zunia.vn

Tuyển sinh 2024 dành cho Gen-Z

zunia.vn

» Khoa Học Tự Nhiên

Bài giảng Đại số: Phần 3 - TS. Nguyễn Bằng Giang

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:110

Báo xấu

19
lượt xem 4
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Bài giảng Đại số: Phần 3 Không gian Euclid, cung cấp cho người học những kiến thức như: Không gian Euclid; Dạng song tuyến tính và dạng toàn phương; Đường và mặt bậc hai. Mời các bạn cùng tham khảo!

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Bài giảng Đại số: Phần 3 - TS. Nguyễn Bằng Giang

Phần III Không gian Euclid TS. Nguyễn Bằng Giang BM TOÁN HỌC ĐẠI SỐ 9 - 2020 167 / 273
Nội dung chương 3 1 Không gian Euclid 2 Dạng song tuyến tính và dạng toàn phương 3 Đường và mặt bậc hai TS. Nguyễn Bằng Giang BM TOÁN HỌC ĐẠI SỐ 9 - 2020 168 / 273
Không gian Euclid Tiết 1 Không gian Euclid TS. Nguyễn Bằng Giang BM TOÁN HỌC ĐẠI SỐ 9 - 2020 169 / 273
Không gian Euclid Định nghĩa tích vô hướng và không gian Euclid 1 Không gian Euclid Định nghĩa tích vô hướng và không gian Euclid Phép biến đổi trong không gian Euclid Phép biến đổi đối xứng Chéo hóa trực giao TS. Nguyễn Bằng Giang BM TOÁN HỌC ĐẠI SỐ 9 - 2020 170 / 273
Không gian Euclid Định nghĩa tích vô hướng và không gian Euclid Mục 1 Định nghĩa tích vô hướng và không gian Euclid TS. Nguyễn Bằng Giang BM TOÁN HỌC ĐẠI SỐ 9 - 2020 170 / 273
Không gian Euclid Định nghĩa tích vô hướng và không gian Euclid Tích vô hướng Định nghĩa Cho E là không gian véc tơ thực. Ánh xạ E 2 → R được gọi là tích vô hướng, kí hiệu hx, yi, nếu nó thỏa mãn các tính chất hx, xi ≥ 0 với mọi x ∈ E và hx, xi = 0 khi và chỉ khi x = 0. hx, yi = hy, xi với mọi x, y ∈ E. hαx, yi = αhx, yi với mọi α ∈ R và mọi x, y ∈ E. hx + y, zi = hx, zi + hy, zi với mọi x, y, z ∈ E. Không gian véc tơ E hữu hạn chiều cùng với tích vô hướng hx, yi được gọi là không gian Euclid. Tính chất: hx, 0i = 0, với ∀x ∈ E TS. Nguyễn Bằng Giang BM TOÁN HỌC ĐẠI SỐ 9 - 2020 171 / 273
Không gian Euclid Định nghĩa tích vô hướng và không gian Euclid Ví dụ Trong không gian các véc tơ hình học ~a · ~b = |~a| · |~b| cos(~a, ~b) Trong không gian véc tơ E cho hệ cơ sở {e1 , e2 , . . . , e n } và với 2 véc tơ bất kỳ Xn n X y= yi e i , x = xi e i i=1 i=1 Biểu thức n X hx, yi = x1 y1 + x2 y2 + · · · + xn yn = xi yi i=1 là một tích vô hướng. TVH này trên không gian R n được gọi là tích vô hướng Euclid. TS. Nguyễn Bằng Giang BM TOÁN HỌC ĐẠI SỐ 9 - 2020 172 / 273
Không gian Euclid Định nghĩa tích vô hướng và không gian Euclid Ví dụ (tiếp...) Trong không gian R 3 cho hu, vi = u1 v1 + 2u2 v2 + 4u3 v3 với u = (u1 , u2 , u3 ), v = (v1 , v2 , v3 ) là TVH. Một cách tổng quát, biểu thức n X hx, yi = αi xi yi với αi > 0 i=1 là một tích vô hướng. Trong kg Pn [x], biểu thức Z 1 hf(x), g(x)i = f (x)g(x)dx, ∀f , g ∈ Pn [x] 0 thỏa mãn các yêu cầu của TVH. TS. Nguyễn Bằng Giang BM TOÁN HỌC ĐẠI SỐ 9 - 2020 173 / 273
