Bài giảng Đại số tuyến tính: Chương 1 - ThS. Lê Nhật Nguyên

Chia sẻ: Hoathachthao | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:70

Thêm vào BST

Báo xấu

25
lượt xem 3
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Bài giảng Đại số tuyến tính: Chương 1 cung cấp cho người học những kiến thức như: Các phép toán trên các ma trận; Định thức; Ma trận khả nghịch; Hạng của ma trận;...Mời các bạn cùng tham khảo!

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Bài giảng Đại số tuyến tính: Chương 1 - ThS. Lê Nhật Nguyên

ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH ThS. Lê Nhật Nguyên
Chương 1: Ma trận – Định thức – Hệ Phương Trình Bài 1: Ma trận 1. Định nghĩa. Cho các số nguyên dưương m, n. Ma trận A cỡ m  n là một bảng hình chữ nhật gồm m.n số aij (i=1,…,m; j=1,…,n) đưược sắp thành m dòng, n cột:  a11 a12  a1n  a a22   a2 n    a   a   ij  mn  ij mn 21 A        am1 am 2  amn 
aij là phần tử (số hạng) nằm ở dòng thứ i, cột thứ j. Khi m=1, A đưược gọi là ma trận dòng: A   a1 1 a1 2  a1 n  Khi n=1, A đưược gọi là ma trận cột  a1 1  a  A   21        a m1  Đặc biệt khi m=n=1, A gồm chỉ một phần tử: A   a1 1  Ta có thể đồng nhất A với phần tử đó.
Ví dụ. 1  3 2 4 0   3 A  1 3 0 5 B  C   2 0 0 3 4  2  2 1 1 3    0 0 0 0 D   0 0 0  2. Ma trận không. Là ma trận có tất cả các phần tử đều bằng 0. Ký hiệu: Omn hay O. Ví dụ. 0 0 0 0 0 0 0 O23   O32     0 0 0  0 0  Nhận xét. Có nhiều ma trận không khác nhau.
3. Ma trận bằng nhau. Hai ma trận A và B cùng cỡ mn gọi là bằng nhau nếu tất cả các phần tử ở các vị trí tưương ứng bằng nhau. Ký hiệu. A = B Ví dụ. 3 2 4 0  3 2 4 0  A  1 3 0 5 E  1 3 0 5 2 1 1 3  2 1 1 3  A=E So sánh O23 và O32 ? O23  O32
4. Ma trận vuông. Khi số hàng bằng số cột (m=n), A = [aij]n gọi là ma trận vuông cấp n Đường chéo phụ  a11 a12  a1n  a a   a2n  A  21 22       an1 an 2  ann  Đường chéo chính a11 a22 . . . ann Một số ma trận vuông đặc biệt:
4. Ma trận vuông. a) Ma trận đơn vị. Là ma trận vuông có các phần tử trên đưường chéo chính bằng 1: a11 = a22 = . . . = ann =1 và tất cả các phần tử nằm ngoài đường chéo chính bằng 0. Ký hiệu. In hay I. 1 0  0  0 1  0 In           0 0  1 Hỏi: Viết các 1ma0trận  đơn vị 1 cấp 0 20 và cấp 3 ? I2   I3  0 1 0 0 1     0 0 1 
4. Ma trận vuông. b) Ma trận đối xứng. Là ma trận vuông A   aij  n thỏa mãn: aij  a ji với mọi i,j. Ví dụ.  2 3 1 A   3 4 5   1 5 0  Nhận xét. Các phần tử đối xứng nhau qua đưường chéo chính bằng nhau. c) Ma trận phản đối xứng. Là ma trận vuông A   aij  thỏa mãn: aij  a ji với mọi i,j. n Hỏi: aii =? aii = - aii  2 aii = 0  aii = 0 (i=1,2,…,n)
4. Ma trận vuông. b) Ma trận phản đối xứng. Là ma trận vuông A = [aij]n thỏa mãn: aij = - aji với mọi i,j. Hỏi: aii =? aii = - aii  2 aii = 0  aii = 0 (i=1,2,…,n) Nhận xét. Các phần tử đối xứng nhau qua đưường chéo chính đối nhau, các phần tử trên đưường chéo chính bằng 0.  0 2 3 Ví dụ. A   2 0 1   3 1 0 
Bài 2: Các phép toán trên các ma trận 1. Phép cộng. Cho các ma trận A   aij  và B  bij  cùng cỡ mn mn m n A  B   aij  bij  Ví dụ. m n  1 0 3  2 1 4  A  B   2 1 2   0 2 1   1 1 7   3 1 1 A B    A B      2 3 3   2 1 1 
