intTypePromotion=1
zunia.vn Tuyển sinh 2024 dành cho Gen-Z zunia.vn zunia.vn
ADSENSE
 » 
 » 

Bài giảng cơ học lượng tử - Nguyễn Văn Khiêm : Bài 4

Chia sẻ: Lê Nam | Ngày: | Loại File: PPT | Số trang:24

Thêm vào BST
Báo xấu
67
lượt xem 6
download
 
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Cũng như trong Đại số tuyến tính, vấn đề này có liên quan với tính trực giao của các hàm riêng ứng với các trị riêng khác nhau. Để cho đơn giản, ta tạm thời chỉ xét các hàm nhận GIÁ TRỊ LÀ CÁC SỐ PHỨC. Những trường hợp phức tạp hơn sẽ được xét sau.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Bài giảng cơ học lượng tử - Nguyễn Văn Khiêm : Bài 4

  1. Ho ng Duc Unive rs ity 307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam C¬ häc l­îng tö Ng uyÔn V¨n Khiªm
  2. Ho ng Duc Unive rs ity 307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam Bµi 4: Khai triÓn hµm tr¹ng th¸i. Hµm tr¹ng th¸i vµ c ¸c ®¹i l­îng vËt lý tro ng c ¸c kh«ng g ian kh¸c nhau
  3. Ho ng Duc Unive rs ity 307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam ë ®©y ta gi¶i quyÕt mét vÊn ®Ò gièng nh­ trong §¹i ë ®©y ta gi¶i quyÕt mét vÊn ®Ò gièng nh­ trong §¹i s è tuyÕn tÝnh: khai triÓn mé t hµm (hay mé t vector) s è tuyÕn tÝnh: khai triÓn mét hµm (hay mé t vector) theo c ¸c hµm riªng (c¸c ve ctor riªng) c ña mét to ¸n tö. theo c ¸c hµm riªng (c¸c ve ctor riªng) c ña mét to¸n tö. Cò ng nh­ trong §¹i s è tuyÕn tÝnh, vÊn ®Ò nµy c ã Cò ng nh­ trong §¹i s è tuyÕn tÝnh, vÊn ®Ò nµy c ã liªn quan víi tÝnh trùc giao cña c ¸c hµm riªng øng víi liªn quan víi tÝnh trùc giao c ña c ¸c hµm riªng øng víi c¸c trÞ riªng kh¸c nhau. c¸c trÞ riªng kh¸c nhau. §Ó c ho ®¬n gi¶n, ta t¹m thêi chØ xÐt c¸c hµm nhËn gi¸ trÞ lµ c¸c s è phøc . Nh÷ng tr­êng hîp phøc t¹p h¬n s Ï ®­îc xÐt s au.
  4. Ho ng Duc Unive rs ity 307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam .TÝnh trùc g iao c ña c ¸c hµm riª ng ø ng v íi c ¸c trÞ riª ng kh¸c nhau Gia sö ψ λ vµ ψ µ lµ hai hµm riªng øng víi hai trÞ riªngλ vµ µ ˆ kh¸c nhau c ña to ¸n tö he rmitic L , tø c lµ: ˆ Lψ λ = λψ λ (4.1) ˆ ∗ Lψ µ = µψ µ ∗ (4.2)
  5. Ho ng Duc Unive rs ity 307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam Khi ® ψ λ vµ ã, ψ µtrùc giao víi nhau theo nghÜa sau: ψ ψ µ dv = 0 ∗ λ (4.3) ThËt vËy, nh© (4.1) víi ψråi lÊy tÝch ph© (theo toµn bé kh«ng gia ∗ n µ n ∗ ˆ ψ µ Lψ λ dv = λ �ψ λ dv � ψµ ∗ (4.4) tõ ®ã s uy ra (4.3). TiÕp theo, nh© (4.2) víi ψ λ råi lÊy tÝch ph© ta cã: n n ˆ ∗ψ ( Lψ µ ) λ dv = µ �ψ λ dv ψµ � ∗ (4.5) Do tÝnh hermitic nªn c¸c vÕ tr¸i cña (4.4) vµ (4.5) b»ng nhau. ­îc. 0 = (λ − µ ) ψ µψ λ dv ∫ ∗ V×vËy, lÊy (4.4) trõ (4.5) ta ®