Không gian Euclid Định nghĩa tích vô hướng và không gian Euclid Bất đẳng thức Schwarz và bất đẳng thức tam giác Định nghĩa (Độ dài véc tơ) Trong không gian Euclid E, độ dài của véc tơ x ∈ E, kí hiệu |x| là đại lượng cho bởi p |x| = hx, xi. Định lý Trong không gian Euclid E ta luôn có các bất đẳng thức sau i) Bất đẳng thưc Schwarz: |hu, vi| ≤ |u| · |v| u,v ∈ E ii) Bất đẳng thức tam giác: |u + v| ≤ |u| + |v| u,v ∈ E TS. Nguyễn Bằng Giang BM TOÁN HỌC ĐẠI SỐ 9 - 2020 174 / 273
Không gian Euclid Định nghĩa tích vô hướng và không gian Euclid Góc giữa hai véc tơ Định nghĩa (Góc giữa hai véc tơ) Trong không gian Euclid, góc giữa hai véc tơ u,v là góc ϕ 0≤ϕ≤π thỏa mãn hu, vi cos ϕ = |u| · |v| Định nghĩa (Véc tơ trực giao) Trong không gian Euclid, hai véc tơ u, v được gọi là trực giao với nhau nếu hu, vi = 0 Tính chất Nếu v trực giao với các véc tơ v1 , v2 , . . . , vk , khi đó v trực giao với mọi véc tơ trong không gian con L(v1 , v2 , . . . , vk ). Tập hợp các véc tơ trực giao với các véc tơ v1 , v2 , . . . , vk là không gian con của E. TS. Nguyễn Bằng Giang BM TOÁN HỌC ĐẠI SỐ 9 - 2020 175 / 273
Không gian Euclid Định nghĩa tích vô hướng và không gian Euclid Hệ trực giao Định lý Nếu hệ các véc tơ B = {u1 , u2 , . . . , un } khác 0 trong không gian Euclid E đôi một trực giao với nhau thì độc lập tuyến tính Chứng minh. Giả sử n X αk uk = 0 k=1 Nhân vô hướng cả hai vế với ui ta được n X αk huk , ui i = 0 ⇒ αi hui , ui i = 0 k=1 ⇒ αi = 0 i = 1, n TS. Nguyễn Bằng Giang BM TOÁN HỌC ĐẠI SỐ 9 - 2020 176 / 273
Không gian Euclid Định nghĩa tích vô hướng và không gian Euclid Cơ sở trực giao, trực chuẩn Định nghĩa (Cơ sở trực giao) Cho E là không gian Euclid n chiều, một hệ n véc tơ khác 0 đôi một trực giao lập nên một cơ sở và nó được gọi là cơ sở trực giao trong E. Định nghĩa (Cơ sở trực chuẩn ) Một cơ sở trực giao B = {e1 , e2 , . . . , en } trong không gian Euclid E đồng thời độ dài của từng véc tơ trong B bằng 1 |e1 | = |e2 | = · · · =|en | = 1 được gọi là hệ cơ sở trực chuẩn của E. TS. Nguyễn Bằng Giang BM TOÁN HỌC ĐẠI SỐ 9 - 2020 177 / 273
Không gian Euclid Định nghĩa tích vô hướng và không gian Euclid Tọa độ của một véc tơ trong một cơ sở trực chuẩn Trong kg Euclid E, cho B = {e 1 , e 2 , . . . , e n } là một cơ sở trực chuẩn của E. n X x ∈ E, x = αi e i tức là [x]B = (α1 , α2 , . . . , αn )T . i=1 Khi đó * n + X < x, e i > = αk e k , e i = αi < e i , e i > = αi k=1 TS. Nguyễn Bằng Giang BM TOÁN HỌC ĐẠI SỐ 9 - 2020 178 / 273
Không gian Euclid Định nghĩa tích vô hướng và không gian Euclid Quá trình trực chuẩn hóa Gram-Smidt Định lý (Trực chuẩn hóa Gram-Smidt) Giả sử {u1 , u2 , . . . , un } là một hệ cơ sở bất kỳ của không gian Euclid E. Khi đó ta có thể xây dựng được một cơ sở trực chuẩn {e1 , e2 , . . . , en } có tính chất L(e1 , e2 , . . . , em ) = L(u1 , u2 , . . . , um ) ∀m = 1, 2 . . . , n. Chứng minh. 1. Đặt v1 = u1 2. Ta sẽ tìm v2 ⊥ v1 dưới dạng v2 = u2 + tv1 ⇒ 0 = hv2 , v1 i = hu2 , v1 i + thv1 , v1 i hu , v i ⇒t =− 2 1 hv1 , v1 i TS. Nguyễn Bằng Giang BM TOÁN HỌC ĐẠI SỐ 9 - 2020 179 / 273
