tÝch cæ ® iÓn. TiÕp theo, ta cã:  ˆ  ∂ ∂   M x = i  sin ϕ  + cot gθ cos ϕ    ∂θ ∂ϕ    ˆ  ∂ ∂   M y = i  − cos ϕ  + cot gθ sin ϕ  (11.2)   ∂θ ∂ϕ   ∂ ˆ ˆ2 ˆ2 ˆ ˆ M z = −i M 2 = M x + M y + M z2   ∂ϕ 2 2 2 ∂ ∂  2 ∂ ∂  2 ∂ 2 ˆ M = −  sinϕ 2 + cot gθ cosϕ  −   cosϕ + cot gθ sinϕ  −  ∂θ  ∂ϕ   ∂θ ∂ϕ  ∂ϕ 2   
  12. Ho ng Duc Unive rs ity 307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam Sau mét sè b­íc biÕn ® ta ® æi, ­îc: ˆ  1 ∂  ∂  1 ∂2  M = −   sin θ + 2 2 2  (11.3)  sin θ ∂θ  ∂θ  sin θ ∂ϕ 2  ˆ2 Chó ý r»ng trong Mhoµn toµn kh«ng cã mÆt biÕn sè r.
  13. Ho ng Duc Unive rs ity 307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam 3. TrÞ riª ng v µ hµm riª ng c ña b ×nh p h­¬ng m o m e nt v µ m é t h×nh c hiÕu c ña nã Ta chØ cã thÓ t× c¸c hµm mµ võa lµ hµm m ˆ M2 riªng cña ˆ M võa lµ hµm riªng cña mét thµnh phÇn cña nã, vÝ dô z HÖ ph­¬ tr× ® t× c¸c hµm nh­ vËy lµ: ng nh Ó m  ˆ M 2ψ = λψ  (11.4) ˆ M zψ = µψ  hay  2 1 ∂  ∂ψ  1 ∂ 2ψ  −    sin θ + 2 2 = λψ   sin θ ∂θ  ∂θ  sin θ ∂ϕ  (11.4')  − i ∂ψ = µψ   ∂ϕ
  14. Ho ng Duc Unive rs ity 307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam Ph­¬ trInh ® cña (11.4’) cã thÓ viÐt l¹i nh­ sau: ng Çu  1 ∂  ∂ψ  1 ∂ 2ψ  '   sin θ + 2 2 + λψ = 0 (11.5)  sin θ ∂θ  ∂θ  sin θ ∂ϕ  Tõ lý thuyÕt to¸n häc vÒ c¸c hµm thÕ ta biÕt r»ng (11.5) cã nghiÖm khi vµ chØ khi λ' = l (l + 1, víi l lµ sè nguyªn kh«ng © ) m. ng nh M ψ = λψ Nh­ vËy, ph­¬ tr× ˆ2 cã nghiÖm khi vµ chØ khi λ =  2 l (l + 1) Nãi c¸ch kh¸c, M2 chØ nhËn gi¸ trÞ  2 l (l + 1)
  15. Ho ng Duc Unive rs ity 307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam MÆt kh¸c, do c¸c to¸n tö trong (11.4’) chØ t¸c dông lªn c¸c biÕn θ vµ ϕ mµ kh«ng ® ông ch¹m ® r, nªn nghiÖm sÏ cã Õn d¹ng ψ= (r, θ, ϕ) =R (r)Y (θ, ϕ) ψ Do tÝnh tuyÕn tÝnh cña ph­¬ tr× nªn khi thay ψ vµo ë ng nh hai vÕ cña mçi ph­¬ tr× ® sÏ cã thõa sè R (r) kh«ng ng nh Òu bÞ ® ông ch¹m tíi, nªn cã thÓ rót gän ph­¬ tr× cho thõa ng nh sè nµy V×vËy, hÖ (11.4) trë thµnh: M 2Y (θ ,ϕ ) =  2 l ( l + 1)Y (θ ,ϕ )  ˆ  ˆ (11.6) M z Y (θ ,ϕ ) = µY (θ ,ϕ ) 
  16. Ho ng Duc Unive rs ity 307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam Ph­¬ tr× thø hai trong (11.6) chÝnh lµ: ng nh ∂Y (θ ,ϕ ) i = µY (θ ,ϕ ) ∂ϕ  NghiÖm cña nã cã d¹ng: i µϕ Y (θ ,ϕ ) = Q(θ )e  (11.7) V× hai bé to¹ ® cÇu (r, θ, ϕ) vµ (r, θ, ϕ + x¸c ®Þnh cïng m é t é 2π) ®iÓm trong kh«ng gian nªn hµm (11.7) ph¶i tuÇn hoµn víi chu kú 2 π, tø c lµ i i i µ ( ϕ +2π ) µϕ ha µ 2π e  =e  y: e  =1
