Bài giảng Đại số tuyến tính: Chương 7 - TS. Đặng Văn Vinh

Trường Đại học Bách khoa tp. Hồ Chí Minh<br /> Bộ môn Toán Ứng dụng<br /> -------------------------------------------------------------------------------------<br /> <br /> Đại số tuyến tính<br /> <br /> Chương 7: Trị riêng, véctơ riêng<br /> <br /> •<br /> <br /> Giảng viên Ts. Đặng Văn Vinh (1/2008)<br /> dangvvinh@hcmut.edu.vn<br /> <br /> Nội dung<br /> ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------<br /> <br /> 7.1 – Trị riêng, véctơ riêng của ma trận<br /> 7.2 – Chéo hóa ma trận.<br /> 7.3 – Chéo hóa ma trận đối xứng bởi ma trận trực giao.<br /> 7.4 – Trị riêng, véctơ riêng của ánh xạ tuyến tính.<br /> 7.5 – Chéo hóa ánh xạ tuyến tính.<br /> <br /> 7.1 Trị riêng, véctơ riêng của ma trận<br /> ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------<br /> <br /> Ví dụ.<br /> <br />  1<br /> u <br /> 1<br /> <br />  3 2 <br /> A<br /> <br /> 1<br /> 0<br /> <br /> <br /> <br /> 2<br /> v <br /> 1 <br /> <br /> Tính Au và Av . Hãy cho biết nhận xét.<br /> <br /> Av<br /> u<br /> <br /> v<br /> <br /> Au<br /> Số  được gọi là trị riêng của A, nếu tồn tại véctơ x khác<br /> không, sao cho Ax   x .<br /> Khi đó, véctơ x được gọi là véctơ riêng của ma trận vuông A<br /> tương ứng với trị riêng  .<br /> <br /> 7.1 Trị riêng, véctơ riêng của ma trận<br /> ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------<br /> <br /> Ví dụ<br /> <br /> 1 6 <br /> A<br /> <br /> 5<br /> 2<br /> <br /> <br /> <br /> 6<br /> u <br />  5<br /> <br /> 3<br /> v <br />  2 <br /> <br /> Véctơ nào là véctơ riêng của A?<br /> Giải<br /> <br />  1 6  6   24 <br /> 6<br /> Au  <br /> <br />  4    4.u<br /> <br /> <br /> <br />  5 2  5   20 <br />  5<br /> Ta có Au  4.u<br /> <br />  u là véctơ riêng<br /> <br />  1 6  3   9 <br /> Av  <br />  <br /> <br /> <br />  5 2  2   11 <br /> Không tồn tại số  để Av  v  v không là véctơ riêng<br /> <br /> 7.1 Trị riêng, véctơ riêng của ma trận<br /> ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------<br /> <br /> Ví dụ.<br /> <br /> 3 4<br /> A<br /> <br /> 6<br /> 5<br /> <br /> <br /> <br /> 1  1; 2  3<br /> <br /> Số nào là trị riêng của A?<br /> Giải. Xét hệ phương trình Ax  1 x<br /> <br />  x1 <br />  4x1  4x 2<br />  3 4   x1 <br /> <br />  1   <br /> <br /> <br /> <br />  6 5  x 2 <br />  x2 <br />  6x1  6x 2<br /> <br />  0<br />  0<br /> <br /> Hệ này có vô số nghiệm, nên tồn tại một nghiệm khác không,<br /> <br /> 1<br /> ví dụ x   <br />  1<br /> <br /> khi đó Ax  1 x.<br /> <br /> Vậy 1 là trị riêng.<br /> Kiểm tra tương tự thấy 2 không là trị riêng.<br /> <br />