Không gian Euclid Định nghĩa tích vô hướng và không gian Euclid Quá trình chuẩn hóa Gram-Smidt Chứng minh (tiếp...) Theo cách xây dựng, L(v1 , v2 ) = L(u1 , u2 ), v1 6= 0, v2 6= 0 3. Với k < n giả sử ta đã xây dựng được hệ trực giao {v1 , v2 , . . . , vk } vi 6= 0. Ta sẽ xây dựng vk+1 dưới dạng vk+1 = uk+1 + t1 v1 + t2 v2 + · · · + tk vk ti được xác định bởi vk+1 ⊥ vi 0 = hvk+1 , vi i = huk+1 , vi i + ti hvi , vi i huk+1 , vi i ⇒ ti = − hvi , vi i TS. Nguyễn Bằng Giang BM TOÁN HỌC ĐẠI SỐ 9 - 2020 180 / 273
Không gian Euclid Định nghĩa tích vô hướng và không gian Euclid Quá trình chuẩn hóa Gram-Smidt Chứng minh (tiếp...) Theo cách xây dựng, ta xây dựng được hệ {v1 , v2 , . . . , vn } L(v1 , v2 , . . . , vm ) = L(u1 , u2 , . . . , um ) ∀m = 1, 2 . . . , n và vi 6= 0 4. Cuối cùng hệ cơ sở trực chuẩn {e1 , e2 , . . . , en } được xây dựng bằng cách chuẩn hóa các véc tơ vi theo công thức vi ei = |vi | TS. Nguyễn Bằng Giang BM TOÁN HỌC ĐẠI SỐ 9 - 2020 181 / 273
Không gian Euclid Định nghĩa tích vô hướng và không gian Euclid Một số ví dụ 1. Trong không gian Euclid R3 với tích vô hướng hu, vi = u1 v1 + u2 v2 + u3 v3 . Hãy trực chuẩn hóa hệ véc tơ B = {a1 = (1, 0, 1), a2 = (0, 1, 2), a3 = (2, 1, 0)} 2. Trong không gian Euclid R3 với tích vô hướng hu, vi = u1 v1 + 2u2 v2 + 3u3 v3 . Hãy trực chuẩn hóa hệ véc tơ B = {a1 = (1, 1, 1), a2 = (0, 1, 1), a3 = (0, 0, 1)} TS. Nguyễn Bằng Giang BM TOÁN HỌC ĐẠI SỐ 9 - 2020 182 / 273
Không gian Euclid Phép biến đổi trong không gian Euclid Mục 2 Phép biến đổi trong không gian Euclid TS. Nguyễn Bằng Giang BM TOÁN HỌC ĐẠI SỐ 9 - 2020 183 / 273
Không gian Euclid Phép biến đổi trong không gian Euclid Phép biến đổi trực giao Định nghĩa Phép biến đổi tuyến tính trong không gian Euclid E được gọi là phép biến đổi trực giao nếu nó bảo toàn tích vô hướng, tức là hf (x), f (y)i = hx, yi TS. Nguyễn Bằng Giang BM TOÁN HỌC ĐẠI SỐ 9 - 2020 184 / 273
Không gian Euclid Phép biến đổi trong không gian Euclid Điều kiện cần và đủ của phép biến đổi trực giao Định lý Cho f : E → E là phép biến đổi tuyến tính trong không gian Euclid, f là phép biến đổi trực giao khi và chỉ khi f bảo toàn độ dài. Chứng minh. ” ⇒ ” : Giả sử f là phép bđ trực giao. |f (u)|2 = hf (u), f (u)i = hu, ui = |u|2 ” ⇐ ” : Giả sử f bảo toàn độ dài. |f (u+v)|2 = hf (u) + f (v), f (u) + f (v)i = |f (u)|2 + 2hf (u), f (v)i + |f (v)|2 (1) Hơn nữa, |f (u+v)|2 = |u+v|2 = |u|2 + 2hu, vi + |v|2 (2) Từ (1) và (2)⇒ hf (u), f (v)i = hu, vi TS. Nguyễn Bằng Giang BM TOÁN HỌC ĐẠI SỐ 9 - 2020 185 / 273

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

THÔNG TIN

TRỢ GIÚP

HỖ TRỢ KHÁCH HÀNG

Theo dõi chúng tôi

Chịu trách nhiệm nội dung:

Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA

LIÊN HỆ

Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM

Hotline: 093 303 0098

Email: support@tailieu.vn

Giấy phép Mạng Xã Hội số: 670/GP-BTTTT cấp ngày 30/11/2015 Copyright © 2022-2032 TaiLieu.VN. All rights reserved.