  17. Ho ng Duc Unive rs ity 307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam µ §iÒu nµy x¶y ra khi vµ chØ khi lµ sè nguyªn.  ˆ ph¶i cã d¹ng m Nh­ vËy, c¸c trÞ riªng cñaM z Do ® nghiÖm cña (11.6) cã d¹ng: ã, Y (θ , ϕ ) = Q(θ ) eimϕ (11.8) Chó ý r»ng gi¸ trÞ cña sè nguyªn m trong (11.8) kh«ng ph¶i lµ tuú ý mµ ph¶i tho· m·n ®iÒu kiÖn m ≤l (11.9) Nh­ vËy, víi l ® cho th× m cã thÓ lÊy 2l + 1 gi¸ trÞ nguyªn kh¸c · nhau, tõ –l cho ® l. Õn
  18. Ho ng Duc Unive rs ity 307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam Cã thÓ chøng tá ® iÒu nµy mét c¸ch chÆt chÏ tõ c¸c suy luËn thuÇn tuý to¸n häc Còng cã thÓ xuÊt ph¸t tõ ý nghÜa vËt lý ® ® ® kh¼ng ® Ó i Õn Þnh trªn  ˆ M ThËt vËy, vi m lµ gi¸ trÞ cña mét thµnh phÇn cña chØ cßn  2 l (l + 1) lµ gi¸ trÞ cña ˆ M2 nªn phai cã: ( m )≤  2 l ( l + 1) 2 2  1 Suy m ≤ l ( l + 1) <  l +  2 ra:  2 Do ®ã: 1 m
  19. Ho ng Duc Unive rs ity 307 Le Lai Str. Thanh HoaCity, Thanh hoa, Viet 1 ∂ 2ψ  1 ∂  ∂ψ nam  sin θ + 2 + λψ = 0 '  2 (11.5)  sin θ ∂θ  ∂θ  sin θ ∂ϕ  B© giê ta viÕt l¹i ph­¬ tr× (11.5), nh­ng víi hµm Èn lµ y ng nh Y (θ, ϕ) (sau khi ® rót gän choλ' = l (l + 1) · R (r)), vµ  1 ∂  ∂Y  1 ∂ 2Y    sin θ + 2 2 + l (l + 1)Y = 0 (11.10)  sin θ ∂θ  ∂θ  sin θ ∂ϕ  Y (θ , ϕ ) = Q(θ ) e imϕ (11.8) ThÕ (11.8) vµo (11.10), ta ® ® ph­¬ tr× cho Q(θ): i Õn ng nh  1 d  dQ  m2    sin θ  + 2 Q  + l (l + 1)Q = 0 (11.11)  sin θ dθ  dθ  sin θ 
  20. Ho ng Duc Unive rs ity 307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam §Æt θ = arcsinx ( -1 < x < 1) Khi ® Q(θ) =Q(arcsinx) = P(x) vµ ph­¬ trinh ® víi P(x) sÏ lµ: ã ng èi d   dx  (1− x2 ) dP  m 2  − 1 − x 2 P + l (l + 1) P = 0 dx  (11.12) Ng­êi ta ® chøng minh r»ng nghiÖm cña ph­¬ tr× nµy cã d¹ng: · ng nh P( x ) = Pl m ( x ) = (1 − x ) m 2 2 d l +m ( x −12 ) l (11.13) dx l + m 2l.l! Vµ nghiÖm cña (11.10) sÏ lµ: 1 imϕ ~ m Y (θ , ϕ ) = Ylm (θ , ϕ ) = e Pl ( cos θ ) (11.14) 4π
ADSENSE

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

THÔNG TIN
TRỢ GIÚP
HỖ TRỢ KHÁCH HÀNG
Theo dõi chúng tôi

Chịu trách nhiệm nội dung:

Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA

LIÊN HỆ

Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM

Hotline: 093 303 0098

Email: support@tailieu.vn

Giấy phép Mạng Xã Hội số: 670/GP-BTTTT cấp ngày 30/11/2015 Copyright © 2022-2032 TaiLieu.VN. All rights reserved.

 

Đồng bộ tài khoản
2=>2