intTypePromotion=1
ADSENSE

Bài giảng Đại số C - Chương 3: Không gian vectơ

Chia sẻ: Gió Biển | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:40

64
lượt xem
2
download
 
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Bài giảng "Đại số C - Chương 3: Không gian vectơ" cung cấp cho người đọc các kiến thức: Không gian vectơ, không gian con của không gian vectơ, phụ thuộc tuyến tính, độc lập tuyến tính, cơ sở, số chiều và tọa độ của KGVT,... Mời các bạn cùng tham khảo.

Chủ đề:
Lưu

Nội dung Text: Bài giảng Đại số C - Chương 3: Không gian vectơ

  1. CHƯƠNG 3 KHÔNG GIAN VECTƠ ----- 1
  2.  Chương 3. Không gian vectơ Nội dung 1. Không gian vectơ 2. Không gian con của không gian vectơ 3. Phụ thuộc tuyến tính, ñộc lập tuyến tính 4. Cơ sở, số chiều và tọa ñộ của KGVT 5. Hệ thức biến ñổi tọa ñộ của vectơ khi cơ sở thay ñổi. Ma trận chuyển cơ sở. 6. Không gian nghiệm. 7. Không gian dòng của ma trận. 2
  3.  Chương 3. Không gian vectơ 1. Không gian vectơ: Định nghĩa 1: Cho V là một tập khác rỗng, trong đó xác định 2 phép toán: i. Phép toán cộng (ký hiệu +) u, v ∈ V u + v ∈V (Phép hợp thành trong) ii. Phép nhân vô hướng: u ∈ V , k ∈ R, ku ∈ V (Phép hợp thành ngoài) Các phần tử của V được gọi là các vectơ. V được gọi là không gian vectơ (KGVT) trên trường số thực R nếu thỏa mãn các tính chất sau đối với phép cộng và nhân vô hướng: 3
  4.  Chương 3. Không gian vectơ i. Tính giao hoán của phép cộng ∀u, v ∈ V , u + v = v + u ii. Tính kết hợp của phép cộng: ∀u, v, w ∈ V , (u + v ) + w = u + (v + w ) iii. Tồn tại một phần tử không, ký hiệu 0, thỏa mãn: ∀u ∈ V , u + 0 = u iv. ∀u ∈ V tồn tại một phần tử đối, ký hiệu là −u , thỏa mãn: u + (−u ) = 0 v. ( ) ∀u, v ∈ V , ∀k ∈ R, k u + v = ku + kv vi. ( ) ∀u ∈ V , ∀k, h ∈ R, h + k u = hu + ku vii. ∀u ∈ V , ∀k, h ∈ R, h (ku ) = (hk ) u viii. ∀u ∈ V ,1.u = u 4
  5.  Chương 3. Không gian vectơ Phép trừ trong KGVT được định nghĩa như sau: u − v = u + (−v ) Tính chất: i. Phần tử 0 trong (iii) và phần tử -u trong (iv) là duy nhất. ii. ∀u ∈ V , 0.u = 0 (0 ở vế trái và vế phải khác nhau) iii. ∀k ∈ R, 0 ∈ V k .0 = 0 (0 ở hai vế giống nhau) iv. Nếu ku = 0 thì hoặc k = 0 hoặc u = 0 v. −u = (−1) u 5
  6.  Chương 3. Không gian vectơ • Ví dụ: 1. Không gian vectơ Rn: k ∈ R; u, v ∈ R n , u = [u1 , u2 ,..., un ] , v = [ v1 , v2 ,..., vn ] trong đó các ui và vi là các số thực và được gọi là các thành phần của vec tơ u và v. u + v = [u1 + v1 , u2 + v2 ,..., un + vn ] ku = [ ku1 , ku2 ,..., kun ] 0 = [ 0, 0,..., 0] phần tử không. 6