2. Phép nhân một số với một ma trận. Cho ma trận A   aij  cỡ mn và một số k m n kA   kaij  m n Ví dụ. 1 0 3  2 1 4 A  B  2 1 2 0 2 1  2 0 6  6 3 12  2A    3B    4 2 4 0 6 3   8 3 6  2 A  3B      4  4 1  Tìm ma trận X sao cho 4X +3B =2A  2 3 3  1  4 2 4X = 2A-3B  X  (2 A  3B )    4  1 1 1  4 
3. Phép nhân hai ma trận. Cho A   aij  mn cỡ mn Số cột A = số hàng B và B  bij  n p cỡ np. =n Tích của A với B là ma trận AB  C  cij  m p trong đó các phần Tử cij đưược xác định như sau: cij  a i 1 b1 j  a i 2 b 2 j    a in b n j Xét các ví dụ đặc biệt: 1  2 1 3  0      2.1  (  1).0  3 .4   1 4   4  1 2 2 1 3   0 5   1 4 6 Hàng nhân cột  4 1  1 2 2 1 3  1 4 6 0 5    0  3  6  24  9   4 1 
3. Phép nhân hai ma trận. Cho A = [aij] mn cỡ mn Số cột A = số hàng B và B=[bij]np cỡ np. =n Tích của A với B là ma trận C = [cij] mp trong đó các phần tử cij đưược xác định nhưư sau: cij = a i 1 b1 j  a i 2 b 2 j    a in b n j Ta có sơ đồ phép nhân: b1 j  + b   2j     cij     ai1 ai 2  ain   bnj 
Ví dụ. Cho các ma trận  2 0  1 0 3   1 1 A  B  3 1 C     2 1 2  2 3   1 4 Các ma trận nào có thể nhân đưược với nhau? AB, BC, CA, BA  2 0  2 0  2 2  1 0 3    5 12   1 1   AB    3 1    BC  3 1      1 6  2 1 2  1 4  5 9  2 3     1 4  9 11 1 1 1 0 3  3 1 1  CA      2 3 2 1 2  4 3 12  2 0 2 0 6    1 0 3   BA  3 1     5 1 7   2 1 2  1 4 7 4 11 
Luỹ thừa của ma trận vuông A: Nếu A là ma trận vuông cấp n và p là số tự nhiên, ta định nghĩa luỹ thừa bậc p của ma trận A, ký hiệu Ap , là ma trận vuông cấp n xác định như sau: A0 = In (A  O), A2 = A.A A3 = A2.A =A.A.A Ap = Ap-1A (p>1) =A.A….A (p lần)
Luỹ thừa của ma trận vuông A: Ví dụ. 1 1 A  1 1 Tính 2 A , A , A 3 4 21 1 1 1  2 2 A   1   1 1 1  2 2  3 2 2 2  1 1  4 4 A  A A  2 2  1  1  4 4  4 3 4 4  1 1 8 8 A  A A  4 4  1  1 8 8 Tổng quát: p 1 p 1 p  2 2  A   p 1 p 1  2 2 
Luỹ thừa của ma trận vuông A: Ví dụ.  1 1 B   1 1  Tương tự tính B 2019 Tính B 2 , B 3 , B 4 , B 2 0 0 9 2  1 1  1 1  0 2  I.I=I B         1 1 1 1   2 0  I.B=B 3 2  0 2   1 1  2 2  B B B       2 0   1 1  2 2  4 3  2 2   1 1  4 0  1 0  B B B       4    4 I 2  2 2   1 1  0 4  0 1  2009 = 502.4+1 B 2009  B 4.502 1  B 4.502 B  ( B 4 )502 B 502  4 4502   (4 I )502 B  (4)502 I B  4502 B   502 502   4 4 
4. Chuyển vị ma trận Cho ma trận A = [aij]mn cỡ mn. Ma trận cỡ n  m có đưược từ ma trận A bằng cách đổi hàng thành cột (cột thành hàng) gọi là ma trận chuyển vị của A, ký hiệu At.  1 2  Ví dụ. A   1 0 3   At  0 1   2 1 2       3 2  Nhận xét. A đối xứng  At=A A phản đối xứng  At=-A
4. Tính chất của các phép toán: A, B, C, P, Q, R: các ma trận, k, l: các số (AP)R=A(PR) (A+B)+C = A(P+Q)=AP+AQ A+(B+C) (A+B)P=AP+BP A+O=O+A=A k(AP)=(kA)P=A(kP) A+(-A)=(-A)+A= O AI=A=IA A+B=B+A (A+B)t=At+Bt k(A+B)=kA+kB (kA)t=k(At) (k+l)A=kA+lA (At)t=A (kl)A=k(lA) (AP)t=PtAt 1A=A
Bài tập 1. Cho các ma trận:  1 0 2 3   1 2 0 3   2 1 3 1  A   2 1 1 0  , B   0 4 1 2  , C   4 0 1 2   4 2 3 1  3 0 3 1   3 2 0 2  a) Tính (A+B)+C, (A+2B)-3C b) Tính At , B t , C t , At  B t  C t c) Tìm ma trận X cỡ 3x4 sao cho 2X-3A =2B