Hong Duc Univers ity
307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam
C¬ häc lîng tö
NguyÔn V¨n
Khiªm
Hong Duc Univers ity
307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam
Bµi 4:
Khai triÓn hµm tr¹ng th¸i. Hµm tr¹ng th¸i vµ
c¸c ®¹i lîng vËt lý trong c¸c kh«ng gian kh¸c
nhau
Hong Duc Univers ity
307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam
ë ®©y ta gii quyÕt mét vÊn ®Ò gièng nh trong §¹i
s è tuyÕn tÝnh: khai triÓn mét hµm (hay mét vector)
theo c¸c hµm riªng (c¸c vector riªng) cña mét to¸n tö.
ë ®©y ta gi¶i quyÕt mét vÊn ®Ò gièng nhtrong §¹i
s è tuyÕn tÝnh: khai triÓn mét hµm (hay mét vector)
theo c¸c hµm riªng (c¸c vector riªng) cña mét to¸n tö.
§Ó cho ®¬n gi¶n, ta t¹m thêi chØ xÐt c¸c hµm nhËn
gi¸ trÞ lµ c¸c s è phøc. Nh÷ng trêng hîp phøc t¹p
h¬n s Ï ®îc xÐt s au.
Còng nh trong §¹i s è tuyÕn tÝnh, vÊn ®Ò nµy cã
liªn quan víi tÝnh trùc giao cña c¸c hµm riªng øng víi
c¸c trÞ riªng kh¸c nhau.
Còng nh trong §¹i s è tuyÕn tÝnh, vÊn ®Ò nµy cã
liªn quan víi tÝnh trùc giao cña c¸c hµm riªng øng víi
c¸c trÞ riªng kh¸c nhau.
Hong Duc Univers ity
307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam
1.TÝnh trùc giao cña c¸c hµm riªng øng víi c¸c trÞ riªng kh¸c nhau
Gia sö
λ
ψ
vµ
µ
ψ
lµ hai hµm riªng øng víi hai trÞ riªng
λ
vµ
µ
kh¸c nhau cña to¸n tö hermitic
L
ˆ
, tøc lµ:
ˆ (4.1)L
λ λ
ψ λψ
=
ˆ (4.2)L
µ µ
ψ µψ
∗ ∗
=
Hong Duc Univers ity
307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam
Khi ®ã,
λ
ψ
vµ
µ
ψ
trùc giao víi nhau theo nghÜa sau:
0 (4.3)dv
λ µ
ψ ψ
∗
=
ThËt vËy, nh©n (4.1) víi
∗
µ
ψ
råi lÊy tÝch ph©n (theo toµn bé kh«ng gian
ˆ (4.4)L dv dv
µ λ µ λ
ψ ψ λ ψ ψ
∗ ∗
=
� �
TiÕp theo, nh©n (4.2) víi
λ
ψ
råi lÊy tÝch ph©n ta cã:
ˆ
( ) (4.5)L dv dv
µ λ µ λ
ψ ψ µ ψ ψ
∗ ∗
=
� �
Do tÝnh hermitic nªn c¸c vÕ tr¸i cña (4.4) vµ (4.5) b»ng nhau.
V× vËy, lÊy (4.4) trõ (4.5) ta ®;îc.
dv
λµ
ψψµλ
∫
∗
−=
)(0
tõ ®ã s uy ra (4.3).