  6. Ho ng Duc Unive rs ity 307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam 2. Khai triÓn hµm tr¹ng th¸i the o hÖ hµm riª ng c ña m é t to ¸n tö y ˆ B© giê gia sö L cã c¸c trÞ riªng lµ λ λ , ..., λ,n ... 1 2 (lµ mét phæ rêi r¹c) vµ øng víi mçi trÞ riªngλ nta cã mét hµm riªng ψ n . Khi ® mçi hµm ψ tuú ý cã thÓ viÕt d­íi d¹ng: ã, ψ (r ) = cnψ n (r ) + ϕ (r ) (4.6) trong ϕ ntrùc giao víi mäi ψ n ® ã XÐt tr­êng hîp hÖ ψ 1 ψ 2, ..., ψ,n.... lµ ® ® nghi· lµ víi mäi , Çy ñ, ψ , thi hµmϕtrong (4.6) ® b»ng 0. . Òu i ® vÊn ® ® ra lµ ph¶i t× c¸c hÖ sè c n (phøc) ® ta cã: ã, Ò Æt m . Lóc ã ψ (r ) = cnψ n (r ) (4.7) n
  7. Ho ng Duc Unive rs ity 307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam  Nh© hai vÕ cña (4.7) víi n ψ m (r ) lÊy tÝch ph© ta ® ∗ vµ n, ­îc: � ψ ψ m (r ) (r )dv = ψm ψ cn � (r ) (r )dv ∗ ∗ (4.8) n Do tÝnh trùc giao nªn vÕ tr¸i cña (4.8) sÏ b»ng:   cm ∫ψ ( r )ψm ( r )dv ∗ m
  8. Ho ng Duc Unive rs ity 307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam do ®ã: ψ m (r ) (r )dv = cm � (r )ψ m (r )dv � ∗ ψ ψm ∗ (4.9) Do hai hµm ψ m vµ kψ m thùc ra m« ta mét tr¹ng th¸i nªn ta cã thÓ coi lµ ψ ,ψ ,... 1 2 thoa m·n ®iÒu kiÖn chuÈn ho¸ sau: 2 ψ � m dv = �ψ m dv = 1 (4.10) ψ ∗ m
  9. Ho ng Duc Unive rs ity 307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam Khi ® ta cã: ã, cm = ψ mψ dv ∗ (4.11) Mét tr­êng hîp ®Æc tr­ng kh¸c lµ tr­êng hîp ˆ L cã phæ liªn tôc lµ khoang S trªn trôc sè, hay tæng qu¸t h¬ lµ n tËp hîp liªn th«ng trong mét kh«ng gian R k Khi ® thay vi (4.7) ta phai viÕt: ã,   ψ ( r ) = ∫ c ( λ ) ( λ , r ) dλ ψ (4.12) S  víi ψ (λ , r ) lµ hµm riªng øng víi λ Nh© hai vÕ cña (4.12) n  víi ψ (µ, r ) ∗ råi lÊy tÝch ph© theo toµn bé kh«ng gian, ta cã: n
  10. Ho ng Duc Unive rs ity 307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam ∗   (∗   ∫ψ (µ , r )ψ (r )dv = ∫ c(λ ) ∫ψ (µ , r )ψ (λ , r )dv dλ ) (4.13) S  thoa m·n hÖ thøc chuÈn ho¸ suy réng sau Yªu cÇu c¸c hµm ψ (λ , r )   ∫ψ (µ , r )ψ (λ , r )dv = δ (µ − λ ) ∗ (4.14) Khi ® tõ (4.13) suy ra: ã   c( µ ) = ∫ψ ( µ , r )ψ (r )dv ∗ (4.15)
  11. Ho ng Duc Unive rs ity 307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam 3. C¸c tr­ê ng hîp ®Æc b iÖt a.Tr­ê ng hîp ˆ L lµ to¸n tö xung l­îng.  p  Trong tr­êng hîp L = −i ∇ thay cho λ ta cã vector , thay choψ (λ , r ) ˆ , i   pr ta cã ψ ( p, r ) = C .e DÔ chøng tá r»ng ®iÒu kiÖn chuÈn ho¸     ∫ψ ( p, r )ψ (q, r )dv = δ ( p − q ) ∗ :