  7.  Chương 3. Không gian vectơ 2. Cho X là tập khác rỗng, tập hợp các hàm số từ X và R ký hiệu: F = { f : X → R} Các phép toán cộng và nhân vô hướng được định nghĩa như sau: ∀f , g ∈ F : ( f + g )( x ) = f ( x ) + g ( x ) ∀x ∈ X ∀f ∈ F ; k ∈ R : ( kf )( x ) = kf ( x ) Phần tử không là các hàm đồng nhất không, tức là bằng không với mọi x∈ X 3. Pn là tập tất cả các đa thức hệ số thực cấp ≤ n −1 Phép cộng: cộng đa thức Phép nhân vô hướng: nhân số với đa thức Pn là một KGVT trên trường số thực 7
  8.  Chương 3. Không gian vectơ 4. Tập tất cả các ma trận cấp mxn: Mm×n Phép cộng: cộng ma trận Phép nhân vô hướng: nhân vô hướng với một ma trận Mm×n là một KGVT trên trường số thực. 5. Trường số thực R là KGVT trên chính nó. 8
  9.  Chương 3. Không gian vectơ 1. Không gian vectơ 2. Không gian con của không gian vectơ 3. Phụ thuộc tuyến tính, ñộc lập tuyến tính 4. Cơ sở, số chiều và tọa ñộ của KGVT 5. Hệ thức biến ñổi tọa ñộ của vectơ khi cơ sở thay ñổi. Ma trận chuyển cơ sở. 6. Không gian nghiệm. 7. Không gian dòng của ma trận. 9
  10.  Chương 3. Không gian vectơ 2. Không gian con của KGVT: Định nghĩa 2: Không gian con của KGVT V trên trường số thực R (gọi tắt là không gian con) là một tập hợp W khác rỗng của V thỏa 2 tích chất sau: i. ∀u, v ∈ W , u + v ∈ W ii. ∀u ∈ W , ∀k ∈ R, ku ∈ W Nhận xét: Hai tính chất trên có thể được thay bằng tính chất sau: ∀u, v ∈ W , ∀k ∈ R, ku + v ∈ W 10
  11.  Chương 3. Không gian vectơ Định lý: Phần giao của một số bất kỳ các không gian con của KGVT V là không gian con của KGVT V. Định lý: Tập hợp nghiệm của hệ phương trình thuần nhất trên R: AX = 0 trong đó A ∈ Mm×n và X ∈ Mn×1 là không gian con của KGVT Rn. Chứng minh: X, Y ∈ Mn×1; k ∈ R với X và Y là nghiệm của AX = 0 cần cm X + kY ∈ M cũng là nghiệm của hệ AX = 0 n×1 A (X + kY) = AX AY = 0  + k Suy ra điều phải chứng minh. 0 0 11
  12.  Chương 3. Không gian vectơ 1. Không gian vectơ 2. Không gian con của không gian vectơ 3. Phụ thuộc tuyến tính, ñộc lập tuyến tính 4. Cơ sở, số chiều và tọa ñộ của KGVT 5. Hệ thức biến ñổi tọa ñộ của vectơ khi cơ sở thay ñổi. Ma trận chuyển cơ sở. 6. Không gian nghiệm. 7. Không gian dòng của ma trận. 12
  13.  Chương 3. Không gian vectơ 3. Phụ thuộc tuyến tính, độc lập tuyến tính: Định nghĩa 3: V là KGVT trên R. Cho v1, v2 ,..., vm ∈ V . Vectơ u ∈ V có dạng u = α1v1 + α2v2 + ... + αmvm trong đó αi ∈ R, i = 1, m , được gọi là tổ hợp tuyến tính của các vectơ v1, v2 ,..., vm Định nghĩa 4: Hệ các vectơ v1, v2, …,vm của KGVT V được gọi là phụ thuộc tuyến tính, nếu tồn tại các vô hướng (các số thực),α1, α2 ,..., αm không đồng thời bằng không, sao cho: α1v1 + α2v2 + ... + αmvm = 0 Họ vectơ không phụ thuộc tuyến tính được gọi là độc lập tuyến tính. 13