  12. Ho ng Duc Unive rs ity 307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam dÉn ® hÖ thøc: Õn 1 C= 3 (2π ) 2 Khi ® (4.12) thay bëi: ã, i   1  pr ψ (r ) = 3 ∫ c ( p )e dw (4.16) (2π ) 2 :
  13. Ho ng Duc Unive rs ity 307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam  p trong ® dw lµ yÕu tè thÓ tÝch trong kh«ng gian c¸c vector ã cßn (4.15) trë thµnh: i   1  − pr c( p) = 3 ∫ψ ( r ) e dv (4.17) (2π ) 2  ψ h­ vËy, theo thuËt ngu cña Giai tÝch to¸n häc thi (r ) lµ anh cña hµm    æi c ψ c( p )qua biÕn ® Fourier, vµ( p ) lµ anh cña (r ) qua biÕn ® Fourier ng­îc. æi
  14. Ho ng Duc Unive rs ity 307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam b. Tr­ê ng hîp ˆ L lµ to¸n tö to¹ ®é .  Khi L ˆ ˆ = r thi (4.12) trë thµnh:     ψ (r ) = ∫ c(r ' )δ (r '− r )dv (4.18)  c(r ' ) Nh­ng tõ tÝnh chÊt hµm Dirac, vÕ phai cña (4.18) chÝnh lµ .   . Nh­ vËy, ta cã: c( r ' ) = ψ ( r )
  15. Ho ng Duc Unive rs ity 307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam 4. BiÓu d iÔn – L c ña hµm s ãng v µ c ¸c ®¹i l­îng v Ët lý . Trong tr­êng hîp tæng qu¸t, cËp c«ng thøc (4.12) - (4.15) hoÆc  (4.7) - (4.11) cho ta thÊy r»ng, giua hµm tr¹ng th¸iψ(r )vµ hµmc(λ)     ψ (r ) = ∫ c(λ )ψ (λ , r )dλ (4.12) ψ (r ) = ∑ cnψ n (r ) (4.7) S n   c( µ ) = ∫ψ ∗ ( µ , r )ψ (r )dv (4.15) cm = ψ mψ dv ∗ (4.11) (hay hÖ sè c n) cã mèi t­¬ quan “mét – mét”. Vi vËy, chÝnh hµm ng c( λ ) còng cã thÓ coi nh­ hµm tr¹ng th¸i cña h¹t.
  16. Ho ng Duc Unive rs ity 307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam Ta gäi nã lµ hµm tr¹ng th¸i trong kh«ng gian c¸c gi¸ trÞ cña ® l­îng L ¹i hay hµm tr¹ng th¸i trong biÓu diÔn - L.  Hµm ψ (r ) hµm tr¹ng th¸i trong biÓu diÔn to¹ ® x­ biểu diễn; lµ é  Hµm c( p) bëi (4.17) lµ hµm tr¹ng th¸i trong biÓu diÔn xung l­îng cho p­ biểu diễn Bay giê ta sÏ coi (4.15) lµ c«ng thøc cña mét to¸n tö tuyÕn tÝnh U  (chuyÓn mét hµm víi biÕn r thµnh mét hµm víi biÕn λ):   c( µ ) = ∫ψ ∗ ( µ , r )ψ (r )dv (4.15) c(λ )ψ (λ , r )dλ   ∫ ψ (r ) = (4.12) c = Uψ (4.19) S Khi ® (4.12) chÝnh lµ c«ng thøc cña to¸n tö ng­îc: ã,
  17. Ho ng Duc Unive rs ity 307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam ψ = U −1c (4.20)  XÐt c¸c hµmψ 1 , ψ 2 (biÕn r vµ c 1, c 2 (biÕn ) sao cho: ) λ c1 = Uψ 1 (4.21) c2 = Uψ 2 (4.22) ˆ ψ 2 = Mψ 1 (4.23) ˆ c2 = M 1c1 (4.24) ˆ Ta cÇn tim mèi liªn hÖ giua M vµ ˆ M1 ® khi cã (4.21); (4.22); (4.23) thi (4.24) lu«n ® Ó óng. Ta cã:
  18. Ho ng Duc Unive rs ity 307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam ˆ ˆ ˆ M 1c1 = c 2 = Uψ 2 = UMψ 1 = UMU −1c1 Tõ ® suy ra: ã ˆ ˆ M 1 = UMU −1 (4.25) §ay chÝnh lµ c«ng thøc cÇn t×m. ˆ LÏ tù nhiªn, ta cÇn phai coi M 1 lµ to¸n tö cña ® l­îng M trong biÓu diÔn –L. ¹i èi víi tr­êng hîp phæ rêi r¹c, c«ng thøc (4.11) cho ta phÐp biÕn ® U æi Õn ψ thµnh bé (c 1, c 2, ......), cßn (4.7) lµ biÕn ® ng­îc U-1. Nh­ vËy: æi Uψ = (c1 , c2 ,.....) (4.27) U −1 (c1 , c2 ,.....) = ψ (4.28)
  19. Ho ng Duc Unive rs ity 307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam ¹i ˆ Dèi víi ® l­îng M, c¸c to¸n tö cña nã lµ M trong biÓu diÔn to¹ ® vµ é ˆ trong biÓu diÔn –L vÉn thoa m·n (4.25). B© giê ta tim L M 1 to¸n tö y ˆ 1 cña chÝnh L trong biÓu diÔn –L. Muèn vËy, ta viÕt l¹i (4.27) nh­ sau � � U � cnψ n � (c1 , c2 ,......) = (4.27') �n � Tõ ® y suy ra: © U (ψ ) = U (.... + 0ψ n −1 + 1.ψ n + 0ψ n +1 + ........)= (0,.....,0, c n ,0,......... .) Do ®ã: ˆ ˆ ˆ    L1 (c1 , c 2 ,.....) = ULU −1 (c1 , c 2 ,.....) = UL ∑ c nψ n  = U  ∑ c n λ nψ n  = ∑ c n λ nU (ψ n ) =  n   n  n = ∑ c n λ n (0,....0, λ n ,0,......) = (c1λ1 , c 2 λ 2 ,......... c n λ n ,......... .. ..) n
  20. Ho ng Duc Unive rs ity 307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam ˆ T­¬ tù, trong tr­êng hîp phæ liªn tôc, ta cã: L1c(λ ) = λc(λ ) ng ãi c¸ch kh¸c, to¸n tö cña L trong biÓu diÔn cña chÝnh nã chÝnh lµ hÐp nh© víi biÕn sè λ. DiÒu nµy phï hîp víi kh¼ng ® n Þnh ® nhËn · îc tr­íc ® y: to¸n tö to¹ ® x chÝnh lµ phÐp nh© víi biÕn sè x, ....... © é n ˆ ˆ ó ý: C«ng thøc (4.25) dÔ dµng tæng qu¸t ho¸ nh­ sau: nÕu1 vµ M 2 M lÇn l­ît lµ c¸c to¸n tö cña ® l­îng M trong biÓu diÔn - L1 vµ ¹i biÓu diÔn - L2; U lµ phÐp chuyÓn tõ hµm tr¹ng th¸i c 1 trong biÓu diÔn - L1 sang hµm tr¹ng th¸i c 2 trong biÓu diÔn - L2 thi: ˆ ˆ M 2 = UM 1U −1 (4.25') Dïng c«ng thøc nµy, dÔ chøng minh r»ng ˆ ˆ c1 (λ1 ) M 1c1 (λ1 )d λ1 = �(λ2 ) M 2 c2 (λ2 )d λ2 (4.29) � * * c2
ADSENSE

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

THÔNG TIN
TRỢ GIÚP
HỖ TRỢ KHÁCH HÀNG
Theo dõi chúng tôi

Chịu trách nhiệm nội dung:

Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA

LIÊN HỆ

Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM

Hotline: 093 303 0098

Email: support@tailieu.vn

Giấy phép Mạng Xã Hội số: 670/GP-BTTTT cấp ngày 30/11/2015 Copyright © 2022-2032 TaiLieu.VN. All rights reserved.

 

Đồng bộ tài khoản
2=>2