  14.  Chương 3. Không gian vectơ Định lý: Các vectơ v1, v 2 ,..., vm ∈ V phụ thuộc tuyến tính khi và chỉ khi có ít nhất một vectơ là tổ hợp tuyến tính của các vectơ còn lại. Chú ý: i. Các vectơ v1, v 2 ,..., vm ∈V độc lập tuyến tính nếu và chỉ nếu m α1,..., αm ∈ R, ∑ αivi = 0 ⇒ αi = 0, ∀i = 1,...m i =1 ii. Mọi hệ hữu hạn các vectơ, trong đó có vectơ 0 đều phụ thuộc tuyến tính. iii. ∀v ∈ V , một họ vectơ gồm 1 vectơ, ký hiệu {v } độc lập tuyến tính khi và chỉ khi v ≠ 0. 14
  15.  Chương 3. Không gian vectơ Phương pháp kiểm tra hệ các vectơ ĐLTT hay PTTT: Bước 1: Lập hệ phương trình tuyến tính thuần nhất: AX = 0 trong đó A là ma trận có các cột là các vectơ v1, v2, …,vm. A = v1 v2 ⋯ vm    T vi = v1i v 2i ⋯ vni   v    11 v12 ⋯ v1m  v v22 ⋯ v2m   A= 21  ⋮ ⋮ ⋱ ⋮  v ⋯ vnm   n 1 ⋯  15
  16.  Chương 3. Không gian vectơ và vectơ X có dạng: X = α1 α2 ⋯ αm    Bước 2: Giải hệ phương trình tuyến tính thuần nhất trên ta được: i. Hệ có nghiệm tầm thường suy ra hệ các vectơ ĐLTT ii. Hệ có vô số nghiệm (có nghiệm không tầm thường) suy ra hệ các vectơ PTTT 16
  17.  Chương 3. Không gian vectơ Ví dụ: 27/156 u = 1 − 3t + 2t 2 − 3t 3 , v = −3 + 9t − 6t 2 + 9t 3 Xác định các đa thức u và v có ĐLTT? Xét phương trình: au + bv = 0 trong đó a và b là vô hướng. i. Hệ có nghiệm tầm thường suy ra hệ các vectơ ĐLTT ii. Hệ có vô số nghiệm (có nghiệm không tầm thường) suy ra hệ các vectơ PTTT X = α1 α2 ⋯ αm    17
  18.  Chương 3. Không gian vectơ 1. Không gian vectơ 2. Không gian con của không gian vectơ 3. Phụ thuộc tuyến tính, ñộc lập tuyến tính 4. Cơ sở, số chiều và tọa ñộ của KGVT 5. Hệ thức biến ñổi tọa ñộ của vectơ khi cơ sở thay ñổi. Ma trận chuyển cơ sở. 6. Không gian nghiệm. 7. Không gian dòng của ma trận. 18
  19.  Chương 3. Không gian vectơ 4. Cơ sở, số chiều và tọa độ của KGVT Rn: Tập gồm m vectơ B = {f1, f2 ,..., fm } của KGVT Rn lập thành một hệ các phần tử sinh của Rn, nếu với mọi vectơ v bất kỳ trong Rn là một tổ hợp tuyến tính của các vectơ f1, f2 ,..., fm , tức là có thể biểu diễn v dưới dạng: v = α1 f1 + α2 f2 + ... + αm fm trong đó α1, α2 ,..., αm là các vô hướng. 19
  20.  Chương 3. Không gian vectơ Định nghĩa 5: (cơ sở của KGVT) Cơ sở B = {f1, f2,..., fn } của KGVT Rn là một hệ các phần tử sinh độc lập tuyến tính, tức là B thỏa mãn hai tính chất sau: i) v ∈ R n được biểu diễn dưới dạng v = α1 f1 + α2 f2 + ... + αn fn (công thức khai triển vectơ v thành các thành phần) ii) Phương trình λ1 f1 + λ2 f2 + ... + λn fn = 0 chỉ thỏa mãn khi λ1 = λ2 = ... = λn = 0 20
ADSENSE

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

 

Đồng bộ tài khoản
2=>2